江西省南昌第十高级中学2021届高三下学期4月第一次月考数学（文）试题 Word版含答案

南昌十中2020－2021学年下学期第一次月考
高三数学（文）试题

说明：本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分。考试用时120分钟，
注 意 事 项：
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求。
1．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号或IS号用书写黑色字迹的0．5毫米签字笔填写在答题卡和答题纸上。
2．作答非选择题必须用书写黑色字迹的0．5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效。作答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持卡面清洁和答题纸清洁，不折叠、不破损。
3．考试结束后，请将答题纸交回。
选择题（本大题共12题，每小题5分，共计60分,在每小题列出的四个选项中只有一项符合题目要求）
1．若复数false满足false（其中false为虚数单位），则复数false的虚部为（ ）
A．false B．false C．false D．false
2. 已知集合false，false，若false，则false（ ）
A. －1 B. －2 C. 0 D. 1
3. 椭圆false：false的焦点在false轴上，其离心率为false，则（ ）
A. 椭圆false的短轴长为false B. 椭圆false的长轴长为4
C. 椭圆false的焦距为4 D. false
4．某学校举行诗歌朗诵比赛，最终甲、乙、丙三位同学夺得前三名，关于他们三人的排名评委老师给出以下说法：①甲是第一名：②乙不是第二名：③丙不是第一名，若三种说法中只有一个说法正确，则得第三名的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．无法判定
5. 函数 false的图象大致为（ ）A.B.C.D.
6．甲、乙两名同学分别从四个景点中选取一个景点游玩，则这两名同学选取不同景点的概率为（ ）
A． B． C． D．
7. 已知平面false，false，直线l，m，且有false，false，给出下列命题：①若false，则false；②若false，则false；③若false，则false；其中正确命题的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
8.在等差数列false中，false，前false项和false有最小值，则当false时，false的最大值为( )
A．7 B．8 C．13 D．14
9．将函数false的图象向左平移false个单位长度，所得图象对应的函数（ ）
A．在区间false上单调递增 B．最小正周期为false
C．图象关于false对称 D．图象关于false对称
10．已知false，则false的大小关系为（ ）
A．false B． false 9 C．false D．false
11．设false，false分别是双曲线false（false）的左右焦点，过false作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为false，若false，则双曲线的离心率为 （ ）
A．false B．false C．false D．false
falseA．（﹣∞，e﹣2） B．（0，e﹣2） C．（﹣∞，e﹣1） D．（0，e﹣1）
二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共计20分）
13．某班级为了解本班49名学生的体质健康状况，将这些学生编号为1，2，3，…，49，从这些学生中用系统抽样方法等距抽取7名学生进行体质健康测试．若32号学生被抽到，则在8~14号学生中被抽到的是 号．
已知平面向量false与false的夹角为false，若false，false，则false _____.
15. 已知三棱锥false，false，false，false平面false且false，则此三棱锥的外接球的体积为________.
16.已知数列{an}对任意的n∈N*都满足false，false，则数列{bn}的前n项和为 __．
三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．）
（一）必答题
（12分）在①false，②false，
③false这三个条件中，仼选一个，补充在下面问题中，（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
问题：在false中，false分别为角false所对的边，false，________．
（1）求角B；
（2）求false的最大值
18．（12分）某生物研究所研发了某种型号的新冠疫苗，为检验该种型号疫苗的效果，研究所将疫苗用在小白鼠身上进行科研实验，得到如下数据：
未感染病毒
感染病毒
总计
未注射疫苗
a
60
m
注射疫苗
b
30
n
总计
110
90
200
从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“未感染病毒”的小白鼠的概率为．
（1）能否有99.9%的把握认为注射此疫苗有效？
P（K2≥k）
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（2）在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取6只进行病理分析，然后从这6只小白鼠中随机抽取2只对注射疫苗的情况进行核实，求至少有1只为注射过疫苗的概率．
附：K2＝．
3835400327660（12分）四棱锥P﹣ABCD中，面PAD⊥面ABCD，AB∥CD且AB⊥AD，
PA＝CD＝2AB＝2，AD＝PD＝．E为PB中点．
（1）求证：PA⊥面CDE；
（2）求点E到面PCD的距离．
20．（12分）已知椭圆false分别为C的左右焦点，离心率false为椭圆上的任意一点，且false的最小值为1．
（1）求椭圆C的标准方程．
（2）过false的直线交椭圆C与false两点，其中A关于x轴的对称点为false（异与点B），试判断false所在的直线是否恒过定点？若恒过定点，求出定点坐标，若不是请说明理由．
21．（12分）已知函数false，（其中false…是自然对数的底数），false
（1）讨论函数false的单调性；
（2）设函数false，若false对任意的false恒成立，求实数a的取值范围．
（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22. [选修4?–?4:坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为false（t为参数）以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为
（1）求曲线的普通方程和的直角坐标方程；
（2）设点P的直角坐标为,若曲线与相交于A,B两点，求的值．
23．【选修4：不等式选讲】（10分）已知函数false
（1）若不等式false恒成立，求实数m的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若false为正实数，且三数之和为m的最大值，求证：false
文科数学参考答案
一、选择题（本大题共12题，每小题5分，共计60分）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A
B
B
B
A
D
C
C
C
A
D
B
二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共计20分）
13．11
3
false
16.
三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．）
17.（本大题12分）（1）解：选择①：由false，得false即false所以false
因为false，所以false，故false所以false （6分）
选择②：由正弦定理false，可化为false
由余弦定理得false因为false，所以false， （6分）
选择③：由正弦定理得false，又false，由false得false因为false所以false因为false，所以false． （6分）
（2）在false中，由（1）及false，
false， （8分）
所以false
false （10分）
因为false且false为锐角，所以存在角A使得false，所以false的最大值为false （12分）
18．（本大题12分）解：（1）根据条件＝，解得m＝100，
从而a＝40,b＝70,n＝100,（2分）由K2＝≈18.182,（5分）
因为18.182＞10.828，所以有99.9%的把握认为注射此疫苗有效．（6分）
（2）在感染病毒的小白鼠中，未注射疫苗和注射疫苗的比例为2：1，
所以从未注射疫苗的小白鼠中抽取4只，记为a、b、c、d；
从注射疫苗的小白鼠中抽取2只，记为E、F；（8分）
从6只小白鼠中抽取2只共有15种方法，
即有ab、ac、ad、aE、aF、bc、bd、bE、bF、cd、cE、cF、dE、dF、EF，
记A＝{至少有1只为注射过疫苗}，则A包含9个基本事件，（11分）
从而P（A）＝＝，所以至少有1只为注射过疫苗的概率是．（12分）
3621405203835（本大题12分）
解：（1）证明：取PA的中点F，连接DF,EF，
因为EF∥AB，而AB∥CD，
所以EF∥CD，从而有E,F,C,D四点共面，
又AD＝DP,且F为AP的中点，所以PA⊥DF,（3分）
又面PAD⊥面ABCD，且CD⊥AD，
由面面垂直性质定理得CD⊥面PAD,（5分）
从而PA⊥CD,CD∩DF＝F，
故PA⊥面CDE．（6分）
（2）由（1）知EF∥CD，故E点到面PCD的距离即为F点到面PCD的距离．
过F点作FH⊥PD，因为CD⊥面PAD，
所以FH⊥CD，故FH⊥面PCD,
在Rt△PDF中，PF＝1,PD＝,DF＝，
从而FH＝＝,
故E点到面PCD的距离为．（12分）
（本大题12分）详解（1）根据题意知false，解的false由此可得，false
故椭圆的标准方程为false （4分）
（2）由（1）知，false，直线false的斜率不可能为0，因此设直线false的方程为false，与椭圆C联立，得关于y的一元二次方程false，设false，则false
根据韦达定理有false① （7分）
而false所在的直线经过点false，因此false
等价于false
将①式代入，得false，化简得false，
因此直线false恒过定点false． （12分）
21．（本大题12分）详解：（1）因为false，所false．
令false，则false，（2分）
当false时，false，函数false单调递减；
当false时，false，函数false单调递增．（4分）
所以false，又因为false，
所以false在定义域false上单调递增 （ 5分 ）
（2）由false得false即，即：false
即：false
所以false，即false，对任意false恒成立，（7分）
设false，则false
所以，当false时，false，函数false单调递增，
且当false时，false时，false．
若false，则false，
若false，因为false，且false在false上单调递增，所以false，
综上可知，false对任意false恒成立，即false对任意false恒成立．（10分）
设false，则false
所以false在false单调递增，所以false，
即a的取值范围为false． （12分）
22．（本大题10分）解：（1）把参数方程false（t为参数）消去参数t得false
（2分）
由false的极坐标方程为false，两边同乘以false，得false，将false且false代入，得曲线false的直角坐标方程为false； （5分）
（2）直线false的标准参数方程false（t为参数）
把直线false的参数方程false（t为参数）代入曲线false的普通方程false中，整理得falsefalse，（8分）
利用参数的几何意义知：
false． （10分）
23.（本大题10分）详解：（1）由题可知false
当false时，false
当false时，false
当false时，false
所以函数false的值域为false，
若不等式false恒成立，则false （5分）
（2）由（1）知false
证明：false
false
false
即：false
false
当且仅当false时取“=”号 （10分）