4.2.2 提公因式法（知识清单+经典例题+夯实基础+提优特训+中考链接）

21世纪教育网
–全国领先的中小学教育资源及组卷应用平台
北师大版2020﹣2021学年度下学期八年级数学下册第四章因式分解
4.2
提取公因式法
第2课时
变形后提取公因式法(2)
【知识清单】
1．变形后的公因式：通过学习可以知道公因式可以是数，可以是单项式，也可以说是多项式；当多项式中的各项的公因式是一个多项式时，我们可以将作为公因式的多项式看作一个整体提出来，进行因式分解；
2．合并化简：有的多项式因式提取公因式后有同类项，这需要进行合并化简，直至不能分解为止；
3．(1)添括号法则：括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变号；括号前面是“?”号，括到括号里的各项都变号.
(2)在等式右边的括号前填上“+”或
“?”：
①x?y=
(y?x)
；
②(a?b)(a?c)=
(b?a)(c?a)
；
③(a?b)2=
(b?a)2；
④(a?b)3=
(b?a)3；
⑤(a?b)2n=
(b?a)2n(n是正整数)；
⑥(a?b)2n+1=
(b?a)2n+1(n是正整数).
【经典例题】
例题1、分解因式下列各式：
(1)x(m?x)(m?y)?m(x?m)(y?m)；
(2)(a2?ab)+c(a?b).
【考点】因式分解的方法：提公因式法．?
【分析】(1)确定(x?m)(y?m)是各项的公因式，然后提取(x?m)(y?m)整理化简即可；(2)由(a2?ab)可以提取a，可以得到各项的公因式为(a?b)，进而提取(a?b)然后整理化简即可．
【解答】(1)
x(m?x)(m?y)?m(x?m)(y?m)
=
x(x?m)(y?m)?m(x?m)(y?m)
=(
x?m)2(y?m)
；
(2)
(a2?ab)+c(a?b)
=a(a?b)+c(a?b)
=(a?b)(a+c)．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键．
例题2、已知p?q=，则(p?q)(3p?4q)+(q?p)(3q?4p)=
.
【考点】因式分解的应用．
【分析】考查了对一个多项式因式分解的能力．通过提取，合并化简，再利用p?q=，求值.
【解答】解：原式=(p?q)(3p?4q)?
(p?q)
(3q?4p)
=(p?q)[(3p?4q)?
(3q?4p)]
=(p?q)
(
3p?4q?
3q+4p)
=(p?q)
(
7p?7q)
=7(p?q)2
当p?q=时，
7(p?q)2=7()2=21.
【点评】本题主要考查公因式的确定，整体提取和整体代入是解决问题的关键．
【夯实基础】
1．下列各式中，从左到右变形不正确的是(
)
A．x?y=
?(
y?x)
B．(x?y)2=+(
y?x)2
C．(x?y)3=
?(?x+y)3
D．(x?y)2=
?(
y?x)2
2．下列各组多项式中，没有公因式的是(
)
A．5a(x?y)和y?x
B．(x+y)2和?x?y
C．
x2+y2和x2?y2
D．?x2+xy和x2y?xy2
3．利用因式分解简便计算38×3.14+63×3.14?3.14，提公因式正确的是(
)
A．38×3.14+63×3.14?3.14=3.14×(38+63)
B．38×3.14+63×3.14?3.14=3.14×(38+63?1)
C．38×3.14+63×3.14?3.14=3.14×(38+63+1)
D．38×3.14+63×3.14?3.14=3.14×(57+44?3.14)
4．多项式(x+3)(3x?2)?(
x+3)可以分解为3(x?m)(x?n)，则m?n的值是(
)
A．4
B．?4
C．4或?4
D．2或?2
5．分解因式6a(a?b)2?8a(a?b)3时应提取的公因式是
.
6．(1)分解因式a(a?b?c)+b(c?a+b)+c(b
+
c?a)的结果为
.
(2)a2b
(x?y)n+ab2(x?y)n+1=ab(x?y)n(
)．
7．分解因式：
(1)
(a+2b)(a?b)
–2(2b+a)；
(2)
(5a?4b)(5a?7b)?(4a+3b)(7b?5a)；
(3)
a(a?2b)3?3c(2b?a)2+(2b?a)2；
(4)
3(2a?3)2?3+2a.
8．因式分解：(1)
(3x?2y)(x+y)?3x2；
(2)
(7a+3b)2?7a2?3ab.
9．
(1)
已知：x?y=3，xy=?0.5，利用因式分解求x(x?y)(x+y)?x(x?y)2的值；
(2)已知a2?a?1=0，求a3?a2
+2021a2?2022a的值.
【提优特训】
10．若a，b互为相反数，x?2y=2021，则a(x?2y)?b(2y?x)的值为(
)
A．0
B．?1
C．2021
D．?2021
11．(x+y?z)(x?y+z)与(y+z?x)(
z
?x?y)的公因式是(
)
A．x?y+z
B．z?x?y
C．y+z?x
D．x+y?z
12．m?n=?1，则(m?n)2?3m+3n的值是(
)
A．0
B．3
C．4
D．
?2
13．已知△ABC的三边分别为a，b，c，且a2+2ab=ac+2bc，则△ABC是(
)
A．等边三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．
等腰直角三角形
14．若a?5b=7，4a+3b=5，则4a(a?5b)?3b(5b?a)=
.
15．一次函数y=2x?7的图象经过点P(a，b)和Q(c，d)，则2a(2c?d)?2b(2c?d)的值为
.
16．已知x+y=?1，x2+y2?3xy=31，则x3y+xy3的值为
．
17．阅读下面的解题过程，然后再解答问题．
分解因式：am+an+bm+bn.
解：原式=(am+an)+(bm+bn)
=a(m+n)+b(m+n)
=(m+n)(a+b)．
依照上面的方法，解答下列问题:
(1)
已知a?b=?3，b+c=4，求多项式bc?ac+b2?ab的值；
(2)
分解因式：(x?2y)2+2x(x+3y)
+2x(3ax?y)
+8ay2.
18．根据数学事实“若整式m(x)是多项式A(x)与B(x)的公因式，则m(x)是A(x)±B(x)的公因式”已知x2+px+q(p，q为整数)是6x4+23x2?13及3(2x4+5x2+8x+9)的公因式，求p，q的值．
【中考链接】
19．(2020年?山东聊城)因式分解：x(x?2)?x+2=
．
20．(2020年?山东济南)
分解因式：2a2?ab=　
　．
21．(2020年?山东威海)方程4x(x?2)=(x?2)的解是
．
参考答案
1、D
2、C
3、B
4、C
5、2a(a?b)2
6、
(1)(a?b?c)2
(2)a+bx?by
10、A
11、D
12、C
13、B
14、35
15、49
16、?78
19、(x?2)
(x?1)
20、
a(2a?b)
21、x=2或x=
7．分解因式：
(1)
(a+2b)(a?b)
–2(2b+a)；
(2)
(5a?4b)(5a?7b)?(4a+3b)(7b?5a)；
(3)
a(a?2b)3?3c(2b?a)2+(2b?a)2；
(4)
3(2a?3)2?3+2a.
解：(1)原式=(a+2b)(a?b)
–2(a+2b)
=(a+2b)(a?b?2)；
(2)原式=(5a?4b)(5a?7b)+(4a+3b)(5a?4b)
=(5a?4b)[(5a?4b)+
(4a+3b)]
=(5a?4b)(5a?4b+4a+3b)
=(5a?4b)(9a?b)；
(3)原式=
a(a?2b)3?3c(a?2b)2+(
a?2b)2
=(a?2b)2[a(a?2b)
+3c+1]
=(a?2b)2(a2?2ab
+3c+1)；
(4)原式=
3(2a?3)2+(2a?3)
=(2a?3)
[3(2a?3)+1]
=(2a?3)(6a?9+1)
=(2a?3)(6a?8)
=2(2a?3)(3a?4).
8．因式分解：(1)
(3x?2y)(x+y)?3x2；
(2)
(7a+3b)2?7a2?3ab.
解：(1)原式=3x2?2xy+3xy?2y2?3x2
=xy?2y2
=y(x?2y)；
(2)原式=(7a+3b)2?(7a2+3ab)
=(7a+3b)2?a(7a+3b)
=(7a+3b)
(7a+3b?a)
=
(7a+3b)
(6a+3b)
=3
(7a+3b)
(2a+b)
.
9．
(1)
已知：x?y=3，xy=?0.5，利用因式分解求x(x?y)(x+y)?x(x?y)2的值；
解：x(x?y)(x+y)?x(y?x)2
=x(x?y)(x+y)?x(x?y)2
=x(x?y)[(x+y)?
(x?y)]
=x(x?y)(?2y)
=?2xy(x?y)，
∵x+y=3，xy=?0.5，
∴?2xy(x?y)=?2×(?0.5)×3=3；
(2)已知a2?a?1=0，求a3?a2
+2021a2?2022a的值.
解：∵a2?a?1=0，
∴a2?a=1，
∴a3?a2
+2021a2?2022a
=
a3?a2
?a+2021a2?2021a
=a(a2?a?1)+2021(a2?a)
=0+2021×1=2021.
17．阅读下面的解题过程，然后再解答问题．
分解因式：am+an+bm+bn.
解：原式=(am+an)+(bm+bn)
=a(m+n)+b(m+n)
=(m+n)(a+b)．
依照上面的方法，解答下列问题:
(1)
已知a?b=?3，b+c=4，求多项式bc?ac+b2?ab的值；
解：原式=(bc?ac)+(b2?ab)
=
c(b?a)
+b(b?a)
=(
b?a)(b+c)
∵a?b=?3，b+c=4，
∴(
b?a)(b+c)=3×4=12.
(2)
分解因式：(x?2y)2+2x(x+3y)
+2x(3ax?y)
+8ay2.
解：原式=x2?4xy+4y2+2x2+6xy+6ax2?2xy+8ay2
=3x2+4y2+6ax2+8ay2
=(3x2+4y2)+(
6ax2+8ay2)
=(3x2+4y2)+2a(3x2+4y2)
=(3x2+4y2)(2a+1).
18．根据数学事实“若整式m(x)是多项式A(x)与B(x)的公因式，则m(x)是A(x)±B(x)的公因式”已知x2+px+q(p，q为整数)是6x4+23x2?13及3(2x4+5x2+8x+9)的公因式，求p，q的值．
解：∵x2+px+q
(p，q为整数)是6x4+23x2?13及3(2x4+5x2+8x+9)的公因式，
∴x2+px+q是6x4+23x2?13?3(2x4+5x2+8x+9)的公因式，
∴6x4+23x2?13?3(2x4+5x2+8x+9)
=
6x4+23x2?12?6x4?15x2?24x?27
=8
x2?24x?40
=8(x2?3x?5)
∴x2+px+q=
x2?3x?5
∴p=
?3，c=
?5.
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)