江西省南昌第十高级中学2021届高三下学期4月第一次月考数学（理）试题 Word版含答案
文档属性
| 名称 | 江西省南昌第十高级中学2021届高三下学期4月第一次月考数学（理）试题 Word版含答案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 204.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-04-13 18:22:34 | ||
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文档简介
南昌十中2020－2021学年下学期第一次月考
高三数学（理）试题
说明：本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分。考试用时120分钟，
注 意 事 项：
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求。
1．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号或IS号用书写黑色字迹的0．5毫米签字笔填写在答题卡和答题纸上。
2．作答非选择题必须用书写黑色字迹的0．5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效。作答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持卡面清洁和答题纸清洁，不折叠、不破损。
3．考试结束后，请将答题纸交回。
选择题（本大题共12题，每小题5分，共计60分,在每小题列出的四个选项中只有一项符合题目要求）
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.若复数false为纯虚数（false为虚数单位），则实数a的值为 ( )
A． B．2 C.false D．false
3.数据false，false，…，false满足线性回归方程false，则“false满足线性回归方程false”是“false，false”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也必要条件
4.2020年3月14日是全球首个国际圆周率日历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形各边均与圆相切的正6n边形的周长，将它们的算术平均数作为的近似值．按照阿尔卡西的方法，的近似值的表达式是（ ）
A. B.
C. D.
5.函数的图象大致为（ ）
A.B.C.D.
6.中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课则“六艺”课程讲座的不同排课顺序共有（ ）
A. 120种 B. 156种 C. 188种 D. 240种
7.在等差数列false中，false，前false项和false有最小值，则当false时，false的最大值为( )
A．7 B．8 C．13 D．14
8.已知，，，则a，b，c的大小关系为( )
A. B. C. D.
9.在平面内，已知A，C是两个定点，B是动点，若，，则的内角A的最大值为( )
A. B. C. D.
10.双曲线C：的左焦点和虚轴的一个端点分别为F，A，点P为C右支上一动点，若周长的最小值为4b，则C的离心率为
A. B. C. D.
11.已知直三棱柱的侧棱长为2，，过AB，的中点E，F作平面与平面垂直，则所得截面周长为( )
A. B. C. D.
12.若函数为定义在R上的偶函数，当时，，则不等式
的解集为( )
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共计20分）
13.若，则 .
的展开式中各项系数之和为2，则该展开式中的系数为 ．
直线l:x=my+1过抛物线false的焦点F,交抛物线C于A?B两点,若false则直线l的斜率为_____.
已知四棱锥的顶点均在球O的球面上，底面ABCD是矩形，，，，二面角大小为，当面积最大时，球O的表面积为______ ．
三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．）
（一）必答题（每小题12分）
17.false的内角false，false，false的对边分别为false，false，false且满足false，false.
（1）求角false的大小；
（2）求false周长的范围.
18.现有两个全等的等腰直角三角板，直角边长为2，将它们的一直角边重合，若将其中一个三角板沿直角边CD折起形成三棱锥，如图所示，其中，点E，F，G分别是AC，BC，AB的中点．
283845011430（1）求证：平面CDG；
（2）求二面角的余弦值．
19.近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的出行方式．为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方APP中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价．现从评价系统中选出200条较为详细的评价信息进行统计，车辆状况的优惠活动评价的列联表如下：
对优惠活动好评
对优惠活动不满意
合计
对车辆状况好评
100
30
130
对车辆状况不满意
40
30
70
合计
140
60
200
(1)能否在犯错误的概率不超过的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评有关系？
(2)为回馈用户，公司通过APP向用户随机派送面额为0元，1元，2元的三种骑行券．用户每次使用APP扫码用车后，都可获得一张骑行券．用户骑行一次获得1元券，获得2元券的概率分别是，，且各次获取骑行券的结果相互独立．若某用户一天使用了两次该公司的共享单车，记该用户当天获得的骑行券面额之和为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
参考：，
k
20.已知椭圆C：的离心率为，短轴长为．
（1）求C的方程；
（2）设不过点的直线l与C相交于A，B两点，直线TA，TB分别与x轴交于M，N两点，若，证明直线l的斜率是定值，并求出该定值．
已知函数．
（1）讨论的单调性；
若，证明：．
（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22. [选修4?–?4:坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为false（t为参数）以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为
（1）求曲线的普通方程和的直角坐标方程；
（2）设点P的直角坐标为,若曲线与相交于A,B两点，求的值．
23．【选修4-5：不等式选讲】（10分）已知函数
（1）若不等式恒成立，求实数m的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若a、b、c为正实数，且三数之和为m的最大值，求证：
南昌十中2020-2021学年下学期第一次月考高三年级理科数学答案
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
D
D
B
A
A
A
C
D
A
D
C
B
二、填空题
13. 14. -48 15. 16. 28
三、解答题
17.（1）由已知，得false.
由正弦定理，得false.
即false，因为false.
所以false.因为false，所以false，
因为false，所以false.....................................6分
（2）由余弦定理false，得false
即false.因为false所以false，
即false（当且仅当false时等号成立）
又∵false，即false，所以false，
即周长的范围为false.....................................12分
18.解：证明：根据已知得，又G为AB的中点，所以，
因为，G为AB的中点，所以，
又，平面CDG，平面CDG，所以平面
又因为，所以平面.....................6分
（2）因为，，所以平面ABD，
取BD中点H，连接AH，FH，
则平面BDC，又，所以以H为原点，
以HB，HF，HA所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
4137660187325则，
所以?????
设平面AEF的法向量为，
则，令，得???????
设平面AED的法向量为，
则令，得???????
所以，所以二面角的余弦值为...................................12分
19.解：由列联表的数据，
得．
在犯错误的概率不超过的前提下，不能认为优惠活动好评与车辆状况好评有关系．.......4分
由题意，可知一次骑行用户获得0元的概率为的所有可能取值分别为0，1，2，3，4．
，，
，，
，
的分布列为：
X
0
1
2
3
4
P
X的数学期望为元．...........................12分
401129528892520.(1)解：由题意，，解得，
椭圆C的方程为；.....................4分
(2)证明：当直线l的斜率不存在时，设直线l：，
设l与椭圆C交于，，
直线TA：，直线TB：，
可得，，
，，
即与矛盾，故直线l的斜率存在；
设直线l：，代入，整理得．
设，，
则，，，
，，即，，
即．
，
则，
整理得：，或．
当时，直线l：过点，不合题意，故舍去；
，即，满足的m存在．
故直线l的斜率是定值．..............................................12分
21.解：的定义域为，，
当时，，在区间上单调递减，
当时，，得，单调递增，
，得，单调递减，
综上所述，当时，在区间上单调递减，
当时，在区间上单调递增，在单调递减．...........4分
（2）证明：当时，，令，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，即，
令，，则，
可知在上单调递减，所以，
即当时，，从而，
所以当时，，即，
所以．.............12分
22.解：（1）把参数方程false（t为参数）消去参数t得false由false的极坐标方程为false，两边同乘以false，得false，将false且false代入，得曲线false的直角坐标方程为false； ..........5分
（2）直线false的标准参数方程false（t为参数）
把直线false的参数方程false（t为参数）代入曲线false的普通方程false中，
整理得false
false，利用参数的几何意义知：
false． .........10分
23.解：（1）由题可知false
当false时，false
当false时，false
当false时，false
所以函数false的值域为false，
若不等式false恒成立，则false ..........5分
（2）由（1）知false
证明：false
false
false
即：false
false
当且仅当false时取“=”号 .........10分
高三数学（理）试题
说明：本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分。考试用时120分钟，
注 意 事 项：
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求。
1．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号或IS号用书写黑色字迹的0．5毫米签字笔填写在答题卡和答题纸上。
2．作答非选择题必须用书写黑色字迹的0．5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效。作答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持卡面清洁和答题纸清洁，不折叠、不破损。
3．考试结束后，请将答题纸交回。
选择题（本大题共12题，每小题5分，共计60分,在每小题列出的四个选项中只有一项符合题目要求）
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.若复数false为纯虚数（false为虚数单位），则实数a的值为 ( )
A． B．2 C.false D．false
3.数据false，false，…，false满足线性回归方程false，则“false满足线性回归方程false”是“false，false”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也必要条件
4.2020年3月14日是全球首个国际圆周率日历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形各边均与圆相切的正6n边形的周长，将它们的算术平均数作为的近似值．按照阿尔卡西的方法，的近似值的表达式是（ ）
A. B.
C. D.
5.函数的图象大致为（ ）
A.B.C.D.
6.中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课则“六艺”课程讲座的不同排课顺序共有（ ）
A. 120种 B. 156种 C. 188种 D. 240种
7.在等差数列false中，false，前false项和false有最小值，则当false时，false的最大值为( )
A．7 B．8 C．13 D．14
8.已知，，，则a，b，c的大小关系为( )
A. B. C. D.
9.在平面内，已知A，C是两个定点，B是动点，若，，则的内角A的最大值为( )
A. B. C. D.
10.双曲线C：的左焦点和虚轴的一个端点分别为F，A，点P为C右支上一动点，若周长的最小值为4b，则C的离心率为
A. B. C. D.
11.已知直三棱柱的侧棱长为2，，过AB，的中点E，F作平面与平面垂直，则所得截面周长为( )
A. B. C. D.
12.若函数为定义在R上的偶函数，当时，，则不等式
的解集为( )
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共计20分）
13.若，则 .
的展开式中各项系数之和为2，则该展开式中的系数为 ．
直线l:x=my+1过抛物线false的焦点F,交抛物线C于A?B两点,若false则直线l的斜率为_____.
已知四棱锥的顶点均在球O的球面上，底面ABCD是矩形，，，，二面角大小为，当面积最大时，球O的表面积为______ ．
三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．）
（一）必答题（每小题12分）
17.false的内角false，false，false的对边分别为false，false，false且满足false，false.
（1）求角false的大小；
（2）求false周长的范围.
18.现有两个全等的等腰直角三角板，直角边长为2，将它们的一直角边重合，若将其中一个三角板沿直角边CD折起形成三棱锥，如图所示，其中，点E，F，G分别是AC，BC，AB的中点．
283845011430（1）求证：平面CDG；
（2）求二面角的余弦值．
19.近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的出行方式．为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方APP中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价．现从评价系统中选出200条较为详细的评价信息进行统计，车辆状况的优惠活动评价的列联表如下：
对优惠活动好评
对优惠活动不满意
合计
对车辆状况好评
100
30
130
对车辆状况不满意
40
30
70
合计
140
60
200
(1)能否在犯错误的概率不超过的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评有关系？
(2)为回馈用户，公司通过APP向用户随机派送面额为0元，1元，2元的三种骑行券．用户每次使用APP扫码用车后，都可获得一张骑行券．用户骑行一次获得1元券，获得2元券的概率分别是，，且各次获取骑行券的结果相互独立．若某用户一天使用了两次该公司的共享单车，记该用户当天获得的骑行券面额之和为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
参考：，
k
20.已知椭圆C：的离心率为，短轴长为．
（1）求C的方程；
（2）设不过点的直线l与C相交于A，B两点，直线TA，TB分别与x轴交于M，N两点，若，证明直线l的斜率是定值，并求出该定值．
已知函数．
（1）讨论的单调性；
若，证明：．
（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22. [选修4?–?4:坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为false（t为参数）以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为
（1）求曲线的普通方程和的直角坐标方程；
（2）设点P的直角坐标为,若曲线与相交于A,B两点，求的值．
23．【选修4-5：不等式选讲】（10分）已知函数
（1）若不等式恒成立，求实数m的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若a、b、c为正实数，且三数之和为m的最大值，求证：
南昌十中2020-2021学年下学期第一次月考高三年级理科数学答案
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
D
D
B
A
A
A
C
D
A
D
C
B
二、填空题
13. 14. -48 15. 16. 28
三、解答题
17.（1）由已知，得false.
由正弦定理，得false.
即false，因为false.
所以false.因为false，所以false，
因为false，所以false.....................................6分
（2）由余弦定理false，得false
即false.因为false所以false，
即false（当且仅当false时等号成立）
又∵false，即false，所以false，
即周长的范围为false.....................................12分
18.解：证明：根据已知得，又G为AB的中点，所以，
因为，G为AB的中点，所以，
又，平面CDG，平面CDG，所以平面
又因为，所以平面.....................6分
（2）因为，，所以平面ABD，
取BD中点H，连接AH，FH，
则平面BDC，又，所以以H为原点，
以HB，HF，HA所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
4137660187325则，
所以?????
设平面AEF的法向量为，
则，令，得???????
设平面AED的法向量为，
则令，得???????
所以，所以二面角的余弦值为...................................12分
19.解：由列联表的数据，
得．
在犯错误的概率不超过的前提下，不能认为优惠活动好评与车辆状况好评有关系．.......4分
由题意，可知一次骑行用户获得0元的概率为的所有可能取值分别为0，1，2，3，4．
，，
，，
，
的分布列为：
X
0
1
2
3
4
P
X的数学期望为元．...........................12分
401129528892520.(1)解：由题意，，解得，
椭圆C的方程为；.....................4分
(2)证明：当直线l的斜率不存在时，设直线l：，
设l与椭圆C交于，，
直线TA：，直线TB：，
可得，，
，，
即与矛盾，故直线l的斜率存在；
设直线l：，代入，整理得．
设，，
则，，，
，，即，，
即．
，
则，
整理得：，或．
当时，直线l：过点，不合题意，故舍去；
，即，满足的m存在．
故直线l的斜率是定值．..............................................12分
21.解：的定义域为，，
当时，，在区间上单调递减，
当时，，得，单调递增，
，得，单调递减，
综上所述，当时，在区间上单调递减，
当时，在区间上单调递增，在单调递减．...........4分
（2）证明：当时，，令，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，即，
令，，则，
可知在上单调递减，所以，
即当时，，从而，
所以当时，，即，
所以．.............12分
22.解：（1）把参数方程false（t为参数）消去参数t得false由false的极坐标方程为false，两边同乘以false，得false，将false且false代入，得曲线false的直角坐标方程为false； ..........5分
（2）直线false的标准参数方程false（t为参数）
把直线false的参数方程false（t为参数）代入曲线false的普通方程false中，
整理得false
false，利用参数的几何意义知：
false． .........10分
23.解：（1）由题可知false
当false时，false
当false时，false
当false时，false
所以函数false的值域为false，
若不等式false恒成立，则false ..........5分
（2）由（1）知false
证明：false
false
false
即：false
false
当且仅当false时取“=”号 .........10分
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