北师大版（新教材）高一必修2重点题型N6
第二章
平面向量及其应用
考试范围：从位移、速度、力到力量；从位移的合成到向量的加减法；从速度的倍数到向量的数乘；
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题型1、向量的概念
1．有下列四个命题：
①互为相反向量的两个向量模相等；
②若向量与是共线的向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上；
③若||＝||，则＝或＝﹣；
④若?＝0，则＝或＝；
其中正确结论的个数是（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
2．有下列命题：
①两个相等向量，若它们的起点相同，终点也相同；
②若，则；
③若，则四边形ABCD是平行四边形；
④若，，则；
⑤若，，则；
⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段．
其中，假命题的个数是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
3．下列说法正确的是（ ）
A．零向量没有方向
B．向量就是有向线段
C．只有零向量的模长等于0
D．单位向量都相等
4．下列命题中，正确的个数是（ ）
①单位向量都相等；
②模相等的两个平行向量是相等向量；
③若，满足||＞||且与同向，则＞；
④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；
⑤若∥，∥，则∥．
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
5．给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量
②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小
③λ＝（λ为实数），则λ必为零
④λ，μ为实数，若λ＝μ，则与共线
其中正确的命题个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
题型2、已知向量作和（差）问题
1．如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，则+＝（ ）
A．
B．0
C．
D．
2．如图，在矩形ABCD中，＝（ ）
A．
B．
C．
D．
3．如图，在正六边形ABCDEF中，++等于（ ）
A．
B．
C．
D．
4．设M是?ABCD的对角线的交点，O为任意一点（且不与M重合），则等于（ ）
A．
B．2
C．3
D．4
5．如图，D、E、F分别是边AB、BC、CA上的中点，则+﹣＝（ ）
A．
B．
C．
D．
题型3、向量的加减法运算
1．＝（ ）
A．
B．
C．
D．
2．+﹣+
化简后等于（ ）
A．3
B．
C．
D．
3．下列各式不能化简为的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．化简
＝（ ）
A．
B．
C．
D．
5．化简：
（1）（2）（3）
（4）（5）（6）
（7）．
题型4、三角形法则下的向量表示
1．△ABC中，＝，DE∥BC，且与边AC相交于点E，△ABC的中线AM与DE相交于点N，设＝，＝，用、分别表示向量、、、、、、．
2．向量，，，，如图所示，解答下列各题：
（1）用，，表示；
（2）用，表示；
（3）用，，表示；
（4）用，表示．
3．在正六边形ABCDEF中，＝，＝，求，，．
4．如图，设＝，＝，＝，试用、、表示．
5．如图，正五边形ABCDE中，M为CD的中点，设＝，＝，＝，＝，试用、、、表示和．
题型5、判断向量是否共线
1．已知向量＝+3，＝5+3，＝﹣3+3，则（ ）
A．A、B、C三点共线
B．A、B、D三点共线
C．A、C、D三点共线
D．B、C、D三点共线
2．已知，，，则（ ）
A．M，N，P三点共线
B．M，N，Q三点共线
C．M，P，Q三点共线
D．N，P，Q三点共线
3．已知非零向量、，且＝+2，＝﹣5+6，＝7﹣2，则一定共线的三点是（ ）
A．A、B、D
B．A、B、C
C．B、C、D
D．A、C、D
4．已知＝+5，＝﹣2+8，＝3﹣3，则（ ）
A．A、B、D三点共线
B．A、B、C三点共线
C．B、C、D三点共线
D．A、C、D三点共线
5．已知是平面内两个不共线向量，，若A，B，D三点共线，则k的值为（ ）
A．2
B．﹣3
C．﹣2
D．3
题型6、已知向量共线求参数取值范围
1．设两个非零向量与不共线．
（1）若＝+，＝2+8，＝3（﹣）．求证：A，B，D三点共线；
（2）试确定实数k，使k+和+k共线．
2．设两个非零向量与不共线，如果和共线那么k的值是（ ）
A．1
B．﹣1
C．3
D．±1
3．设向量，不平行，向量λ+与+2平行，则实数λ＝ ．
4．已知向量，不共线，若向量（+3）∥（k﹣），则实数k＝（ ）
A．﹣
B．﹣
C．
D．
5．设是两个不共线的向量，已知，若A，B，C三点共线，则实数m＝ ．
题型7、三点共线定理的综合应用
1．O为△ABC内一点，且2++＝，＝t，若B，O，D三点共线，则t的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．如图，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若＝m，＝n，则m+n的值为 ．
3．在△ABC中，点P满足，过点P的直线与AB，AC所在的直线分别交于点M，N，若，（λ＞0，μ＞0），则λ+μ的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．如图，已知C为△OAB边AB上一点，且＝2，＝m+n（m，n∈R），则mn＝ ．
5．已知△OAB中，点C是点B关于点A的对称点，点D是线段OB的一个靠近B的三等分点，设．
（1）用向量与表示向量；
（2）若，求证：C、D、E三点共线．
题型8、利用向量的线性运算解决平面几何问题
1．已知点O在△ABC内部，且有，则△OAB与△OBC的面积之比为 ．
2．已知O在△ABC内，且S△AOB：S△BOC：S△AOC＝4：3：2，，则λ+μ＝
3．点M在△ABC内部，满足2+3+4＝，则S△MAC：S△MAB＝ ．
4．已知点O是△ABC内部一点，满足+2＝m，＝，则实数m为（ ）
A．2
B．﹣2
C．4
D．﹣4
5．过△ABC的重心G作直线l，已知l与AB、AC的交点分别为M、N，＝，若，则实数λ的值为（ ）
A．或
B．
或
C．或
D．或北师大版（新教材）高一必修2重点题型N6
第二章
平面向量及其应用
考试范围：从位移、速度、力到力量；从位移的合成到向量的加减法；从速度的倍数到向量的数乘；考试时间：；命题人：
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题型1、向量的概念
1．有下列四个命题：
①互为相反向量的两个向量模相等；
②若向量与是共线的向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上；
③若||＝||，则＝或＝﹣；
④若?＝0，则＝或＝；
其中正确结论的个数是（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【考点】向量的概念与向量的模．
【分析】根据平面向量的基本概念，对题目中的命题进行分析，判断正误即可．
【解答】解：对于①，互为相反向量的两个向量模相等，命题正确；
对于②，向量与是共线的向量，点A，B，C，D不一定在同一条直线上，
如平行四边形的对边表示的向量，原命题错误；
对于③，当||＝||时，＝或＝﹣不一定成立，
如单位向量模长为1，但不一定共线，原命题错误；
对于④，当?＝0时，＝或＝或⊥，原命题错误；
综上，正确的命题是①，共1个．
故选：D．
【点评】本题考查了平面向量的基本概念与应用问题，是基础题目．
2．有下列命题：
①两个相等向量，若它们的起点相同，终点也相同；
②若，则；
③若，则四边形ABCD是平行四边形；
④若，，则；
⑤若，，则；
⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段．
其中，假命题的个数是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【考点】向量的概念与向量的模．
【分析】根据平面向量的基本概念，对选项中的命题判断真假性即可．
【解答】解：对于①，两个相等向量时，它们的起点相同，则终点也相同，①正确；
对于②，若，则、不一定相同，∴②错误；
对于③，若，、不一定相等，
∴四边形ABCD不一定是平行四边形，③错误；
对于④，若，，则，④正确；
对于⑤，若，，
当＝时，不一定成立，∴⑤错误；
对于⑥，有向线段不是向量，向量可以用有向线段表示，∴⑥错误；
综上，假命题是②③⑤⑥，共4个．
故选：C．
【点评】本题考查了平面向量的基本概念与应用问题，是综合题．
3．下列说法正确的是（ ）
A．零向量没有方向
B．向量就是有向线段
C．只有零向量的模长等于0
D．单位向量都相等
【考点】向量的概念与向量的模．
【分析】根据零向量，单位向量、有向线段的定义即可判断出结论．
【解答】解：零向量的方向是任意的，故A选项错误；
有向线段只是向量的一种表示形式，两者不等同，故B选项错误；
只有零向量的模长等0，故C选项正确；
单位向量模长相等，单位向量若方向不同，则不是相等向量，故D选项错误．故选：C．
【点评】本题考查了零向量，单位向量、有向线段的定义，考查了推理能力与概念辨析能力，属于基础题．
4．下列命题中，正确的个数是（ ）
①单位向量都相等；
②模相等的两个平行向量是相等向量；
③若，满足||＞||且与同向，则＞；
④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；
⑤若∥，∥，则∥．
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
【考点】向量的概念与向量的模．
【分析】根据平面向量的基本概念，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．
【解答】解：对于①，单位向量的大小相等相等，但方向不一定相同，故①错误；
对于②，模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，故②错误；
对于③，向量是有方向的量，不能比较大小，故③错误；
对于④，向量是可以平移的矢量，当两个向量相等时，
它们的起点和终点不一定相同，故④错误；
对于⑤，＝时，∥，∥，则与不一定平行．
综上，以上正确的命题个数是0．故选：A．
【点评】本题考查了平面向量的基本概念与应用问题，是基础题目．
5．给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量
②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小
③λ＝（λ为实数），则λ必为零
④λ，μ为实数，若λ＝μ，则与共线
其中正确的命题个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【考点】向量的概念与向量的模．
【分析】根据平面向量的基本概念和共线定理，对选项中的命题判断真假性即可．
【解答】解：对于①，两个具有公共终点的向量，不一定是共线向量，∴①错误；
对于②，向量是有方向和大小的矢量，不能比较大小，
但它们的模能比较大小，∴②正确；
对于③，λ＝时（λ为实数），λ＝0或＝，∴③错误；
对于④，若λ＝μ＝0时，λ＝μ＝，此时与不一定共线，∴④错误；
综上，其中正确的命题为②，共1个．
故选：A．
【点评】本题考查了平面向量的基本概念与共线定理的应用问题，是基础题．
题型2、已知向量作和（差）问题
1．如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，则+＝（ ）
A．
B．0
C．
D．
【考点】向量的加法．
【分析】连接OB，由正六边形的性质可得：四边形AOCB是平行四边形，可得+＝，＝﹣，即可得出结论．
【解答】解：连接OB，由正六边形的性质可得：四边形AOCB是平行四边形，∴+＝，＝﹣，
∴+＝+＝，
故选：A．
【点评】本题考查了正六边形的性质、向量的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2．如图，在矩形ABCD中，＝（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】向量的加法．
【分析】根据向量加法法则以及向量相等的定义进行转化求解即可．
【解答】解：在矩形ABCD中，
＝，
则＝++＝+＝，
故选：B．
【点评】本题主要考查向量加法及其几何意义，根据向量加法的三角形法则是解决本题的关键．
3．如图，在正六边形ABCDEF中，++等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】向量的加法．
【分析】利用正六边形ABCDEF的性质，对边平行且相等得到向量相等或者相反，得到所求为0向量．
【解答】解：因为正六边形ABCDEF中，CD∥AF，CD＝AF，所以++＝++＝；
故选：A．
【点评】本题考查了向量相等以及向量加法的三角形法则，属于基础题．
4．设M是?ABCD的对角线的交点，O为任意一点（且不与M重合），则等于（ ）
A．
B．2
C．3
D．4
【考点】向量的加法．
【分析】因为此题为单选题，故可考虑用特殊值法去做，因为O为任意一点，不妨把O看成是特殊点，再代入
，计算，结果满足哪一个选项，就选哪一个．
【解答】解：∵O为任意一点，不妨把把A点看成O点，则＝，
∵M是?ABCD的对角线的交点，∴＝2＝4故选：D．
【点评】本题考查了平面向量的加法，做题时应掌握规律，认真解答．
5．如图，D、E、F分别是边AB、BC、CA上的中点，则+﹣＝（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】向量的加法；向量的减法．
【分析】由向量加减法的平行四边形法则和三角形法则直接求解即可．
【解答】解：∵D、E、F分别是边AB、BC、CA上的中点，
故四边形ADEF为平行四边形，
且EF＝BE，
故+﹣＝﹣＝﹣＝，故选：A．
【点评】本题考查向量的加法和减法运算，属基本运算的考查．
题型3、向量的加减法运算
1．＝（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】向量的加法；向量的减法．
【分析】直接利用向量的加法及减法法则写出结果即可．
【解答】解：由向量加法及减法的运算法则可知：向量＝．
故选：B．
【点评】本题考查向量的基本运算，基本知识的考查，是基础题．
2．+﹣+
化简后等于（ ）
A．3
B．
C．
D．
【考点】向量的加法；向量的减法．
【分析】利用向量的加减法的运算法则化简求解即可．
【解答】解：+﹣+＝﹣＝．
故选：C．
【点评】本题考查向量的加减法的运算，是基础题．
3．下列各式不能化简为的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】向量的加法；向量的减法．
【分析】直接利用向量的表示，求出结果即可．
【解答】解：因为＝，，所以＝．
故选：D．
【点评】本题考查向量的加减运算，基本知识的考查．
4．化简
＝（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】向量的加法；向量的减法．
【分析】根据向量加法的混合运算及其几何意义即可求出．
【解答】解：＝（
+）﹣（+）＝﹣＝，
故选：D．
【点评】本题考查向量加法的混合运算及其几何意义，属于基础题．
5．化简：
（1）（2）（3）
（4）（5）（6）
（7）．
【考点】向量的加法；向量的减法．
【分析】根据平面向量的加法与减法的运算法则，对每一个小题进行化简计算即可．
【解答】解：（1）＝+＝﹣＝；
（2）＝+（+）+＝+﹣＝；
（3）＝（﹣）+（﹣）＝+＝；
（4）＝（﹣）+（+）＝+＝；
（5）＝（﹣）+＝+＝﹣＝；
（6）＝（﹣）﹣＝﹣＝；
（7）＝（+）+（﹣）＝+＝．
【点评】本题考查了平面向量的加法与减法的运算问题，是基础题目．
题型4、三角形法则下的向量表示
1．△ABC中，＝，DE∥BC，且与边AC相交于点E，△ABC的中线AM与DE相交于点N，设＝，＝，用、分别表示向量、、、、、、．
【考点】向量加减混合运算．
【分析】由平行线等分线段定理及中线的定义知，，，，，，，，由此能求出结果．
【解答】解：如图，△ABC中，
∵＝，DE∥BC，且与边AC相交于点E，
△ABC的中线AM与DE相交于点N，
∴，，
＝，
，，＝，
＝．
∵，，∴，，
，，
，，．
【点评】本题考查平面向量的加法法则的应用，属基础题，解题时要注意平行线等分线段定理的灵活运用．
2．向量，，，，如图所示，解答下列各题：
（1）用，，表示；
（2）用，表示；
（3）用，，表示；
（4）用，表示．
【考点】向量加减混合运算．
【分析】利用平面向量加法的三角形法则及相反向量求解即可．
【解答】解：（1）＝++＝++；
（2）＝+＝﹣﹣；
（3）＝++＝++；
（4）＝+＝﹣﹣．
【点评】本题考查了平面向量加法的三角形法则及相反向量，加法比减法更简单一些．
3．在正六边形ABCDEF中，＝，＝，求，，．
【考点】向量加减混合运算．
【分析】由正六边形的性质可知AD＝2AO，四边形ABOF是平行四边形，且正六边形的对边平行且相等，根据平面向量线性运算的几何意义得出．
【解答】解：＝2（）＝2．
＝＝＝2+．
＝＝．
【点评】本题考查了平面向量加减运算的几何意义，属于基础题．
4．如图，设＝，＝，＝，试用、、表示．
【考点】向量加减混合运算．
【分析】如图所示，利用向量的多边形法则可得＝，即可得出．
【解答】解：如图所示，＝＝﹣+．
【点评】本题考查了向量的多边形法则，属于基础题．
5．如图，正五边形ABCDE中，M为CD的中点，设＝，＝，＝，＝，试用、、、表示和．
【考点】向量加减混合运算．
【分析】利用向量的多边形法则即可得出．
【解答】解：＝＝．
＝＝．
【点评】本题考查了向量的多边形法则，属于基础题．
题型5、判断向量是否共线
1．已知向量＝+3，＝5+3，＝﹣3+3，则（ ）
A．A、B、C三点共线
B．A、B、D三点共线
C．A、C、D三点共线
D．B、C、D三点共线
【考点】平行向量（共线）．
【分析】利用向量共线定理即可得出．
【解答】解：∵＝＝＝，
∴A、B、D三点共线．
故选：B．
【点评】本题考查了向量共线定理，属于基础题．
2．已知，，，则（ ）
A．M，N，P三点共线
B．M，N，Q三点共线
C．M，P，Q三点共线
D．N，P，Q三点共线
【考点】平行向量（共线）．
【分析】利用向量共线定理即可判断出结论．
【解答】解：＝＝+5＝，
∴M，N，Q三点共线．
故选：B．
【点评】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3．已知非零向量、，且＝+2，＝﹣5+6，＝7﹣2，则一定共线的三点是（ ）
A．A、B、D
B．A、B、C
C．B、C、D
D．A、C、D
【考点】平行向量（共线）．
【分析】证明三点共线，借助向量共线证明即可，故解题目标是验证由三点组成的两个向量共线即可得到共线的三点
【解答】解：由向量的加法原理知＝+＝﹣5+6+7﹣2＝2+4＝2，
又两线段过同点B，故三点A，B，D一定共线．
故选：A．
【点评】本题考点平面向量共线的坐标表示，考查利用向量的共线来证明三点共线的，属于向量知识的应用题，也是一个考查基础知识的基本题型．
4．已知＝+5，＝﹣2+8，＝3﹣3，则（ ）
A．A、B、D三点共线
B．A、B、C三点共线
C．B、C、D三点共线
D．A、C、D三点共线
【考点】平行向量（共线）．
【分析】根据平面向量的线性运算与共线定理，证明与共线，即可得出结论．
【解答】解：∵＝+5，＝﹣2+8，＝3﹣3，
∴＝+＝+5，
∴＝，
∴与共线，
∴A、B、D三点共线．
故选：A．
【点评】本题考查了平面向量的线性运算与共线定理的应用问题，是基础题目．
5．已知是平面内两个不共线向量，，若A，B，D三点共线，则k的值为（ ）
A．2
B．﹣3
C．﹣2
D．3
【考点】平行向量（共线）．
【分析】由A，B，D三点共线，可构造两个向量共线，再利用两个向量共线的定理求解即可．
【解答】解析：∵＝2e1﹣e2，＝3e1﹣2e2，
∴＝﹣＝（3e1﹣2e2）﹣（2e1﹣e2）＝e1﹣e2．
∵A、B、D三点共线，∴与共线，
∴存在唯一的实数λ，使得3e1﹣（k+1）e2＝λ（e1﹣e2）．
即解得k＝2．故选：A．
【点评】本题考查三点共线和向量共线的转化和向量共线的条件，属基本题型的考查．
题型6、已知向量共线求参数取值范围
1．设两个非零向量与不共线．
（1）若＝+，＝2+8，＝3（﹣）．求证：A，B，D三点共线；
（2）试确定实数k，使k+和+k共线．
【考点】平行向量（共线）．
【分析】（1）根据所给的三个首尾相连的向量，用其中两个相加，得到两个首尾相连的向量，根据表示这两个向量的基底，得到两个向量之间的共线关系，从而得到三点共线．
（2）两个向量共线，写出向量共线的充要条件，进而得到关于实数k的等式，解出k的值，有两个结果，这两个结果都合题意．
【解答】解：（1）∵＝＝＝，
∴与共线两个向量有公共点B，∴A，B，D三点共线．
（2）∵和共线，则存在实数λ，使得＝λ（），
即，
∵非零向量与不共线，∴k﹣λ＝0且1﹣λk＝0，∴k＝±1．
【点评】本题考查向量共线定理，是一个基础题，本题从两个方面解读向量的共线定理，一是证明向量共线，一是根据两个向量共线解决有关问题．
2．设两个非零向量与不共线，如果和共线那么k的值是（ ）
A．1
B．﹣1
C．3
D．±1
【考点】平行向量（共线）．
【分析】利用向量共线定理即可得出．
【解答】解：由题意可得：存在实数λ使得＝λ（）＝λ+λk，
∵两个非零向量与不共线，
∴，解得k＝±1．故选：D．
【点评】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3．设向量，不平行，向量λ+与+2平行，则实数λ＝ ．
【考点】平行向量（共线）．
【分析】利用向量平行的条件直接求解．
【解答】解：∵向量，不平行，向量λ+与+2平行，
∴λ+＝t（+2）＝，∴，解得实数λ＝．
故答案为：．
【点评】本题考查实数值的解法，考查平面向量平行的条件及应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．
4．已知向量，不共线，若向量（+3）∥（k﹣），则实数k＝（ ）
A．﹣
B．﹣
C．
D．
【考点】平行向量（共线）．【分析】根据向量共线定理，求出即可．
【解答】解：向量，不共线，向量（+3）∥（k﹣），得+3＝λ（k﹣），
得，3k＝﹣1，k＝，故选：A．
【点评】考查向量共线定理，基础题．
5．设是两个不共线的向量，已知，若A，B，C三点共线，则实数m＝ 6 ．
【考点】平行向量（共线）．
【分析】由已知得，即2+m＝，由此能求出实数m．
【解答】解：∵是两个不共线的向量，，
若A，B，C三点共线，∴，即2+m＝，
∴，解得实数m＝6．故答案为：6．
【点评】本题考查实数值的求法，考查平面向量坐标运算法则、向量平行等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．
题型7、三点共线定理的综合应用
1．O为△ABC内一点，且2++＝，＝t，若B，O，D三点共线，则t的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】平行向量（共线）．
【分析】以OB，OC为邻边作平行四边形OBFC，连接OF与
BC相交于点E，E为BC的中点．2++＝，可得＝﹣2＝＝2，因此点O是直线AE的中点．可得B，O，D三点共线，＝t，∴点D是BO与AC的交点．过点O作OM∥BC交AC于点M，点M为AC的中点．利用平行线的性质即可得出．
【解答】解：以OB，OC为邻边作平行四边形OBFC，连接OF与
BC相交于点E，E为BC的中点．
∵2++＝，∴＝﹣2＝＝2，∴点O是直线AE的中点．
∵B，O，D三点共线，＝t，∴点D是BO与AC的交点．
过点O作OM∥BC交AC于点M，则点M为AC的中点．
则OM＝EC＝BC，∴＝，∴，
∴AD＝AM＝AC，＝t，∴t＝．
另解：由2++＝，∴点O是直线AE的中点．
∵B，O，D三点共线，∴存在实数k使得＝k+（1﹣k）＝k+（1﹣k）t＝，∴k＝，（1﹣k）t＝，解得t＝．
故选：B．
【点评】本题考查了向量三角形法则、平行线的性质定理、向量共线定理三角形中位线定理，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
2．如图，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若＝m，＝n，则m+n的值为 2 ．
【考点】平行向量（共线）．
【分析】三点共线时，以任意点为起点，这三点为终点的三向量，其中一向量可用另外两向量线性表示，其系数和为一．
【解答】解：＝（）
＝+，
∵M、O、N三点共线，∴+＝1，∴m+n＝2．故答案：2
【点评】本题考查三点共线的充要条件．
3．在△ABC中，点P满足，过点P的直线与AB，AC所在的直线分别交于点M，N，若，（λ＞0，μ＞0），则λ+μ的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】平行向量（共线）．
【分析】根据题意画出图形，结合图形利用平面向量的线性运算与共线定理，即可求得2λ+μ的最小值．
【解答】解：∵△ABC中，，
点P满足，∴∴
∵，（λ＞0，μ＞0），
∴
因为B，P，C三点共线，所以，，λ＞0，μ＞0
∴λ+μ＝（λ+μ）（）＝1+≥1+＝
当且仅当μ＝λ时取“＝”，则λ+μ的最小值为故选：B．
【点评】本题考查了平面向量的线性运算与共线定理以及基本不等式的应用问题，是中档题．
4．如图，已知C为△OAB边AB上一点，且＝2，＝m+n（m，n∈R），则mn＝ ．
【考点】平行向量（共线）．
【分析】由题意可得
＝＝＝
+
，结合条件可得m＝，n＝，从而求得结果．
【解答】解：∵＝2，∴＝＝＝
＝
+
．
再由
可得
m＝，n＝，故mn＝，
故答案为：．
【点评】本题考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，用待定系数法求出m＝，n＝，是解题的关键．
5．已知△OAB中，点C是点B关于点A的对称点，点D是线段OB的一个靠近B的三等分点，设．
（1）用向量与表示向量；
（2）若，求证：C、D、E三点共线．
【考点】平行向量（共线）．
【分析】（1）由点C是点B关于点A的对称点，则A为BC的中点，由于＝+，＝+＝+＝+（+），结合已知条件，及向量加减法的三角形法则，我们易得结论．
（2）要证明C、D、E，我们可以证明与共线，即存在一个实数λ，使＝λ成立．
【解答】解：（1）∵
∴＝+＝
＝+＝+＝+（+）＝＝
（2）∵
∴与共线，
又∵与有公共点C，
∴C、D、E三点共线．
【点评】本题考查的知识点是向量加减法的三角形法则和向量的共线定理，后者是难点，在利用向量法证明三点共线时，我们可利用三点构造出两个向量，先证明这两个向量共线，再说明它们有公共点，进而得到三点共线．
题型8、利用向量的线性运算解决平面几何问题
1．已知点O在△ABC内部，且有，则△OAB与△OBC的面积之比为 4：1 ．
【考点】平行向量（共线）．
【分析】利用共线向量的充要条件作出，利用向量的运算法则知OB′A′C′；结合图形得到△OAB与△OBC的面积之比．
【解答】解：如图，作向量，，．
则S△OBC＝S△OBC'＝S△OB'C'＝S△OB'A'＝S△OB'A＝S△AOB．
故答案为4：1
【点评】本题考查向量共线的充要条件、向量的运算法则：平行四边形法则、数形结合的数学方法．
2．已知O在△ABC内，且S△AOB：S△BOC：S△AOC＝4：3：2，，则λ+μ＝
【考点】向量数乘和线性运算．
【分析】本题可以采用特值法，设△ABC为以AB＝4，AC＝3，BC＝5的直角三角形，建立坐标系进行计算．
【解答】解：如图，根据题意不妨设△ABC的边，AB＝4，AC＝2，BC＝＝2，建立如图坐标系，则BC的方程为x+2y﹣4＝0，则3a﹣4＜0，
设O点坐标为（a，a），点O在三角形内，
则O到BC的距离d＝＝，
则根据S△AOB：S△BOC：S△AOC＝4：3：2，得（?4a）：（2×）：（×2a），解得a＝，
∴＝（，），＝（4，0），＝（0，2），
由，得，解得，，
所以：λ+μ＝，
故填：
【点评】如何将面积比转化为边的关系是解决问题的关键．本题属难题．
3．点M在△ABC内部，满足2+3+4＝，则S△MAC：S△MAB＝ 3：4 ．
【考点】向量数乘和线性运算；数量积表示两个向量的夹角．
【分析】分别延长MA至D，MB至E，MC至F，使MD＝2MA，ME＝3MB，MF＝4MC，结合题意得出M是△DEF的重心，S△MDE＝S△MEF＝S△MFD，再计算S△MAB与S△MAC的面积比．
【解答】解：根据题意，分别延长MA至D，MB至E，MC至F，
使MD＝2MA，ME＝3MB，MF＝4MC，如图所示：
由2+3+4＝，得++＝，
所以点M是△DEF的重心，
所以S△MDE＝S△MEF＝S△MFD，
设S△MDE＝1，则S△MAB＝×＝，S△MAC＝×＝，
所以S△MAC：S△MAB＝：＝3：4．
故答案为：3：4．
【点评】本题考查了三角形面积计算问题，也考查了三角形重心的性质以及平面向量在几何中的应用问题，是中档题．
4．已知点O是△ABC内部一点，满足+2＝m，＝，则实数m为（ ）
A．2
B．﹣2
C．4
D．﹣4
【考点】向量数乘和线性运算．
【分析】如图所示，点O是△ABC内部一点，满足+2＝m，延长OB到D点，以OA，OD为邻边作平行四边形AODF，连接CF分别交AB，AD于E，G点．可得点E是△OAD的重心．再根据＝，不妨设CE＝7，可得OC＝3，OE＝4，EG＝2，即可得出．
【解答】解：如图所示，
点O是△ABC内部一点，满足+2＝m，
延长OB到D点，以OA，OD为邻边作平行四边形AODF，连接CF分别交AB，AD于E，G点．
则点E是△OAD的重心．
∵＝，不妨设CE＝7，则OC＝3，OE＝4，EG＝2，OF＝12．
∴m＝＝﹣4，解得m＝﹣4．
故选：D．
【点评】本题考查了平面向量平行四边形法则及其应用、向量共线定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
5．过△ABC的重心G作直线l，已知l与AB、AC的交点分别为M、N，＝，若，则实数λ的值为（ ）
A．或
B．
或
C．或
D．或
【考点】平行向量（共线）．
【分析】利用重心的性质，把用、表示，再由M，G，N三点共线得关于λ，μ的方程，再由三角形面积比得关于λ，μ的另一方程，联立即可求得实数λ的值．
【解答】解：设AN＝μAC，
∵G为△ABC的重心，∴＝．
∵M，G，N三点共线，∴．
又＝，∴，
则．
∴或，故选：B．
【点评】本题考查的知识点是向量的线性运算性质及几何意义，向量的共线定理及三角形的重心，其中根据向量共线及三角形面积比求得λ、μ，的关系式是解答本题的关键，是中档题．
