2.1.2 系统抽样
学
习
目
标
核
心
素
养
1．理解系统抽样的概念．(重点)2．掌握系统抽样的方法与步骤，能用系统抽样从总体中抽取样本．(难点、易错点)
1．通过系统抽样的学习，体现数学运算素养．2．借助系统抽样步骤的理解，养成数学建模素养.
1．系统抽样的概念
先将总体中的个体逐一编号，然后按号码顺序以一定的间隔k进行抽取，先从第一个间隔中随机地抽取一个号码，然后按此间隔逐个抽取即得到所需样本．
2．系统抽样的步骤
一般地，假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，我们可以按下列步骤进行系统抽样：
思考：当总体中的个数较多时，为什么不宜用简单随机抽样．
[提示] 因为个体较多，采用简单随机抽样如制作号签等工作会耗费大量的人力、物力和时间，而且不容易做到“搅拌均匀”，从而使样本的代表性不强．
1．系统抽样适用的总体应是( )
A．容量较小的总体
B．容量较大的总体
C．个体数较多但均衡的总体
D．任何总体
C [根据系统抽样的概念，只能是个体数较多且个体之间均衡的总体才能使用系统抽样．]
2．在10
000个有机会中奖的号码(编号为0
000～9
999)中，有关部门按照随机抽样的方式确定后两位数字是68的号码为中奖号码．这是运用哪种抽样方法来确定中奖号码的( )
A．抽签法
B．系统抽样法
C．随机数表法
D．其他抽样方法
B [由题意，中奖号码分别为0
068,0
168,0
268，…，9
968.显然这是将10
000个中奖号码平均分成100组，从第一组抽0
068号，其余号码是在此基础上加100的整数倍得到的，是系统抽样．]
3．有20个同学，编号为1～20，现在从中抽取4人的作文卷进行调查，用系统抽样方法确定所抽的编号为( )
A．5,10,15,20
B．2,6,10,14
C．2,4,6,8
D．5,8,11,14
A [将20分成4组．每组5个号，间隔等距离为5.]
4．为了解1
200名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔k＝________.
40 [分段间隔k＝＝＝40.]
系统抽样的概念
【例1】 下列抽样中，最适宜用系统抽样的是( )
A．某市的4个区共有2
000名学生，且4个区的学生人数之比为3∶2∶8∶2，从中抽取200名入样
B．从某厂生产的2
000个电子元件中随机抽取5个入样
C．从某厂生产的2
000个电子元件中随机抽取200个入样
D．从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个入样
C [根据系统抽样的定义和特点判断，A项中的总体有明显的层次区别，不适宜用系统抽样；B项中样本容量很小，适合随机数表法；D项中总体容量较小，适合抽签法．]
系统抽样的适用范围和特征
?1?适用范围：①个体较多，但均衡的总体；②当总体容量较大，样本容量也较大时.
?2?系统抽样的特征：①等间距性；②等可能性.
1．下列抽样方法不是系统抽样的是( )
A．从标有1～15号的15个球中，任选三个作样本，按从小号到大号的顺序，随机选起点i0，以后选i0＋5，i0＋10(超过15则从1再数起)号入选
B．工厂生产的产品用传送带将产品送入包装车间前，在一天时间内检验人员从传送带上每隔五分钟抽一件产品进行检验
C．做某项市场调查，规定在商场门口随机抽一个人进行询问调查，直到达到事先规定的调查人数为止
D．电影院调查观众的某一指标，通知每排(每排人数相等)座位号为14的观众留下来座谈
C [A编号间隔相同，B时间间隔相同．D相邻两排座位号的间隔相同，均满足系统抽样的特征．只有C项无明显的系统抽样的特征．]
系统抽样中的计算问题
【例2】 采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查．为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为( )
A．7
B．9
C．10
D．15
思路点拨：求出第n组抽到的号码，然后解不等式即可．
C [从960人中用系统抽样的方法抽取32人，则抽样间隔为k＝＝30.
因为第一组号码为9，则第二组号码为9＋1×30＝39，…，第n组号码为9＋(n－1)×30＝30n－21.由451≤30n－21≤750，即15≤n≤25，所以n＝16,17，…，25，共有25－16＋1＝10(人)．]
系统抽样计算问题的解法及技巧
?1?若已知总体数，且样本容量已知，则采用系统抽样方法进行抽样时，如果要剔除一些个体，那么需要剔除的个体数为总体数除以样本容量所得的余数.
?2?利用系统抽样的概念与等距特点，若在第一段抽取的编号为m，分段间隔为d，则在第k段中抽取的第k个编号为m＋?k－1?d.
?3?若求落入区间[a，b]的样本个数，则可通过列出不等式a≤m＋?k－1?d≤b，解出满足条件的k的取值范围.再根据k∈N
，求出其范围内的正整数个数即可.
2．用系统抽样法从130件产品中抽取容量为10的样本，将130件产品从1～130编号，按编号顺序平均分成10组(1～13号，14～26号，…，118～130号)，若第9组抽出的号码是114，则第3组抽出的号码是( )
A．36
B．37
C．38
D．39
A [由题意可知系统抽样的组数为10组，间隔为13，设第一组抽取的号码为x，由系统抽样的法则，可知第n组抽取的号码为x＋13(n－1)，所以第9组抽取的号码为x＋13(9－1)＝114，解得x＝10.所以第3组抽取的号码为10＋13(3－1)＝36.故选A.]
系统抽样的方案设计
[探究问题]
1．用系统抽样抽取样本时，每段各取一个号码，其中第一段的个体编号怎样抽取？
[提示] 使用简单随机抽样方法抽取．
2．用系统抽样抽取样本时，当不是整数时，随机剔除了多余的个体，这样还公平吗？
[提示] 因为剔除多余个体是用简单随机抽样的方法进行的，每一个个体被剔除的机会都一样，所以是公平的．
3．用系统抽样抽取样本时，第1段是随机取出的号码，其余各段都是由计算式算出来的，并没有抽签，这样公平吗？
[提示] 虽然除第1段外，后面的样本都是通过计算抽取的，但由于第1段号码确定是随机的，故后面各段号码的确定均是随机的，是公平的．
【例3】 某工厂有工人1
007名，现从中抽取100人进行体检，试写出抽样方案．
思路点拨：样本容量为100，总体容量为1
007，不能被100整除，因此首先需要剔除7个个体，然后确定分段间隔为＝10，利用系统抽样即可．
[解] 用系统抽样的方法抽取样本．
第一步，编号．将1
007名工人编号，号码为0001,0002，…，1007.
第二步，利用随机数表法抽取7个号码，将对应编号的工人剔除．
第三步，将剩余的1
000名工人重新编号，号码为0001,0002，…，1000.
第四步，确定分段间隔k＝＝10，将总体分成100段，每段10名工人．
第五步，在第1段中，利用抽签法或者随机数表法抽取一个号码m.
第六步，利用分段间隔，将m，m＋10，m＋20，…，m＋990共100个号码抽出．
1．(变条件)某工厂有102名工人，现从中抽取10人进行体检，请写出抽样方案．
[解] 根据条件，可采用抽签法抽取样本．
第一步：编号，把102名工人编号为1,2,3，…，102.
第二步：制签，做好大小、形状完全相同的号签，分别写上这102个数．
第三步：搅拌，将这些号签放入暗箱，充分摇匀．
第四步：入样，每次从中抽一个号签，不放回地连续抽10次，从而得到容量为10的入选样本．
2．(变结论)某工厂有1
007名工人，现从中抽取100人进行调查工资收入情况，能否用系统抽样方法抽取样本？为什么？
[解] 不能用系统抽样抽取，因为工人的工资状况与其年龄、工种等因素有关，总体中个体有明显的分层．
系统抽样设计中的注意点
?1?当总体容量不能被样本容量整除时，可以先从总体中随机地剔除几个个体，使得总体中剩余的个体数能被样本容量整除.
?2?被剔除的部分个体可采用简单随机抽样法抽取.
?3?剔除部分个体后应重新编号.
?4?每个个体被抽到的机会均等，被剔除的机会也均等.
1．系统抽样的实质是“分组”抽样，适用于总体中的个体数较大的情况．
2．解决系统抽样问题的两个关键步骤为
(1)分组的方法应依据抽取比例而定，即根据定义每组抽取一个样本．
(2)用系统抽样法抽取样本，当不为整数时，取k＝，即先从总体中用简单随机抽样的方法剔除N－nk个个体，且剔除多余的个体不影响抽样的公平性．
1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)总体个数较多时可以用系统抽样．
( )
(2)系统抽样的过程中，每个个体被抽到的概率不相等．
( )
(3)用系统抽样从N个个体中抽取一个容量为n的样本，要平均分成n段，每段各有个号码．
( )
[答案] (1)√ (2)× (3)×
2．为了了解参加某次知识竞赛的1
252名学生的成绩，决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，那么从总体中应随机剔除的个体数目为( )
A．2
B．3
C．4
D．5
A [1
252＝50×25＋2，故应从总体中随机剔除2个个体．]
3．为了了解某地参加计算机水平测试的5
008名学生的成绩，从中抽取了200名学生的成绩进行统计分析，运用系统抽样方法抽取样本时，每组的容量为( )
A．24
B．25
C．26
D．28
B [5
008＝200×25＋8，故每组容量为25.]
4．某校为了庆祝建校50周年，举行了为期3天的迎校庆教职工体育运动会，同时进行全校精神文明擂台赛．为了解这次活动在全校教职工中产生的影响，对全校500名教职工进行了问卷调查．如果要在所有答卷中抽出10份用于评估，应该如何抽样？请详细叙述抽样过程．
[解] 法一：采用随机数法，步骤如下：
(1)先将500份答卷编号，可以编号为000,001,002，…，499.
(2)在随机数表中随机选取一个起始位置．
(3)规定向右连续读取数字，以3个数为一组，如果读取的三位数大于499，则跳过去不读，如果遇到前面已经读过的，也跳过去不读，这样一直到取满10个号码为止．
法二：系统抽样法，步骤如下：
(1)将500份答卷编号：1,2,3，…，500.
(2)按1～50,51～100,101～150，…，451～500分成10组，每组50个编号．
(3)在每一组中运用抽签法随机选择一个编号(步骤略)，比如所选号码为17，则其他各组应取出的号码分别为67,117,167,217,267,317,367,417,467.
(4)将上述10个号码代表的答卷取出作为样本即可．
PAGE2.1 随机抽样
2.1.1 简单随机抽样
学
习
目
标
核
心
素
养
1．理解简单随机抽样的定义、特点及适用范围．(重点)2．掌握两种简单随机抽样的步骤，并能用简单随机抽样方法抽取样本．(难点)
1．通过抽取样本，培养数据分析素养．2．借助简单随机抽样的定义，培养数学抽象素养.
1．简单随机抽样的定义
一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．这样抽取的样本，叫做简单随机样本．
2．简单随机抽样的方法
(1)抽签法：
把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本．
(2)随机数法：
随机抽样中，另一个经常被采用的方法是随机数法，即利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样．
3．抽签法和随机数法的特点
优点
缺点
抽签法
简单易行，当总体的个体数不多时，使总体处于“搅拌均匀”的状态比较容易，这时，每个个体有均等的机会被抽中，从而能够保证样本的代表性
仅适用于个体数较少的总体，当总体容量较大时，费时费力又不方便，况且，如果号签搅拌的不均匀，可能导致抽样不公平
随机数法
操作简单易行，它很好地解决了用抽签法当总体中的个数较多时制签难的问题，在总体容量不大的情况下是行之有效的
如果总体中的个体数很多，对个体编号的工作量太大，即使用随机数表法操作也不方便快捷
1．新华中学为了了解全校1
302名高一学生的身高情况，从中抽取30名学生进行测量，下列说法正确的是( )
A．总体是1
302名学生
B．个体是每1名学生
C．样本是30名学生
D．样本容量是30
D [本题是研究学生的身高，故总体、个体、样本数据均为学生身高，而不是学生．]
2．在简单随机抽样中，某一个个体被抽中的可能性( )
A．与第几次抽样有关，第一次抽中的可能性要大些
B．与第几次抽样无关，每次抽中的可能性都相等
C．与第几次抽样有关，最后一次抽中的可能性要大些
D．每个个体被抽中的可能性无法确定
B [在简单随机抽样中，每一个个体被抽中的可能性都相等，与第几次抽样无关．]
3．抽签法中确保样本代表性的关键是( )
A．制签
B．搅拌均匀
C．逐一抽取
D．抽取不放回
B [逐一抽取、抽取不放回是简单随机抽样的特点，但不是确保代表性的关键，一次抽取与有放回抽取(个体被重复取出可不算再放回)也不影响样本的代表性，制签也一样．]
4．一个总体共有60个个体，其编号为00,01,02，…，59，现从中抽取一个容量为10的样本，请从随机数表的第8行第11列的数字开始，向右读，到最后一列后再从下一行左边开始继续向右读，依次获取样本号码，直到取满样本为止，则获得的样本号码是________．
附表：(第8行～第10行)
63
01
63
78
59 16
95
55
67
19 98
10
50
71
75
12
86
73
58
07 44
39
52
38
79(第8行)
33
21
12
34
29 78
64
56
07
82 52
42
07
44
38
15
51
00
13
42 99
66
02
79
54(第9行)
57
60
86
32
44 09
47
27
96
54 49
17
46
09
62
90
52
84
77
27 08
02
73
43
28(第10行)
16,55,19,10,50,12,58,07,44,39 [第8行第11列的数字为1，由此开始，依次抽取号码，第一个号码为16，可取出；第二个号码为95>59，舍去．按照这个规则抽取号码，抽取的10个样本号码为16,55,19,10,50,12,58,07,44,39.]
简单随机抽样的概念
【例1】 下面的抽样方法是简单随机抽样吗？为什么？
(1)从无数个个体中抽取50个个体作为样本；
(2)仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查；
(3)小乐从玩具箱中的10件玩具中随意拿出一件玩，玩后放回，再拿出一件，连续拿出四件；
(4)某连队从200名党员官兵中，挑选出50名最优秀的官兵赶赴灾区参加救灾工作；
(5)一福彩彩民买30选7彩票时，从装有30个大小、形状都相同的乒乓球的盒子(不透明)中逐个无放回地摸出7个有标号的乒乓球，作为购买彩票的号码；
[解] (1)总体数目不确定、不是简单随机抽样．
(2)简单随机抽样要求的是“逐个抽取”本题是一次性抽取，不是简单随机抽样．
(3)简单随机抽样是不放回抽样，这里的玩具玩以后又放回，再抽下一件，不是简单随机抽样．
(4)从中挑出的50名官兵，是200名中最优秀的，每个个体被抽的可能性不同，不是简单随机抽样．
(5)符合简单随机抽样的特点，是简单随机抽样．
简单随机抽样的判断方法
判断所给的抽样是否为简单随机抽样的依据是简单随机抽样的四个特征：
上述四点特征，如果有一点不满足，就不是简单随机抽样．
1．判断下面的抽样方法是否为简单随机抽样，并说明理由．
(1)某班45名同学，指定个子最矮的5名同学参加学校组织的某项活动．
(2)从20个零件中一次性抽出3个进行质量检查．
[解] (1)不是简单随机抽样．
因为指定个子最矮的5名同学，是在45名同学中特指的，不存在随机性，不是等可能抽样．
(2)不是简单随机抽样．
因为一次性抽取3个不是逐个抽取，不符合简单随机抽样的特征．
抽签法及应用
【例2】 为迎接2022年北京冬奥会，奥委会从报名的北京某高校20名志愿者中选取5人组成冬奥会志愿小组，请用抽签法设计抽样方案．
[解] (1)将20名志愿者编号，号码分别是01,02，…，20；
(2)将号码分别写在20张大小、形状都相同的纸条上，揉成团儿，制成号签；
(3)将所得号签放在一个不透明的袋子中，并搅拌均匀；
(4)从袋子中依次不放回地抽取5个号签，并记录下上面的编号；
(5)所得号码对应的志愿者就是志愿小组的成员．
抽签法的应用条件及注意点
?1?一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否方便；二是个体之间差异是否明显.一般地，当样本容量和总体容量较小时，可用抽签法.
?2?应用抽签法时应注意以下几点：
①编号时，如果已有编号可不必重新编号；
②号签要求大小、形状完全相同；
③号签要均匀搅拌；
④要逐一不放回地抽取.
2．上海某中学从40名学生中选1人作为上海男篮啦啦队的成员，采用下面两种选法，则是抽签法的序号为________．
(1)将这40名学生从1～40进行编号，相应地制作1～40的40个号签，把这40个号签放在一个暗箱中搅匀，最后随机地从中抽取1个号签，与这个号签编号一致的学生幸运入选；
(2)将39个白球与1个红球(球除颜色外，其他完全相同)混合放在一个暗箱中搅匀，让40名学生逐一从中摸取一球，摸到红球的学生成为啦啦队成员．
(1) [(1)满足抽签法的特征，是抽签法；
(2)不是抽签法，因为抽签法中所有的号签编号是互不相同的，而其中39个白球无法相互区分．]
随机数表法及应用
[探究问题]
1．什么情况下使用随机数表法抽样？它比抽签法的优势体现在哪里？
[提示] 当总体中个体数较多时适合用随机数表法，与抽签法相比，可以节约大量的人力和制号签的成本．
2．随机数表法和抽签法都要对个体进行编号，它们的编号方法有何不同点？
[提示] 抽签法和随机数法对个体的编号是不同的，抽签法可以利用个体已有的编号，如学生的学籍号、产品的记数编号等，也可以重新编号，例如总体个数为100，编号可以为1,2,3，…，100.随机数表法编号要看总体的个数，且所编号码数位必须相同，如总体数为100，通常为00,01，…，99.总体数大于100小于1
000，从000开始编起，然后是001,002，….
【例3】 为了检验某种药品的副作用，从编号为1,2,3，…，120的服药者中用随机数表法抽取10人作为样本，写出抽样过程．
思路点拨：(1)使用药品服用者的已有编号还是再重新编号？(2)使用随机数表时，第一个数字怎样确定？
[解] 第一步，将120名服药者重新进行编号，分别为001,002,003，…，120；第二步，在随机数表(教材P103)中任选一数作为初始数，如选第9行第7列的数3；第三步，从选定的数3开始向右读，每次读取三位，凡不在001～120中的数跳过去不读，前面已经读过的也跳过去不读，依次可得到074,100,094,052,080,003,105,107,083,092；
第四步，以上这10个号码所对应的服药者即是要抽取的对象．
1．(变条件)如果本例改为“从编号1,2,3，…，100的服药者中用随机数表法抽取10人作为样本”．请写出抽样过程．
[解] 第一步，将100名服药者重新编号，分别为00,01,02，…，99；
第二步，在随机数表(教材P103)中任选一数作为初始数，如选第9行第7列的数3.
第三步，从选定的数3开始向右读，每次读取两位数，凡在00～99中的读取出来，前面已读数字跳过不读，依次可得，34,29,78,64,56,07,82,52,42,44.
第四步，以上10个号码对应的服药者即是要抽取的对象．
2．(设问)本题其他条件不变，若要用抽签法取样，则：
(1)要不要对服药者进行重新编号？
(2)所选出的10人是不是相同的？
[解] (1)若运用抽签法取样，对已有编号的个体不用再重新进行编号．
(2)用抽签法选出的10人与用随机数表法选出的10人不一定相同，其实既使用相同的方法抽样，不同两次的抽取结果也不一定完全相同.
随机数表法抽样的3个步骤
?1?编号：这里的所谓编号，实际上是新编数字号码.
?2?确定读数方向：为了保证选取数字的随机性，应在面对随机数表之前就指出开始数字的纵横位置，然后确定读数方向.
?3?获取样本：读数在总体编号内的取出，而读数不在总体编号内的和已取出的不算，依次下去，直至得到容量为n的样本.
1．要判断所给的抽样方法是不是简单随机抽样，关键是看它们是否符合简单随机抽样的定义，即简单随机抽样的四个特点：总体有限、逐个抽取、无放回抽取、等可能抽取．
2．一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是制作号签是否方便，二是号签是否容易被搅拌均匀．一般地，当总体容量和样本容量都较少时可用抽签法．
3．利用随机数法抽取个体时，关键是先确定以表中的哪个数(哪行哪列)作为起点，以哪个方向作为读数的方向．需注意读数时结合编号特点进行读取，编号为两位，则两位、两位地读取；编号为三位，则三位、三位地读取．
1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)抽签时，先抽的比较幸运．
( )
(2)抽签法中，“搅拌均匀”是没有必要的．
( )
(3)随机数表法比抽签法好．
( )
[答案] (1)× (2)× (3)×
2．某班50名学生中有30名男生，20名女生，用简单随机抽样抽取1名学生参加某项活动，则抽到女生的可能性为( )
A．0.4
B．0.5
C．0.6
D．
A [在简单随机抽样中，每个个体被抽到机会相等，即＝0.4.]
3．用随机数表法进行抽样有以下几个步骤：
①将总体中的个体编号；②获取样本号码；③选定开始的数字；④选定读数的方向．这些步骤的先后顺序应为( )
A．①②③④
B．①③④②
C．③②①④
D．④③①②
B [由随机数表法的步骤知选B.]
4．某校高一年级有43名足球运动员，要从中抽出5人抽查学习负担情况．用抽签法设计一个抽样方案．
[解] 第一步：编号，把43名运动员编号为1～43；
第二步：制签，做好大小、形状相同的号签，分别写上这43个数；
第三步：搅拌，将这些号签放在暗箱中，进行均匀搅拌；
第四步：抽签入样，每次从中抽取一个，连续抽取5次(不放回抽取)，从而得到容量为5的入选样本．
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