16.3第1课时二次根式的加减-2020-2021学年人教版八年级数学下册导学案（Word版含详解）

第十六章 二次根式
16.3 二次根式的加减
第1课时 二次根式的加减

学习目标：1.能熟练口述二次根式的加减运算法则.
2.会用二次根式的加减运算法则进行简单的运算.
学习重点：会用二次根式的加减运算法则进行简单的运算.
一、课前检测
二、温故知新
1．在整式的加减中，什么是同类项?怎样合并同类项？
2．化简下列两组二次根式，每组化简后有什么共同特点?

三、预习导航（预习教材第12-13页，标注出你认为重要的关键词）
在进行二次根式加减运算时，可以先将二次根式化成______________，再将______________________的二次根式进行合并.合并的依据是______________.
四、自学自测
1．下列二次根式中，能与合并的是( )
A． B． C． D．
2.计算：（1）+；

（2）.
五、我的疑惑(反思)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
要点探究
探究点1：在二次根式的加减运算中可以合并的二次根式
类比探究 在七年级我们就已经学过合并同类项的法则.观察下图并思考：

(1)由左图，易得2+3= ；
(2)当=时，分别代入左、右得；
(3)当=时，分别代入左、右得；......
(4)根据右图，你能否直接得出当=，b=时，2+3b的值？结果能进行化简吗？

.
要点归纳：
(1)判断几个二次根式是否可以合并(加减运算)，一定都要化为 后再判断.
(2)合并的方法与合并同类项类似，把根号外的因数(式)相加，根指数和被开方数(式)不变.如：
即学即练：计算 (1)+ ； (2)3-9+3 .
探究点2：二次根式的加减及其应用
思考 现有一块长7.5dm、宽5dm的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个分别是8dm2和18dm2的正方形木板？
问题1 怎样列式求两个正方形边长的和?
问题2 所列算式能直接进行加减运算吗?如果不能,把式中各个二次根式化成最简二次根式后，再试一试(说出每步运算的依据).
二、精讲点拨
例1 计算：(1) ； (2) .
方法总结：二次根式加减法的运算步骤：
(1)化——将非最简二次根式的二次根式化简；
(2)找——找出被开方数相同的二次根式；
(3)并——把被开方数相同的二次根式合并.
例2 若最简二次根式与可以合并，求的值.
方法总结:确定可以合并的二次根式中字母取值的方法：
①利用被开方数相同，②根指数都为2，③列关于待定字母的方程求解即可.
例3 已知a,b,c满足.
(1)求a,b,c的值；
(2)以a,b,c为三边长能否构成三角形？若能构成三角形，求出其周长；若不能，请说明理由.
方法总结：(1)若几个非负数的和为零，则这几个非负数必须都为零；
(2)根据三角形的三边关系来判断.
三、变式训练
1.如果最简二次根式与可以合并，那么要使式子有意义，求x的取值范围.
2.有一个等腰三角形的两边长分别为5,2，求其周长.
四、课堂小结
二次根式的加减 法则 内容
一般地，二次根式的加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.
注意事项 (1)与实数的运算顺序一样；
(2)实数的运算律仍然适用；
(3)结果要化成最简形式.
★1．二次根式：中，与能进行合并的是( ) A． B． C． D．
★2．下列运算中错误的是 ( )
A． B． C． D．
★3．三角形的三边长分别为则这个三角形的周长为________. ★4．计算:
★★5.计算:


★★6.下图是某土楼的剖面图，它是由两个相同圆心的圆构成.已知大圆和小圆的面积分别为763.02m2和150.72m2，求圆环的宽度d (π取3.14).
★★★7．已知a，b都是有理数，现定义新运算：a*b=，求(2*3)－(27*32)的值．
我的反思(收获，不足)
分层作业
必做(教材 智慧学习 配套) 选做
参考答案
自学自测
试题分析：将二次根式化为最简二次根式后，同类二次根式可以合并，据此可以进行判断.
详解：，，所以与可以合并的是答案D.
试题分析：根据二次根式的加减法法则计算即可.
详解：（1）；
（2）
.
即学即练：
试题分析：根据二次根式的加减法法则计算即可.
详解： (1)+= ；
(2)
.
精讲点拨
例1 试题分析： 先用去括号法则去掉括号，将非最简二次根式的二次根式化简，再把被开方数相同的二次根式合并即可.
详解：(1) =；
(2)
.
例2 试题分析：根据可以合并判断出两个二次根式是同类二次根式，然后列方程组求解得到m、n的值，再求mn的算术平方根即可得解．
【详解】
解：最简二次根式与可合并，
∴与是同类二次根式，
∴，解得
∴．
例3 试题分析：（1）根据非负数的性质来求a、b、c的值；
（2）根据三角形的三边关系可以做出判断，再进一步求出周长即可．
【详解】
解：（1）∵（a﹣）2++|c﹣3|＝0，
∴a﹣＝0，＝0，c﹣3＝0，
解得 a＝2，b＝5，c＝3；
（2）以a、b、c为三边长能构成三角形，理由如下：
由（1）知，a＝2，b＝5，c＝3．
∵2+3＝5＞5，即a+c＞b，
∴以a、b、c为三边长能构成三角形，则周长＝2+5+3＝5+5．
变式训练
1.试题分析：先根据二次根式的定义，列方程求出a的值，代入，再根据二次根式的定义列出不等式组，求出x的取值范围即可．
试题解析：∵最简二次根式和可以合并，
∴3a-8=17-2a. ∴a=5
要使式子有意义，则
解得：5＜x≤10.
2.试题分析：本题计算时需分两种情况：即腰为5,底为2或腰为2，底为5，然后分别计算周长即可.
详解：分两种情况：
当腰为5,底为2时，
周长为2×5+2=10+2；
当腰为2，底为5时，
周长为2×2+5=5+4.
故该等腰三角形的周长为10+2或5+4.
星级达标：
试题分析：本题考查的是二次根式的化简，将所给的二次根式化简后，被开方数是的符合要求.
详解：；；；.
符合要求，故选答案C.
试题分析：本题考查二次根式的运算，利用运算法则计算后，即可判断结果正误.
详解：选项A中，与不是同类二次根式，不能合并；
选项B,C,D计算正确，故运算错误的是A.
试题分析：三角形的周长等于三边之和，将表示三个边长的二次根式相加合并可得.
详解：.
故这个三角形的周长为.
4.试题分析：根据二次根式的加减法法则计算即可.
详解：（1）；
；
.
故答案应填：（1）；（2）；（3）.
5.试题分析： 先用去括号法则去掉括号，将非最简二次根式的二次根式化简，再把同类二次根式合并即可
详解：（1）；
；
；
试题分析：圆环的宽度等于大圆半径减去小圆半径，根据圆的面积公式分别算出大圆半径和小圆半径即可.
详解：由题意知3.14R2=763.02，3.14r2=150.72
∴R=，r=.
∴d=R-r=.
即圆环的宽度d 为.
试题分析：首先弄清楚新定义的运算法则，然后根据题意得出二次根式的算式，进而化简得出答案.
详解：∵a*b=，
∴(2*3)－(27*32)=．