(共15张PPT)
反比例函数的图象与性质
你还记得一次函数的图象和性质吗？
一次函数y=kx+b(k≠0，k、b是常数)的图象是一条直线。
回顾与思考
还记得我们是如何研究一次
函数的性质的吗？
利用一次函数定义，画出一次函数图象，利
用一次函数的图象研究一次函数的性质。
一次函数y=kx+b（k ≠ 0 且k、b为常数）
的性质
b>0时，图象为
b=0时，图象为
b<0时，图像为
y
x
y
x
y
x
随 的增大而增大
y
x
回顾与思考
为正数
k
b>0时，图象为
y
x
b=0时，图象为
b<0时，图象为
y
x
y
x
随 的增大而减小
y
x
一次函数y=kx+b其中k，b为常数，k ≠ 0
的性质
回顾与思考
为 负 数
k
(1) 列表
x -2 1
y
还知道画函数图象的步骤吗？
(2) 描点
(3) 连线
注意
列表时要在自变量的取值范围内取，取点越多，画出的图象越准确。 描点要尽量精 确。
连线时要用平滑的线顺次连接所画的点。
回顾与思考
o
x
y
根据反比例函数 的解析式你能说出他的
图像的特点吗？
思考
O
X
y
2
4
6
-2
-4
-6
2
4
6
-2
-4
-6
画出反比例函数 的图象.
1.列表
2.描点
3.连线
步骤:
O
X
y
2
4
6
-2
-4
-6
2
4
6
-2
-4
-6
X … -6 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 6 …
… …
1.列表
2.描点
-1
-1.5
-2
-3
-6
6
3
2
1.5
1
3.连线
O
X
y
2
4
6
-2
-4
-6
2
4
6
-2
-4
-6
反比例函数 的图象有哪些特征
反比例函数 的图象在什么象限
O
X
y
2
4
6
-2
-4
-6
2
4
6
-2
-4
-6
请你在直角坐标系中画出它的图象.
反比例函数 与 的图象有什么共同特征
O
X
y
2
4
6
-2
-4
-6
2
4
6
-2
-4
-6
O
X
y
2
4
6
-2
-4
-6
2
4
6
-2
-4
-6
一般地反比例函数 (k为常数,k≠0) 的图象是由两个分支组成的,叫做双曲线(hyperbola).
P66 1 、2
反比例函数的图象:
如果P（a，b）在 的图象上，则在此图象上的点还有 （ ）
A.（-a，b）; B．（a，-b）;
C.（-a，-b）; D．（0，0）
c
有一游泳池装水12立方米，如果从水
管中每小时流出x立方米的话，y小时可以
把水放完。写出y与x的函数关系式及自变
量x的取值范围，画出函数图象。《反比例函数的图像与性质（1）》教学案
课程分析：（本课的作用和学习本课的意义）在学习一次函数的时候，学生已经历过观察、分析图象的特征，抽象、概括函数性质的过程，对研究函数性质所用的探究方法也有一定的了解，因此，通过类比，结合反比例函数的图象探究性质，从使用的方法上不会存在障碍，但由于反比例函数图象相对于一次函数图象，其形态丰富、结构复杂，具有自身的特殊性，故对性质的深入理解和掌握，对性质探究中的数学思想的体会和运用，还存在一定的困难。教学中，注重强调说明由“数”到“形”、由“形”到“数”的转化关系，以“数”与“形”的转化为途径，展开探究活动。我根据教材的内容和学生实际的学习能力和学习程度将教学重点放在下面几个方面：（1）由反比例函数解析式发现反比例函数图像的特征；（2）让学生掌握画反比例函数的图象的方法（描点法），并通过观察知道反比例函数的图象是双曲线；（3）鼓励学生在独立思考，独立操作的前提下，通过小组合作交流分析和解决问题．充分利用图像的直观，引导学生对所画的反比例函数的图象进行观察、比较，发现规律，归纳出反比例函数的主要性质，展示研究函数的一般方法，并能够利用函数的图像及性质解决一些简单的实际问题。从而使每一位同学都掌握从函数图像获取信息的能力，解决问题的能力。
问题设计 1. 我们已经学习了正比例函数的哪些内容？是如何研究的？2. 反比例函数的图象是什么样的？3. 请观察反比例函数的图象，有哪些特征？ 4. 是不是所有的反比例函数的图象都具有这样的特征呢？5. 反比例函数与的图象有什么共同特征
教学构想及目标:知识目标：1．进一步熟悉画函数图象的主要步骤，会画反比例函数的图象。2．体会函数三种表示方法的相互转换，对函数进行认识上的整合。3．理解反比例函数的性质。能力目标：1．通过观察反比例函数图象，分析、探究反比例函数的性质，培养学生的探究、归纳及概括的能力。2．体会数形结合的思想和分类讨论的思想。情感目标：培养学生交流合作的能力，通过学生在学习过程中获得成功的体验，增强学生学习数学的自信心。
教学重点： 反比例函数图象和性质。
教学难点： 由反比例函数图像探究出反比例函数的性质。
教学方法： 1. 采用启发讲授，小组讨论，合作探究相结合的教学方式。2. 鼓励学生针对问题展开交流，充分发挥学生在教学中的主体作用，一切结论都由学生猜想，实践，探索，反思后自己得出。
所需设备： 多媒体投影（展示多媒体课件）
教师活动 学生活动 设计意图
创设情境，引入新知我们已经学习了正比例函数的哪些内容？是如何研究的？二、观察探究，形成新知1．反比例函数的图象是什么样的？让学生根据解析式说出。2．你能画出反比例函数的图象吗？3．教师引导学生观察，类比正比例函数，归纳说出反比例函数图象的形状、位置、变化趋势及其函数的增减性。4．是不是所有的反比例函数的图象都具有这样的特征呢？5．反比例函数与的图象有什么共同特征 三、巩固提高，应用新知教师布置练习，巡视、检查四、课堂小结，布置作业1．同学们谈谈这节课的学习收获。（可以是学习内容、可以是学习方法、可以是情感价值观等方面）2．教师结合板书，进行学习总结3.教师布置作业 学生思考、回答，教师根据学生回答的情况加以补充，并将答案填写在黑板的表格中，强调是从形状、位置、变化趋势三个方面去研究。（多媒体展示）学生列表、描点、作图；展示学生作品；教师板书示范，并通过课件演示反比例函数图象的生成过程，给出双曲线的名称，学生画反比例函数的图像。小组合作讨论函数图象的特征，在教师的引导下，学生从通过与一次函数的图象的对比感受反比例函数图象“曲线”及“两支”的特征．学生独立完成练习学生谈本节课的学习感受，教师梳理、概括本节课主要的学习内容，并揭示蕴涵的数学思想方法。 通过复习正比例函数的图象和性质，以及研究函数的一般方法，为学习反比例函数的图象和性质做好铺垫。图象是直观地描述和研究函数的重要工具，通过经历用描点法画出反比例函数图象的基本步骤，可以使学生对反比例函数先有一个初步的感性认识。通过类比正比例函数，引导学生观察图象的形状、位置、变化趋势，感受“形”的特征，感受自变量与函数值之间变化与对应的关系，使学生对反比例函数的图象和性质形成初步的印象。通过再次画出反比例函数的图象，使学生巩固前面已获得的作图经验，提高学生利用描点法画出函数图象的能力。同时，在总结说出反比例函数的图象特征的过程中，使学生增强对图象的观察、感知、分析、概括的能力，以及经历通过画出函数图象，并利用图形研究函数性质的过程。学生通过观察比较，总结这两个反比例函数图象的特征，在活动中，让学生自己去观察、发现、总结，实现学生主动参与，探究新知的目的。通过一系列的练习，来实现知识向能力的转化。教师引导学生归纳本节课的知识要点和思想方法，使学生对反比例函数的图象和性质有一个较为整体、全面认识，同时，使学生养成良好的学习习惯。《反比例函数的图像和性质（1）》教学实践报告
（指导思想，设计方法等说明）
在学习一次函数的时候，学生已经历过观察、分析图象的特征，抽象、概括函数性质的过程，对研究函数性质所用的探究方法也有一定的了解，因此，通过类比，结合反比例函数的图象探究性质，从使用的方法上不会存在障碍，但由于反比例函数图象相对于一次函数图象，其形态丰富、结构复杂，具有自身的特殊性，故对性质的深入理解和掌握，对性质探究中的数学思想的体会和运用，还存在一定的困难。教学中，注重强调说明由“数”到“形”、由“形”到“数”的转化关系，以“数”与“形”的转化为途径，展开探究活动。我根据教材的内容和学生实际的学习能力和学习程度将教学重点放在下面几个方面：（1）由反比例函数解析式发现反比例函数图像的特征；（2）让学生掌握画反比例函数的图象的方法（描点法），并通过观察知道反比例函数的图象是双曲线；（3）鼓励学生在独立思考，独立操作的前提下，通过小组合作交流分析和解决问题．充分利用图像的直观，引导学生对所画的反比例函数的图象进行观察、比较，发现规律，归纳出反比例函数的主要性质，展示研究函数的一般方法，并能够利用函数的图像及性质解决一些简单的实际问题。从而使每一位同学都掌握从函数图像获取信息的能力，解决问题的能力。
设计这个节课时运用到的数学思想及方法，主要就是两个：一个是类比的方法，因为这节课是在学习了正比例函数的图象和性质之后的一节探究反比例函数的图象和性质的课，所以我在整个教学的过程中安排了很多与正比例函数的相关知识进行类比的教学环节和提问设计。这样既可以为学生指明思考的基本方向，使得学生对两者的联系和区别十分清晰，加深对性质的理解和记忆，又可以在潜移默化中教会学生在今后的数学学习中学会用类比的思想方法。第二就是数形结合及由简到繁，由具体到抽象的层层递进的数学思想。在教学过程中，要让学生明白学习函数是有章可循的，那就是先解析式，接着是图像，再就是性质，最后才是应用。当然教学过程中，还要注意情感的培养，特别是集体意识的培养，
一、实践过程
（一）创设情境，引入新知
通过复习正比例函数的图象和性质，以及研究函数的一般方法，为学习反比例函数的图象和性质做好铺垫。
（二）观察探究，形成新知
1．让学生根据解析式直接说出反比例函数的图象是什么样的？直接由“数”联想到“形”，培养学生抽象思维能力。
2．通过画出反比例函数和的图象，让学生充分参与、经历画图的过程，体会知识的形成过程；通过对学生画图个案的评析、多媒体课件填充点的过程演示、以及学生的认真观察、思考，探索得出重要的结论：应当用平滑的曲线顺次连接。学生自发的为自己发现的结论鼓掌，让学生品尝到成功的喜悦，增强学生的自信心。
3．小组合作讨论反比例函数与的图象有什么共同特征
培养学生的观察、比较、发现、总结的能力，用自主探索、合作讨论交流的方式，促进学生的积极参与，积极发现、思考、体会，让学生体会努力后成功的感觉。
（三）巩固提高，应用新知
通过一系列的练习，可以实现知识向能力的转化。
（四）课堂小结，布置作业
教师引导学生归纳本节课的知识要点和思想方法。
二、收获与体会
1．本节课的教学设计，课前确定的教学目标得到了达成。学生通过类比的方法与正比例函数的性质进行对比等一系列步骤，再通过自主完成图像的画法，观察、比较归纳出具体反比例函数的特征，体会事物是有规律地变化着的观点。用科学的方法解决问题，培养学生科学的态度与精神。
2．通过引导学生自主探索具体反比例函数的特征，让全班学生都能够的主动地探究，表现他们的学习兴趣。同时通过教师举出反例让学生理解“在每个象限内”这句话地必要性，学生再一次体会数学的严谨性。
3．怎么变复杂抽象的数学问题，具体化，形象化，让学生在学习时充满激情，过程中充满乐趣，在活跃的课堂气氛中，渐入佳境。在教学的过程中，要做到三個不讲，即学生已经学会了的不讲，学生自己能学会的不讲，讲了学生仍不会的不讲。這些都做到了。
4．本节课从提出问题到解决问题的过程当中，提供了“阶梯”式的问题串，使每一个学生都能够在活动中既有成功的体验，也有面临挑战的机会和经历，锻炼了学生克服困难的意志，增强了学生的自信心。
三、问题与建议
1．反比例函数图象和性质的学习，可以类比一次函数的研究方法进行，从而体现了函数学习的一般规律和方法。但是，我们在运用“类比”的方法研究反比例函数的过程中，还应注意“趋同求异”，关注反比例函数与一次函数之间的“差异性”，如图形的“曲”与“直”、“间断”与“连续”等，这样的认识，在本课教学时，应加以强调，并传达给学生。
2．在整个课堂教学过程中，教师围绕主题、围绕学生提问的多，给学生提问的时间和机会很少。今后要留给时间让学生提出问题，师生共同讨论、交流，让学生的学习更富有主动性。
3．多媒体对画图演示还不够，今后多媒体课件要设计填充点的过程演示、用平滑的曲线连接的过程等等。让学生更能直观的知道图象的形成过程，有助于学生对数学知识的理解和掌握。《反比例函数的图像与性质（1）》教学设计方案
教学目标分析（结合课程标准说明本节课学习完成后所要达到的具体目标）：反比例函数的图象和性质的核心，是图象“特征”、函数“特性”以及它们之间的相互转化关系，这也正是反比例函数的本质属性所在。根据教材特点、单元要求及学生的发展需要，我预设了以下教学目标：知识目标：1．进一步熟悉画函数图象的主要步骤，会画反比例函数的图象。2．体会函数三种表示方法的相互转换，对函数进行认识上的整合。3．理解反比例函数的性质。能力目标：1．通过观察反比例函数图象，分析、探究反比例函数的性质，培养学生的探究、归纳及概括的能力。2．体会数形结合的思想和分类讨论的思想。情感目标：培养学生交流合作的能力，通过学生在学习过程中获得成功的体验，增强学生学习数学的自信心。教学重点：反比例函数图象和性质。教学难点：由反比例函数图像探究出反比例函数的性质。
学习者特征分析（结合实际情况，从学生的学习习惯、心理特征、知识结构等方面进行描述）：八年级学生有了一定的数学基础，上课积极，有较强的表现欲，观察、操作、猜想能力较强，但演绎推理、归纳、运用数学意识的思想有待遇提高，思维的广阔性、敏捷性、结密性、灵活性还需进一步培养，自主探究和合作学习能力也需要在课堂教学中进一步加强和引导。在学习一次函数的时候，学生已经历过观察、分析图象的特征，抽象、概括函数性质的过程，对研究函数性质所用的探究方法也有一定的了解，因此，通过类比，结合反比例函数的图象探究性质，从使用的方法上不会存在障碍，但由于反比例函数图象相对于一次函数图象，其形态丰富、结构复杂，具有自身的特殊性，故对性质的深入理解和掌握，对性质探究中的数学思想的体会和运用，还存在一定的困难。因此，本课教学中采用了从“反比例函数解析式发现反比例函数图像的特征——画图像验证——归纳反比例函数图像所在象限的特点”。培养学生抽象性思维能力和发现、归纳的能力，培养学生思维的深刻性。
教学过程（按照教学步骤和相应的活动序列进行描述，要注意说明各教学活动中所需的具体资源及环境）：一、创设情境，引入新知问题1 我们已经学习了正比例函数的哪些内容？是如何研究的？教师提问，学生思考、回答，教师根据学生回答的情况加以补充，并将答案填写在黑板的表格中，强调是从形状、位置、变化趋势三个方面去研究。（多媒体展示）二、观察探究，形成新知 问题2 反比例函数的图象是什么样的？让学生根据解析式说出。以画出反比例函数的图象为例，教师引导学生经历列表、描点、连线的过程。教师引导学生列表、描点、作图；展示学生作品；教师板书示范，并通过课件演示反比例函数图象的生成过程，给出双曲线的名称，并渗透它的形态特征.问题3 请观察反比例函数的图象，有哪些特征？教师引导学生观察，类比正比例函数，归纳说出反比例函数图象的形状、位置、变化趋势及其函数的增减性。问题4 是不是所有的反比例函数的图象都具有这样的特征呢？以讨论反比例函数为例。在教师引导下，学生借鉴画反比例函数的图象的经验，自主画出反比例函数的图象，教师巡视指导。作图完成后，学生展示作品，说出该函数图象的特征，教师适时点评。问题5 反比例函数与的图象有什么共同特征 小组合作讨论函数图象的特征，教师引导学生从通过与一次函数的图象的对比感受反比例函数图象“曲线”及“两支”的特征．三、巩固提高，应用新知 P66 练习1．2通过一系列的练习，可以实现知识向能力的转化。四、课堂小结，布置作业1．同学们谈谈这节课的学习收获。（可以是学习内容、可以是学习方法、可以是情感价值观等方面）2．教师结合板书，进行学习总结3．布置课后作业
教学资源（说明在教学中资源应用的思路、制作或搜集方法）：多媒体课件、教材中的图像
评价方法或工具（说明在教学过程中将用到哪些评价工具，如何评价以及目的是什么）：
1．组员自评2．小组互评3．教师评价
