2020-2021学年人教版八年级数学下册16.3第2课时二次根式的混合运算导学案（含详解）

16.3 二次根式的加减
第2课时 二次根式的混合运算

学习目标：
1.会熟练复述二次根式的混合运算的运算法则.
2.能熟练进行二次根式的混合运算.
学习重点：运用二次根式的混合运算法则进行有关的运算.
一、课前检测
二、温故知新
1.填空
(1)整式混合运算的顺序是： .
(2)写出已经学过的乘法公式：
① ； ② .
(3)m(+b+c)= ；(m+n)（+b)= ；(m+mb+mc)÷m= .
2.计算：
(1)··； (2) ； (3).
三、预习导航（预习教材第14页，标注出你认为重要的关键词）
1.算一算：若把字母,b,c,m都用二次根式代替(每个同学任选一组)，然后对比归纳，你们发现了什么？

2.要点归纳：二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样，体现在：运算律、运算顺序、乘法法则仍然适用.
四、自学自测
(1)()×； (2)；
(3) ； (4).
五、我的疑惑(反思)


要点探究
探究点1：二次根式的混合运算
试一试：你能完成下面的计算吗？
(1)； (2).
归纳：整式的运算法则和乘法公式中的字母意义非常广泛，可以是单项式、多项式，也可以代表二次根式，所以整式的运算法则和乘法公式适用于二次根式的运算.
即学即练 1.计算：
（1）（-）×； （2）（4+）（4-）； （3）（3-2）.


探究点2：求代数式的值
问题：已知试求x2+2xy+y2的值.
归纳:在求关于x,y的对称式(即交换任意两个字母的位置后，代数式不变)的值，一般先求x+y,xy,x-y, 等的值，然后将所求代数式适当变形，成为含有x+y,xy,x-y,等式子，再代入求值.
即学即练 2. 已知，求x3y+xy3.
二、精讲点拨
例1 计算：
（1）（-）-+-3； （2）（2020-）+-.
方法总结:有绝对值符号的，同括号一样，先去绝对值，注意去掉绝对值后，得到的数应该为正数.
例2 计算:（1）； （2）.
方法总结:分母形如的式子，分子、分母同乘以的式子，构成平方差公式，可以使分母中的根号化去.
三、变式训练
1.计算：
（3）（2-3）（2+3）； （4）（2-）（2+）-2×.
2.甲、乙两个城市间计划修建一条城际铁路， 其中有一段路基的横断面设计为上底宽4m，下底宽6m，高m的梯形，这段路基长 500 m，那么这段路基的土石方 (即路基的体积,其中路基的体积=路基横断面面积×路基的长度)为多少立方米呢？
四、课堂小结
二次根式的混合运算 内容
运算顺序 二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样，体现在：运算律、运算顺序、乘法法则仍然适用.(注意乘法公式的运用)
化简求值 先将代数式化简，再代入求值，结果要是最简形式.
★1.下列计算中正确的是( )


★2．计算
★3．设则 b(填“>”“ < ”或“= ”).
★★4．计算：




★★5. 在一个边长为cm的正方形内部，挖去一个边长为cm的正方形，求剩余部分的面积.

★★6.(1) 已知，求的值；
(2) 已知，求的值.
★★★7．阅读下列材料，然后回答问题：
在进行类似于二次根式的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简：
方法一：
方法二：
(1)请用两种不同的方法化简：
(2)化简：

我的反思(收获，不足)
分层作业 必做(教材 智慧学习 配套) 选做
参考答案：
温故知新
2.试题分析：根据二次根式的运算法则计算即可.
详解：(1)··=；
= ；
(3)=.
自学自测
试题分析：本题考查二次根式的加、减、乘、除混合运算，与整式运算一样，运算律、运算顺序、乘法法则仍然适用.
详解：(1)()×；
(2)=；
(3)= ；
(4).
要点探究
探究点1：试一试试题分析：在进行二次根式的混合运算时，注意运算顺序，整式的运算法则和乘法公式同样适用于二次根式的运算.
详解：(1)=
=； (2)=
=2.
即学即练 1.试题分析：利用二次根式的混合运算法则计算即可，（2）（3）题注意乘法公式的运用.
详解：（1）（-）×=；
（4+）（4-）=；
（3-2）=.


探究点2：试题分析：本题要求的式子是关于x,y的对称式，运用整体思想可简化运算.
详解：∵ ∴x+y=2.
∴x2+2xy+y2=（x+y）2==12.
即学即练 2. 详解：∵，
∴x+y=2，xy=1.
∴x3y+xy3=xy（x2+y2）=xy[(x+y)2-2xy]=1×[(2)2-2]=12-2=10.
精讲点拨
例1 试题分析：运用二次根式的混合运算法则计算化简即可，注意有绝对值符号的，同括号一样，先去绝对值符号，再参与运算.
详解：（1）（-）-+-3=； （2）（2020-）+-=1+.
例2 试题分析：本题中的两个小题分母中都含有根号，计算时需将分母中的根号化去，即进行分母有理化.
详解:（1）=；
（2）=.
变式训练
1.试题分析：结合整式的乘法公式，灵活运用二次根式的运算法则计算即可.
详解：；
原式=；
（3）（2-3）（2+3） =； （4）（2-）（2+）-2×=
=.
试题分析：路基的横断面是梯形，梯形的面积=（上底+下底）×高，路基的体积=路基横断面面积×路基的长度，将所给数据代入计算即可.
详解：这段路基所需的土石方数为

星级达标：
试题分析：根据二次根式的混合运算法则计算后即可做出选择.
详解：，选项A错误；
，故选项B正确；
，选项C错误；
，选项D错误.
故选答案B.
详解：.
故填答案为5.
试题分析：将a化简后得，再与b比较即可.
详解：因为，，
所以=b. 故应该填“= ”.
4．试题分析：利用二次根式的混合运算法则计算即可，（2）题需要进行分母有理化，（3）题注意乘法公式的运用.
详解：（1）；
（2）
=；
；
（4）
（5） 原式=.
5.试题分析： 剩余部分的面积等于大正方形面积减去小正方形面积，分别把边长代入正方形的面积公式计算即可，在计算时逆用平方差公式可使计算简便.
详解：
答：求剩余部分的面积为.
6.试题分析：（1）题可直接代入求解，也可化为（x-1）2-4再代入求解；（2）题要求的式子是关于x,y的对称式，运用整体思想可简化运算.
详解：（1）当时，
=；
(2) 因为，所以x+y=，xy=1.
所以=.
7.试题分析：（1）根据二次根式的乘法，将分子分解因式或将分子分母都乘以，即可得出答案；（2）根据分母有理化，可得实数的减法，根据实数的减法运算，可得答案．
详解：（1）方法一：；
方法二：.
(2)
=
=.