7.3
三角函数的性质与图像
7.3.1正弦函数的性质与图像
1．以下对正弦函数y＝sinx的图象描述不正确的是（ ）
A．在x∈[2kπ，2kπ+2π]（k∈Z）上的图象形状相同，只是位置不同
B．介于直线y＝1与直线y＝﹣1之间
C．关于x轴对称
D．与y轴仅有一个交点
2．函数y＝1﹣sinx，x∈[0，2π]的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．设0≤x≤2π，使sinx且cosx同时成立的x取值范围是（ ）
A．[]
B．[]
C．[]
D．（]
4．函数y＝|sinx|﹣2sinx，x∈[，]的值域是（ ）
A．[﹣3，﹣1]
B．[﹣1，3]
C．[0，3]
D．[﹣3，0]
5．函数y＝|sinx|的一个单调递增区间是（ ）
A．（）
B．（π，2π）
C．（）
D．（0，π）
6．对于函数f（x）＝2sinxcosx，下列选项中正确的是（ ）
A．f（x）在（，）上是递增的
B．f（x）的图象关于原点对称
C．f（x）的最小正周期为2π
D．f（x）的最大值为2
7．对于正弦函数y＝sinx的图象，下列说法错误的是（ ）
A．向左右无限伸展
B．与x轴有无数个交点
C．关于y轴对称
D．与y＝cosx的图象形状相同，位置不同
7.3.2
正弦型函数的性质与图像
1．为了得到函数的图象，只需把函数y＝sinx的图象上所有的点（ ）
A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
2．要想得到函数y＝sin2x+1的图象，只需将函数y＝cos2x的图象（ ）
A．向左平移个单位，再向上平移1个单位
B．向右平移个单位，再向上平移1个单位
C．向左平移个单位，再向下平移1个单位
D．向右平移个单位，再向上平移1个单位
3．将函数y＝sin（2x）的图象向右平移个的单位长度，再将所得到的函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象的函数解析式为（ ）
A．y＝sin（x）
B．y＝sin（4x）
C．y＝sin（x）
D．y＝sin（4x）
4．已知曲线C1：y＝cosx，C2：y＝sin（2x），则下面结论正确的是（ ）
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移
个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移
个单位长度，得到曲线C2
5．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式为（ ）
A．f（x）＝2sin（x）
B．f（x）＝2sin（x）
C．f（x）＝2sin（2x）
D．f（x）＝2sin（2x）
6．图是函数y＝Asin（ωx+φ）（x∈R）在区间上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y＝sinx（x∈R）的图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
7．设函数f（x）＝sin（2xπ），x∈R，则f（x）是（ ）
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为π的偶函数
8．函数f（x）＝sin（ωx）的最小正周期为，其中ω＞0，则ω等于（ ）
A．5
B．10
C．15
D．20
9．函数在区间[0，π]上的一个单调递减区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．对于函数f（x）＝cos（2x），下列选项中正确的是（ ）
A．f（x）在上是递增的
B．f（x）的图象关于原点对称
C．f（x）的最小正周期为2π
D．f（x）的最大值为2
11．函数y＝log2[sin（x）]的单调递增区间是
．
12．已知f（x）＝sin（ωx+φ），ω＞0，，f（x）是奇函数，直线y＝1与函数f（x）的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，则（ ）
A．f（x）在上单调递减
B．f（x）在上单调递减
C．f（x）在上单调递增
D．f（x）在上单调递增
13．已知函数f（x）＝cos（2x+φ）（|φ|），若x是f（x）图象的一条对称轴的方程，则下列说法正确的是（ ）
A．f（x）图象的一个对称中心（）
B．f（x）在[]上是增函数
C．f（x）的图象过点（0，）
D．f（x）在[]上是减函数
14．函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分图象，若，且f（x1）＝f（x2）（x1≠x2），则f（x1+x2）＝（ ）
A．1
B．
C．
D．
15．函数f（x）＝Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0），若f（x）在区间[0，]是单调函数，且
f（﹣π）＝f（0）＝﹣f（），则ω的值为（ ）
A．
B．1
C．2或
D．或2
7.3.3
余弦函数的性质与图像
1．函数Y＝1﹣2cosx的最小值、最大值分别是（ ）
A．0，3
B．﹣1，1
C．﹣1，3
D．0，1
2．若0＜x＜π，则函数y＝lg（sinx）的定义域是（ ）
A．[，）
B．（，）
C．[，）
D．（，π）
3．函数y＝|cosx|的一个单调减区间是（ ）
A．
B．
C．
D．（π，2π）
4．函数的单调减区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|）的部分图象如图所示，则函数f（x）的单调增区间为（ ）
A．[2kπ，2kπ]（k∈Z）
B．[kπ，kπ]（k∈Z）
C．[2kπ，2kπ]（k∈Z）
D．[kπ，kπ]（k∈Z）
6．函数f（x）＝sin（2x）是（ ）
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的偶函数
7．若函数y＝2cos（2x+φ）是偶函数，且在（0，）上是增函数，则实数φ可能是（ ）
A．
B．0
C．
D．π
8．若把函数y＝3cos（2x）的图象上的所有点向右平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的有（ ）个
①函数f（x）的图象关于直线对称
②函数f（x）在上单调递增
③函数f（x）的图象关于点对称
④将函数y＝2sin2x的图象向左平移个单位得到f（x）的图象．
A．1
B．2
C．3
D．4
10．已知函数，x∈R．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）当时，方程f（x）＝k恰有两个不同的实数根，求实数k的取值范围；
（3）将函数的图象向右平移m（m＞0）个单位后所得函数g（x）的图象关于原点中心对称，求m的最小值．
7.3.4
正切函数的性质与图像
1．已知函数y＝tan（），则其定义域是（ ）
A．{x|xkπ}（k∈Z）
B．{x|x2kπ}（k∈Z）
C．{x|x2kπ}（k∈Z）
D．{x|xkπ}（k∈Z）
2．函数的值域是（ ）
A．[﹣1，1]
B．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）
C．（﹣∞，1]
D．[﹣1，+∞）
3．下列关于函数的命题正确的是（ ）
A．函数f（x）在区间上单调递减
B．函数f（x）的对称轴方程是
C．函数f（x）的对称中心是
D．函数f（x）可以由函数g（x）＝2cos2x+1向右平移个单位得到
4．函数f（x）＝tan（x）的单调递减区间为（ ）
A．（kπ，kπ），k∈Z
B．（kπ，kπ），k∈Z
C．（kπ，kπ），k∈Z
D．（kπ，（k+1）π），k∈Z
5．已知函数f
（x）＝asinx+btanx+1，满足f
（5）＝7，则f
（﹣5）的值为（ ）
A．5
B．﹣5
C．6
D．﹣6
6．已知函数f（x）＝tan（2x），则下列说法正确的是（ ）
A．f（x）在定义域内是增函数
B．f（x）的最小正周期是π
C．f（x）的对称中心是（），k∈Z
D．f（x）
的对称轴是x
7．关于函数f（x）＝tan（2x），有以下命题：
①函数f（x）的定义域是{x|xkπ，k∈Z}；
②函数f（x）是奇函数；
③函数f（x）的图象关于点（，0）对称；
④函数f（x）的一个单调递增区间为（，）．
其中，正确的命题序号是
．
8．设函数f（x）＝tan（）
（1）求函数f（x）的定义域、最小正周期、单调区间及对称中心．
（2）求不等式﹣1≤f（x）的解集．
7.3综合过关
1．关于函数f（x）＝4sin（2x）（x∈R），下列说法正确的是（ ）
A．函数y＝f（x）的表达式可改写为y＝4cos（2x）
B．函数y＝f（x）是以2π为最小正周期的周期函数
C．函数y＝f（x）的图象关于点（，0）对称
D．函数y＝f（x）的图象关于直线x对称
2．函数的单调增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．当x∈[0，2π]时，函数f（x）＝sin（x）的单调递减区间为
．
4．已知函数f（x）＝2sin（wx+φ）（其中x∈R，w＞0，﹣π＜φ＜π）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式是（ ）
A．f（x）＝2sin（2x）
B．f（x）＝2sin（2x）
C．f（x）＝2sin（6x）
D．f（x）＝2sin（6x）
5．函数f（x）＝sin（2x+φ）（|φ|＜π）的图象过点（，0）（如图所示），若将f（x）的图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则g（x）图象的一条对称轴的方程为（ ）
A．x
B．x
C．x
D．x
6．将函数y＝sin（2x）的图象向右平移个的单位长度，再将所得到的函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象的函数解析式为（ ）
A．y＝sin（x）
B．y＝sin（4x）
C．y＝sin（x）
D．y＝sin（4x）
7．已知函数f（x）＝Acos（ωx+φ）
（A＞0，ω＞0，|φ|）的图
象如图所示，若将函数f（x）的图象向右平移个单位，则所得的函数解析式为（ ）
A．y＝2cos（2x）
B．y＝2cos（2x）
C．
D．
8．将函数f（x）＝2sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向左平移个单位后得到函数y＝g（x）的图象，若函数y＝g（x）为偶函数，则函数y＝f（x）在的值域为（ ）
A．[﹣1，2]
B．[﹣1，1]
C．
D．
9．函数是（ ）
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的偶函数
10．将函数f（x）＝2sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向左平移个单位后得到函数y＝g（x）的图象，若函数y＝g（x）为偶函数，则函数y＝f（x）在的值域为（ ）
A．[﹣1，2]
B．[﹣1，1]
C．
D．
11．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|）一部分图象如图所示，则ω＝
，函数f（x）的单调递增区间为
．
12．函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（其中ω＞0，|φ|），若函数f（x）的图象与x轴的任意两个相邻交点间的距离为且过点（0，1）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的单调增区间：
（3）求f（x）在（，0）的值域．7.3
三角函数的性质与图像
7.3.1正弦、余弦、正切函数的性质与图像
1．以下对正弦函数y＝sinx的图象描述不正确的是（ ）
A．在x∈[2kπ，2kπ+2π]（k∈Z）上的图象形状相同，只是位置不同
B．介于直线y＝1与直线y＝﹣1之间
C．关于x轴对称
D．与y轴仅有一个交点
【解答】解：因为正弦函数y＝sinx的周期为2π，故A正确；
因为正弦函数y＝sinx的值域为[﹣1，1]，故B正确；
因为正弦函数y＝sinx不关于x轴对称，故C不正确；
因为正弦函数y＝sinx与y轴只有一个交点，故D正确；
故选：C．
2．函数y＝1﹣sinx，x∈[0，2π]的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：按五个关键点列表：
x
0
π
2π
y
1
0
1
2
1
描点并将它们用光滑的曲线连接起来如图所示：
故选：B．
3．设0≤x≤2π，使sinx且cosx同时成立的x取值范围是（ ）
A．[]
B．[]
C．[]
D．（]
【解答】解：由正弦曲线，得sinx时，x∈[，]；
由余弦曲线，得cosx时，x∈（，），
∴0≤x≤2π，使sin
x且cos
x同时成立的x取值范围是（]．
故选：D．
4．函数y＝|sinx|﹣2sinx，x∈[，]的值域是（ ）
A．[﹣3，﹣1]
B．[﹣1，3]
C．[0，3]
D．[﹣3，0]
【解答】解：当x≤0时，y＝|sinx|﹣2sinx＝﹣3sinx∈[0，3]，
当0≤x时，y＝|sinx|﹣2sinx＝﹣sinx∈[﹣1，0]；
∴函数y＝|sinx|﹣2sinx，x∈[，]的值域是[﹣1，3]．
故选：B．
5．函数y＝|sinx|的一个单调递增区间是（ ）
A．（）
B．（π，2π）
C．（）
D．（0，π）
【解答】解：y＝|sinx|，
则对应的图象如图：
则函数在（）上为增函数，满足条件．
故选：C．
6．对于函数f（x）＝2sinxcosx，下列选项中正确的是（ ）
A．f（x）在（，）上是递增的
B．f（x）的图象关于原点对称
C．f（x）的最小正周期为2π
D．f（x）的最大值为2
【解答】解：∵f（x）＝2sinxcosx＝sin2x，是周期为π的奇函数，
对于A，f（x）在（，）上是递减的，A错误；
对于B，f（x）是周期为π的奇函数，B正确；
对于C，f（x）是周期为π，错误；
对于D，f（x）＝sin2x的最大值为1，错误；
故选：B．
7．对于正弦函数y＝sinx的图象，下列说法错误的是（ ）
A．向左右无限伸展
B．与x轴有无数个交点
C．关于y轴对称
D．与y＝cosx的图象形状相同，位置不同
【解答】解：对于正弦函数y＝sinx的图象，向左右无限伸展，∴A正确；
与x轴的交点坐标是（kπ，0）（k∈Z），有无数个交点，∴B正确；
对称轴是x＝kπ，k∈Z，不关于y轴对称，∴C错误；
由y＝sin（x）＝cosx知，y＝cosx的图象是由y＝sinx的图象向左平移个单位得到，
∴正弦函数的图象与余弦函数的图象形状相同，位置不同，∴D正确．
故选：C．
7.3.2
正弦型函数的性质与图像
1．为了得到函数的图象，只需把函数y＝sinx的图象上所有的点（ ）
A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
【解答】解：∵由y＝sinx到y＝sin（x），只是横坐标由x变为x，
∴要得到函数y＝sin（x）的图象，只需把函数y＝sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度．
故选：A．
2．要想得到函数y＝sin2x+1的图象，只需将函数y＝cos2x的图象（ ）
A．向左平移个单位，再向上平移1个单位
B．向右平移个单位，再向上平移1个单位
C．向左平移个单位，再向下平移1个单位
D．向右平移个单位，再向上平移1个单位
【解答】解：由函数y＝cos2x可化简为：y＝sin（）＝sin[2（x）]，
∴向右平移个单位可得y＝sin2x的图象，
再向上平移1个单位，可得y＝sin2x+1的图象．
故选：B．
3．将函数y＝sin（2x）的图象向右平移个的单位长度，再将所得到的函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象的函数解析式为（ ）
A．y＝sin（x）
B．y＝sin（4x）
C．y＝sin（x）
D．y＝sin（4x）
【解答】解：将函数y＝sin（2x）的图象向右平移个的单位长度，可得y＝sin（2x）的图象，
再将所得到的函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），
则所得到的图象的函数解析式为
y＝sin（x），
故选：A．
4．已知曲线C1：y＝cosx，C2：y＝sin（2x），则下面结论正确的是（ ）
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移
个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移
个单位长度，得到曲线C2
【解答】解：曲线C2：y＝sin（2x）＝cos（2x），
把C1：y＝cosx上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，可得y＝cos2x的图象；
再把得到的曲线向左平移个单位长度，可以得到曲线C2：y＝cos（2x）＝sin（2x）的图象，
故选：D．
5．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式为（ ）
A．f（x）＝2sin（x）
B．f（x）＝2sin（x）
C．f（x）＝2sin（2x）
D．f（x）＝2sin（2x）
【解答】解：由函数的图象可得A＝2，
又∵函数的周期T＝2（）＝π，∴ω2，
∴f（x）＝2sin（2x+φ），
∵点（，0）在函数图象上，
∴2sin（2φ）＝0，可得2φ＝kπ，k∈Z，由于|φ|，可得φ．
∴f（x）的解析式为f（x）＝2sin（2x）．
故选：C．
6．图是函数y＝Asin（ωx+φ）（x∈R）在区间上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y＝sinx（x∈R）的图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
【解答】解：由图象可知函数的周期为π，振幅为1，
所以函数的表达式可以是y＝sin（2x+φ）．
代入（，0）可得φ的一个值为
，
故图象中函数的一个表达式是y＝sin（2x），
即y＝sin2（x），
所以只需将y＝sinx（x∈R）的图象上所有的点向左平移
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的
倍，纵坐标不变．
故选：A．
7．设函数f（x）＝sin（2xπ），x∈R，则f（x）是（ ）
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为π的偶函数
【解答】解：由题意得，f（x）＝sin（2xπ）＝﹣cos2x，
所以函数是偶函数，且周期是Tπ，
故选：D．
8.函数f（x）＝sin（ωx）的最小正周期为，其中ω＞0，则ω等于（ ）
A．5
B．10
C．15
D．20
【解答】解：由已知得，又ω＞0，
所以，ω＝10．
故选：B．
9．函数在区间[0，π]上的一个单调递减区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由2kπ2x2kπ（k∈Z）得：
kπx≤kπ（k∈Z），
令k＝0得x，
∴函数y＝sin（2x）在区间[0，π]上的一个单调递减区间为[，]．
故选：B．
10．对于函数f（x）＝cos（2x），下列选项中正确的是（ ）
A．f（x）在上是递增的
B．f（x）的图象关于原点对称
C．f（x）的最小正周期为2π
D．f（x）的最大值为2
【解答】解：函数f（x）＝cos（2x）＝sin2x，
因为y＝sinx是奇函数，所以y＝sin2x也是奇函数，函数的图象关于原点对称．
故选：B．
11．函数y＝log2[sin（x）]的单调递增区间是 （2kπ，2kπ]，k∈Z ．
【解答】解：设t＝sin（x），则y＝log2t为增函数，
要求函数y＝log2[sin（x）]的单调递增区间，
即求函数y＝sin（x）的单调递增区间且sin（x）＞0，
即2kπ＜x2kπ，k∈Z，
得2kπx≤2kπ，k∈Z，
即函数y＝log2[sin（x）]的单调递增区间是（2kπ，2kπ]，k∈Z，
故答案为：（2kπ，2kπ]，k∈Z
12．已知f（x）＝sin（ωx+φ），ω＞0，，f（x）是奇函数，直线y＝1与函数f（x）的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，则（ ）
A．f（x）在上单调递减
B．f（x）在上单调递减
C．f（x）在上单调递增
D．f（x）在上单调递增
【解答】解：∵f（x）＝sin（ωx+φ），f（x）是奇函数，|φ|，
∴φ＝0，则f（x）＝sinωx，
∵直线y＝1与函数f（x）的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，
∴T，即，得ω＝4，即f（x）＝sin4x，
由2kπ﹣≤4x≤2kπ，k∈Z，得kπxkπ，当k＝0时，函数的递增区间为[，]，k＝1时，递增区间为[，]
由2kπ4x≤2kπ，k∈Z，得kπxkπ，当k＝0时，函数的递减区间为[，]，当k＝1时，函数的递减区间为[，]，
故选：A．
13．已知函数f（x）＝cos（2x+φ）（|φ|），若x是f（x）图象的一条对称轴的方程，则下列说法正确的是（ ）
A．f（x）图象的一个对称中心（）
B．f（x）在[]上是增函数
C．f（x）的图象过点（0，）
D．f（x）在[]上是减函数
【解答】解：∵函数f（x）＝cos（2x+φ）（|φ|），若x是f（x）图象的一条对称轴的方程，
∴φ＝kπ，k∈Z，又|φ|，
∴φ，f（x）＝cos（2x）．
∵当x时，f（x）＝1，为最大值，故f（x）图象的一条对称轴方程为x，故排除A；
在[]上，2x∈[﹣π，0]，函数f（x）单调递增，故B满足条件；
当x＝0时，f（x），故排除C；
在[]上，2x∈[，]，函数f（x）＝cos（2x）不单调，故D错误，
故选：B．
14．函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分图象，若，且f（x1）＝f（x2）（x1≠x2），则f（x1+x2）＝（ ）
A．1
B．
C．
D．
【解答】解：由图象可得A＝1，，解得ω＝2，
∴f（x）＝sin（2x+φ），
代入点（，0）可得sin（φ）＝0
∴φ＝kπ，∴φ＝kπ，k∈Z
又|φ|，∴φ，
∴f（x）＝sin（2x），
∴sin（2）＝1，即图中点的坐标为（，1），
又，且f（x1）＝f（x2）（x1≠x2），
∴x1+x22，
∴f（x1+x2）＝sin（2），
故选：D．
15．函数f（x）＝Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0），若f（x）在区间[0，]是单调函数，且f（﹣π）＝f（0）＝﹣f（），则ω的值为（ ）
A．
B．1
C．2或
D．或2
【解答】解：∵f（x）＝Asin（ωx+φ）在区间[0，]是有单调性，ω＞0，
∴，
∴0＜ω≤2；
∵f（﹣π）＝f（0），
∴函数f（x）关于x对称，
∴x＝0离最近对称轴x的距离为0﹣（）；
又f（0）＝﹣f（），∴f（x）有对称中心为（，0）；
由题意可知：若x与（，0）为不是同一周期里面相邻的对称轴与对称中心．
则，可得T＝π，
∴ω＝2．
若x与（，0）为同一周期里面相邻的对称轴与对称中心．
那么：，可得T＝3π，
∴ω．
故选：D．
7.3.3
余弦函数的性质与图像
1．函数Y＝1﹣2cosx的最小值、最大值分别是（ ）
A．0，3
B．﹣1，1
C．﹣1，3
D．0，1
【分析】由﹣1≤cosx≤1，知﹣1≤1﹣2cosx≤3，由此能求出函数y＝1﹣2cosx的最小值和最大值．
【解答】解：∵﹣1≤cosx≤1，
∴﹣2≤2cosx≤2，
∴﹣1≤1﹣2cosx≤3．
∴函数y＝1﹣2cosx的最小值是﹣1，最大值是3．
故选：C．
2．若0＜x＜π，则函数y＝lg（sinx）的定义域是（ ）
A．[，）
B．（，）
C．[，）
D．（，π）
【分析】根据对数函数和根式函数成立的条件即可求函数的定义域．
【解答】解：要使函数有意义，则，
即，
∵0＜x＜π，
∴得x，
即函数的定义域为[，），
故选：C．
3．函数y＝|cosx|的一个单调减区间是（ ）
A．
B．
C．
D．（π，2π）
【分析】根据余弦函数的图象以及函数的解析式画出函数的图象，由图象写出一个增区间即可．
【解答】解：在坐标系中画出函数y＝|cosx|的图象：
根据图象及选项得到函数的一个增区间是：（0，）
故选：B．
4．函数的单调减区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】直接利用复合函数的单调性求解．
【解答】解：cos（x）．
由2k，可得，k∈Z．
∴函数的单调减区间是．
故选：A．
5．函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|）的部分图象如图所示，则函数f（x）的单调增区间为（ ）
A．[2kπ，2kπ]（k∈Z）
B．[kπ，kπ]（k∈Z）
C．[2kπ，2kπ]（k∈Z）
D．[kπ，kπ]（k∈Z）
【分析】先根据条件求出函数的周期，结合图象的最高点为（，1），求出它的增区间．
【解答】解：根据函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|）的部分图象，
可得?，∴ω＝2，∴函数的周期为π，
∵图中函数图象的最高点为（，1），
故函数的增区间为[kπ，kπ]，k∈Z，
故选：D．
6．函数f（x）＝sin（2x）是（ ）
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的偶函数
【分析】利用三角函数的诱导公式先进行化简，然后结合函数的奇偶性和周期性的性质进行判断即可．
【解答】解：f（x）＝sin（2x）＝﹣sin（2x）＝﹣cos2x，
则函数f（x）是偶函数，
函数的最小正周期Tπ，
即f（x）是最小正周期为π的偶函数，
故选：B．
7．若函数y＝2cos（2x+φ）是偶函数，且在（0，）上是增函数，则实数φ可能是（ ）
A．
B．0
C．
D．π
【分析】依次把选项中的值代入函数表达式，判断函数的奇偶性，或者单调性，即可判断选项的正误，得到结论即可．
【解答】解：依次代入检验知，φ，函数是奇函数，A不正确；
φ＝0，在（0，）上函数是减函数B不正确；
φ时，函数的奇函数，C不正确；
当φ＝π时，函数y＝2cos（2x+π）＝﹣2cos2x，此时函数是偶函数且在（0，）上是增函数．正确．
故选：D．
8．若把函数y＝3cos（2x）的图象上的所有点向右平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】利用图象的平移求出平移后的解析式，由所得到的图象关于y轴对称，根据对称轴方程求出m的最小值．
【解答】解：由题意知，y＝3cos（2x），图象向右平移m（m＞0）个单位长度后，所得到y＝3cos（2x2m）
所得到的图象关于y轴对称，∴2m＝kπ，k∈Z，∴m，k∈Z，∵m＞0，∴m的最小值为：．
故选：C．
9．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的有（ ）个
①函数f（x）的图象关于直线对称
②函数f（x）在上单调递增
③函数f（x）的图象关于点对称
④将函数y＝2sin2x的图象向左平移个单位得到f（x）的图象．
A．1
B．2
C．3
D．4
【分析】根据函数f（x）的部分图象求出f（x）的解析式，再根据三角函数的图象与性质，判断题目中的命题是否正确．
【解答】解：根据函数f（x）的部分图象知，
A＝2，，
∴T＝π，ω2；
由五点法画图知，x时f（）＝2，
∴2φ，解得φ；
∴f（x）＝2sin（2x）；
对于①，xf（）＝2sin（2×（））＝﹣2
∴函数f（x）的图象关于直线对称，命题正确；
对于②，x∈时，2x∈[，]，f（x）是单调递增函数，命题正确；
对于③，xf（）＝2sin[2×（）]＝0，
∴函数f（x）的图象关于点对称，命题正确；
对于④，将函数y＝2sin2x的图象向左平移个单位，
得到y＝2sin2（x）＝2sin（2x）的图象，
不是f（x）的图象，∴命题错误．
综上，正确的命题序号是①②③，共3个．
故选：C．
10．已知函数，x∈R．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）当时，方程f（x）＝k恰有两个不同的实数根，求实数k的取值范围；
（3）将函数的图象向右平移m（m＞0）个单位后所得函数g（x）的图象关于原点中心对称，求m的最小值．
【分析】（1）利用余弦函数的单调性，得出结论．
（2）由题意可得f（x）的图象和直线y＝k有2个不同的交点，即
0≤cos（2x）＜1，由此求得k的范围．
（3）利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用三角函数的图象的对称性，求得m的最小值．
【解答】解：（1）对于函数，令2kπ+π≤2x2kπ+2π，求得kπx≤kπ，
可得函数的单调增区间为[kπ，kπ]，k∈Z．
（2）∵当时，2x∈[，]，方程f（x）＝k恰有两个不同的实数根，
即f（x）的图象和直线y＝k有2个不同的交点，∴0≤cos（2x）＜1，即
0≤k＜2，
求实数k的取值范围[0，2）．
（3）将函数的图象向右平移m（m＞0）个单位后，
所得函数g（x）＝2cos（2x﹣2m）的图象关于原点中心对称，∴﹣2mkπ，k∈Z．
令k＝﹣1，可得m的最小值为．
7.3.4
正切函数的性质与图像
7.3.4
正切函数的性质与图像
1．已知函数y＝tan（），则其定义域是（ ）
A．{x|xkπ}（k∈Z）
B．{x|x2kπ}（k∈Z）
C．{x|x2kπ}（k∈Z）
D．{x|xkπ}（k∈Z）
【分析】根据正切函数成立的条件进行求解即可求出函数的定义域．
【解答】解：要使函数有意义，则kπ，得x2kπ，（k∈Z），
即定义域为{x|x2kπ}，（k∈Z），
故选：C．
2．函数的值域是（ ）
A．[﹣1，1]
B．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）
C．（﹣∞，1]
D．[﹣1，+∞）
【分析】利用正切函数的单调性，对x分当x＜0与0＜x讨论，即可求得函数y的值域．
【解答】解：当x＜0时，﹣1≤tanx＜0，
∴1；
当0＜x时，0＜tanx≤1，
∴1；
∴当x∈[，0）∪（0，]时，函数y的值域为：（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）．
故选：B．
3．下列关于函数的命题正确的是（ ）
A．函数f（x）在区间上单调递减
B．函数f（x）的对称轴方程是
C．函数f（x）的对称中心是
D．函数f（x）可以由函数g（x）＝2cos2x+1向右平移个单位得到
【分析】根据正弦函数的单调行可判断A不对；
求出函数f（x）的对应的对称轴，即可判断B；
将x＝kπ代入到到函数f（x）中可得到f（）＝1，从而可确定对称中心为（kπ，1）进而
可判断C；
对根据左加右减的原则函数g（x）进行平移，进而可判断D；
从而可判断答案．
【解答】解：当2kπx2kπ时，即2kπx≤2kππ，函数单调增，
∴函数f（x）在区间上单调递增，A不对；
令2x，∴x（k∈Z），故函数f（x）的对称轴是x（k∈Z），故B对；
将x＝kπ代入到到函数f（x）中得到f（）＝1，故对称中心为（kπ，1），C不对；
将函数g（x）＝2cos2x+1向右平移个单位得到y＝2cos2（x）+1＝2cos（2x）+1，不是函数f（x），D不对．
故选：B．
4．函数f（x）＝tan（x）的单调递减区间为（ ）
A．（kπ，kπ），k∈Z
B．（kπ，kπ），k∈Z
C．（kπ，kπ），k∈Z
D．（kπ，（k+1）π），k∈Z
【分析】根据正切函数的单调性进行求解即可．
【解答】解：f（x）＝tan（x）＝﹣tan（x），
由kπxkπ，
解得kπx＜kπ，k∈Z，
即函数的递减区间为（kπ，kπ），k∈Z，
故选：B．
5．已知函数f
（x）＝asinx+btanx+1，满足f
（5）＝7，则f
（﹣5）的值为（ ）
A．5
B．﹣5
C．6
D．﹣6
【分析】利用函数奇偶性特征，求出f（﹣x）+f（x）的值，再利用f（5）的值求出f（﹣5）的值，得到本题结论．
【解答】解：∵函数f（x）＝asinx+btanx+1，
∴f（﹣x）＝asin（﹣x）+btan（﹣x）+1＝﹣asinx﹣btanx+1，
∴f（﹣x）+f（x）＝2，
∴f（﹣5）+f（5）＝2．
∵f（5）＝7，
∴f（﹣5）＝﹣5．
故选：B．
6．已知函数f（x）＝tan（2x），则下列说法正确的是（ ）
A．f（x）在定义域内是增函数
B．f（x）的最小正周期是π
C．f（x）的对称中心是（），k∈Z
D．f（x）
的对称轴是x
【分析】根据正切函数的图象与性质，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．
【解答】解：函数f（x）＝tan（2x）的定义域是（，），k∈Z；
在定义域内的每一个区间上是单调增函数，整个定义域上没有单调性，A错误；
函数f（x）＝tan（2x）的最小正周期为T，B错误；
对于C，令2x，k∈Z，解x，k∈Z，
∴f（x）的对称中心是（，0），k∈Z，C正确；
对于D，正切函数不是轴对称函数，f（x）＝tan（2x）图象没有对称轴，D错误．
故选：C．
7．关于函数f（x）＝tan（2x），有以下命题：
①函数f（x）的定义域是{x|xkπ，k∈Z}；
②函数f（x）是奇函数；
③函数f（x）的图象关于点（，0）对称；
④函数f（x）的一个单调递增区间为（，）．
其中，正确的命题序号是 ①③ ．
【分析】根据正切函数的图象及性质依次判断即可．
【解答】解：函数f（x）＝tan（2x），
对于①：由题意，2x，可得：x．k∈Z．∴①对．
对于②：f（﹣x）＝tan（﹣2x）＝﹣tan（2x），f（﹣x）≠﹣f（x）．∴函数f（x）不是奇函数，②不对．
对于③：令2xkπ，可得：x，k为整数．当k＝0时，可得图象关于点（，0）对称；∴③对．
对于④：令kπkπ，可得：，∴④不对．
故答案为：①③．
8．设函数f（x）＝tan（）
（1）求函数f（x）的定义域、最小正周期、单调区间及对称中心．
（2）求不等式﹣1≤f（x）的解集．
【分析】（1）利用正切函数的性质，求函数f（x）的定义域、最小正周期、单调区间及对称中心．
（2）由题意，kπkπ，可得不等式﹣1≤f（x）的解集．
【解答】解：（1）由，得到函数的定义域；
周期T＝2π；增区间，无减区间；对称中心（kπ，0）（k∈Z）
（2）由题意，kπkπ，可得不等式﹣1≤f（x）的解集．
7.3综合过关
1．关于函数f（x）＝4sin（2x）（x∈R），下列说法正确的是（ ）
A．函数y＝f（x）的表达式可改写为y＝4cos（2x）
B．函数y＝f（x）是以2π为最小正周期的周期函数
C．函数y＝f（x）的图象关于点（，0）对称
D．函数y＝f（x）的图象关于直线x对称
【解答】解：A：∵f（x）＝4sin（2x）＝4cos[（2x）]＝4cos（2x），
∴函数y＝f（x）的表达式可改写为y＝4cos（2x），即A正确；
B：∵函数f（x）的最小正周期T＝π，故B错误；
C：由2xkπ（k∈Z），得x（k∈Z），
∴函数y＝f（x）的图象的对称中心为（，0），
当k＝1时，函数y＝f（x）的图象的对称中心为（，0），k＝﹣1时，函数y＝f（x）的图象的对称中心为（，0），故C错误；
D：由2xkπ（k∈Z），得x，k∈Z，
∴函数y＝f（x）的图象的对称轴方程为x，k∈Z，
当k＝﹣1时，x，即x是函数y＝f（x）的图象的一条对称轴方程，故D错误；
综上所述，A正确．
故选：A．
2．函数的单调增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：函数中，
令，k∈Z；
解得，k∈Z；
所以f（x）的单调增区间为（kπ，kπ），k∈Z．
故选：C．
3．当x∈[0，2π]时，函数f（x）＝sin（x）的单调递减区间为 [] ．
【解答】解：对于函数f（x）＝sin（x），令2kπx2kπ，
求得2kπx＜2kπ，可得函数的减区间为[2kπ，2kπ]，k∈Z．
再结合x∈[0，2π]，可得函数的减区间为[，]，
故答案为：[，]．
4．已知函数f（x）＝2sin（wx+φ）（其中x∈R，w＞0，﹣π＜φ＜π）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式是（ ）
A．f（x）＝2sin（2x）
B．f（x）＝2sin（2x）
C．f（x）＝2sin（6x）
D．f（x）＝2sin（6x）
【解答】解：由图象知T＝4（）＝π．
∵Tπ，∴ω＝2．
又∵图象经过点（，2），
∴2sin（φ）＝2．
∵﹣π＜φ＜π，∴φ，
∴f（x）＝2sin（2x）．
故选：B．
5．函数f（x）＝sin（2x+φ）（|φ|＜π）的图象过点（，0）（如图所示），若将f（x）的图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则g（x）图象的一条对称轴的方程为（ ）
A．x
B．x
C．x
D．x
【解答】解：∵函数f（x）＝sin（2x+φ）（|φ|＜π）的图象过点（，0）（如图所示），
∴sin（φ）＝0，结合图象求得φ，故f（x）＝sin（2x）．
若将f（x）的图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数g（x）＝sin（2x）＝sin（2x）的图象．
令2xkπ，求得x，k∈Z，
则g（x）图象的一条对称轴的方程为x，
故选：D．
6．将函数y＝sin（2x）的图象向右平移个的单位长度，再将所得到的函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象的函数解析式为（ ）
A．y＝sin（x）
B．y＝sin（4x）
C．y＝sin（x）
D．y＝sin（4x）
【解答】解：将函数y＝sin（2x）的图象向右平移个的单位长度，可得y＝sin（2x）的图象，
再将所得到的函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），
则所得到的图象的函数解析式为
y＝sin（x），
故选：A．
7．已知函数f（x）＝Acos（ωx+φ）
（A＞0，ω＞0，|φ|）的图
象如图所示，若将函数f（x）的图象向右平移个单位，则所得的函数解析式为（ ）
A．y＝2cos（2x）
B．y＝2cos（2x）
C．
D．
【解答】解：由函数图象可知A＝2，
f（x）＝2cos（ωx+φ）的部分图象可得，即T＝π．
∴ω2．
再由图象过（，2），即2＝2cos（φ）
∴cos（φ）＝1．
∵，|φ|）
求得φ，
∴函数f（x）＝2cos（ωx+φ）＝2cos（2x）
把将f（x）向右平移个单位：可得y＝2cos[2（x）]＝2cos（2x）
故选：B．
8．将函数f（x）＝2sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向左平移个单位后得到函数y＝g（x）的图象，若函数y＝g（x）为偶函数，则函数y＝f（x）在的值域为（ ）
A．[﹣1，2]
B．[﹣1，1]
C．
D．
【解答】解：将函数f（x）＝2sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向左平移个单位后得到函数y＝g（x）＝2sin（2xφ）的图象，
若函数y＝g（x）为偶函数，则
φ，∴φ，故函数f（x）＝2sin（2x）．
∵x∈，2x∈[，]，∴sin（2x）∈[，1]，2sin（2x）∈[﹣1，2]，
则函数y＝f（x）在的值域为[﹣1，2]，
故选：A．
9．函数是（ ）
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的偶函数
【分析】首先把函数的关系式变形成余弦型函数，进一步求出结果．
【解答】解：因为|3cos2x|+1．
所以函数的最小正周期为，且为偶函数．
故选：D．
10．将函数f（x）＝2sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向左平移个单位后得到函数y＝g（x）的图象，若函数y＝g（x）为偶函数，则函数y＝f（x）在的值域为（ ）
A．[﹣1，2]
B．[﹣1，1]
C．
D．
【分析】由题意利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律得到g（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数y＝f（x）在的值域．
【解答】解：将函数f（x）＝2sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向左平移个单位后得到函数y＝g（x）＝2sin（2xφ）的图象，
若函数y＝g（x）为偶函数，则
φ，∴φ，故函数f（x）＝2sin（2x）．
∵x∈，2x∈[，]，∴sin（2x）∈[，1]，2sin（2x）∈[﹣1，2]，
则函数y＝f（x）在的值域为[﹣1，2]，
故选：A．
11．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|）一部分图象如图所示，则ω＝ 2 ，函数f（x）的单调递增区间为 []，k∈Z ．
【分析】根据图象先求出函数的周期，和ω，利用五点对应法求出函数的解析式，结合函数单调性的性质进行求解即可．
【解答】解：由图象知（），
则周期T＝π，
即π，即ω＝2，
即f（x）＝2sin（2x+φ），
由五点对应法得2×（）+φ＝0，即φ，
则f（x）＝2sin（2x），
由2kπ2x2kπ，k∈Z，
得kπ≤x≤kπ，k∈Z，
即函数的单调递增区间为[]，k∈Z，
故答案为：[]，k∈Z．
12．函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（其中ω＞0，|φ|），若函数f（x）的图象与x轴的任意两个相邻交点间的距离为且过点（0，1）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的单调增区间：
（3）求f（x）在（，0）的值域．
【分析】（1）利用正弦函数的周期性求的ω，根据图象经过定点，求得φ的值，可得函数的解析式．
（2）利用正弦函数的单调性求的f（x）的单调增区间．
（3）利用正弦函数的定义域以及值域，求的f（x）在（，0）的值域．
【解答】解：（1）∵函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（其中ω＞0，|φ|），
若函数f（x）的图象与x轴的任意两个相邻交点间的距离为，
∴2，∴ω＝2．
再根据图象过点（0，1），可得1＝2sinφ，即sinφ，
∴φ，∴f（x）＝2sin（2x）．
（2）令2kπ2x2kπ，求得
kπx≤kπ，
故f（x）的单调增区间为[kπ，kπ]，k∈Z．
（3）在（，0）上，2x∈（，），
故当2x时，函数取得最小值为﹣2，
当2x
趋于时，函数趋于最大值1，
股函数f（x）的值域为[﹣2，1）．
