2021年人教版八年级下册：18.2《特殊的平行四边形》同步练习（Word版含解析）

2021年人教版八年级下册：18.2《特殊的平行四边形》同步练习
一．选择题
1．关于菱形，下列说法错误的是（　　）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．四条边相等 D．对角线相等
2．矩形不具有的性质是（　　）
A．四条边相等 B．对角线互相平分
C．对角相等 D．对角线相等
3．如图，已知△ABC中，AD是BC边上的中线，则下列结论不一定正确的是（　　）
A． B．BD＝CD C． D．
4．如图，菱形ABCD中，∠A＝50°，则∠ADB的度数为（　　）
A．65° B．55° C．45° D．25°
5．平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于点O，添加一个条件不能使平行四边形ABCD变为矩形的是（　　）
A．OD＝OC B．∠DAB＝90° C．∠ODA＝∠OAD D．AC⊥BD
6．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是（　　）
A．∠ABC＝90° B．AB＝BD C．AC⊥BD D．AC＝BD
7．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，M、N分别为BC、OC的中点，AB＝6，∠ACB＝30°则MN的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为3cm，点B，D之间的距离为4cm，则线段AB的长为（　　）
A．2.5cm B．3cm C．3.5cm D．4cm
9．如图，在平面直角坐标系xOy，四边形OABC为正方形，若点B（1，3），则点C的坐标为（　　）
A．（﹣1，2） B．（﹣1，） C．（﹣，2） D．（﹣1，）
10．如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝5，则四边形EFGH的面积是（　　）
A．30 B．34 C．36 D．40
二．填空题
11．菱形有一个内角为120°，较长的对角线长为6，则它的面积为　 　．
12．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ACB＝30°，BD＝4，则矩形ABCD的面积是　 　．
13．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为BC中点，AC＝6，BD＝8，则线段OH的长为　 　．
14．将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为（2，3），则点F的坐标为　 　．
15．如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点E，F分别在CD，BC上移动，CF＝DE，AE和DF交于点P，则线段CP的最小值是　 　．
三．解答题
16．如图，已知四边形ABCD是矩形，点E在对角线AC上，点F在边CD上（点F与点C、D不重合），BE⊥EF，且∠ABE+∠CEF＝45°．求证：四边形ABCD是正方形．
17．如图，四边形ABCD为矩形，G是对角线BD的中点．连接GC并延长至F，使CF＝GC，以DC、CF为邻边作?DCFE，连接CE．
（1）若四边形DCFE是菱形，判断四边形CEDG的形状，并证明你的结论．
（2）在（1）条件下，连接DF，若BC＝，求DF的长．
18．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E是AD边的中点，过点A作AF∥CB交CE的延长线于点F，连接BF．
（1）求证：AF＝BD；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形BDAF为矩形，并说明理由．
19．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作平行四边形ABDE，连接AD，EC．
（1）求证：∠1＝∠2；
（2）求证：△ADC≌△ECD；
（3）当点D在什么位置时，四边形ADCE是矩形，请说明理由．
20．如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，EF⊥AD于点F，DG⊥AE于点G，DG与EF交于点O．
（1）求证：四边形ABEF是正方形；
（2）若AD＝AE，求证：AB＝AG；
（3）在（2）的条件下，已知AB＝1，求OD的长．
参考答案
一．选择题
1．解：∵菱形的性质有四边相等，对角线互相垂直平分，
∴对角线相等不是菱形的性质，
选：D．
2．解：∵矩形的性质有：四个角都是直角，对角线互相平分且相等，对边平行且相等，
∴矩形不具有的性质是四条边相等，
选：A．
3．解：如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，则BD＝CD＝BC，选项A、B、D不符合题意．
若∠BAC＝90°时，AD＝BC才成立，否则不成立．选项C符合题意．
选：C．
4．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，∠ADB＝∠CDB，
∴∠A+∠ADC＝180°，
∵∠A＝50°，
∴∠ADC＝130°，
∴∠ADB＝×130°＝65°，
选：A．
5．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
A、OD＝OC时，AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，选项A不符合题意；
B、四边形ABCD是平行四边形，∠DAB＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，选项B不符合题意；
C、∵∠ODA＝∠OAD，
∴OA＝OD，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，选项C不符合题意；
D、四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，选项D符合题意；
选：D．
6．解：添加一个条件为AC⊥BD，理由如下：
∵四边形ABCD中，对角线AC、BD互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形．
选：C．
7．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝CO＝BO＝DO，∠ABC＝90°，
∵∠ACB＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∴△ABO是等边三角形，
∴BO＝AB＝6，
∵M、N分别为BC、OC的中点，
∴MN＝BO＝3，
选：A．
8．解：如图，过A作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，连接AC，BD交于点O，
由题意知，AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵两张纸条等宽，
∴AR＝AS．
∵AR?BC＝AS?CD，
∴BC＝CD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD．OA＝OC＝AC＝（cm），OB＝OD＝BD＝2（cm），
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB＝＝＝2.5（cm），
选：A．
9．解：作CD⊥x轴于D，作BE⊥CD于E，交y轴于F，如图，
∵B（1，3），
∴DE＝3，BF＝1，
设C（m，n），则OD＝EF＝﹣m，CD＝n，
∵四边形ABCO为正方形，
∴∠BCO＝90°，CB＝CO，
∵∠BCE+∠OCD＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠OCD＝∠CBE，
在△OCD和△CBE中
，
∴△OCD≌△CBE（AAS），
∴CD＝BE，OD＝CE，
即n＝1﹣m，﹣m＝3﹣n，
∴m＝﹣1，n＝2，
∴C点坐标为（﹣1，2）．
选：A．
10．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA，
∵AE＝BF＝CG＝DH，
∴AH＝BE＝CF＝DG．
在△AEH、△BFE、△CGF和△DHG中，
，
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS），
∴EH＝FE＝GF＝GH，∠AEH＝∠BFE，
∴四边形EFGH是菱形，
∵∠BEF+∠BFE＝90°，
∴∠BEF+∠AEH＝90°，
∴∠HEF＝90°，
∴四边形EFGH是正方形，
∵AB＝BC＝CD＝DA＝8，AE＝BF＝CG＝DH＝5，
∴EH＝FE＝GF＝GH＝＝，
∴四边形EFGH的面积是：×＝34，
选：B．
二．填空题
11．解：∵菱形ABCD中，∠BAD＝120°，
∴∠BAC＝∠BAD＝60°，AC⊥BD，
∴∠ABO＝30°，
∵BD＝6，
∴BO＝3，
设AO＝x，则AB＝2x，
x2+（3）2＝（2x）2，
解得：x＝3，
∴AO＝3，
∴AC＝6，
∴菱形的面积＝6×6÷2＝18．
答案为：18．
12．解：∵四边形ABCD是矩形，BD＝4，
∴AC＝BD＝4，∠ABC＝90°，
∵∠ACB＝30°，
∴AB＝2，BC＝＝＝2，
∴矩形ABCD的面积是：2×2＝4，
答案为：4．
13．解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，OB＝OD＝BD＝4，OC＝OA＝AC＝3，
在Rt△BOC中，BC＝＝＝5，
∵H为BC中点，
∴OH＝BC＝2.5．
答案为：2.5．
14．解：把EO绕E点顺时针（或逆时针）旋转90°得到对应点为F（或F′），如图，
则F点的坐标为（5，1）（或F′的坐标为（﹣1，5）．
答案为（5，1）或（﹣1，5）．
15．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADC＝∠C＝90°．
在△ADE和△DCF中，
，
∴△ADE≌△DCF（SAS）．
∴AE＝DF，∠DAE＝∠CDF，
∵∠CDF+∠ADF＝90°，
∴∠DAE+∠ADF＝90°．
∴AE⊥DF，
∴点P的路径是一段以AD为直径的弧，
如图，
设AD的中点为Q，连接QC交弧于点P，此时CP的长度最小，
在Rt△QDC中，QC＝＝＝2，
∴CP＝QC﹣QP＝2﹣2，
答案为2﹣2．
三．解答题
16．证明：如图，作EM⊥BC于点M，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB⊥BC，
∴EM∥AB，
∴∠ABE＝∠BEM，∠BAC＝∠CEM，
∵∠ABE+∠CEF＝45°，
∴∠BEM+∠CEF＝45°，
∵BE⊥EF，
∴∠CEM＝45°＝∠BAC，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，
∴AB＝BC，
∴矩形ABCD是正方形．
17．解：（1）四边形CEDG是菱形，理由如下：
∵四边形ABCD为矩形，G是对角线BD的中点，
∴GB＝GC＝GD，
∵CF＝GC，
∴GB＝GC＝GD＝CF，
∵四边形DCFE是菱形，
∴CD＝CF＝DE，DE∥CG，
∴DE＝GC，
∴四边形CEDG是平行四边形，
∵GD＝GC，
∴四边形CEDG是菱形；
（2）如图所示：
∵CD＝CF，GB＝GD＝GC＝CF，
∴△CDG是等边三角形，
∴CD＝BG，GCD＝∠DGC＝60°，
∴∠DCF＝∠BGC＝120°，
∴△BGC≌△DCF（SAS），
∴DF＝BC＝．
18．（1）证明：∵点D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∵点E是AD边的中点，
∴AE＝DE，
∵AF∥CD，
∴∠AFE＝∠DCE，
∵∠AEF＝∠DEC，
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF＝CD，
∴AF＝BD；
（2）解：△ABC满足：AB＝AC时，四边形BDAF为矩形，
理由如下：
∵AB＝AC，BD＝BD，
∴∠ADB＝90°，
由（1）知四边形BDAF为平行四边形，
∴?BDAF为矩形．
19．（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠2，
又∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AB∥DE，
∴∠B＝∠1，
∴∠1＝∠2；
（2）证明：∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AB＝ED，
∵AB＝AC，
∴AC＝ED，
在△ADC和△ECD中，
，
∴△ADC≌△ECD（SAS）；
（3）解：点D在BC的中点上时，四边形ADCE是矩形，理由如下：
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AE＝BD，AE∥BC，
∵D为边长BC的中点，
∴BD＝CD，
∴AE＝CD，AE∥CD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵△ADC≌△ECD，
∴AC＝DE，
∴四边形ADCE是矩形．
20．（1）证明：∵矩形ABCD，
∴∠BAF＝∠ABE＝90°，
∵EF⊥AD，
∴四边形ABEF是矩形，
∵AE平分∠BAD，
∴EF＝EB，
∴四边形ABEF是正方形；
（2）∵AE平分∠BAD，
∴∠DAG＝∠BAE，
在△AGD和△ABE中，，
∴△AGD≌△ABE（AAS），
∴AB＝AG；
（3）∵四边形ABEF是正方形，
∴AB＝AF＝1，
∵△AGD≌△ABE，
∴DG＝AB＝AF＝AG＝1，
∵AD＝AE，
∴AD﹣AF＝AE﹣AG，
即DF＝EG，
在△DFO和△EGO中，，
∴△DFO≌△EGO（AAS），
∴FO＝GO，FD＝EG
∵∠DAE＝∠AEF＝45°，∠AFE＝∠AGD＝90°，
∴DF＝FO＝OG＝EG，
∴DO＝OF＝OG，
∴DG＝DO+OG＝OG+OG＝1，
∴OG＝＝﹣1，
∴OD＝（﹣1）＝2﹣．