2020-2021学年高中人教A版数学必修3学案 3.3.1　几何概型 3.3.2　均匀随机数的产生 Word版含解析

3.3　几何概型
3.3.1　几何概型
3.3.2　均匀随机数的产生
学 习 目 标 核 心 素 养
1．通过具体问题感受几何概型的概念，体会几何概型的意义．(重点) 2．会求一些简单的几何概型的概率．(重点、难点)
3．会用随机模拟的方法近似计算事件的概率．(重点) 1.通过求简单几何概型的概率，培养数学运算素养．
2．借助与面积、体积等有关的几何概型问题，培养直观想象素养.
1．几何概型的概念
(1)几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．
(2)几何概型的特点
①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个．
②每个基本事件出现的可能性相等．
2．几何概型的概率公式：
P(A)＝
3．均匀随机数
(1)均匀随机数的概念
在随机试验中，如果可能出现的结果有无限多个，并且这些结果都是等可能发生的，我们就称每一个结果为试验中全部结果所构成的区域上的均匀随机数．
(2)均匀随机数的产生
①计算器上产生[0,1]的均匀随机数的函数是RAND函数．
②Excel软件产生[0,1]区间上均匀随机数的函数为“rand()”．
(3)用模拟的方法近似计算某事件概率的方法
①试验模拟的方法：制作两个转盘模型，进行模拟试验，并统计试验结果．
②计算机模拟的方法：用Excel软件产生[0,1]区间上均匀随机数进行模拟(注意操作步骤)．
(4)[a，b]上均匀随机数的产生
利用计算器或计算机产生[0,1]上的均匀随机数x＝RAND，然后利用伸缩和平移交换，x＝x1*(b-a)+a就可以得到[a，b]内的均匀随机数，试验的结果是[a，b]上的任何一个实数，并且任何一个实数都是等可能出现的．
1．下列概率模型中，几何概型的个数为(　　)
①从区间[－10,10]上任取一个数，求取到的数在[0,1]内的概率；
②从区间[－10,10]上任取一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率；
③从区间[－10,10]上任取一个整数，求取到大于1而小于3的数的概率；
④向一个边长为4 cm的正方形内投一点，求点离中心不超过1 cm的概率．
A．1 B．2　　　　
C．3 D．4
C　[①②中的概率模型是几何概型，因为区间[－10,10]上有无数个数，且每个数被取到的机会相等；
③中的概率模型不是几何概型，因为区间[－10,10]上的整数只有21个，是有限的；
④中的概率模型是几何概型，因为在边长为4 cm的正方形内有无数个点，且该区域内的任何一个点被投到的可能性相同．]
2．在区间[－2,3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为(　　)
A. B.
C. D.
B　[区间[－2,3]的区间长度为5，在上面随机取一数X，使X≤1，即－2≤X≤1.其区间长度为3，所以概率为.]
3.每年新春佳节时，我国许多地区的人们有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．如图是一张“春到福来”的剪纸窗花，为了估计深色部分的面积，将窗花图案放置在边长为20 cm的正方形内，在该正方形内随机生成1 000个点，恰有535个点落在深色区域内，则此窗花图案中深色区域的面积约为(　　)
A．168 cm2 B．214 cm2
C．248 cm2 D．336 cm2
B　[正方形的面积S＝20×20＝400 cm2，则由题意知对应深色区域面积S满足＝，得S＝214 cm2，故选B.]
4．如图AB是圆O的直径，OC⊥AB，假设你在图形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．
　[设圆的半径为R，则圆的面积为S＝πR2，阴影的面积S阴＝·2R·R＝R2，故所求概率P＝＝＝.]
与长度、角度有关的几何概型
[探究问题]
1．几何概型与古典概型的区别是什么？
[提示]　几何概型的试验结果是无限的，古典概型的试验结果是有限的．
2．解决几何概型问题概率的关键是什么？
[提示]　确定所求概率与区域长度、角度、面积、体积中的哪一个有关．
3．“P(A)＝0?A是不可能事件”，“P(A)＝1?A是必然事件”，这两种说法是否成立？
[提示]　(1)无论是古典概型还是几何概型，若A是不可能事件，则P(A)＝0肯定成立；若A是必然事件，则P(A)＝1肯定成立．
(2)在古典概型中，若事件A的概率P(A)＝0，则A为不可能事件；若事件A的概率P(A)＝1，则A为必然事件．
(3)在几何概型中，若事件A的概率P(A)＝0，则A不一定是不可能事件，如：事件A对应数轴上的一个点，则其长度为0，该点出现的概率为0，但A并不是不可能事件；同样地，若事件A的概率P(A)＝1，则A也不一定是必然事件．
【例1】　在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM小于AC的概率．
思路点拨：本例是与哪种区域有关的几何概型问题？
[解]　点M随机地落在线段AB上，故线段AB的长度为试验的全部结果所构成的区域长度．在AB上截取AC′＝AC，当点M位于图中的线段AC′上(不包括点C′)时，AM于是P(AM1．(变条件)在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部作一条射线CM，与直线AB交于点M，求AM小于AC的概率．
[解]　由题意，应看成射线CM在∠ACB内是等可能分布的，在AB上截取AC′＝AC(如图)，则∠ACC′＝67.5°，故满足条件的概率为＝.
2．(变结论)本例条件不变．
(1)若求AM不大于AC的概率，结果有无变化？
(2)求AM大于AC的概率．
[解]　(1)结果不变．几何概型中，一点在线段上的长度视为0，包含与不包含一点，不改变概率的结果．
(2)如图，点M随机地落在线段AB上，故线段AB的长度为试验的全部结果所构成的区域长度，在AB上截取AC′＝AC，当点M位于线段C′B上时，AM>AC，
故线段C′B即为构成事件的区域长度．
∴P(AM>AC)＝P(AM>AC′)＝＝1－.
求解与长度有关的几何概型的关键点
在求解与长度有关的几何概型时，首先找到试验的全部结果构成的区域D，这时区域D可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A发生对应的区域d，在找d的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到不会影响事件A的概率.
与面积、体积有关的几何概型
【例2】　(1)如图所示，来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则(　　)
A．p1＝p2　　　　　　 B．p1＝p3
C．p2＝p3 D．p1＝p2＋p3
(2)在一个球内有一棱长为1的内接正方体，一动点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为(　　)
A.　　　　 B.π
C.　　　　 D.
思路点拨：(1)根据几何图形特征．分别计算区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积应用面积型几何概型定义判断．
(2)所求概率涉及到体积问题应用与体积有关的几何概型公式求解．
(1)A　(2)D　[(1)法一：设直角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则区域Ⅰ的面积即△ABC的面积，为S1＝bc，区域Ⅱ的面积S2＝π×＋π×－,2)－\f(1,2)bc))＝π(c2＋b2－a2)＋bc＝bc，所以S1＝S2，由几何概型的知识知p1＝p2，故选A.
法二：不妨设△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC＝2，则BC＝2，所以区域Ⅰ的面积即△ABC的面积，为S1＝×2×2＝2，区域Ⅲ的面积S3＝－2＝π－2，区域Ⅱ的面积S2＝π×12－(π－2)＝2.根据几何概型的概率计算公式，得p1＝p2＝，p3＝，所以p1≠p3，p2≠p3，p1≠p2＋p3，故选A.
(2)由题意可知这是一个几何概型问题，棱长为1的正方体的体积V1＝1，球的直径是正方体的体对角线长，故球的半径R＝，球的体积V2＝π×))＝π，则此点落在正方体内部的概率P＝＝.]
解与面积(体积)相关的几何概型问题的三个关键点
(1)根据题意确认是否是与面积(体积)有关的几何概型问题；
(2)找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积(体积)；
(3)套用公式，从而求得随机事件的概率.
1.(1)七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．(清)陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为(　　)
A. B. C. D.
(2)《九章算术·商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．”其中“解”字的意思是用一个平面对某几何体进行切割．已知正方体ABCD?A1B1C1D1，随机在线段AC1上取一点，过该点作垂直于AC1的平面α，则平面α“解”正方体ABCD?A1B1C1D1所得的大、小两部分体积之比大于5的概率为(　　)
A. B. C. D.
(1)C　(2)D　[(1)设正方形边长为a，则其面积S＝a2，
阴影部分面积S′＝a·＋·＋··＝＋＋＝，∴所求概率p＝＝.
(2)如图所示，由正方体的性质可知，AC1垂直于平面A1BD和平面CB1D1，设P和Q分别是平面A1BD和平面CB1D1与线段AC1的交点．
∵VA1?ABD＝VC?C1B1D1＝VABCD?A1B1C1D1，
当平面α取平面A1BD或平面CB1D1时，切割得到的大、小两部分体积之比恰好为5，要满足条件，应在线段AP或QC1上取点，而AP＝PQ＝QC1，所以所求的概率为＝.]
均匀随机数与随机模拟方法
【例3】　利用随机模拟方法计算由y＝1和y＝x2所围成的图形的面积．
[解]　 以直线x＝1，x＝－1，y＝0，y＝1为边界作矩形，
(1)利用计算器或计算机产生两组0～1区间的均匀随机数，a1＝RAND，b＝RAND；
(2)进行平移和伸缩变换，a＝2(a1－0.5)；
(3)数出落在阴影内的样本点数N1，用几何概型公式计算阴影部分的面积．
例如做1 000次试验，
即N＝1 000，模拟得到N1＝698，
所以P＝＝＝，
即阴影面积S＝矩形面积×＝2×＝1.396.
用随机模拟方法估计几何概型的步骤
①确定需要产生随机数的组数，如长度、角度型只用一组，面积型需要两组；②由基本事件空间对应的区域确定产生随机数的范围；③由事件A发生的条件确定随机数应满足的关系式；④统计事件A对应的随机数并计算A的频率来估计A的概率.
2．现向图中所示正方形内随机地投掷飞镖，试用随机模拟的方法求飞镖落在阴影部分的概率．
[解]　(1)利用计算器或计算机产生两组0至1区间内的均匀随机数a1，b1(共N组)；
(2)经过平移和伸缩变换，a＝2(a1－0.5)，
b＝2(b1－0.5)；
(3)数出满足不等式b<2a－，即6a－3b>4的数组数N1.所求概率P≈.
可以发现，试验次数越多，
概率P越接近.
1．几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率模型．
2．几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的问题．
3．注意理解几何概型与古典概型的区别．
4．理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解，概率公式为
P(A)＝.
1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)几何概型的基本事件有无数多个． (　　)
(2)几何概型的概率与构成事件的区域形状无关． (　　)
(3)随机数只能用计算器或计算机产生． (　　)
(4)x是[0,1]上的均匀随机数，则利用变量代换y＝(b－a)x＋a可得[a，b]上的均匀随机数． (　　)
[答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√
2．已知地铁列车每10 min一班，在车站停1 min，则乘客到达站台立即乘上车的概率是(　　)
A.　　　 B.
C. D.
A　[试验所有结果构成的区域长度为10 min，而构成事件A的区域长度为1 min，故P(A)＝.]
3.如图来自中国古代的木纹饰图．若大正方形的边长为6个单位长度，每个小正方形的边长均为1个单位长度，则在大正方形内随机取一点，此点取自图形中小正方形内的概率是(　　)
A. B. C. D.
D　[因为大正方形的面积为6×6＝36，而小正方的面积为1×1＝1，大正方形内部有8个小正方形，故在大正方形内随机取一点，此点取自图形中小正方形内的概率是＝.]
4．在长为12 cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边长作一个正方形，求作出的正方形面积介于36 cm2与81 cm2之间的概率．
[解]　如图所示，点M落在线段AB上的任一点上是等可能的，并且这样的点有无限多个．
设事件A为“所作正方形面积介于36 cm2与81 cm2之间”，它等价于“所作正方形边长介于6 cm与9 cm之间”．
取AC＝6 cm，CD＝3 cm，则当M点落在线段CD上时，事件A发生，所以P(A)＝＝＝.