18.1.2平行四边形的判定2（对角线）-2020-2021学年人教版八年级数学下册导学案（Word版含详解）

18．1．2 平行四边形的判定(2)

学习目标：
1．经历平行四边形判定定理的猜想与证明过程，体会类比思想及探究图形判定的一般思路.
2．会根据对角线互相平分的判定定理进行推理论证．
学习重点：能根据对角线互相平分来判定平行四边形.
一、课前检测
1.一个四边形的四条边长依次为a，b，c，d，且满足a2+b2+c2+d2=2ac+2bd，则这个四边形的形状是____________，依据是____________________________.
2．已知：如图所示，在□ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点.
求证：四边形AECF是平行四边形．

二、温故知新
已知：四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD为平行四边形，需要增加条件 ．(只需填上一个你认为正确的即可)．
三、预习导航（预习教材45-46页，标出你认为重要的关键词）
猜一猜 如图,将两根细木条AC、BD的中点重叠，用小钉固定在一起，用橡皮筋连接木条的顶点，做成一个四边形ABCD．转动两根木条，四边形ABCD一直是一个平行四边形吗？
证一证
已知：四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：

要点归纳：平行四边形的判定定理：对角线互相________的四边形是平行四边形．
几何语言描述：在四边形ABCD中，∵AO_____CO,DO_____BO,
∴四边形ABCD是______________．
四、自学自测
如图，□ABCD 的对角线AC,BD相交于点O,E,F是AC上的两点，补充条件： ,使得四边形BFDE是平行四边形． 还有其它方法吗？
五、我的疑惑(反思)


要点探究
(教材P46例3变式题)如图，AC是平行四边形ABCD的一条对角线，BM⊥AC于M，DN⊥AC于N，四边形BMDN是平行四边形吗？说明你的理由．
二、精讲点拨
例1 如图，在□ABCD中，E是边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，连接AC，DF.
求证：四边形ACDF是平行四边形.
例2 昨天李明同学在生物实验室做实验时，不小心碰碎了实验室的一块平行四边形的实验用的玻璃片,只剩下如图所示部分,他想回家去割一块赔给学校，带上玻璃剩下部分去玻璃店不安全，于是他想把原来的平行四边形重新在纸上画出来?然后带上图纸去就行了，可原来的平行四边形怎么给它画出来呢(A,B,C为三顶点,即找出第四个顶点D)？(请用多种方法)
方法总结：
三、变式训练
1．根据下列条件,不能判定四边形为平行四边形的是 ( )
A．两组对边分别相等 B．两条对角线互相平分
C．两条对角线相等 D．两组对边分别平行
2.如图，□ABCD的对角线AC，BD交于点O，E，F在AC上，G，H在BD上，且AF=CE，BH=DG.
求证：EH∥FG.
四、课堂小结
内 容 几何语言
平行四边形的判定(2) 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形．
★1.在四边形ABCD中，AC与BD交于点O．如果AC=8cm,BD=10cm,那么当AO=_____cm,BO=_____cm时，四边形ABCD是平行四边形．
★2．如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形(　　)
A．OA=OC，OB=OD
B．AB∥CD，AO=CO
C．AB∥CD，AD=BC
D．∠BAD=∠BCD，AB∥CD
★3.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠CBD=90°，BC=4，
BE=ED=3，AC=10，则四边形ABCD的面积为（ ）
A.6 B.12 C.20 D.24
★★4．如图，已知E，F，G，H分别是平行四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且AE=CG，BF=DH．
求证：四边形EFGH是平行四边形．
★★5．如图，AB、CD相交于点O，AC∥DB，AO＝BO，E、F分别是OC、OD的中点．
求证：(1)△AOC≌△BOD；
(2)四边形AFBE是平行四边形．
★★★ 6.学校买了四棵花树，准备栽在花园里，已经栽了三棵(如图所示)，现在学校希望这四棵树能组成一个平行四边形，你觉得第四棵树应该栽在哪里？请在图中找出第四棵树所有可能的位置.
我的反思(收获，不足)


分层作业
必做(教材 智慧学习 配套) 选做
参考答案：
课前检测
1.试题分析：由a2+b2+c2+d2=2ac+2bd，可得（a-c）2+（b-d）2=0，根据非负数的性质知a=c，b=d，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”可得答案.
详解：由a2+b2+c2+d2=2ac+2bd，整理得（a-c）2+（b-d）2=0.
根据非负数的性质知a=c，b=d，
所以这个四边形是平行四边形.
故本题应填“平行四边形”，依据是“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”
2.试题分析：由平行四边形的性质得出AB＝CD，AD=CB，∠B=∠D.因为E、F分别为AB、CD的中点，证出BE＝AE=CF=DF，从而可得△BCE≌△DAF，推出CE=AF，结合AE=CF，即可得出四边形EBFD是平行四边形．
【详解】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=CB，AB＝CD，∠B=∠D.
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴BE＝AE=CF=DF.
在△BCE和△DAF中，
∵CB=AD，∠B=∠D，BE=DF，
∴△BCE≌△DAF.
∴CE=AF.又因为AE=CF,
∴四边形EBFD是平行四边形．
自学自测
试题分析：根据平行四边形的性质，以及平行四边形的判定定理即可作出判断．
详解：本题可供补充的条件不知一种，比如：
补充条件：OE=OF.
由四边形ABCD是平行四边形，得OD=OB，
∴四边形DEBF是平行四边形；
或补充条件：∠ADE=∠CBF证明如下：
在平行四边形ABCD中，
∵AO=CO，DO=BO，AD∥BC，AD=BC，
∴∠DAE=∠BCF，
若∠ADE=∠CBF，
在△ADE与△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF，
∴AE=CF，
∴OE=OF，又OD=OB，
∴四边形DEBF是平行四边形；
或补充条件：∠ABE=∠CDF.证明如下：
在△ABE与△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF，
∴AE=CF，
∵AO=CO，
∴OE=OF，
∵OD=OB，
∴四边形DEBF是平行四边形.
要点探究
试题分析：由四边形ABCD是平行四边形，可得AD=BC，AD∥BC，又由BM⊥AC，DN⊥AC，即可得，∠DNA=∠BMC=90°，然后利用AAS证得△ADN≌△CBM，即可得DN=BM，同理可得△ABN≌△CDM，得BN=DM,由一两组对边分别相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形BMDN是平行四边形．
【详解】
解：四边形BMDN是平行四边形．
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠DAN=∠BCM，
∵BM⊥AC，DN⊥AC，
∴∠DNA=∠BMC=90°，
∴△ADN≌△CBM（AAS），
∴DN=BM，
同理△ABN≌△CDM，得BN=DM,
∴四边形BMDN是平行四边形．
精讲点拨
例1 试题分析：本题考查了平行四边形的判定和性质，利用平行四边形的性质，即可判定△FAE≌△CDE，即可得到FE=CE，再根据AE=DE，即可得出四边形ACDF是平行四边形.
【详解】
证明：四边形ABCD是平行四边形，
，，
是AD的中点，，
又，
，
∴FE=CE.
又∵AE=DE，
四边形ACDF是平行四边形．
例2 试题分析：本题考查平行四边形判定方法的实际应用，我们可以根据平行四边形的定义，及平行四边形的判定1，判定3给出不同的做法.
详解：方法（1）：过A作AD∥BC，过C作CD∥AB，交点D即为所求（图略）；
方法（2）：以点A为圆心，BC为半径画弧，再以点C为圆心，AB为半径画弧，两弧交于点D，连接AD，CD；
方法（3）：连接AC，取AC的中点O，连接BO并延长至D，使OD=OB，连接AD，CD.
变式训练
1.试题分析：根据平行四边形的判定定理（①两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③两组对角分别相等的四边形是平行四边形，④对角线互相平分的四边形是平行四边形）进行判断即可．
【详解】：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
B、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
C、两条对角线相等的四边形不一定是平行四边形，故此选项符合题意；
D、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
故选答案C.
2.试题分析：由于四边形ABCD是平行四边形，那么OA=OC，OB=OD，而AF=CE，BH=DG，利用等式性质易得OF=OE，OG=OH，进而可证四边形EGFH是平行四边形，从而有GF∥HE．
证明：如右图所示，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
又∵AF=CE，BH=DG，
∴AF﹣OA=CE﹣OC，
BH﹣OB=DG﹣OD，
∴OF=OE，OG=OH，
∴四边形EGFH是平行四边形，∴GF∥HE．
星级达标：
1.试题分析：根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可知，当AO=AC=4cm，BO=BD=5cm时，OA=OC，OB=OD，四边形ABCD是平行四边形.
详解：∵AC=8cm,BD=10cm,
∴当AO=AC=4cm，BO=BD=5cm时，
OA=OC，OB=OD，四边形ABCD是平行四边形.
故答案应填4,5.
2.试题分析：根据平行四边形的判定方法，对每个选项进行筛选可得答案．
详解：
A、∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故A选项不符合题意；
B、∵AB∥CD，∴∠ABO=∠CDO，∠BAO=∠DCO.结合AO=CO可得△AOB≌△COD,于是OB=OD，OA=OC. ∴四边形ABCD是平行四边形，故B选项不符合题意；
C、∵AB∥CD，AD=BC，不能证明四边形ABCD是平行四边形，故本选项符合题意；
D、∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，∠BAD+∠ADC=180°，
又∵∠BAD=∠BCD，
∴∠ABC=∠ADC，
∵∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故D选项不符合题意，
故选C.
3.试题分析：根据勾股定理，可求得EC的长，BE=ED，AE=CE，可得四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的面积公式，可得答案．
详解：在Rt△BCE中，由勾股定理得，
CE===5．
∵BE=DE=3，AE=CE=5，
∴四边形ABCD是平行四边形．
四边形ABCD的面积为BC×BD=4×（3+3）=24．
故选答案D．
4.试题分析：根据已知条件易证得△AEH≌△CGF，从而得对应边EH=FG．同理可证：HG=EF，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形得证．
证明：在平行四边形ABCD中，∠A=∠C，AD=BC．
∵BF=DH，∴AH=CF．
∵AE=CG，∠A=∠C，AH=CF，
∴△AEH≌△CGF（SAS），∴EH=FG．
同理可证：HG=EF，
∴四边形EFGH是平行四边形．
试题分析：(1)此题已知AO=BO，∠AOC=∠BOD，要证△AOC≌△BOD还少一个条件，其中AC∥DB，可以给我们通过一组角∠CAB＝∠DBA，从而△AOC≌△BOD可证；
（2）欲证四边形AFBE是平行四边形，根据全等三角形，只需证OE=OF即可．
证明：（1）∵AC∥DB，
∴∠CAB＝∠DBA，
又∵AO＝BO，∠AOC＝∠BOD，
∴△AOC≌△BOD(ASA)，
（2）∵△AOC≌△BOD，∴CO＝DO，
∵E，F分别为OC，OD的中点，
∴OE＝OF，又∵OA=OB，
∴四边形AFBE 是平行四边形．
试题分析：本题考查了平行四边形判定的应用，可以△ABC中的两边为平行四边形的边，另一边为对角线画图，故可分三种情况.
详解：分三种情况：
以AC、BC为边，AB为对角线，可得第四棵树的位置为D1；
以AB、BC为边，AC为对角线，可得第四棵树的位置为D2；
以AB、AC为边，BC为对角线，可得第四棵树的位置为D3.(如图所示)