第八章
向量的数量积
8.1
向量的数量积
8.1.1向量数量及的概念
1．给出下列命题正确的是（ ）
A．一个向量在另一个向量上的投影是数量
B．||+||＝||?与方向相同
C．两个有共同起点的相等向量，其终点必定相同
D．若向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一直线上
2．已知，，且，则向量在向量上的投影等于（ ）
A．﹣4
B．4
C．
D．
3．△ABC外接圆的半径等于1，其圆心O满足，则向量在方向上的投影等于（ ）
A．
B．
C．
D．3
4．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝DA＝2，若E为BC的中点，则（ ）
A．
B．3
C．2
D．12
5．已知的模为1．且在方向上的投影为，则与的夹角为（ ）
A．30°
B．60°
C．120°°
D．150°
6．已知△ABC中，，则△ABC为（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不能确定
8.1.2
向量数量积的运算律
1．对于非零实数a，b，c，以下四个命题都成立：
①（a+b）2＝a2+2a?b+b2；
②若a?b＝a?c，则b＝c；
③（a+b）?c＝a?c+b?c；
④（a?b）?c＝a?（b?c）；
那么类比于此，对于非零向量，，，相应命题仍然成立的所有序号是
．
2．已知向量与的夹角为，且||＝1，|2|，则||等于（ ）
A．
B．
C．1
D．
3．已知||＝1，||＝2，λ，λ∈R，则||等于（ ）
A．1
B．3
C．1或3
D．|λ|
4．已知两个单位向量，满足||＝||，则向量与的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．在△ABC中，若BC＝8，BC边上中线长为3，则?（ ）
A．﹣7
B．7
C．﹣28
D．28
6．向量的夹角为120°，，，则的最大值为（ ）
A．
B．2
C．
D．4
8.1.3
向量数量积的坐标运算
1．已知向量（﹣1，2），（3，4），则||2?（ ）
A．0
B．﹣1
C．2或﹣2
D．
2．已知向量（3，4），（2，1），则向量与夹角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．设向量，，且，则向量与的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知向量（1，2），（2，﹣3）．若向量满足（）∥，⊥（），则（ ）
A．（，）
B．（）
C．（）
D．（）
5．已知边长为2的菱形ABCD中，点F为BD上一动点，点E满足2，，则的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．如图，在矩形ABCD中，AB，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值是
．
8.1
综合过关
1．已知向量，满足||＝3，||＝1，且（29）⊥，则29与的夹角的余弦值为
A．
B．
C．
D．
2．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为CD的中点，则的值为
A．1
B．
C．
D．
3．已知△ABC是边长为2的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
4．设平面向量（﹣2，1），（λ，﹣1），若与的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ ）
A．
B．（2，+∞）
C．（，+∞）
D．（﹣∞，）
5．已知向量（t，2），（﹣1，1）．若||＝||，则t的值为（ ）
A．﹣2
B．﹣1
C．1
D．2
6．已知平面向量的模都为2，且，90°，若λ（λ≠0），则（ ）
A．4
B．
C．2
D．0
7．已知向量（cosθ﹣2，sinθ），其中θ∈R，则||的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．
D．3
8．已知向量（﹣3，2），（2，1），（3，﹣1），t∈R．
（1）求||的最小值及相应的t值；
（2）若与共线，求实数t．第八章
向量的数量积
8.1
向量的数量积
8.1.1向量数量及的概念
1．给出下列命题正确的是（ ）
A．一个向量在另一个向量上的投影是数量
B．||+||＝||?与方向相同
C．两个有共同起点的相等向量，其终点必定相同
D．若向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一直线上
【解答】解：对于选项A：一个向量在另一个向量上的投影是数量，故选项A错误；
对于选项B：由于，所以，
整理得，
故．
与与方向相同不等价，故选项B错误．
对于选项C：向量相等的定义可知C正确；
对于选项D：由共线向量的定义可知点A，B，C，D不一定在同一直线上，也可能平行，故选项D错误．．
故选：AC．
2．已知，，且，则向量在向量上的投影等于（ ）
A．﹣4
B．4
C．
D．
【解答】解：，，且，则向量在向量上的投影等于||?cosθ＝||?4．
故选：A．
3．△ABC外接圆的半径等于1，其圆心O满足，则向量在方向上的投影等于（ ）
A．
B．
C．
D．3
【解答】解：∵△ABC外接圆的半径等于1，其圆心O满足，
∴O是BC中点，∴∠BAC＝90°，△OAC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，∠ABC＝30°，||，
向量在方向上的投影为：
．
故选：C．
4．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝DA＝2，若E为BC的中点，则（ ）
A．
B．3
C．2
D．12
【解答】解：依题意，梯形ABCD为等腰梯形，过C，D分别做AB的垂线，
交AB于F，G
则CD＝FG＝2，AF＝BG＝1
又三角形ADF为直角三角形，AD＝2，AF＝1
由勾股定理得DF
以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立如图坐标系
则A（0，0），B（4，0），C（3，）
∴E（，）
（3，），（，）
12．
故选：D．
5．已知的模为1．且在方向上的投影为，则与的夹角为（ ）
A．30°
B．60°
C．120°°
D．150°
【解答】解：||＝1，则在方向上的投影为||cosθ＝1×cosθ，
∴cosθ；
又θ∈[0°，180°]，
∴与的夹角为θ＝30°．
故选：A．
6．已知△ABC中，，则△ABC为（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不能确定
【解答】解：∵，
∴cosB＞0，即B为锐角，
此时无法判断A，C的大小，
∴△ABC为的形状无法判断．
故选：D．
8.1.2
向量数量积的运算律
1．对于非零实数a，b，c，以下四个命题都成立：
①（a+b）2＝a2+2a?b+b2；
②若a?b＝a?c，则b＝c；
③（a+b）?c＝a?c+b?c；
④（a?b）?c＝a?（b?c）；
那么类比于此，对于非零向量，，，相应命题仍然成立的所有序号是 ①③ ．
【解答】解：①（a+b）2＝a2+2a?b+b2，利用向量的数量积公式，可得对于非零向量，，，相应命题仍然成立；
②若，满足??，但是不一定成立；
③向量的数量积满足分配律，正确；
④（?）?与共线，?（?）与共线，当、方向不同时，向量的数量积运算结合律不成立，故不正确；
故答案为：①③．
2．已知向量与的夹角为，且||＝1，|2|，则||等于（ ）
A．
B．
C．1
D．
【解答】解：因为向量与的夹角为，且||＝1，|2|，
所以：|2|2＝7，即42+42＝7，
所以：4+2||+||2＝7，解得||＝1．
故选：C．
3．已知||＝1，||＝2，λ，λ∈R，则||等于（ ）
A．1
B．3
C．1或3
D．|λ|
【解答】解：∵；
∴；∴1＝4λ2；∴；
∴；
∴；
∴4；
∴或9；
∴或3．
故选：C．
4．已知两个单位向量，满足||＝||，则向量与的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵已知两个单位向量，满足||＝||，设向量与的夹角为θ，
则
2，∴2?0，即
2?1?1?cosθ+1＝0，∴cosθ，
∴θ，
故选：C．
5．在△ABC中，若BC＝8，BC边上中线长为3，则?（ ）
A．﹣7
B．7
C．﹣28
D．28
【解答】解：在△ABC中，若BC＝8，BC边上中线长为3，
可得：，，
可得，，
两式作差可得：4?28，所以?7．
故选：A．
6．向量的夹角为120°，，，则的最大值为（ ）
A．
B．2
C．
D．4
【解答】解：|2|≤|2|+||，计算：|2|22+42+4||2+4||2+4||?||cosθ＝1+4﹣43，
∴|2|，|2|≤|2|+||＝2，当且仅当||2|＝||时取等号．
故的最大值为2，
故选：C．
8.1.3
向量数量积的坐标运算
1．已知向量（﹣1，2），（3，4），则||2?（ ）
A．0
B．﹣1
C．2或﹣2
D．
【解答】解：因为向量（﹣1，2），（3，4），
则||2??（﹣1，2）?（﹣1，2）﹣（﹣1，2）?（3，4）＝（﹣1）2+22﹣[（﹣1）×3+2×4]＝0；
故选：A．
2．已知向量（3，4），（2，1），则向量与夹角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵向量（3，4），（2，1），设向量与夹角为θ，θ∈[0，π]，
则cosθ，
故选：A．
3．设向量，，且，则向量与的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：根据题意，设向量与的夹角为θ，
向量，，
若，则有?x0，解可得x，
即（，1），（1，），
则（0，4），
则有||＝4，||＝2，（）??2＝﹣4，
则cosθ，
又由0≤θ≤π，则θ；故选：D．
4．已知向量（1，2），（2，﹣3）．若向量满足（）∥，⊥（），则（ ）
A．（，）
B．（）
C．（）
D．（）
【解答】解：设（x，y），则（x+1，y+2），（3，﹣1），
由（）∥，可得（﹣3）（x+1）＝2（y+2），①
由⊥（），可得3x﹣y＝0，②
联立①②，
解可得，
即（，），
故选：D．
5．已知边长为2的菱形ABCD中，点F为BD上一动点，点E满足2，，则的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由题意知：，
设∠DAB＝θ，
所以（）?（）24cosθ﹣4cosθ，
所以cosθ，
又θ∈（0，π），
所以，
以AC与BD交点为原点，AC为x轴，BD为y轴建立如图所示的直角坐标系，
所以A（，0），C（，0），D（0，1），B（0，﹣1），E（），
设F（0，t），
则（，t），（，t），
所以2+t（t）＝t2（t）2，
当t时，取最小值，
故选：D．
6．如图，在矩形ABCD中，AB，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值是 ．
【解答】解：∵，
||，
∴||＝1，||1，
∴（）（）22，
故答案为：
8.1
综合过关
1．已知向量，满足||＝3，||＝1，且（29）⊥，则29与的夹角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴．
故选：A．
2．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为CD的中点，则的值为（ ）
A．1
B．
C．
D．
【解答】解：在菱形ABCD中，∠BAD＝60，∴△ABD为正三角形，由
60°，可得180°﹣60°＝120°．
∴（）?═2×2×cos60°+1×2×cos120°＝2﹣1＝1，
故选：A．
3．已知△ABC是边长为2的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
【解答】解：以BC所在的直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，
∵△ABC是边长为2的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，
∴B（﹣1，0），C（1，0），E（0，0），A（0，），
∴D（，），
∴（2，0），（，），
设F（x，y），
∴（x，y），
∵DE＝2EF，
∴2，
∴（，）＝2（x，y），
解得x，y，
∴（，），
∴（，）?（2，0），
故选：B．
4．设平面向量（﹣2，1），（λ，﹣1），若与的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ ）
A．
B．（2，+∞）
C．（，+∞）
D．（﹣∞，）
【解答】解：由题意，可得
?2?λ+1×（﹣1）＜0，且λ﹣（﹣2）×（﹣1）≠0，
∴λ，且
λ≠2，
故实数x的取值范围为
（，2）∪（2，+∞），
故选：A．
5．已知向量（t，2），（﹣1，1）．若||＝||，则t的值为（ ）
A．﹣2
B．﹣1
C．1
D．2
【解答】解：将||＝||，两边平方可得，
向量（t，2），（﹣1，1），可得﹣t+2＝0，
解得t＝2，
故选：D．
6．已知平面向量的模都为2，且，90°，若λ（λ≠0），则（ ）
A．4
B．
C．2
D．0
【解答】解：平面向量的模都为2，且，90°，若λ（λ≠0），
建立平面直角坐标系如图：则（2，2），
M（，），
则224．
故选：A．
7．已知向量（cosθ﹣2，sinθ），其中θ∈R，则||的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．
D．3
【解答】解：∵（cosθ﹣2，sinθ），其中θ∈R，
∴．
故选：A．
二．解答题（共1小题）
8．已知向量（﹣3，2），（2，1），（3，﹣1），t∈R．
（1）求||的最小值及相应的t值；
（2）若与共线，求实数t．
【解答】解：（1）∵（﹣3，2），（2，1），（3，﹣1），
∴t（﹣3，2）+t（2，1）＝（﹣3+2t，2+t），
∴|t|
（当且仅当t时等号成立）．
（2）∵（﹣3，2）﹣t（2，1）＝（﹣3﹣2t，2﹣t），
又与共线，
∴（﹣3﹣2t）×（﹣1）＝3×（2﹣t），解得t．
