第2课时 等比数列前n项和的性质及应用
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1.掌握等比数列前n项和的性质的应用．(重点)2.掌握等差数列与等比数列的综合应用．(重点)3.能用分组转化方法求数列的和．(重点、易错点)
1.通过学习等比数列前n项和公式的函数特征，体现逻辑推理素养．2.借助等比数列前n项和性质的应用及分组求和，培养学生的数学运算素养．
1．等比数列前n项和的变式
当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是Sn＝，它可以变形为Sn＝－·qn＋，设A＝，上式可写成Sn＝－Aqn＋A．由此可见，非常数列的等比数列的前n项和Sn是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数．当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1是n的正比例函数(常数项为0的一次函数).
思考：在数列{an}中，an＋1＝can(c为非零常数)且前n项和Sn＝3n－1＋k，则实数k的取值是什么？
[提示] 由题{an}是等比数列，
∴3n的系数与常数项互为相反数，
而3n的系数为，∴k＝－.
2．等比数列前n项和的性质
性质一：若Sn表示数列{an}的前n项和，且Sn＝Aqn－A(Aq≠0，q≠±1)，则数列{an}是等比数列．
性质二：若数列{an}是公比为q的等比数列，则
①在等比数列中，若项数为2n(n∈N
)，则＝q．
②Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列．
思考：在等比数列{an}中，若a1＋a2＝20，a3＋a4＝40，如何求S6的值？
[提示] S2＝20，S4－S2＝40，∴S6－S4＝80，∴S6＝S4＋80＝S2＋40＋80＝140.
1．设数列{an}是首项为1，公比为－2的等比数列，则a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝
．
15 [法一：a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝1＋|1×(－2)|＋1×(－2)2＋|1×(－2)3|＝15.
法二：因为a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|，数列{|an|}是首项为1，公比为2的等比数列，故所求代数式的值为＝15.]
2．已知数列{an}为等比数列，且前n项和S3＝3，S6＝27，则公比q＝
．
2 [q3＝＝＝8，所以q＝2.]
3．若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式是an＝
．
(－2)n－1 [当n＝1时，S1＝a1＋，所以a1＝1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an＋－
＝(an－an－1)，所以an＝－2an－1，即＝－2，
所以{an}是以1为首项的等比数列，其公比为－2，所以an＝1×(－2)n－1，即an＝(－2)n－1.]
4．若等比数列{an}的公比为，且a1＋a3＋…＋a99＝60，则{an}的前100项和为
．
80 [令X＝a1＋a3＋…＋a99＝60，Y＝a2＋a4＋…＋a100，
则S100＝X＋Y，由等比数列前n项和性质知：＝q＝，
所以Y＝20，即S100＝X＋Y＝80.]
等比数列前n项和公式的函数特征应用
【例1】 已知数列{an}的前n项和Sn＝an－1(a是不为零且不等于1的常数)，则数列{an}( )
A．一定是等差数列
B．一定是等比数列
C．是等差数列或等比数列
D．既非等差数列，也非等比数列
B [当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝(a－1)·an－1；
当n＝1时，a1＝a－1，满足上式．
∴an＝(a－1)·an－1，n∈N
.
∴＝a，∴数列{an}是等比数列．]
1．已知Sn通过an＝求通项an，应特别注意n≥2时，an＝Sn－Sn－1.
2．若数列{an}的前n项和Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1，则{an}是等比数列．
1．若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n－1＋t，则t＝
．
－ [显然q≠1，
此时应有Sn＝A(qn－1)，
又Sn＝·3n＋t，∴t＝－.]
等比数列前n项和性质的应用
[探究问题]
1．在等差数列中，我们知道Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍组成等差数列．在等比数列{an}中，若连续m项的和不等于0，那么Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍组成等比数列吗？为什么？
[提示] Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍组成等比数列．
∵在等比数列{an}中有am＋n＝amqn，
∴Sm＝a1＋a2＋…＋am，
S2m－Sm＝am＋1＋am＋2＋…＋a2m＝a1qm＋a2qm＋…＋amqm＝(a1＋a2＋…＋am)·qm＝Sm·qm.
同理S3m－S2m＝Sm·q2m，…，
在Sm≠0时，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍组成等比数列．
2．若数列{an}为项数为偶数的等比数列，且S奇＝a1＋a3＋a5＋…，S偶＝a2＋a4＋a6＋…，那么等于何值？
[提示] 由等比数列的通项公式可知＝＝q.
【例2】 (1)等比数列{an}的前n项和为Sn，S2＝7，S6＝91，则S4为( )
A．28 B．32 C．21 D．28或－21
(2)等比数列{an}中，公比q＝3，S80＝32，则a2＋a4＋a6＋…＋a80＝
．
思路探究：(1)由S2，S4－S2，S6－S4成等比数列求解．
(2)利用
＝q，及S2n＝S奇＋S偶求解．
(1)A (2)24 [(1)∵{an}为等比数列，
∴S2，S4－S2，S6－S4也为等比数列，
即7，S4－7，91－S4成等比数列，
∴(S4－7)2＝7(91－S4)，解得S4＝28或S4＝－21.
∵S4＝a1＋a2＋a3＋a4
＝a1＋a2＋a1q2＋a2q2
＝(a1＋a2)(1＋q2)＝S2(1＋q2)>S2，
∴S4＝28.
(2)设S1＝a2＋a4＋a6＋…＋a80，
S2＝a1＋a3＋a5＋…＋a79.则＝q＝3，即S1＝3S2.
又S1＋S2＝S80＝32，∴S1＝32，解得S1＝24.
即a2＋a4＋a6＋…＋a80＝24.]
1．(变条件)将例题(1)中的条件“S2＝7，S6＝91”改为“正数等比数列中Sn＝2，S3n＝14”求S4n的值．
[解] 设S2n＝x，S4n＝y，则2，x－2，14－x，y－14成等比数列，
所以
所以或(舍去)，所以S4n＝30.
2．(变条件，变结论)将例题(2)中的条件“q＝3，S80＝32”变为“项数为偶数的等比数列，它的偶数项之和是奇数项之和的，又它的首项为，且中间两项的和为”求此等比数列的项数．
[解] 设等比数列为{an}，项数为2n，一个项数为2n的等比数列中，＝q.
则q＝，
又an和an＋1为中间两项，则an＋an＋1＝，即a1qn－1＋a1qn＝，
又a1＝，q＝，
∴·＋·＝?··＝?n＝6.
∴项数为2n＝12.
则此等比数列的项数为12.
1．在涉及奇数项和S奇与偶数项和S偶时，常考虑其差或比进行简化运算．若项数为2n，则＝q(S奇≠0)；若项数为2n＋1，则＝q(S偶≠0).
2．等比数列前n项和为Sn(且Sn≠0)，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn(q≠－1).
分组求和法
【例3】 已知数列{an}构成一个新数列：a1，(a2－a1)，…，(an－an－1)，…此数列是首项为1，公比为的等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
思路探究：通过观察，不难发现，新数列的前n项和恰为an，这样即可将问题转化为首项为1，公比为的等比数
列的前n项和，数列{an}的通项公式求出后，计算其前n项和Sn就容易多了．
[解] (1)an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝1＋＋＋…＋＝.
(2)Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an
＝＋＋…＋
＝n－＝(2n－1)＋.
分组转化求和法的应用条件和解题步骤
(1)应用条件
一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列的通项公式相加组成．
(2)解题步骤
2．求数列2，4，6，…，2n＋，…的前n项和Sn.
[解] Sn＝2＋4＋6＋…＋
＝(2＋4＋6＋…＋2n)＋
＝＋
＝n(n＋1)＋－.
1．在利用等比数列前n项和公式时，一定要对公比q＝1或q≠1作出判断；若{an}是等比数列，且an>0，则{lg
an}构成等差数列．
2．等比数列前n项和中用到的数学思想
(1)分类讨论思想：
①利用等比数列前n项和公式时要分公比q＝1和q≠1两种情况讨论；②研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a1>0，q>1或a1<0，01或a1>0，0(2)函数思想：等比数列的通项an＝a1qn－1＝·qn(q>0且q≠1)常和指数函数相联系；等比数列前n项和Sn＝(qn－1)(q≠1).设A＝，则Sn＝A(qn－1)与指数函数相联系．
(3)整体思想：应用等比数列前n项和公式时，常把qn，当成整体求解．
1．判断正误
(1)等比数列{an}共2n项，其中奇数项的和为240，偶数项的和为120，则该等比数列的公比q＝2.
( )
(2)已知等比数列{an}的前n项和Sn＝a·3n－1－1，则a＝1.
( )
(3)若数列{an}为等比数列，则a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6也成等比数列．
( )
(4)若Sn为等比数列的前n项和，则S3，S6，S9成等比数列．
( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
[提示] (1)＝q＝＝；(2)由等比数列前n项和的特点知a＝1得a＝3；(4)由S3，S6－S3，S9－S6成等比数列知(4)错误．
2．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5＝( )
A．3∶4
B．2∶3
C．1∶2
D．1∶3
A [在等比数列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10，…成等比数列，因为S10∶S5＝1∶2，所以S5＝2S10，S15＝S5，得S15∶S5＝3∶4，故选A.]
3．记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an＋1，则S6＝
．
－63 [法一：因为Sn＝2an＋1，所以当n＝1时，a1＝2a1＋1，解得a1＝－1；
当n＝2时，a1＋a2＝2a2＋1，解得a2＝－2；
当n＝3时，a1＋a2＋a3＝2a3＋1，解得a3＝－4；
当n＝4时，a1＋a2＋a3＋a4＝2a4＋1，解得a4＝－8；
当n＝5时，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝2a5＋1，解得a5＝－16；
当n＝6时，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝2a6＋1，解得a6＝－32.
所以S6＝－1－2－4－8－16－32＝－63.
法二：因为Sn＝2an＋1，所以当n＝1时，a1＝2a1＋1，解得a1＝－1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－(2an－1＋1)，所以an＝2an－1，所以数列{an}是以－1为首项，2为公比的等比数列，所以an＝－2n－1，所以S6＝＝－63.]
4．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S4＝2，S8＝6，求a17＋a18＋a19＋a20的值．
[解] 由等比数列前n项和的性质，可知S4，S8－S4，S12－S8，…，S4n－S4n－4，…成等比数列．
由题意可知上面数列的首项为S4＝2，公比为＝2，
故S4n－S4n－4＝2n(n≥2)，
所以a17＋a18＋a19＋a20＝S20－S16＝25＝32.
PAGE2.5 等比数列的前n项和
第1课时 等比数列的前n项和
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1.掌握等比数列的前n项和公式及其应用．(重点)2.会用错位相减法求数列的和．(重点)3.能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题．
1.通过等比数列前n项和的实际应用，培养数学建模素养．2.借助等比数列基本量的计算及错位相减法的应用，培养数学运算素养．
1．等比数列前n项和公式
思考：类比等差数列前n项和是关于n的二次型函数，如何从函数的角度理解等比数列前n项和Sn?
[提示] 可把等比数列前n项和Sn理解为关于n的指数型函数．
2．错位相减法
(1)推导等比数列前n项和的方法
一般地，等比数列{an}的前n项和可写为：
Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，
①
用公比q乘①的两边，可得
qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn，
②
由①－②，得(1－q)Sn＝a1－a1qn，
整理得Sn＝(q≠1).
(2)我们把上述方法叫错位相减法，一般适用于数列{an·bn}前n项和的求解，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列，且q≠1.
思考：等比数列的前n项和公式的推导还有其他的方法吗？
[提示] 根据等比数列的定义，有：＝＝＝…＝＝q，
再由合比定理，
则得＝q，
即＝q，进而可求Sn.
1．等比数列1，x，x2，x3，…(x≠0)的前n项和Sn为( )
A．
B．
C.
D．
C [当x＝1时，数列为常数列，又a1＝1，所以Sn＝n.
当x≠1时，q＝x，Sn＝＝.]
2．等比数列{an}中，a1＝1，q＝2，则S5＝
．
31 [S5＝＝＝31.]
3．等比数列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，则a1的值为
．
4 [由S5＝＝44，解得a1＝4.]
4．某厂去年产值为a，计划在5年内每年比上一年的产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为
．
11(1.15－1)a [去年产值为a，从今年起5年内各年的产值分别为1.1a，1.12a，1.13a，1.14a，1.15a.所以1.1a＋1.12a＋1.13a＋1.14a＋1.15a＝a·＝11(1.15－1)a.]
等比数列基本量的运算
【例1】 在等比数列{an}中，
(1)S2＝30，S3＝155，求Sn；
(2)a1＝8，an＝，Sn＝，求n；
(3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求q.
[解] (1)由题意知
解得或
从而Sn＝×5n＋1－或
Sn＝.
(2)显然q≠1，由Sn＝，即＝，
∴q＝.又an＝a1qn－1，即8×＝，∴n＝6.
(3)因为a2an－1＝a1an＝128，
所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的两根．
从而或
又Sn＝＝126，所以q为2或.
1．在等比数列
{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，已知其中的三个量，通过列方程组，就能求出另外两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．
2．在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．
1．在等比数列{an}中．
(1)若a1＝，an＝16，Sn＝11，求n和q；
(2)已知S4＝1，S8＝17，求an.
[解] (1)由Sn＝得11＝，∴q＝－2，
又由an＝a1qn－1得16＝(－2)n－1，
∴n＝5.
(2)若q＝1，则S8＝2S4，不合题意，
∴q≠1，
∴S4＝＝1，
S8＝＝17，
两式相除得＝17＝1＋q4，
∴q＝2或q＝－2，
∴a1＝或a1＝－，
∴an＝·2n－1或－·(－2)n－1.
等比数列前n项和公式的实际应用
【例2】 借贷10
000元，以月利率为1%，每月以复利计息借贷，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元？(1.016≈1.061，1.015≈1.051)
思路探究：解决等额还贷问题关键要明白以下两点：
(1)所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为S＝P(1＋r)n，其中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和．
(2)从还贷之月起，每月还贷金额是构成等比数列还是等差数列，首项是什么，公比或公差是多少．
[解] 法一：设每个月还贷a元，第1个月后欠款为a0元，以后第n个月还贷a元后，还剩下欠款an元(1≤n≤6)，
则a0＝10
000，a1＝1.01a0－a，
a2＝1.01a1－a＝1.012a0－(1＋1.01)a，
…
a6＝1.01a5－a＝…＝1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.015]a.
由题意，可知a6＝0，
即1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.015]a＝0，
a＝.
∵1.016≈1.061，∴a＝≈1
739.
故每月应支付1
739元．
法二：一方面，借款10
000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为
S1＝104(1＋0.01)6
＝104×(1.01)6(元).
另一方面，设每个月还贷a元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为
S2＝a(1＋0.01)5＋a(1＋0.01)4＋…＋a
＝＝a[1.016－1]×102(元).
由S1＝S2，得a＝.
以下解法同法一，得a≈1
739，故每月应支付1
739元．
解数列应用题的具体方法步骤
(1)认真审题，准确理解题意，达到如下要求：
①明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列问题还是等比数列问题，还是含有递推关系的数列问题？是求an，还是求Sn？特别要注意准确弄清项数是多少．
②弄清题目中主要的已知事项．
(2)抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达．
(3)将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，列出满足题意的数学关系式．
2．一个热气球在第一分钟上升了25
m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.
这个热气球上升的高度能超过125
m吗？
[解] 用an表示热气球在第n分钟上升的高度，
由题意，得an＋1＝an，
因此，数列{an}是首项a1＝25，公比q＝的等比数列．
热气球在前n分钟内上升的总高度为Sn＝a1＋a2＋…＋an＝＝＝125×[1－()n]
<125.
故这个热气球上升的高度不可能超过125
m．
错位相减法求和
[探究问题]
1．对于S64＝1＋2＋4＋8＋…＋262＋263，用2乘以等式的两边可得2S64＝2＋4＋8＋…＋262＋263＋264，对这两个式子作怎样的运算能解出S64?
[提示] 比较两式易知，两式相减能消去同类项，解出S64，即S64＝＝264－1.
2．由项数相等的等差数列{n}与等比数列{2n}相应项的积构成新的数列{n·2n}是等比数列吗？是等差数列吗？该数列的前n项和Sn的表达式是什么？
[提示] 由等差数列及等比数列的定义可知数列{n·2n}既不是等差数列，也不是等比数列．该数列的前n项和Sn的表达式为Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n.
3．在等式
Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n两边同乘以数列{2n}的公比后，该等式的变形形式是什么？认真观察两式的结构特征，你能将求Sn的问题转化为等比数列的前n项和问题吗？
[提示] 在等式Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，①
两边同乘以{2n}的公比可变形为
2Sn＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1，②
②－①得：Sn＝－1·21－22－23－24－…－2n＋n·2n＋1
＝－(21＋22＋23＋…＋2n)＋n·2n＋1.
此时可把求Sn的问题转化为求等比数列{2n}的前n项和问题．我们把这种求由一个等差数列{an}和一个等比数列{bn}相应项的积构成的数列{anbn}前n项和的方法叫错位相减法．
【例3】 已知等比数列{an}满足：a1＝，a1，a2，a3－成等差数列，公比q∈(0，1)，
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.
思路探究：(1)根据a1，a2，a3－成等差数列求得公比q，写出通项公式；
(2)由bn＝nan可知利用错位相减法求和．
[解] (1)设等比数列{an}的公比为q，a1＝，因为a1，a2，a3－成等差数列，所以2a2＝a1＋a3－，即得4q2－8q＋3＝0，解得q＝或q＝，
又因为q∈(0，1)，所以q＝，
所以an＝·＝.
(2)根据题意得bn＝nan＝，
Sn＝＋＋＋…＋，①
Sn＝＋＋＋…＋，②
作差得Sn＝＋＋＋…＋－，Sn＝2－(n＋2).
本题中设cn＝，求数列{cn}的前n项和Sn′.
[解] 由题意知cn＝n·2n，
所以Sn′＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋(n－2)×2n－2＋(n－1)×2n－1＋n·2n，
2Sn′＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－2)×2n－1＋(n－1)×2n＋n·2n＋1，
两式相减得：－Sn′＝1×21＋22＋23＋24＋…＋2n－1＋2n－n·2n＋1
＝－n·2n＋1＝(1－n)·2n＋1－2，所以Sn′＝(n－1)·2n＋1＋2.
错位相减法的适用题目及注意事项
(1)适用范围：它主要适用于{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{anbn}的前n项和．
(2)注意事项：
①利用“错位相减法”时，在写出Sn与qSn的表达式时，应注意使两式错对齐，以便于作差，正确写出(1－q)Sn的表达式．
②利用此法时要注意讨论公比q是否等于1的情况．
1．在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”．
2．前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即当q≠1和q＝1时是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情况．
3．一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列且公比为q，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和．
1．判断正误
(1)求等比数列{an}的前n项和时可直接套用公式Sn＝来求．
( )
(2)若首项为a的数列既是等差数列又是等比数列，则其前n项和为Sn＝na.
( )
(3)若某数列的前n项和公式为Sn＝－aqn＋a(a≠0，q≠0且q≠1，n∈N
)，则此数列一定是等比数列．
( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√
[提示] (1)错误．在求等比数列前n项和时，首先应看公比q是否为1，若q≠1，可直接套用，否则应讨论求和．
(2)正确．若数列既是等差数列，又是等比数列，则是非零常数列，所以前n项和为Sn＝na.
(3)正确．根据等比数列前n项和公式Sn＝(q≠0且q≠1)变形为Sn＝－qn(q≠0且q≠1)，若令a＝，则和式可变形为Sn＝a－aqn.
2．在等比数列{an}中，a3＝，其前三项的和S3＝，则数列{an}的公比q＝( )
A．－ B． C．－或1 D．或1
C [由题意，可得a1q2＝，a1＋a1q＋a1q2＝，两式相除，得＝3，解得q＝－或1.]
3．在公比为整数的等比数列{an}中，如果a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，则这个数列的前8项之和S8＝
．
510 [a1＋a4＝a1(1＋q3)＝18，a2＋a3＝a1(q＋q2)＝12，两式联立解得q＝2或，而q为整数，
所以q＝2，a1＝2，代入公式求得S8＝＝510.]
4．求和：＋＋＋＋…＋.
[解] 设Sn＝＋＋＋＋…＋
＝＋＋＋＋…＋＋，
①
则Sn＝＋＋＋…＋＋.
②
①－②，得Sn＝＋＋＋＋…＋－
＝＋＋＋…＋－
＝＋－＝－－
＝－，∴Sn＝3－.
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