第八章
立体几何初步
8.5.2平面与平面平行(基础练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1.如图，在下列四个正方体中，P，R，Q，M，N，G，H为所在棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与PRQ所在平面平行的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．设，是两个不同的平面，是直线且．“”是“”的（
）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3．已知直线l，m，平面，，下列命题正确的是（
）
A．，
B．，，，
C．，，
D．，，，，
4．如图，在棱长均为1的正三棱柱中，分别为线段，上的动点，且平面，则这样的有（
）
A．1条
B．2条
C．3条
D．无数条
5.如图，在棱长为2的正方体中，是的中点，点是侧面上的动点，且截面，则线段长度的取值范围是（
）.
A．
B．
C．
D．
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．下列选项正确的是(
)
A.一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；
B.一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；
C.一个平面内任何直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；
D.一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行.
7．为三个不重合的平面为三条不重合的直线,则下列命题中正确的是(
)
A．
B．
C．
D．
8．已知a，b表示两条直线，，，表示三个不重合的平面，下列命题不正确的是（
）
A.若，且，则；
B.若a，b相交且都在，外，，，，，则；
C.若，，则；
D.若，，且，则；
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．如图,已知在三棱锥P-ABC中,D,E,F分别是棱PA,PB,PC的中点,则平面DEF与平面ABC的位置关系是 .?
10．已知正方体的棱长为2，点在线段上，且，平面经过点，则正方体被平面截得的截面为_________,其面积为______．
11．如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,ABCD为平行四边形,E,F分别在线段DB,DD1上,且,G在CC1上且平面AEF∥平面BD1G,则_________
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．已知三个平面α，β，γ满足α∥β∥γ，直线a与这三个平面依次交于点A，B，C，直线b与这三个平面依次交于点E，F，G.
求证：＝.
13．如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为矩形，E、F、H分别为AB、CD、PD的中点.求证：平面AFH∥平面PCE.
14.如图，在三棱柱中，E，F，G分别为，，AB的中点．
求证：平面平面BEF；
若平面，求证：H为BC的中点．第八章
立体几何初步
8.5.2平面与平面平行(基础练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1.如图，在下列四个正方体中，P，R，Q，M，N，G，H为所在棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与PRQ所在平面平行的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意可知经过P、Q、R三点的平面即为平面，如下图所示：
对选项：可知N在经过P、Q、R三点的平面上，所以B、C错误；
对：MC1与是相交直线，所以A不正确；
对：因为//，，//，
又容易知也相交，
平面；平面，
故平面//平面
故选：.
2．设，是两个不同的平面，是直线且．“”是“”的（
）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】，得不到，因为可能相交，只要和的交线平行即可得到；，，∴和没有公共点，∴，即能得到；∴“”是“”的必要不充分条件．故选：B．
3．已知直线l，m，平面，，下列命题正确的是（
）
A．，
B．，，，
C．，，
D．，，，，
【答案】D
【解析】由题意得，对于A中，，与可能相交，所以A是错误的；
对于B中，，，，，如果，，可能相交，故是错误的；
对于C中，，，与可能相交，所以C错误的；对于D中，，，，，满足面面平行的判定定理，所以，故D正确的，
故选：D.
4．如图，在棱长均为1的正三棱柱中，分别为线段，上的动点，且平面，则这样的有（
）
A．1条
B．2条
C．3条
D．无数条
【答案】D
【解析】如图，任取线段上一点，过作，交于，过作交于，过作的平行线，与一定有交点，连接，可证平面平面所以平面，则这样的有无数个．
故选：D.
5.如图，在棱长为2的正方体中，是的中点，点是侧面上的动点，且截面，则线段长度的取值范围是（
）.
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】取CD的中点为N,的中点为R,的中点为H,作图如下:
由图可知,,
所以四边形为平行四边形,所以,
因为,所以,
因为,
故平面MNRH//平面,
因为截面,所以平面,线段MP扫过的图形为,
由知,,
在中,即,所以，
所以,即为直角,
故线段长度的取值范围为,即,
故选:B
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．下列选项正确的是(
)
A.一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；
B.一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；
C.一个平面内任何直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；
D.一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行.
【答案】CD
【解析】如果两个平面没有任何一个公共点，那么我们就说这两个平面平行，也即是两个平面没有任何公共直线.
对于选项A,一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，如果这两条直线不相交，而是平行，那么这两个平面相交也能够找得到这样的直线存在,故A错误;
对于选项B,一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，故B错误;
对于选项C,一个平面内任何直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行.这是两个平面平行的定义,故C正确;
对于选项D,一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行.这是两个平面平行的判定定理,故D正确;
故CD．
7．为三个不重合的平面为三条不重合的直线,则下列命题中正确的是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【解析】对于选项A,由点线面的位置关系基本事实:两条直线平行于第三条直线,这两条直线平行,故A正确.
对于选项B,两条直线都与同一个平面平行,则这两条直线可能相交,也可能是异面直线,不一定平行,故B错误.
对于选项C,两个平面都与同一条直线平行,则这两个平面可以平行,也可以相交,故C错误.
对于选项D,由面面平行的传递性可知平行于同一平面的两个平面平行,故D正确.
8．已知a，b表示两条直线，，，表示三个不重合的平面，下列命题不正确的是（
）
A.若，且，则；
B.若a，b相交且都在，外，，，，，则；
C.若，，则；
D.若，，且，则；
【答案】ACD
【解析】对于选项A，若，且，则，因为有可能相交，
如图：
，故A错误；
对于选项B，在空间中确定一个点，过作a，b的平行线，，
过，的平面，
，，
，，，，，，
，故B正确；
对于选项C，若，，则，有可能，相交，
如图：，故C错误；；
对于选项D，若，，且，则，有可能，相交，
如图：，故D错误；故选:ACD
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．如图,已知在三棱锥P-ABC中,D,E,F分别是棱PA,PB,PC的中点,则平面DEF与平面ABC的位置关系是 .?
【答案】平行
【解析】在△PAB中,因为D,E分别是PA,PB的中点,所以DE∥AB.
又DE?平面ABC,AB?平面ABC,
所以DE∥平面ABC,同理可证EF∥平面ABC.
又DE∩EF=E,DE?平面DEF,EF?平面DEF,
所以平面DEF∥平面ABC.
故答案为：平行
10．已知正方体的棱长为2，点在线段上，且，平面经过点，则正方体被平面截得的截面为_________,其面积为______．
【答案】四边形
【解析】如图所示：
确定一个平面，因为平面平面，所以，同理，
所以四边形是平行四边形.即正方体被平面截的截面.
因为，所以，即所以
由余弦定理得：,所以,所以四边形.
故答案为：四边形
11．如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,ABCD为平行四边形,E,F分别在线段DB,DD1上,且,G在CC1上且平面AEF∥平面BD1G,则_________
【答案】
【解析】∵平面AEF∥平面BD1G,且平面AEF∩平面
BB1D1D=EF,平面BD1G∩平面BB1D1D=BD1,∴EF∥BD1,
∴
易得平面ADD1A1∥平面BCC1B1,又BG?平面BCC1B1,∴BG∥平面ADD1A1,
又∵平面AEF∥平面BD1G,BG?平面BD1G,∴BG∥平面AEF,
∵平面AEF∩平面ADD1A1=AF,
∴BG∥AF,∴BG、AF可确定平面ABGF,
又知平面ABB1A1∥平面CDD1C1,
平面ABGF∩平面ABB1A1=AB,平面ABGF∩平面CDD1C1=FG,
∴AB∥FG,∴CD∥FG.
∴.故答案为：.
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．已知三个平面α，β，γ满足α∥β∥γ，直线a与这三个平面依次交于点A，B，C，直线b与这三个平面依次交于点E，F，G.
求证：＝.
【答案】答案见解析
【解析】 连接AG交β于H，连BH，FH，AE，CG.
因为β∥γ，平面ACG∩β＝BH，平面ACG∩γ＝CG，
所以BH∥CG.同理AE∥HF，
所以＝＝，
所以＝.
13．如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为矩形，E、F、H分别为AB、CD、PD的中点.求证：平面AFH∥平面PCE.
【答案】答案见解析
【解析】因为F为CD的中点，H为PD的中点，
所以FH∥PC，所以FH∥平面PCE.
又AE∥CF且AE＝CF，
所以四边形AECF为平行四边形，
所以AF∥CE，所以AF∥平面PCE.
由FH?平面AFH，AF?平面AFH，FH∩AF＝F，
所以平面AFH∥平面PCE.
14.如图，在三棱柱中，E，F，G分别为，，AB的中点．
求证：平面平面BEF；
若平面，求证：H为BC的中点．
【答案】答案见解析
【解析】
如图，
，F分别为，的中点，，
平面，平面，平面，
又F，G分别为，AB的中点，，
又，四边形为平行四边形，则，
平面，平面，平面，
又，
平面平面BEF；
平面平面，平面平面，
平面与平面ABC有公共点G，则有经过G的直线，设交，
则，得，
为AB的中点，为BC的中点．
