2021年苏科版八年级下册（压轴题培优练）
专题01平行四边形A卷（原卷版）
一、选择题（每小题只有一个选项是正确的，请将正确选项前的字母代号填写在括号内）
1.如图，在△ABC中，∠A=70°，AC=BC，以点
B为旋转中心把△ABC按顺时针旋转一定角度，得到△，点恰好落在AC上，连接，则∠度数为（
）
A.
110°
B.
100°
C.
90°
D.
70°
2.如图，在菱形ABCD中，∠D=135°，,，点P是线段AC上一动点，点F是线段AB上一动点，则PE+PF的最小值是（
）
A.
B.
3
C.
D.
3.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、C、F在坐标轴上，E是OA的中点，四边形AOCB是矩形，四边形BDEF是正方形，若点C的坐标为（3，0），则点D的坐标为（
）
（1，2.5）
B．（1，1＋）
C．（1，3）
D．（－1，1＋)
4.如图，正方形ABCD的边长为8，点E
为AB边上的定点，△BCE绕正方形ABCD的中心O旋转得到△CDF，点F
在BC边上，连接OE、OF，则四边形OEBF的面积是（
）
A.
B.
16
C.
D.
8
5.如图，矩形ABCD中，AB＝2，对角线AC、BD交于点O，∠AOD＝120°，E为BD上任意点，P为AE中点，则PO＋PB的最小值为（
）
B.
C.
D.
3
6.如图，在?ABCD中，AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，点P为?ABCD内一点，点Q在BC边上，则PA+PD+PQ的最小值为(
)
A.
B.
6+2
C.
5
D.
10
二、填空题（不需写出解答过程，只需把答案直接填写在对应横线上）
7.在平面直角坐标系中，已知A、B、C、D四点的坐标依次为（0，0）、（6，2）、（8，8）、（2，6），若一次函数y＝mx－6m＋6(m≠0)的图像将四边形ABCD的面积分成1:1两部分，则m的值为
．
8.如图，正方形ABCD的边长为4，点O是对角线AC、BD的交点，点E是CD的中点，连接BE．过点C作CF⊥BE，垂足是F，连接OF，则OF的长为
_______．
9.点C是线段AB上的动点，分别以AC，BC为边向上方作正方形ACDE，正方形CBGF，连接AD，AD，BF的中点M，N，若AB＝4，则MN的最小值为
．
10.如图，已知直线l∥AB，l与AB之间的距离为4．C、D是直线l上两个动点（点C在D点的左侧），且AB=CD=10．连接AC、BC、BD，将△ABC沿BC折叠得到△A′BC．若以A′、C、B、D为顶点的四边形为矩形，则此矩形相邻两边之和为
．
11.如图，ABCD中，∠DAB=30°，AB=8，BC=3，P为边CD上的一动点，则PB+PD的最小值等于__________.
12.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，一动点P从点A出发，沿A→C以每秒2个单位运动，途中在某点M处又以每秒1个单位速度沿M→B的方向运动，为使点P最短的时间到B，则AM：MC=
．
13.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=3，D为BC边上一点，且，以D为一个顶点作正方形DEFG，且DE=BC，连接AE，将正方形DEFG绕点D旋转一周，在整个旋转过程中，当AE取得最大值时AG的长为_______．
14.已知：如图，在△ABC中，点A1，B1，C1分别是BC、AC、AB的中点，A2，B2，C2分别是B1C1，A1C1，A1B1的中点，依此类推…．若△ABC的周长为1，则△AnBnCn的周长为
．
三、解答题（解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.阅读下列材料：
我们定义：若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如正方形就是和谐四边形．结合阅读材料，完成下列问题：
（1）下列哪个四边形一定是和谐四边形
．
A．平行四边形
B．矩形
C．菱形
D．等腰梯形
（2）命题：“和谐四边形一定是轴对称图形”是
命题（填“真”或“假”）．
（3）如图，等腰Rt△ABD中，∠BAD＝90°．若点C为平面上一点，AC为凸四边形ABCD的和谐线，且AB＝BC，请求出∠ABC的度数．
16.如图①，将正方形ABOD放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点D的坐标为（2，3），
（1）点B的坐标为
；
（2）若点P为对角线BD上的动点，作等腰直角三角形APE，使∠PAE＝90°，如图②，连接DE，则BP与DE的关系（位置与数量关系）是
，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，再作等边三角形APF，连接EF、FD，如图③，在
P点运动过程中当EF取最小值时，此时∠DFE＝
°；
（4）在（1）的条件下，点
M在
x
轴上，在平面内是否存在点N，使以
B、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
17.我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．
（1）如图①，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，点M，N分别在AD，CD上，且∠MBN=60°，试判断四边形DMBN是否为“等邻边四边形”？请说明理由．
（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=8，BC=12.5，点E在BC上，且BE=6，在矩形ABCD内或边上，确定一点P，使四边形ABEP为最大面积的“等邻边四边形”，若能实现，请求出最大面积；若不能实现，说明理由．
18.已知矩形ABCD中，AB=8cm，BC=16cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O.
（1）如图1，连接AF、CE，判断四边形AFCE的形状，并说明理由；
（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，P点沿着A→F→B→A匀速运动，Q点沿着C→D→E→C匀速运动，在运动过程中：
①
已知点P的速度为10cm/s，点Q的速度为8cm/s，运动时间为t秒，问当t为何值时，点A，C，P，Q组成的四边形为平行四边形？
②
点P，Q的运动路程分别为a，b（单位：cm，ab≠0），问当a，b满足怎样的关系式时，点A，C，P，Q组成的四边形为平行四边形？
19.【发现问题】
爱好数学的小强在做作业时碰到这样的一道题目：如图①，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，E为BC中点，求AE的取值范围．
【解决问题】
（1）小强经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，作AB边上的中点F，连接EF，构造出△ABC的中位线EF，请你完成余下的求解过程．
【灵活运用】
（2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝8，CD＝6，E、F分别为BC、AD中点，求EF的取值范围．
（3）变式：把图②中的A、D、C变成在一直线上时，如图③，其它条件不变，则EF的取值范围为
．
【迁移拓展】
（4）如图④，在△ABC中，∠A＝60°，AB＝4，E为BC边的中点，F是AC边上一点且EF正好平分△ABC的周长，则EF=
．
20.如图，正方形OABC的顶点
B的坐标为（2，2），D（m，0）为x轴上的一个动点
（m＞2），以BD为边作正方形BDEF，点E在第四象限．
（1）试判断线段AD与CF的数量关系，并说明理由；
（2）设正方形BDEF的对称中心为M，直线CM交y轴于点G．随着点D的运动，点G的位置是否会发生变化？若保持不变，请求出点G的坐标；若发生变化，请说明理由．2021年苏科版八年级下册（压轴题培优练）
专题01平行四边形A卷（解析版）
一、选择题（每小题只有一个选项是正确的，请将正确选项前的字母代号填写在括号内）
1.如图，在△ABC中，∠A=70°，AC=BC，以点
B为旋转中心把△ABC按顺时针旋转一定角度，得到△，点恰好落在AC上，连接，则∠度数为（
）
A.
110°
B.
100°
C.
90°
D.
70°
【解答】解：∵AC=BC，∠A=70°，
∴∠ABC=70°，∠ACB=40°
又∵△是由△ABC旋转得到的，所以∠=∠，AB=
∴∠∠A=70°
∴∠=40°，则∠ACB=∠
∴AC//∠
又∵
∴四边形是平行四边形，故
∴∠
2.如图，在菱形ABCD中，∠D=135°，,，点P是线段AC上一动点，点F是线段AB上一动点，则PE+PF的最小值是（
）
A.
B.
3
C.
D.
【解答】D
【解析】先作点E关于AC的对称点点G，再连接BG，过点B作BH⊥CD于H，运用勾股定理求得BH和GH的长，最后再Rt△BHG中，运用勾股定理求得BG的长，即为PE+PF的最小值。
【解答】解：作点E关于AC的对称点点G，连接PG、PE，则PE=PG，CE=CG=2
连接BG，过点B作BH⊥CD于H，则∠BCH=∠CBH=45°，
∴Rt△BHC中，BH=CH=3，HG=1
∴Rt△BHG中，BG=
3.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、C、F在坐标轴上，E是OA的中点，四边形AOCB是矩形，四边形BDEF是正方形，若点C的坐标为（3，0），则点D的坐标为（
）
（1，2.5）
B．（1，1＋）
C．（1，3）
D．（－1，1＋)
【答案】C
4.如图，正方形ABCD的边长为8，点E
为AB边上的定点，△BCE绕正方形ABCD的中心O旋转得到△CDF，点F
在BC边上，连接OE、OF，则四边形OEBF的面积是（
）
A.
B.
16
C.
D.
8
【答案】B
【解析】连接OB、OC，根据旋转的性质知：△BCE△CDF，∴BE=CF，
∵点O是正方形ABCD的中心，∴∠OBE=∠OCF=45°，OB=OC，
△OBE和△OCF中，，∴△OBE△OCF中，
∴．故选：B．
5.如图，矩形ABCD中，AB＝2，对角线AC、BD交于点O，∠AOD＝120°，E为BD上任意点，P为AE中点，则PO＋PB的最小值为
（
）
A.
B.
C.
D.
3
【答案】C
【解析】如图，设M、N分别为AB、AD的中点，则MN为△ABD的中位线，
∵P为AE中点，
∴点P在MN上，
作点O关于MN的对称点，连接，
∴，
∴PO＋PB=，
∵四边形ABCD是矩形，∠AOD=120°，
∴OA=OB，∠AOB=60°，
∴△AOB为等边三角形，
∴AB=BO=4，
过点A作AH⊥BO于H，
∴，
∵MN∥BD，点H关于MN的对称点为A，点O关于MN的对称点为，
∴，且，
∴，
即PO＋PB的最小值为，
故选：C．
6.如图，在?ABCD中，AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，点P为?ABCD内一点，点Q在BC边上，则PA+PD+PQ的最小值为(
)
A.
B.
6+2
C.
5
D.
10
【答案】C
【解析】如下图，将△APD绕点A逆时针旋转60°至△AFE处，连接FP，过点E作BC的垂线，交BC于点G，AD于点H，过点A作BC的垂线，交BC于点K
∵△AFE是△APD绕点A逆时针旋转60°得到
∴∠FAP=60°，∠EAD=60°，AF=AP，EF=PD
∴△APF是等边三角形，∴AP=PF
∴PA+PD+PQ=PF+FE+PQ≥EG
∵四边形ABCD是平行四边形，BC=6
∴AE=AD=BC=6，AD∥BC
∴在Rt△AHE中，AH=3，EH=3
∵HG⊥BC，AK⊥BC，AD∥BC
∴AK⊥AD，GH⊥AD，∴AK=HG
∵∠ABC=60°，AB=4
∴在Rt△ABK中，BK=2，AK=2
∴HG=2∴EG=3故选：C
二、填空题（不需写出解答过程，只需把答案直接填写在对应横线上）
7.在平面直角坐标系中，已知A、B、C、D四点的坐标依次为（0，0）、（6，2）、（8，8）、（2，6），若一次函数y＝mx－6m＋6(m≠0)的图像将四边形ABCD的面积分成1:1两部分，则m的值为
．
【答案】1
【解析】∵A、B、C、D四点的坐标依次为(0，0)、(6，2)、(8，8)、(2，6)，
∴AB=，
BC=，
CD=，
AD=，
∴四边形ABCD是菱形，
连接AC，BD交于O，
∴点O的坐标为(，)，即(，)，
∵直线使四边形ABCD的面积分成相等的两部分，
∴直线过点O(，)，
∴，
∴，
故答案为：1．
8.如图，正方形ABCD的边长为4，点O是对角线AC、BD的交点，点E是CD的中点，连接BE．过点C作CF⊥BE，垂足是F，连接OF，则OF的长为
_______．
【答案】
【解析】∵正方形的边长为且
∴CD=BC=4,
,,∠BCD=90°
∴在Rt△BCD中，BD=
在Rt△BCE中，BE=
∵
∴∠BFC=∠BCE=90°
又∵∠FBC=∠EBC
∴△BCF∽△BEC
则，得：
则：填
9.点C是线段AB上的动点，分别以AC，BC为边向上方作正方形ACDE，正方形CBGF，连接AD，AD，BF的中点M，N，若AB＝4，则MN的最小值为
．
【答案】2
10.如图，已知直线l∥AB，l与AB之间的距离为4．C、D是直线l上两个动点（点C在D点的左侧），且AB=CD=10．连接AC、BC、BD，将△ABC沿BC折叠得到△A′BC．若以A′、C、B、D为顶点的四边形为矩形，则此矩形相邻两边之和为
．
【答案】或
【解析】设矩形的边长分别为和．
①当∠CBD=90°时，如图1所示，
∵直线l∥AB，AB=CD，
∴四边形ABDC是平行四边形，
∵四边形A′CBD为矩形，
∴∠A′CB=∠BCA=90°，
∴S△A′CB=S△ABC=×10×4=20，
∴，即，
又BA′=BA=10，，
∴，
∴，
∴；
②当∠BCD=90°时，如图2所示，
因为四边形ABDC是平行四边形，
所以∠CBA=90°，
所以BC=4，而CD=10，
∴．
故答案为：或．
11.如图，ABCD中，∠DAB=30°，AB=8，BC=3，P为边CD上的一动点，则PB+PD的最小值等于__________.
【答案】4
【解析】如图，过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E，
∵AB∥CD
∴∠EDP＝∠DAB＝30°，
∴sin∠EDP＝
∴EP＝
∴PB＋＝PB＋PE
∴当点B，点P，点E三点共线且BE⊥AD时，PB＋PE有最小值，即最小值为BE，
∵sin∠DAB＝
∴BE＝=4
故答案为:4
12.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，一动点P从点A出发，沿A→C以每秒2个单位运动，途中在某点M处又以每秒1个单位速度沿M→B的方向运动，为使点P最短的时间到B，则AM：MC=
．
【答案】1：2
【解析】为使点P最短的时间到B，
由题意作，交AC于点M，M点即为所求，
∵∠ABC=120°，，四边形ABCD为菱形，
∴
∴AM：MC=1：2.
故答案为：1：2.
13.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=3，D为BC边上一点，且，以D为一个顶点作正方形DEFG，且DE=BC，连接AE，将正方形DEFG绕点D旋转一周，在整个旋转过程中，当AE取得最大值时AG的长为_______．
【答案】
【解析】当点在线段延长线上时，取得最大值．过点作于点，如图所示：
，，
，
，
∴，
，，
，，
，
在中，，
在中，．
故答案为：．
14.已知：如图，在△ABC中，点A1，B1，C1分别是BC、AC、AB的中点，A2，B2，C2分别是B1C1，A1C1，A1B1的中点，依此类推…．若△ABC的周长为1，则△AnBnCn的周长为
．
【答案】
【解析】∵A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，
∴A1B1、A1C1、B1C1是△ABC的中位线，
∴△A1B1C1∽△ABC，且相似比为，
∵A2、B2、C2分别是△A1B1C1的边B1C1、C1A1、A1B1的中点，
∴△A2B2C2∽△A1B1C1且相似比为，
∴△A2B2C2∽△ABC的相似比为
依此类推△AnBnCn∽△ABC的相似比为，
∵△ABC的周长为1，
∴△AnBnCn的周长为．
故答案为．
三、解答题（解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.阅读下列材料：
我们定义：若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如正方形就是和谐四边形．结合阅读材料，完成下列问题：
（1）下列哪个四边形一定是和谐四边形
．
A．平行四边形
B．矩形
C．菱形
D．等腰梯形
（2）命题：“和谐四边形一定是轴对称图形”是
命题（填“真”或“假”）．
（3）如图，等腰Rt△ABD中，∠BAD＝90°．若点C为平面上一点，AC为凸四边形ABCD的和谐线，且AB＝BC，请求出∠ABC的度数．
【答案】（1）
C
；（2）假；（3）∠ABC的度数为60°或90°或150°.
【解析】
（1）根据和谐四边形定义，平行四边形，矩形，等腰梯形的对角线不能把四边形分成两个等腰三角形，菱形的一条对角线能把四边形分成两个等腰三角形够．
故选C.
（2）和谐四边形不一定是轴对称图形，如图所示：
∠C=45°，直角梯形ABCD是和谐四边形，但不是轴对称图形，
故答案为：假；
（3）∵AC是四边形ABCD的和谐线，且AB=BC，
∴△ACD是等腰三角形，
∵在等腰Rt△ABD中，AB=AD，
∴AB=AD=BC，
①如图1，当AD=AC时，
∴AB=AC=BC，∠ACD=∠ADC
∴△ABC是正三角形，
∴∠ABC=60°；
②如图2，当DA=DC时，
∴AB=AD=BC=CD．
∵∠BAD=90°，
∴四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°；?
③如图3，当CA=CD时，过点C作CE⊥AD于E，过点B作BF⊥CE于F，
∵AC=CD，CE⊥AD，
∴AE=ED，∠ACE=∠DCE．
∵∠BAD=∠AEF=∠BFE=90°，
∴四边形ABFE是矩形，
∴BF=AE．
∵AB=AD=BC，
∴BF=BC，
∴∠BCF=30°．
∵AB=BC，
∴∠ACB=∠BAC．
∵AB∥CE，
∴∠BAC=∠ACE，
∴∠ACB=∠BAC=∠BCF=15°，
∴∠ABC=150°．
16.如图①，将正方形ABOD放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点D的坐标为（2，3），
（1）点B的坐标为
；
（2）若点P为对角线BD上的动点，作等腰直角三角形APE，使∠PAE＝90°，如图②，连接DE，则BP与DE的关系（位置与数量关系）是
，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，再作等边三角形APF，连接EF、FD，如图③，在
P点运动过程中当EF取最小值时，此时∠DFE＝
°；
（4）在（1）的条件下，点
M在
x
轴上，在平面内是否存在点N，使以
B、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）点B坐标为（－3，2）；（2）BP与DE的关系是垂直且相等，证明详见解析；（3）∠DFE＝
150
°；（4）存在，点N坐标为（＋2，1）或（－＋2，1）或（－3，－1）或（－－3，－1）或（－1，5）
【解析】（1）：过点B作BE⊥x轴于E，过点D作DF⊥x轴于F，
∵ABOD为正方形，O是坐标原点，点D的坐标为（2，3），
∴OB=OD，∠BE0=∠DFO，∠BOE=∠ODF，
∴△BEO≌△OFD，
∴OF=BE，OE=FD，
∴点B的坐标为（－3，2），
故答案为：（－3，2）；
（2）BP与DE的关系是：垂直且相等；
证明：如图，
∵正方形ABOD，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，
∵∠PAE＝90°，
∴∠BAD－∠3＝∠PAE－∠3，
即∠1＝∠2，
∵AP＝AE，
∴△ABP≌△ADE(SAS)，
∴∠4＝∠5，
BP＝DE，
∵∠4＋∠6＝90°，
∴∠5＋∠6＝90°，
即∠BDE=90°，
∴BP⊥DE，
∴BP与DE垂直且相等，
故答案为：垂直且相等；
（3）∵△APF为等边三角形，△PAE为等腰直角三角形，且∠PAE=90°，
∴AF=AE，∠FAE=30°，
即△AFE为等腰三角形，且EF为底边，
∴当EF最小时，AF=AE应该取最小值，即AP应当取最小值，
∵四边形ABOD为矩形，BD为ABOD一条对角线，
∴当AP⊥BD时，EF有最小值，如下图所示，
∴AP=PD=AE，∠PAD=∠APD=90°，
∴∠EAF=∠DPF=30°，
又∵AF=PF，
∴△AFE≌△PFE，
∴∠PFD=∠AFE=75°，
∴∠EFD=360°-75°-75°-60°=150°，
即，当EF取最小值时，∠DFE=150°，
故答案为：150；
（4）∵D（2，3）
∴OD＝，
∴BD＝，
①当BD为菱形边时，
（Ⅰ）如图，作BQ⊥x轴于Q，
MB＝BD＝，在Rt△BQM中根据勾股定理，可得M1（－3，0）、M2（－－3，0），
∵B向右平移5个单位再向上平移1个单位得到D，
∴N1（＋2，1）、N2（－＋2，1）；
（Ⅱ）如图，作TP垂直x轴于P，
MD＝BD＝，在Rt△DPM中根据勾股定理，可得M3（＋2，0）、M4（－＋2，0），
∵D向左平移5个单位再向下平移1个单位得到B，
∴N3（－3，－1）、N4（－－3，－1）
②当BD为菱形的对角线时，M与O重合，此时N与A重合，
如图，作AJ∥x轴交y轴于R，过点D作JK⊥x轴垂足为K，交AJ于点J，
易证△ALD≌△DKO，
∴JK=5，
在Rt△ARO中使用勾股定理，即可求N5（－1，5），
综上所述，点N坐标为（＋2，1）或（－＋2，1）或（－3，－1）或（－－3，－1）或（－1，5）．
17.我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．
（1）如图①，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，点M，N分别在AD，CD上，且∠MBN=60°，试判断四边形DMBN是否为“等邻边四边形”？请说明理由．
（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=8，BC=12.5，点E在BC上，且BE=6，在矩形ABCD内或边上，确定一点P，使四边形ABEP为最大面积的“等邻边四边形”，若能实现，请求出最大面积；若不能实现，说明理由．
【答案】（1）是，理由见解析；（2）能实现，最大面积为．理由见解析．
【解析】（1）结论：四边形DMBN是“等邻边四边形“．
理由：如图，连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，
∴∠ABD=∠CBD=60°，AB=BC=CD=AD，
∴△ABD，△BCD都等边三角形，
∴BD=DC，∠MDB=∠C=60°，
∵∠MBN=∠DBC=60°，
∴∠MBD=∠NBC，
∴△MBD≌△NBC，
∴MB=BN，
∴四边形DMBN是“等邻边四边形“．
（2）能实现．
理由：如图，
以A为圆心，AB为半径画弧，
当点P在（不包括点I）上时，四边形ABEP是“等邻边四边形“，
点P在AD上时，当AB=AP时，四边形ABEP的面积的最大值为：;
以E为圆心，EB为半径画弧，
当点P在（不包括点H和点T）上时，四边形ABEP是“等邻边四边形“，
有P′E⊥AE，AE=，P′E=BE=6,四边形ABEP的面积的最大值为：
，
当点P在线段AE垂直平分线上时，即AP=PE,易知AP=，
此时四边形ABEP是“等邻边四边形“，面积=．
综上所述，等邻边四边形ABEP的面积的最大值为：．
18.已知矩形ABCD中，AB=8cm，BC=16cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O.
（1）如图1，连接AF、CE，判断四边形AFCE的形状，并说明理由；
（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，P点沿着A→F→B→A匀速运动，Q点沿着C→D→E→C匀速运动，在运动过程中：
①
已知点P的速度为10cm/s，点Q的速度为8cm/s，运动时间为t秒，问当t为何值时，点A，C，P，Q组成的四边形为平行四边形？
②
点P，Q的运动路程分别为a，b（单位：cm，ab≠0），问当a，b满足怎样的关系式时，点A，C，P，Q组成的四边形为平行四边形？
【答案】（1）四边形AFCE为菱形，见解析；（2）①t=s
；②a与b满足的数量关系式是a+b=24（ab≠0）
【解析】（1）四边形AFCE为菱形
证明：∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC
∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE
∵EF垂直平分AC
∴OA=OC
∴△AOE≌△COF
∴OE=OF
∴四边形AFCE为平行四边形
又∵EF⊥AC
∴四边形AFCE为菱形
（2）解：①当P点在AF上时，Q点在CD上，
此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形
同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上，也不能构成平行四边形
因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形
∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA，
∵点P的速度为每秒10cm，点Q的速度为每秒8cm，运动时间为t秒
∴PC=CF+FP=AF+FP=10t，QA=24﹣8t
∴10t=24﹣8t
∴t=s
②由题意得，四边形APCO是平行四边形时，点P、Q在互相平行的对应边上．分三种情况：
（i）如图1，当P点在AF上、Q点在CE上时，
AP=CQ，即a=24﹣b，得a+b=24
（ii）如图2，当P点在BF上、Q点在DE上时，
AQ=CP，即24﹣b=a，得a+b=24
（iii）如图3，当P点在AB上、Q点在CD上时，
AP=CQ，即24﹣a=b，得a+b=24
综上所述，a与b满足的数量关系式是a+b=24（ab≠0）
19.【发现问题】
爱好数学的小强在做作业时碰到这样的一道题目：如图①，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，E为BC中点，求AE的取值范围．
【解决问题】
（1）小强经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，作AB边上的中点F，连接EF，构造出△ABC的中位线EF，请你完成余下的求解过程．
【灵活运用】
（2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝8，CD＝6，E、F分别为BC、AD中点，求EF的取值范围．
（3）变式：把图②中的A、D、C变成在一直线上时，如图③，其它条件不变，则EF的取值范围为
．
【迁移拓展】
（4）如图④，在△ABC中，∠A＝60°，AB＝4，E为BC边的中点，F是AC边上一点且EF正好平分△ABC的周长，则EF=
．
【答案】（1）详见解析；（2）1＜EF＜7；（3）；（4）EF＝．
【解析】（1）解：
∵E
为
BC
中点，F为
AB
中点，
∴EF＝AC，
∵AB＝8，AC＝6，
∴AF＝AB＝4，EF＝AC＝3，
在△AEF中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，
∴4－3＜AE＜4＋3，
即，1＜AE＜7；
（2）解：连接BD，取BD
中点G，连接FG、EG，
∵E、F分别为BC、AD中点，
∴FG＝AB，EG＝DC，
∵AB＝8，CD＝6，
∴FG＝4，EG＝3，
在△GEF中，4－3＜EF＜4＋3，
即1＜EF＜7．
（3）如图，连接BD，取BD的中点H，连接HF，HE，
∵E、F分别为BC、AD中点，
∴，
∴在△DHE中，，
即EF的取值范围为，
故答案为：；
（4）在线段CF上取一点M，使得FM=AF，连接BM，取BM的中点N，连接FN，EN，
∴F为线段AM的中点，
∵E为BC中点，
∴FN∥AB，且，EN∥AC，且，BE=EC，
∵∠A＝60°，AB＝4，
∴FN=2，∠FNE=120°，
∵EF正好平分△ABC的周长，
∴，
∴，
∴CM=4，
∴NE=2，
∴△FNE为等腰三角形，且∠NFE=∠NEF=30°，
过点N作NO⊥EF于点O，
则FO=OE=，∴，
故答案为：．
20.如图，正方形OABC的顶点
B的坐标为（2，2），D（m，0）为x轴上的一个动点
（m＞2），以BD为边作正方形BDEF，点E在第四象限．
（1）试判断线段AD与CF的数量关系，并说明理由；
（2）设正方形BDEF的对称中心为M，直线CM交y轴于点G．随着点D的运动，点G的位置是否会发生变化？若保持不变，请求出点G的坐标；若发生变化，请说明理由．
【解答】（1）AD＝CF，…………………………………………1分
∵四边形ABCO和四边形BDEF都是正方形，∴AB＝BC，BD＝BF，∠ABC＝∠FBD＝90°，∴∠ABD＝∠FBD，∴△ABD≌△CBF，∴AD＝CF；…………………………………………2分
（2）点G的位置不发生变化，…………………………………………………………………………3分
作FH垂直CB的延长线于点H，可证△BCD≌△FHB，
∴CD＝BH＝m－2，BC＝FH＝2，∴F(4，－m)，………………………………………………4分
又D（m，0），∴M（2＋，－），…………………………………………………………5分
作MN⊥x轴，在△CMN中，MN＝，CN＝，∴△AMN是等腰直角三角形，……………7分
∴△OCG也是等腰直角三角形，
∴OG＝OC＝2，∴G（0，2）……………………………………………………………………8分
