8.2
三角恒等变换
8.2.1
两角和与差公式
1．cosα，α∈（，π），sinβ，β是第三象限角，则cos（β﹣α）＝（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知α∈（0，），sinα，则cos（α）等于（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知sin（α），则cos（α）等于（ ）
A．
B．
C．
D．
4．若，α是第三象限的角，则等于（ ）
A．
B．
C．
D．
5．若α，β都是锐角，且sinα，sin（α﹣β），则sinβ＝（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知α∈（0，π），α，sinα+2cosα＝2，则tan（α）＝（ ）
A．
B．
C．﹣7
D．7
7．已知tanα＝2．求
（1）tan（α）的值；
（2）的值．
8．已知均为锐角，且，
（1）求cos（α+β）的值．
（2）若，求cosβ的值．
8.2.2
倍角公式
1．已知α为第三象限角，且cosα，则tan2α的值为（ ）
A．
B．
C．
D．﹣2
2．已知sina，则cos（π﹣2a）等于（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知sin（α），则cos2α等于（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知，，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．若sin2α﹣sin2α＝0，则cos（2α）＝（ ）
A．1
B．
C．
D．±
6．已知4sin（α）+4cos（α）＝3，则cos（2α）＝
．
7．；
（1）求tanα的值．
（2）求的值．
8.2.3
辅助角公式
1．已知函数．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的单调增区间；
2．已知函数x+sinxcosx．
（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）求方程f（x）＝2在x∈[0，2019]上解的个数．
3．设函数．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）当时，求函数f（x）的值域．
8.2
综合过关
1．已知，则cos（2θ﹣π）等于（ ）
A．
B．
C．
D．
2．若sinα，a是第一象限的角，则sin（）＝（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（文）已知的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知，则cos2θ的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知cos（2α），α∈（0，），则cos（α）＝（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知tanA＝2，则（ ）
A．
B．
C．3
D．5
7．已知f（x）＝2sinx+cosx，若函数g（x）＝f（x）﹣m在x∈（0，π）上有两个不同零点α、β，则cos（α+β）＝（ ）
A．
B．
C．
D．
8．化简的结果是（ ）
A．2cos
2
B．2sin
2
C．4sin
2+2cos2
D．2sin
2+4cos2
9．已知函数f（x）＝2sin．
（1）求f（x）最小正周期及单调递增区间；
（2）当时，求f（x）的最大值和最小值．8.2
三角恒等变换
8.2.1
两角和与差公式
1．cosα，α∈（，π），sinβ，β是第三象限角，则cos（β﹣α）＝（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由题意，故sinα＞0
所以sinα，
同理，β是第三象限角，可得cosβ
由两角差的余弦公式可得：cos（β﹣α）＝cosβcosα+sinβsinα
故选：A．
2．已知α∈（0，），sinα，则cos（α）等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵sinα，α∈（0，），
∴cosα，
∴cos（α）＝coscosα+sinsinα，
故选：A．
3．已知sin（α），则cos（α）等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵sin（α），
∴cos（α）＝cos[（α）]＝sin（α）．
故选：C．
4．若，α是第三象限的角，则等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：若cosα，即cosα，结合α是第三象限的角，
可得sinα，
则sinαcoscosαsin（），
故选：A．
5．若α，β都是锐角，且sinα，sin（α﹣β），则sinβ＝（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵α，β都是锐角，∴0＜α，0＜β，
则α﹣β，
又sinα，sin（α﹣β），
∴cosα，cos（α﹣β）．
∴sinβ＝sin[α﹣（α﹣β）]＝sinαcos（α﹣β）﹣cosαsin（α﹣β）
．
故选：B．
6．已知α∈（0，π），α，sinα+2cosα＝2，则tan（α）＝（ ）
A．
B．
C．﹣7
D．7
【解答】解：已知α∈（0，π），α，sinα+2cosα＝2，
则，
整理得：5cos2α﹣8cosα+3＝0，
解得：，
由于α∈（0，π），
所以：cos，
所以：，
故：tan，
所以：．
故选：C．
7．已知tanα＝2．求
（1）tan（α）的值；
（2）的值．
【解答】解：tanα＝2，
（1）tan（α）3．
（2）5．
8．已知均为锐角，且，
（1）求cos（α+β）的值．
（2）若，求cosβ的值．
【解答】解：（1），
（2）∵α，β是锐角，
∴
∴cosβ＝cos[（α+β）﹣α]＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα．
8.2.2
倍角公式
1．已知α为第三象限角，且cosα，则tan2α的值为（ ）
A．
B．
C．
D．﹣2
【解答】解：∵α为第三象限角，且cosα，
∴sinα，tanα2，
∴tan2α．
故选：A．
2．已知sina，则cos（π﹣2a）等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵sinα
∴cos2α＝1﹣sin2α
cos（π﹣2a）＝﹣cos2α＝﹣（cos2α﹣sin2α）
故选：D．
3．已知sin（α），则cos2α等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵sin（α），
∴cosα，
∴cos2α＝2cos2α﹣1＝2，
故选：C．
4．已知，，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵已知，，∴为锐角，cos（θ），
∴sin（2θ）＝2sin（θ）cos（θ）cos2θ，cos（2θ）＝21sin2θ，
则sin2θcoscos2θsin，
故选：D．
5．若sin2α﹣sin2α＝0，则cos（2α）＝（ ）
A．1
B．
C．
D．±
【解答】解：因为sin2α﹣sin2α＝0，
所以sinαcosα﹣sin2α＝0，
所以sinα＝0或sinα＝cosα，
当sinα＝0时，cos（2α）（cos2α﹣sin2α），
当sinα＝cosα即tanα＝1时，cos（2α）（cos2α﹣sin2α），
（cos2α﹣sin2α﹣2sinαcosα），
（）．
故选：D．
6．已知4sin（α）+4cos（α）＝3，则cos（2α）＝ ．
【解答】解：因为4sin（α）+4cos（α）＝3，
所以4cosα﹣4sinα＝3，
两边平方可得1﹣2sinαcosα，
所以sin2α，
则cos（2α）＝sin2α．
故答案为：．
7．；
（1）求tanα的值．
（2）求的值．
【解答】解：（1）∵tan（α）
∴
解得：tanα＝﹣3
（2）∵tanα＝﹣3
∴sinα＝﹣3cosα
代入恒等式sin2α+cos2α＝1，可得cos2
∵α在第二象限
∴sinα＞0，cosα＜0
∴cosα，sinα
sin2α＝2sinαcosα
sin（α）＝sinαcoscosαsin
∴
8.2.3
辅助角公式
1．已知函数．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的单调增区间；
【解答】解：（1）化简函数可得：f（x）＝sin2xsinxcosx
，
故T；
（2）由，k∈Z，
得
，
故函数f（x）的单调递增区间是．
2．已知函数x+sinxcosx．
（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）求方程f（x）＝2在x∈[0，2019]上解的个数．
【解答】解：（1）f（x）＝2cosx（sinxcosx）sin2xsin2x
sin2xcos2xsin2xsin2x
＝sin2xcos2x＝2sin（2x），
则函数f（x）的最小正周期为π；
令2kπ≤2x2kπ，解得kπ≤xπ+kπ（k∈Z），
则函数f（x）的单调增区间为，k∈Z；
（2）令2sin（2x）＝2，解得x2kπ，（k∈Z），
因为x∈[0，2019]，当k＝0时，x，k＝1时，x，……，当k＝642时，x＝642π2016，
当k＝643时，x＞2019，
故共有643个解．
3．设函数．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）当时，求函数f（x）的值域．
【解答】解：（1）
．
由，k∈Z，
得．
则函数递增区间为，k∈Z；
（2）由，得，
则．
∴，
即值域为．
8.2
综合过关
1．已知，则cos（2θ﹣π）等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵已知cosθ，则cos（2θ﹣π）＝cos（π﹣2θ）＝﹣cos2θ＝﹣2cos2θ+1＝﹣21，
故选：D．
2．若sinα，a是第一象限的角，则sin（）＝（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵sinα，α是第一象限的角，
∴cosα，
∴sin（）＝sinαcoscosαsin．
故选：B．
3．（文）已知的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵，∴sin（α），
故选：B．
4．已知，则cos2θ的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵已知sinθ，则cos2θ＝1﹣2sin2θ＝1﹣2?，
故选：A．
5．已知cos（2α），α∈（0，），则cos（α）＝（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵cos（2α），α∈（0，），2α
为钝角，故α为锐角，
cos（2α）21，∴cos（α），
故选：B．
6．已知tanA＝2，则（ ）
A．
B．
C．3
D．5
【解答】解：tanA＝2，
则．
故选：B．
7．已知f（x）＝2sinx+cosx，若函数g（x）＝f（x）﹣m在x∈（0，π）上有两个不同零点α、β，则cos（α+β）＝（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵α、β是函数
g（x）＝2sinx+cosx﹣m在（0，π）内的两个零点，
即α、β是方程2sinx+cosx＝m在（0，π）内的两个解，
∴m＝2sinα+cosα＝2sinβ+cosβ，即
2sinα﹣2sinβ＝cosβ﹣cosα，
∴2×2×cos
sin2sinsin，∴2cossin，
∴tan2，∴cos（α+β），
故选：D．
8．化简的结果是（ ）
A．2cos
2
B．2sin
2
C．4sin
2+2cos2
D．2sin
2+4cos2
【解答】解：22
＝2
＝2|sin2+cos2|+2|cos2|，
∵2＜π，∴2是第二象限角，
∴cos2＜0，sin2+cos2sin（2），
∵0＜2π，∴sin2+cos2sin（2）＞0
∴原式＝2（sin2+cos2）﹣2cos2＝2sin2．
故选：B．
9．已知函数f（x）＝2sin．
（1）求f（x）最小正周期及单调递增区间；
（2）当时，求f（x）的最大值和最小值．
【解答】解：（1）由于函数sincos2sin（），
可得周期T4π．
令
2kπ2kπ，k∈z，求得
4kπx≤4kπ，k∈z，
可得函数的增区间为[4kπ，4kπ]，k∈z．
（2）当时，，
故当时，f（x）＝2sin（）
取得最小值为，
当
时，f（x）＝2sin（）
取得最大值为2．
