第七章
三角函数
7.1
任意角的概念与弧度制
7.1.1角的推广
1．下列命题中正确的是（ ）
A．第一象限角一定不是负角
B．小于90°的角一定是锐角
C．钝角一定是第二象限的角
D．终边相同的角一定相等
2．已知集合A＝{α|α小于90°}，B＝{α|α为第一象限角}，则A∩B＝（ ）
A．{α|α为锐角}
B．{α|α小于90°}
C．{α|α为第一象限角}
D．以上都不对
3．与﹣457°角的终边相同的角的集合是（ ）
A．{α|α＝475°+k?360°，k∈Z}
B．α|α＝97°+k?360°，k∈Z}
C．α|α＝263°+k?360°，k∈Z}
D．α|α＝﹣263°+k?360°，k∈Z}
4．下列各角与320°角终边相同的是（ ）
A．45°
B．﹣50°
C．﹣40°
D．920°
5．若角α和β的始边都是x轴的正半轴，则α﹣β＝π是两角终边互为反向延长线的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．已知α锐角，那么2α是（ ）
A．小于180°的正角
B．第一象限角
C．第二象限角
D．第一或二象限角
7．设α是第一象限角，则的终边不可能在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
8．已知角α是第一象限角，试确定2α，的终边所在的象限．
7.1.2
弧度制及其与角度制的换算
1．下列命题中，假命题是（ ）
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B．1°的角是周角的，1rad的角是周角的
C．1rad的角比1°的角要大
D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关
2．把﹣765°化成2kπ+α（0≤α＜2π），k∈Z）的形式是（ ）
A．﹣4π
B．﹣4π
C．﹣6π
D．﹣6π
3．把﹣1125°化为2kπ+α（k∈Z，0≤α＜2π）的形式是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．小明出国旅游，因当地时间比中国时间晚一个小时，他需要将表的时针拨慢1小时，则时针转过的角的弧度数是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．若扇形的圆心角为π，半径为，则此扇形的面积为（ ）
A．π
B．π
C．π
D．
6．若扇形AOB的半径为2，面积为π，则它的圆心角为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．一个半径为R的扇形，它的周长是4R，则这个扇形所含弓形的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．（1﹣sin1cos1）R2
8．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中卷一《方田》记载：“今有宛田，下周八步，
径四步问为田几何？”译成现代汉语其意思为：有一块扇形的田，弧长8步，其所在圆的直径是4步，则
这块田的面积是（ ）
A．8平方步
B．6平方步
C．4平方步
D．16平方步
9．已知α．
（1）写出所有与α终边相同的角；
（2）写出在（﹣4π，2π）内与α终边相同的角；
（3）若角β与α终边相同，则是第几象限的角？
10．（1）已知扇形的周长为8，面积是4，求扇形的圆心角．
（2）已知扇形的周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形的面积最大？第七章
三角函数
7.1
任意角的概念与弧度制
7.1.1角的推广
1．下列命题中正确的是（ ）
A．第一象限角一定不是负角
B．小于90°的角一定是锐角
C．钝角一定是第二象限的角
D．终边相同的角一定相等
【分析】明确锐角、钝角、终边相同的角、象限角的定义，通过举反例排除错误的选项，得到正确的选项．
【解答】解：A不正确，如﹣330°就是第一象限角．B不正确，如﹣30°是小于90°的角，但﹣30°并不是锐角．
C正确，因为钝角大于90°且小于180°，它的终边一定在第二象限．
D不正确，终边相同的角不一定相等，如30°和390°终边相同，但这两个角不相等．
故选：C．
2．已知集合A＝{α|α小于90°}，B＝{α|α为第一象限角}，则A∩B＝（ ）
A．{α|α为锐角}
B．{α|α小于90°}
C．{α|α为第一象限角}
D．以上都不对
【分析】由交集定义得A∩B＝{第一象限中小于90°的角}．
【解答】解：∵集合A＝{α|α小于90°}，B＝{α|α为第一象限角}，
∴A∩B＝{第一象限中小于90°的角}，
故A，B，C都不对．
故选：D．
3．与﹣457°角的终边相同的角的集合是（ ）
A．{α|α＝475°+k?360°，k∈Z}
B．α|α＝97°+k?360°，k∈Z}
C．α|α＝263°+k?360°，k∈Z}
D．α|α＝﹣263°+k?360°，k∈Z}
【分析】终边相同的角相差了360°的整数倍，又263°与﹣457°终边相同．
【解答】解：终边相同的角相差了360°的整数倍，
设与﹣457°角的终边相同的角是α，则α＝﹣457°+k?360°，k∈Z，
又263°与﹣457°终边相同，∴α＝263°+k?360°，k∈Z，
故选：C．
4．下列各角与320°角终边相同的是（ ）
A．45°
B．﹣50°
C．﹣40°
D．920°
【分析】终边相同的角相差360°的整数倍，判断选项即可．
【解答】解：320°＝360°﹣40°，
所以与320°角终边相同的是：﹣40°．
故选：C．
5．若角α和β的始边都是x轴的正半轴，则α﹣β＝π是两角终边互为反向延长线的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】角α，β的终边互为反向延长线，则α与β的角的度数的差是π的整数倍，写出结果即可进行判断．
【解答】解：角α，β的终边互为反向延长线，则α与β的角的度数的差是π的整数倍，
所以α＝（2k+1）π+β（k∈Z），
特别地，当k＝0时，α﹣β＝π．
则α﹣β＝π是两角终边互为反向延长线的充分不必要条件
故选：A．
6．已知α锐角，那么2α是（ ）
A．小于180°的正角
B．第一象限角
C．第二象限角
D．第一或二象限角
【分析】由锐角的定义可得
0°＜α＜90°，故有0°＜2α＜180°．
【解答】解：∵α锐角，∴0°＜α＜90°，∴0°＜2α＜180°，
故选：A．
7．设α是第一象限角，则的终边不可能在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【分析】首先利用终边相同角的表示方法，写出α的表达式，再写出的表达式，由此判断终边位置．
【解答】解：∵角α的终边在第一象限，
∴2kπ＜α2kπ，k∈Z，
∴πππ，k∈Z，
当k＝3n（n∈Z）时，此时的终边落在第一象限，
当k＝3n+1（n∈Z）时，此时的终边落在第二象限，
当k＝3n+2（n∈Z）时，此时的终边落在第三象限，
综上所述，的终边不可能落在第四象限
故选：D．
8．已知角α是第一象限角，试确定2α，的终边所在的象限．
【分析】直接利用象限角的应用求出结果．
【解答】解：由于角α是第一象限角，
所以：①（k∈Z），
整理得：4kπ＜2α＜4kπ+π（k∈Z），
①当k＝0时，0＜2α＜π．
②当k＝1时，4π＜2α＜5π．
由①②得2α的终边所在的象限为第一或第二象限或在y轴的非负半轴上．
②（k∈Z），
当k＝0时，．
当k＝1时，，
故的终边所在的象限为第一或第三象限．
7.1.2
弧度制及其与角度制的换算
1．下列命题中，假命题是（ ）
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B．1°的角是周角的，1rad的角是周角的
C．1rad的角比1°的角要大
D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关
【分析】利用角度和弧度的定义及转化关系分别进行判断．
【解答】解：“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位，所以A正确．
1°的角是周角的，1rad的角是周角的，所以B正确．
因为1rad＝（）°＞1°，所以C正确．
用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径无关．所以D错误．
故选：D．
2．把﹣765°化成2kπ+α（0≤α＜2π），k∈Z）的形式是（ ）
A．﹣4π
B．﹣4π
C．﹣6π
D．﹣6π
【分析】根据终边相同角的定义进行转化即是．
【解答】解：﹣765°＝﹣720°﹣45°＝﹣1080°+315°＝﹣6π，
故选：D．
3．把﹣1125°化为2kπ+α（k∈Z，0≤α＜2π）的形式是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据角的性质2kπ+α直接化解即可．
【解答】解：∵﹣1125°＝﹣3
＝﹣4×2π
＝﹣8
故选：D．
4．小明出国旅游，因当地时间比中国时间晚一个小时，他需要将表的时针拨慢1小时，则时针转过的角的弧度数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】他需要将表的时针逆时针旋转周角的，即可转过的角的弧度数．
【解答】解：他需要将表的时针逆时针旋转，则转过的角的弧度数是，
故选：B．
5．若扇形的圆心角为π，半径为，则此扇形的面积为（ ）
A．π
B．π
C．π
D．
【分析】利用扇形的面积公式可求扇形的面积．
【解答】解：∵扇形的圆心角为，半径为，
∴扇形的面积S（）2π．
故选：A．
6．若扇形AOB的半径为2，面积为π，则它的圆心角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】利用扇形面积计算公式即可得出．
【解答】解：设扇形的圆心角为θ，
由题意可得：π，解得θ．
故选：C．
7．一个半径为R的扇形，它的周长是4R，则这个扇形所含弓形的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．（1﹣sin1cos1）R2
【分析】通过扇形的周长，求出扇形的弧长，求出扇形的圆心角，然后求出扇形的面积，三角形的面积，即可得到这个扇形所含弓形的面积．
【解答】解：l＝4R﹣2R＝2R，α2，
可得：S扇形lR2R×R＝R2，
可得：S三角形2Rsin1×Rcos1＝sin1?cos1?R2，
可得：S弓形＝S扇形﹣S三角形＝R2﹣sin1?cos1?R2＝（1﹣sin1cos1）R2．
故选：D．
8．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中卷一《方田》记载：“今有宛田，下周八步，
径四步问为田几何？”译成现代汉语其意思为：有一块扇形的田，弧长8步，其所在圆的直径是4步，则
这块田的面积是（ ）
A．8平方步
B．6平方步
C．4平方步
D．16平方步
【分析】利用扇形面积计算公式即可得出．
【解答】解：∵弧长8步，其所在圆的直径是4步，
∴由题意可得：S2×8＝8（平方步），
故选：A．
9．已知α．
（1）写出所有与α终边相同的角；
（2）写出在（﹣4π，2π）内与α终边相同的角；
（3）若角β与α终边相同，则是第几象限的角？
【分析】（1）有与α终边相同的角可以写成2kπ+α，k∈Z．
（2）令﹣4π＜2kπ2π（k∈Z），解出整数k，从而求得在（﹣4π，2π）内与α终边相同的角．
（3）根据β＝2kπ（k∈Z），求得
kπ（k∈Z），即可判断是第几象限的角．
【解答】解：（1）所有与α终边相同的角可表示为
{θ|θ＝2kπ，k∈Z}．
（2）由（1）令﹣4π＜2kπ2π（k∈Z），则有
﹣2k＜1．
又∵k∈Z，∴取k＝﹣2，﹣1，0．
故在（﹣4π，2π）内与α终边相同的角是、、．
（3）由（1）有β＝2kπ（k∈Z），则kπ（k∈Z），当k为偶数时，在第一象限，
当k为奇数时，在第三象限．
∴是第一、三象限的角．
10．（1）已知扇形的周长为8，面积是4，求扇形的圆心角．
（2）已知扇形的周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形的面积最大？
【分析】（1）根据扇形的面积与弧长的关系求解
（2）根据扇形的面积与弧长的关系，列出面积与半径的函数表达式，求解最值．
【解答】解：（1）设扇形的圆心角大小为α（rad），半径为r，
则由题意可得：rα+2r＝8，4r2α．
联立解得：扇形的圆心角α＝2．
（2）设扇形的半径和弧长分别为r和l，
由题意可得2r+l＝40，
∴扇形的面积．
当r＝10时S取最大值，此时l＝20，
此时圆心角为，
∴当半径为10圆心角为2时，扇形的面积最大，最大值为100．
