1.1 算法与程序框图
1.1.1 算法的概念
学
习
目
标
核
心
素
养
1．通过回顾解二元一次方程组的方法，了解算法的思想．(重点)2．了解算法的含义和特征．(重点)3．读懂算法并能用自然语言表述简单的算法．(难点、易错点)
1．通过算法概念的理解，培养逻辑推理素养．2．借助算法的设计，养成数学建模素养.
1．算法的概念
12世纪的算法
指的是用阿拉伯数字进行算术运算的过程
数学中的算法
通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤
现代算法
通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题
思考：解决一个问题的算法是唯一的吗？
[提示] 不唯一．如解二元一次方程组的算法有加减消元法和代入消元法两种，但不同的算法有优劣之分．
2．算法的特征
(1)有限性：一个算法的步骤是有限的，它应在有限步骤操作之后停止．
(2)确定性：算法中的每一步应该是确定的，并且能有效地执行且得到确定的结果，而不是模棱两可的．
(3)逻辑性：算法从初始步骤开始，分为若干个明确的步骤，前一步是后一步的前提，只有完成前一步，才能进行下一步，而且每一步都是正确无误的，从而组成具有很强逻辑性的步骤序列．
(4)普遍性：一个确定的算法，应该能够解决一类问题．
(5)不唯一性：求解某一个问题的算法不一定只有唯一的一个，也可以有不同的算法．
3．算法的设计目的
计算机解决任何问题都要依赖于算法，只有将解决问题的过程分解为若干个明确的步骤，即算法，并用计算机能够接受的“语言”准确地描述出来，计算机才能够解决问题．
1．下列可以看成算法的是( )
A．学习数学时，课前预习，课上认真听讲并记好笔记，课下先复习再做作业，之后做适当的练习题
B．今天餐厅的饭真好吃
C．这道数学题难做
D．方程2x2－x＋1＝0无实数根
A [A是学习数学的一个步骤，所以是算法．]
2．下列对算法的理解不正确的是( )
A．算法可以无止境地运行下去
B．算法的步骤是不可逆的
C．同一个问题可以有不同的算法
D．算法中的每一步都应当有效地执行，并得到确定的结果
A
[A项中，由于算法具有有限性，因此不可能无止境地运行下去，不正确；B项中，算法中的步骤是按照顺序一步步进行下去的，因此是不可逆的，正确；C、D项符合算法的特征，正确．]
3．下列问题中，不可以设计一个算法求解的是( )
A．二分法求方程x2－3＝0的近似解
B．解方程组
C．求半径为3的圆的面积
D．判断函数y＝x2在R上的单调性
D [A、B、C选项中的问题都可以设计算法解决，D选项中的问题由于x在R上取值无穷尽，所以不能设计一个算法求解．]
4．下面是某人出家门先打车去火车站，再坐火车去北京的一个算法，请补充完整．
第一步，出家门．
第二步，______________.
第三步，坐火车去北京．
[答案] 打车去火车站
算法的概念理解
【例1】 下列各式中S的值不可以用算法求解的是( )
A．S＝1＋2＋3＋4
B．S＝1＋2＋3＋4＋…
C．S＝1＋＋＋…＋
D．S＝12＋22＋32＋…＋1
002
B [由算法的概念可知：求解某一类问题的算法必须是有限步的，B项不知其多少步完成，A，C，D可在有限步内完成．
所以S值不可以用算法求解的是选项B.]
解答这类问题的方法为特征判断法
主要从以下三个方面判断：
?1?看是否满足可执行性；
?2?看是否满足确定性；
?3?看是否满足有限性.此外，算法的不唯一性也要考虑到.
1．下列描述不能看作算法的是( )
A．做米饭需要刷锅，淘米，添水，加热这些步骤
B．洗衣机的使用说明书
C．解方程2x2＋x－1＝0
D．利用公式S＝πr2计算半径为4的圆的面积，就是计算π×42
C [A、B、D项都描述了解决问题的过程，可以看作算法，而C项只描述了一个事实，没说明怎么解决问题，不是算法．]
算法的阅读及应用
【例2】 下面给出了一个问题的算法：
第一步，输入三个数，并分别用a，b，c表示．
第二步，比较a与b的大小，如果a第三步，比较a与c的大小，如果a第四步，比较b与c的大小，如果b第五步，输出a，b，c.
以上算法要解决的问题是________，如果输入的三个数分别是6,28,14，则输出三数的顺序为________．
思路点拨：可尝试先赋a，b，c的值为6,28,14，用具体数值去执行算法步骤，从而得到启示．
输入三个数a，b，c，并按从大到小的顺序输出 28,14,6
[法一：特殊值法：
第一步，输入a＝6，b＝28，c＝14.
第二步，因为a第三步，因为a>c，不做变化．
第四步，因为b第五步，输出28,14,6.
通过上述过程可知，此算法解决的问题是：对任意输入的三个数a，b，c，按从大到小的顺序输出．
法二：一般方法：
第一步是给a，b，c赋值．
第二步运行后a>b.
第三步运行后a>c.
第四步运行后b>c，所以a>b>c.
第五步运行后，显示a，b，c的值，且从大到小排列．]
算法作用的理解方法
一个算法的作用往往并不显而易见，这时我们可以结合具体数值去执行一下并从中得出规律.
2．给出下面一个算法：
第一步，给出三个数x，y，z.
第二步，计算M＝x＋y＋z.
第三步，计算N＝M.
第四步，输出M，N.
则上述算法是( )
A．求和
B．求余数
C．求平均数
D．先求和再求平均数
D [由算法过程可知，M为给出三个数之和，N为这三个数的平均数．]
算法的设计
[探究问题]
假设家中生火烧水泡茶有以下几个步骤：
a．生火；b.将凉水倒入锅中；c.找茶叶；d.洗茶壶、茶碗；e.用开水冲茶．
1．你能说出在家中泡茶的步骤吗？
[提示] b→a→c→d→e
2．从上述例子分析，你能说出设计算法步骤的要求吗？
[提示] (1)算法必须要解决一类问题．
(2)要保证算法步骤合理有效．
(3)要使算法步骤尽量简洁实用．
【例3】 已知函数y＝试设计一个算法输入x的值，求对应的函数值．
思路点拨：
[解] 算法如下：
第一步，输入x的值．
第二步，当x≤－1时，计算y＝－x2－1；否则执行第三步．
第三步，计算y＝x3.
第四步，输出y.
1．(变条件)该例条件若改为“已知函数y＝”试设计一个算法输入x的值，求对应的函数值．
[解] 算法如下：
第一步，输入x的值．
第二步，若x>0，则y＝－x＋1，然后执行第四步；否则执行第三步．
第三步，若x＝0，则y＝0，然后执行第四步，否则y＝x＋1.
第四步；输出y的值．
2．(变结论)已知函数y＝，下面是输入x的值，求对应的函数值的一个算法，请填空：
第一步，输入x.
第二步，若x>－1，输出________；否则执行第三步．
第三步，输出________．
当输入x的值为1时，输出的结果为________．
[答案] x3 －x2－1 1
设计算法的四个步骤
1．算法的特点：有限性、确定性、逻辑性、普遍性、不唯一性．
2．算法设计的要求
(1)写出的算法必须能够解决一类问题(如判断一个整数是否为质数，求任意一个方程的近似解等)，并且能够重复使用．
(2)要使算法尽量简单，步骤尽量少．
(3)要保证能够一步一步执行，每步执行的操作必须确切，不能含混不清，而且在有限步后能得到结果．
1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)求解一类问题的算法是唯一的．
( )
(2)算法必须在有限步骤操作之后解决问题．
( )
(3)算法执行后一定产生确定的结果．
( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√
2．下列叙述中，
①植树需要运苗、挖坑、栽苗、浇水这些步骤；
②按顺序进行下列运算：1＋1＝2,2＋1＝3,3＋1＝4，…99＋1＝100；
③从青岛乘火车到济南，再从济南乘飞机到广州；
④3x>x＋1；
⑤求所有能被3整除的正数，即3,6,9,12，….
能称为算法的个数为( )
A．2
B．3
C．4
D．5
B [由算法的含义与特征知：①②③都是算法；④中，3x>x＋1不是明确的步骤，不满足确定性；⑤中步骤是无穷的，与有限性矛盾．]
3．已知一个学生的语文成绩为89分，数学成绩为96分，外语成绩为99分．求他的总分和平均分的一个算法为：
第一步，取A＝89，B＝96，C＝99.
第二步，_____________________________________________.
第三步，_____________________________________________.
第四步，输出计算的结果．
[答案] 计算总分D＝A＋B＋C
计算平均分E＝
4．设计一个算法，求表面积为16π的球的体积．
[解] 法一：第一步，取S＝16π.
第二步，计算R＝(由于S＝4πR2)．
第三步，计算V＝πR3.
第四步，输出运算结果．
法二：第一步，取S＝16π.
第二步，计算V＝π.
第三步，输出运算结果．1.1.2 程序框图与算法的基本逻辑结构
第1课时 程序框图、顺序结构
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1.了解程序框图的含义，理解程序框图的作用．(难点)2．掌握各种程序框和流程线的画法与功能．(重点)3．理解程序框图中的顺序结构，会用顺序结构表示算法．(重点)
1．通过程序框图的学习，培养逻辑推理素养．2．借助程序框图的设计，提升数学抽象素养.
1．程序框图
(1)定义：
程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形．
(2)表示：
在程序框图中，算法的一个步骤通常用一个或几个程序框的组合来表示；带有方向箭头的流程线将程序框连接起来，表示算法步骤的执行顺序．
(3)常见的程序框及其功能：
图形符号
名称
功能
终端框(起止框)
表示一个算法的起始和结束
输入、输出框
表示一个算法输入和输出的信息
处理框(执行框)
赋值、计算
判断框
判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y”；不成立时标明“否”或“N”.
流程线
连接程序框
连接点
连接程序框图的两部分
2.顺序结构
概念
图示
顺序结构是由若干个依次执行的步骤组成的，这是任何一个算法都离不开的基本结构
思考：在顺序结构的图示中，“步骤n”与“步骤n＋1”的执行顺序是怎样的？
[提示] 是依次执行的，即执行完“步骤n”框操作后，才执行“步骤n＋1”框的操作．
1．下列关于程序框图的说法正确的是( )
A．一个程序框图包括表示相应操作的框、带有方向箭头的流程线和必要的文字说明
B．输入、输出框只能各有一个
C．程序框图虽可以描述算法，但不如用自然语言描述算法直观
D．程序框图中必须包含判断框
A [输入、输出框可以放在算法中任何需要输入、输出的位置，所以不一定各有一个，因此B选项是错误的；相对于自然语言，用程序框图描述算法的优点主要是直观、形象，容易理解，在步骤表达上简单了许多，所以C选项是错误的；显然D选项是错误的．]
2．下列图形符号属于判断框的是( )
[答案] C
3．在程序框图中，算法中间要处理数据或计算，可以分别写在不同的( )
A．处理框内
B．判断框内
C．输入、输出框内
D．起、止框内
[答案] A
4．在如图所示的程序框图中，若输入A＝7，则输出的结果S＝________.
20 [A＝7，S＝3×7－1＝20.]
程序框的认识与理解
【例1】 (1)下列关于程序框图的说法中正确的有( )
①程序框图只有一个入口，也只有一个出口；②程序框图中的每一部分都应有一条从入口到出口的途径经过它；③程序框图中的循环可以是无尽的循环；④程序框图中的每一步可能有执行不到的．
A．①②③ B．②③ C．①④ D．①②
(2)关于程序框图的图形符号的理解，正确的有________(填序号)．
①任何程序框图都必须有起止框；
②输入框只能放在开始框后，输出框只能放在结束框前；
③判断框是唯一具有超过一个退出点的图形符号；
④对于一个程序来说，判断框内的条件的表达方式是唯一的．
(1)D (2)①③ [(1)根据算法的有穷性，算法必须在有限的步骤后结束，所以③错误．因为程序框图中的每一步都必须执行，所以④错误．
(2)因为任何一个程序都必须有开始和结束，因此必须有起止框，所以①正确；输入和输出可以用在算法中任何需要输入、输出的位置，故②错误；判断框是有多个退出点的程序框，故③正确；判断框内的条件不唯一，所以④错误．]
程序框图概念理解的注意点
?1?终端框是任何程序框图不可缺少的，表明程序的起始和结束.
?2?输入、输出框可用在任何需要输入、输出的位置.
?3?算法中间要处理数据或计算，可分别写在不同的处理框内.
?4?当算法要求对两个不同的结果进行判断时，判断条件要写在判断框内.判断框是唯一具有超过一个退出点的符号.
1．下列说法正确的是( )
A．程序框图中的图形符号可以由个人来确定
B.也可以用来执行计算语句
C．程序框图中可以没有输出框，但必须要有输入框
D．用程序框图表达算法，其优点是算法的基本逻辑结构展现得非常直接
D [一个完整的程序框图至少要有起止框和输入、输出框，输入、输出框用来输入、输出信息，判断框用来判断某一条件是否成立，都不能执行计算．]
程序框图的设计(顺序结构)
[探究问题]
1．写出求1＋2＋3＋…＋100的一个算法.
[提示] 第一步，输入n＝100.
第二步，计算的值．
第三步，输出计算的结果．
2．用程序框图表述上述算法．
[提示]
【例2】 设计一个算法，求上底为a，下底为b，高为h的梯形的面积，并画出程序框图．
思路点拨：根据梯形的面积公式S＝(a＋b)·h，可分几步来计算S的值，形成算法，再根据算法步骤，画出程序框图．
[解] 算法步骤：
第一步：输入a，b，h.
第二步：计算面积S＝.
第三步：输出S.
程序框图如下：
1．(变条件)下列程序框图中表示已知直角三角形两直角边a，b，求斜边c的算法的是( )
C [画程序框图时，应先输入a，b，再计算c＝，最后输出c.]
2．(变条件)设计一个算法，求长为a，宽为b的长方形的面积，画出相应的程序框图．
[解] 算法步骤：
第一步，输入a，b.
第二步，计算面积S＝ab.
第三步，输出长方形的面积S.
程序框图如图所示．
画顺序结构的程序框图的步骤
顺序结构是任何一个算法都离不开的基本结构，执行时从上到下依次进行.用顺序结构表示算法的步骤为：
?1?分析题意，进行逻辑结构的选择.
?2?用自然语言写出算法.
?3?依照结构形式，根据画法规则画出程序框图，注意程序框图的顺序应与算法中的书写步骤一致.
程序框图的应用
【例3】 如图所示是解决某个问题而绘制的程序框图，仔细分析各图框内的内容及图框之间的关系，回答下面的问题：
(1)该框图解决的是怎样的一个问题？
(2)若最终输出的结果y1＝3，y2＝－2，当x取5时输出的结果5a＋b的值应该是多大？
(3)在(2)的前提下，输入的x值越大，输出的ax＋b是不是越大，为什么？
(4)在(2)的前提下，当输入的x值为多大时，输出结果ax＋b等于0?
[解] (1)该框图解决的是求函数f(x)＝ax＋b的函数值的问题．其中输入的是自变量x的值，输出的是x对应的函数值．
(2)y1＝3，即2a＋b＝3.
①
y2＝－2，即－3a＋b＝－2.
②
由①②得a＝1，b＝1.所以f(x)＝x＋1.
所以当x取5时，5a＋b＝f(5)＝5＋1＝6.
(3)输入的x值越大，输出的函数值ax＋b越大，因为f(x)＝x＋1是R上的增函数．
(4)令f(x)＝x＋1＝0，得x＝－1，因此当输入的x值为－1时，输出的函数值为0.
识别程序框图功能的关键点
对顺序结构程序框图的识读，首先弄明白程序框图中各程序框的功能，然后按流程线指引的方向从上到下?或从左到右?依次判断即可.
2．如图所示，图①是计算图②中空白部分面积的一个框图，则“？”处应填________．
① ②
S＝a2－a2 [由题图②知S阴影＝2eq
\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a2－π×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))))＝2a2－，所以S空白＝a2－S阴影＝a2－2a2＋＝a2－a2，故“？”处应填S＝a2－a2.]
1．在设计计算机程序时要画出程序运行的程序框图，有了这个程序框图，再去设计程序就有了依据，从而就可以把整个程序用机器语言表述出来，因此程序框图是我们设计程序的基础和开端．
2．程序框图的理解：框图符合标准化，框内语言简练化，框间流程方向化．从上到下，从左到右，匀颠倒．起止框不可少，判断框一口进，两口出，顺序结构处处有．
1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任何一个程序框图都必须有起止框．
( )
(2)一个程序框图中可以没有顺序结构．
( )
(3)输入框只能放在输出框之前．
( )
(4)判断框可以有多个出口．
( )
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√
2．在顺序结构中，一定不含有的程序框是( )
A．终端框
B．输入、输出框
C．处理框
D．判断框
D [顺序结构中一定不含判断框．]
3．根据如图所示的程序框图，若输入m的值是3，则输出的y的值是________．
13 [若输入m＝3，则p＝8，y＝8＋5＝13.]
4．设计一个算法，要求输入球的半径R，输出球的表面积S，并画出程序框图．
[解] 算法步骤如下：
第一步，输入球的半径R；
第二步，计算S＝4πR2；
第三步，输出S.
程序框图如下：
PAGE
