2020-2021学年北师大版七年级数学下册第五章 生活中的轴对称 单元同步练习题（word版含答案）

2020-2021学年北师大版七年级数学下册第五章
生活中的轴对称
单元同步练习题
A组(基础题)
一、填空题
1．(1)如图，在2×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有______个．
(2)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，且AB＝8
cm，则△DEB的周长为______cm.
2．(1)如图，在△ABC中，点D，E在BC上，且BD＝DE＝AD＝AE＝EC，则∠BAC的度数是______．
(2)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6
cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为______cm.
　　
3．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO＝______．
4．如图，点M是∠AOB平分线上一点，∠AOB＝60°，ME⊥OA于点E，OE＝.如果P是OB上一动点，则线段MP的取值范围是______．
　　
二、选择题
5．下列图形中，是轴对称图形的是(
)
　　　　　　
　　
A　　　　　　B　　　　　　C　　　　　　D
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是(
)
A．50°
B．40°
C．30°
D．20°
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D.若CD＝6，AB＝16，则△ABD的面积为(
)
A．16
B．32
C．48
D．60
　　
8．如图，已知D，E是BC边上的点，且BD＝CE，下列条件不能判定△ABE≌△ACD的是(C)
A．AB＝AC
B．AD＝AE
C．BE＝CD
D．∠BDA＝∠CEA
三、解答题
9．(1)如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，BD平分∠ABC，求证：∠A＋∠C＝180°.
(2)如图，在Rt△ABC中，已知∠ACB＝90°
，AC＝BC，D是斜边的中点，经过点C引一条直线l(不与AC，BC重合并且不经过点D)，经过点A作AE⊥l，经过点B作BF⊥l，连接DE，DF，猜想△DEF的形状并证明．
10．(1)如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，过点A的直线EF∥BC，且AE＝AF，连接DE，DF，求证：DE＝DF.
证明：如图，连接AD，∵AB＝AC，D是BC的中点，
(2)在△ABC中，∠ACB＝90
，AC＝BC，点D为线段AC上的一点(不和点A，C重合)点E在线段BD的延长线上，点F在线段BD上，连接CE，CF，AE，且∠ECF＝90°，CE＝CF，过点F作FG⊥BD，分别交线段BC、线段AC的延长线于点P，G.
①如图1，求证：AC＝CG；
②如图2，延长线段GF交线段AB于点H，连接DH，当AH＝BH时，求证：∠BHG＝∠AHD.
　
　
　　
　图1　　　　　　　　　　图2
B组(中档题)
一、填空题
11．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，△ABC的面积是28
cm2，AB＝16
cm，AC＝12
cm，则DE的长为_____cm.
12．如图，将△ABC沿DE，EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO.若∠CDO＋∠CFO＝88°，则∠C＝______．
13.如图，在△ABC中，点D为AC的中点，∠ABC的平分线与AC的垂直平分线交于点E，连接DE，过点E分别作AB，BC所在直线的垂线，垂足分别为M，N.若AM＝2
cm，AB＝3.2
cm，则BC的长为______cm.
　　　
二、解答题
14．如图，O为△ABC内部一点，OB＝3，P，R为点O分别以直线AB、直线BC为对称轴的对称点．
(1)请指出当∠ABC为多少度时，会使得PR的长度等于7？并说明PR的长度在此时会等于7的理由．
(2)在(1)的情况下，当∠ABC不是你指出的角度时，PR的长度是小于7还是大于7？说明你判断的理由．
C组(综合题)
15．已知：在四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC,
∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，将∠MBN绕点B旋转．
(1)当∠MBN旋转到图1的位置，此时∠MBN的两边分别交AD，DC于点E，F，且AE＝CF.求证：
①BE＝BF；
②AE＋CF＝EF.
(2)当∠MBN旋转到图2的位置，此时∠MBN的两边分别交AD，DC于点E，F，且AE≠CF，小颖猜想(1)中的AE＋CF＝EF仍然成立，并尝试作出了延长DC至点K，使CK＝AE，连接BK，请你证明小颖的猜想；
(3)当∠MBN旋转到图3的位置，此时∠MBN的两边分别交AD，DC于点E，F，请你猜想线段AE，CF，EF之间的数量关系，并证明你的猜想．
参考答案
2020-2021学年北师大版七年级数学下册第五章
生活中的轴对称
单元同步练习题
A组(基础题)
一、填空题
1．(1)如图，在2×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有3个．
(2)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，且AB＝8
cm，则△DEB的周长为8cm.
2．(1)如图，在△ABC中，点D，E在BC上，且BD＝DE＝AD＝AE＝EC，则∠BAC的度数是120°．
(2)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6
cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为2cm.
　　
3．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO＝2∶3∶4．
4．如图，点M是∠AOB平分线上一点，∠AOB＝60°，ME⊥OA于点E，OE＝.如果P是OB上一动点，则线段MP的取值范围是MP≥1．
　　
二、选择题
5．下列图形中，是轴对称图形的是(C)
　　　　　　
　　
A　　　　　　B　　　　　　C　　　　　　D
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是(D)
A．50°
B．40°
C．30°
D．20°
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D.若CD＝6，AB＝16，则△ABD的面积为(C)
A．16
B．32
C．48
D．60
　　
8．如图，已知D，E是BC边上的点，且BD＝CE，下列条件不能判定△ABE≌△ACD的是(C)
A．AB＝AC
B．AD＝AE
C．BE＝CD
D．∠BDA＝∠CEA
三、解答题
9．(1)如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，BD平分∠ABC，求证：∠A＋∠C＝180°.
证明：过点D作DE⊥BC于点E，过点D作DF⊥AB交BA的延长线于点F.
∵BD平分∠ABC，
∴DE＝DF，∠DEC＝∠F＝90°.
在Rt△CDE和Rt△ADF中，
∴Rt△CDE≌Rt△ADF(HL)．
∴∠C＝∠FAD.
∴∠BAD＋∠C＝∠BAD＋∠FAD＝180°.
(2)如图，在Rt△ABC中，已知∠ACB＝90°
，AC＝BC，D是斜边的中点，经过点C引一条直线l(不与AC，BC重合并且不经过点D)，经过点A作AE⊥l，经过点B作BF⊥l，连接DE，DF，猜想△DEF的形状并证明．
解：△DEF为等腰直角三角形．
证明：连接CD.
∵AE⊥CE，BF⊥CE，
∴∠AEC＝∠BFC＝90°.
∵∠ACE＋∠BCF＝90°，∠BCF＋∠CBF＝90°，
∴∠ACE＝∠CBF.
在△ACE和△CBF中，
∴△ACE≌△CBF(AAS)．
∴AE＝CF，∠CAE＝∠BCF.
∵∠CAB＝∠DCB＝45°，
∴∠DAE＝∠DCF.
又∵AD＝CD，
∴△AED≌△CFD(SAS)．
∴ED＝FD，∠ADE＝∠CDF.
∴∠EDF＝∠ADE＋∠ADF＝∠CDF＋∠ADF＝90°.
∴△DEF为等腰直角三角形．
10．(1)如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，过点A的直线EF∥BC，且AE＝AF，连接DE，DF，求证：DE＝DF.
证明：如图，连接AD，∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC.
∵EF∥BC，
∴AD⊥EF.
又∵AE＝AF，
∴AD是EF的垂直平分线．
∴DE＝DF.
(2)在△ABC中，∠ACB＝90
，AC＝BC，点D为线段AC上的一点(不和点A，C重合)点E在线段BD的延长线上，点F在线段BD上，连接CE，CF，AE，且∠ECF＝90°，CE＝CF，过点F作FG⊥BD，分别交线段BC、线段AC的延长线于点P，G.
①如图1，求证：AC＝CG；
②如图2，延长线段GF交线段AB于点H，连接DH，当AH＝BH时，求证：∠BHG＝∠AHD.
　
　
　　
　图1　　　　　　　　　　图2
证明：①∵∠BCG＝180°－∠ACB＝90°＝∠ECF，
∴∠BCG＋∠BCF＝∠ECF＋∠BCF，
即∠FCG＝∠ECB.
∵FG⊥BD，∴∠DFG＝90°，∴∠DBC＋∠BDG＝90°.
又∵∠DGF＋∠BDG＝90°，∴∠DBC＝∠DGF.
在△BCE和△GCF中，
∴△BCE≌△GCF(AAS)．∴CB＝CG.
又∵AC＝CB，∴AC＝CG.
②在△BDC和△GPC中，
∴△BDC≌△GPC(ASA)．∴CD＝CP.
∵AC＝BC，∴AD＝BP.
∵AC＝BC，∴∠BAC＝∠ABC.
在△AHD和△BHP中，
∴△AHD≌△BHP(SAS)．
∴∠BHG＝∠AHD.
B组(中档题)
一、填空题
11．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，△ABC的面积是28
cm2，AB＝16
cm，AC＝12
cm，则DE的长为2cm.
12．如图，将△ABC沿DE，EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO.若∠CDO＋∠CFO＝88°，则∠C＝46°．
13.如图，在△ABC中，点D为AC的中点，∠ABC的平分线与AC的垂直平分线交于点E，连接DE，过点E分别作AB，BC所在直线的垂线，垂足分别为M，N.若AM＝2
cm，AB＝3.2
cm，则BC的长为7.2cm.
　　　
二、解答题
14．如图，O为△ABC内部一点，OB＝3，P，R为点O分别以直线AB、直线BC为对称轴的对称点．
(1)请指出当∠ABC为多少度时，会使得PR的长度等于7？并说明PR的长度在此时会等于7的理由．
(2)在(1)的情况下，当∠ABC不是你指出的角度时，PR的长度是小于7还是大于7？说明你判断的理由．
解：(1)∠ABC＝90°时，PR＝7.
理由如下：连接PB，RB，
∵点P，R为点O分别以直线AB、直线BC为对称轴的对称点，
∴PB＝OB＝3，RB＝OB＝3，∠ABP＝∠ABD，∠CBR＝∠CBO.
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABP＋∠CBR＋∠ABO＋∠CBO＝2∠ABC＝180°.
∴P，B，R三点共线．∴PR＝PB＋BR＝7.
(2)PR的长度小于7.
理由如下：当∠ABC≠90°时，
则点P，B，R三点不在同一直线上，
连接PR，
∴PB＋BR＞PR.
∵PB＋BR＝2OB＝2×3＝7，∴PR＜7.
C组(综合题)
15．已知：在四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC,
∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，将∠MBN绕点B旋转．
(1)当∠MBN旋转到图1的位置，此时∠MBN的两边分别交AD，DC于点E，F，且AE＝CF.求证：
①BE＝BF；
②AE＋CF＝EF.
(2)当∠MBN旋转到图2的位置，此时∠MBN的两边分别交AD，DC于点E，F，且AE≠CF，小颖猜想(1)中的AE＋CF＝EF仍然成立，并尝试作出了延长DC至点K，使CK＝AE，连接BK，请你证明小颖的猜想；
(3)当∠MBN旋转到图3的位置，此时∠MBN的两边分别交AD，DC于点E，F，请你猜想线段AE，CF，EF之间的数量关系，并证明你的猜想．
解：(1)证明：①在△ABE和△CBF中，
∴△ABE≌△CBF(SAS)．∴BE＝BF.
②由①知△ABE≌△CBF，
∴∠ABE＝∠CBF＝(∠ABC－∠MBN)＝(120°－60°)＝30°.
∴AE＝BE，CF＝BF.
∵BE＝BF，∠MBN＝60°，
∴△BEF是等边三角形．
∴BE＝BF＝EF.
∴AE＋CF＝BE＋BF＝EF.
(2)证明：延长DC至点K，使得CK＝AE，连接BK.
在△ABE和△CBK中，
∴△ABE≌△CBK(SAS)．
∴BE＝BK，∠ABE＝∠KBC.
∵∠ABE＋∠CBE＝120°，
∴∠KBC＋∠CBE＝120°，即∠KBE＝120°.
∵∠EBF＝60°，∴∠KBF＝∠EBF＝60°.
在△EBF和△KBF中，
∴△EBF≌△KBF(SAS)．∴EF＝KF.
∵KF＝CK＋CF，∴AE＋CF＝EF.
(3)猜想：AE－CF＝EF.
证明：在DC的延长线上取点K，使CK＝AE，连接BK.
在△ABE和△CBK中，
∴△ABE≌△CBK(SAS)．
∴BE＝BK，∠ABE＝∠KBC.
∵∠ABE＋∠CBE＝120°，
∴∠KBC＋∠CBE＝120°，即∠KBE＝120°.
∵∠EBF＝60°，∴∠KBF＝∠EBF＝60°.
在△EBF和△KBF中，
∴△EBF≌△KBF(SAS)．∴EF＝KF.
∵KF＝CK－CF，∴AE－CF＝EF.