北师大版数学八年级下册：1.3 线段的垂直平分线 同步练习（word版含答案）

3　线段的垂直平分线
第1课时　线段垂直平分线的性质定理及其逆定理
1．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点．已知线段PA＝3 cm，则线段PB的长为（ ）
A．6 cm B．5 cm
C．4 cm D．3 cm

第1题图　　第2题图
2．如图，AB是CD的垂直平分线．若AC＝2.3 cm，BD＝1.6 cm，则四边形ACBD的周长是（ ）
A．3.9 cm B．7.8 cm
C．4 cm D．4.6 cm
3．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E.若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为（ ）
A．8 B．11
C．16 D．17

第3题图　　　第4题图
4．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，DC平分∠ACB.若∠A＝50°，则∠B的度数为 ．
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点E，垂足为D.求证：∠CAB＝∠AED.
6．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（ ）
A．AB垂直平分CD
B．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分
D．CD平分∠ACB

第6题图　　　　第7题图
7．如图，已知△ABC，AB＞AC＞BC，边AB上存在一点P，使得PA＋PC＝AB.下列描述正确的是（ ）
A．P是AC的垂直平分线与AB的交点
B．P是BC的垂直平分线与AB的交点
C．P是∠ACB的平分线与AB的交点
D．P是以点B为圆心，AC长为半径的弧与边AB的交点
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D.求证：点D在AB的垂直平分线上．
9．在△ABC中，AB＝AC，边AB的垂直平分线与边AC所在的直线相交所得的锐角为50°，则∠C的度数为 ．
10．下列说法：①若直线PE是线段AB的垂直平分线，则EA＝EB；②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE是线段AB的垂直平分线；③若EA＝EB，则直线EP是线段AB的垂直平分线；④若PA＝PB，则点P在线段AB的垂直平分线上．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
11．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AC＝6 cm，且△ABD的周长为13 cm，则△ABC的周长为（ ）
A．13 cm B．19 cm
C．10 cm D．16 cm

第11题图 　　　第12题图
12．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，将AB边沿AD折叠，发现B点的对应点E正好在AC的垂直平分线上，则∠C＝ ．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为 ．

第13题图　　　第14题图
14．如图，线段AB，BC的垂直平分线l1，l2相交于点O.若∠1＝39°，则∠AOC＝ ．
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC延长线上一点，E是BD的垂直平分线与AB的交点，DE交AC于点F.求证：点E在AF的垂直平分线上．
16．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC外的一点(点D与点A分别在直线BC的两侧)，且DB＝DC，过点D作DE∥AC，交射线AB于点E，连接AD交BC于点F.
(1)求证：AD垂直平分BC；
(2)请从A，B两题中任选一题作答，我选择________题．
A：如图1，当点E在线段AB上且不与点B重合时，求证：DE＝AE；
B：如图2，当点E在线段AB的延长线上时，写出线段DE，AC，BE之间的等量关系，并证明你的结论．
第2课时　三角形三边的垂直平分线
1．三角形纸片ABC上有一点P，量得PA＝3 cm，PB＝3 cm，则点P一定（ ）
A．是边AB的中点 B．在边AB的中线上
C．在边AB的高上 D．在边AB的垂直平分线上
2．在三角形的内部，有一个点到三角形三个顶点的距离相等，则这个点一定是三角形（ ）
A．三条中线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条边的垂直平分线的交点
D．三条高的交点
3．如果三角形中两条边的垂直平分线的交点在第三条边上，那么这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．等边三角形 D．直角三角形
4．如图，已知直线MN为△ABC的边BC的垂直平分线．若AB，AC两边的垂直平分线相交于点O，当顶点A的位置移动时，点O始终在（ ）
23133050A．直线MN上
B．直线MN的左侧
C．直线MN的右侧
D．直线MN的左侧或右侧
5．下列作图语句正确的是（ ）
A．过点P作线段AB的垂直平分线
B．在线段AB的延长线上取一点C，使AB＝AC
C．过直线a和直线b外一点P作直线MN，使MN∥a∥b
D．过点P作直线AB的垂线
6．如图，点E，F，G，Q，H在一条直线上，且EF＝GH，我们知道按如图所作的直线l为线段FG的垂直平分线．下列说法正确的是（ ）
A．l是线段EH的垂直平分线
B．l是线段EQ的垂直平分线
C．l是线段FH的垂直平分线
D．EH是l的垂直平分线

第6题图　　　第7题图
7．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接MN，分别与AC，BC交于点D，E，连接AE，则：
(1)∠ADE＝ ；
(2)AE EC；(填“＝”“＞”或“＜”)
(3)当AB＝3，AC＝5时，△ABE的周长等于 ．
1985645981075B村
·
B村
·
8．为了推进农村新型合作医疗制度改革，准备在某镇新建一个医疗点P，使P到该镇A村、B村、C村所属的村委会所在地的距离都相等(A，B，C不在同一直线上，地理位置如图)，请你用尺规作图的方法确定点P的位置．要求：写出已知、求作，不写作法，保留作图痕迹．
2473325124460C村
·
C村
·
111696540640A村
·
A村
·

9．在平面内，到三点A，B，C距离相等的点（ ）
A．只有一个 　 B．有两个
C．有三个或三个以上 　 D．有一个或没有
10．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＞AC.按下列步骤作图：
①分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；
②作直线MN，与边AB相交于点D，连接CD.
下列说法不一定正确的是（ ）
A．∠BDN＝∠CDN B．∠ADC＝2∠B
C．∠ACD＝∠DCB D．2∠B＋∠ACD＝90°
11．等腰三角形的底角为40°，两腰的垂直平分线交于点P，则（ ）
A．点P在三角形内
B．点P在三角形外
C．点P在三角形底边上
D．点P的位置与三角形的边长有关
12．如图，由于水资源缺乏，B，C两地不得不从黄河上的扬水站A引水，这就需要A，B，C之间铺设地下输水管道，有人设计了三种铺设方案：如图①②③，图中实线表示管道铺设线路，在图②中，AD垂直BC于点D；在图③中，OA＝OB＝OC.为减少渗漏，节约水资源，并降低工程造价，铺设线路应尽量缩短，已知△ABC恰好是一个边长为a的等边三角形，那么通过计算，你认为最好的铺设方案是方案 ．
13．如图所示，已知线段a，b，求作等腰三角形，使高为a，腰长为b(a＜b，尺规作图，保留作图痕迹)．
14．如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M，N两点，DM与EN相交于点F.
(1)若∠ACB＝120°，求∠MCN的度数；
(2)若△CMN的周长为15 cm，求AB的长；
(3)若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．
【变式】　如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC.
(1)求∠PAQ的度数；
(2)若△APQ周长为12，BC长为8，求PQ的长．
参考答案：
第1课时　线段垂直平分线的性质定理及其逆定理
1．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点．已知线段PA＝3 cm，则线段PB的长为(D)
A．6 cm B．5 cm
C．4 cm D．3 cm

第1题图　　第2题图
2．如图，AB是CD的垂直平分线．若AC＝2.3 cm，BD＝1.6 cm，则四边形ACBD的周长是(B)
A．3.9 cm B．7.8 cm
C．4 cm D．4.6 cm
3．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E.若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为(B)
A．8 B．11
C．16 D．17

第3题图　　　第4题图
4．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，DC平分∠ACB.若∠A＝50°，则∠B的度数为30°．
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点E，垂足为D.求证：∠CAB＝∠AED.
证明：∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB.
∴∠EAB＝∠B.
∵∠C＝90°，
∴∠CAB＋∠B＝90°.
又∵∠AED＋∠EAB＝90°，
∴∠CAB＝∠AED.
6．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有(A)
A．AB垂直平分CD
B．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分
D．CD平分∠ACB

第6题图　　　　第7题图
7．如图，已知△ABC，AB＞AC＞BC，边AB上存在一点P，使得PA＋PC＝AB.下列描述正确的是(B)
A．P是AC的垂直平分线与AB的交点
B．P是BC的垂直平分线与AB的交点
C．P是∠ACB的平分线与AB的交点
D．P是以点B为圆心，AC长为半径的弧与边AB的交点
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D.求证：点D在AB的垂直平分线上．
证明：∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝90°－30°＝60°.
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠ABC＝30°.
∴∠A＝∠ABD.
∴DA＝DB.
∴点D在AB的垂直平分线上．
9．在△ABC中，AB＝AC，边AB的垂直平分线与边AC所在的直线相交所得的锐角为50°，则∠C的度数为20°或70°．
10．下列说法：①若直线PE是线段AB的垂直平分线，则EA＝EB；②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE是线段AB的垂直平分线；③若EA＝EB，则直线EP是线段AB的垂直平分线；④若PA＝PB，则点P在线段AB的垂直平分线上．其中正确的有(C)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
11．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AC＝6 cm，且△ABD的周长为13 cm，则△ABC的周长为(B)
A．13 cm B．19 cm
C．10 cm D．16 cm

第11题图 　　　第12题图
12．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，将AB边沿AD折叠，发现B点的对应点E正好在AC的垂直平分线上，则∠C＝30°．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为．

第13题图　　　第14题图
14．(2020·南京)如图，线段AB，BC的垂直平分线l1，l2相交于点O.若∠1＝39°，则∠AOC＝78°．
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC延长线上一点，E是BD的垂直平分线与AB的交点，DE交AC于点F.求证：点E在AF的垂直平分线上．
证明：∵E是BD的垂直平分线上的一点，
∴EB＝ED.
∴∠B＝∠D.
∵∠ACB＝90°，
∴∠A＝90°－∠B，∠CFD＝90°－∠D.
∴∠CFD＝∠A.
又∵∠AFE＝∠CFD，
∴∠AFE＝∠A.
∴EF＝EA.
∴点E在AF的垂直平分线上．
16．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC外的一点(点D与点A分别在直线BC的两侧)，且DB＝DC，过点D作DE∥AC，交射线AB于点E，连接AD交BC于点F.
(1)求证：AD垂直平分BC；
(2)请从A，B两题中任选一题作答，我选择________题．
A：如图1，当点E在线段AB上且不与点B重合时，求证：DE＝AE；
B：如图2，当点E在线段AB的延长线上时，写出线段DE，AC，BE之间的等量关系，并证明你的结论．
解：(1)证明：∵AB＝AC，
∴点A在线段BC的垂直平分线上．
∵DB＝DC，
∴点D在线段BC的垂直平分线上．
∴AD垂直平分BC.
(2)选择A，证明：
由(1)，得AD⊥BC，
又∵AB＝AC，∴∠BAF＝∠CAF.
∵DE∥AC，∴∠CAF＝∠ADE.
∴∠BAF＝∠ADE.
∴DE＝AE.
选择B，线段DE，AC，BE之间的等量关系为DE＝BE＋AC.
证明：由(1)，得AF⊥BC，
又∵AB＝AC，∴∠BAF＝∠CAF.
∵DE∥AC，∴∠EDA＝∠CAF.
∴∠BAF＝∠EDA.
∴AE＝DE.
∵AE＝EB＋AB，AB＝AC，
∴DE＝BE＋AC.
第2课时　三角形三边的垂直平分线
1．三角形纸片ABC上有一点P，量得PA＝3 cm，PB＝3 cm，则点P一定(D)
A．是边AB的中点 B．在边AB的中线上
C．在边AB的高上 D．在边AB的垂直平分线上
2．在三角形的内部，有一个点到三角形三个顶点的距离相等，则这个点一定是三角形(C)
A．三条中线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条边的垂直平分线的交点
D．三条高的交点
3．如果三角形中两条边的垂直平分线的交点在第三条边上，那么这个三角形一定是(D)
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．等边三角形 D．直角三角形
4．如图，已知直线MN为△ABC的边BC的垂直平分线．若AB，AC两边的垂直平分线相交于点O，当顶点A的位置移动时，点O始终在(A)
A．直线MN上
B．直线MN的左侧
C．直线MN的右侧
D．直线MN的左侧或右侧
5．下列作图语句正确的是(D)
A．过点P作线段AB的垂直平分线
B．在线段AB的延长线上取一点C，使AB＝AC
C．过直线a和直线b外一点P作直线MN，使MN∥a∥b
D．过点P作直线AB的垂线
6．如图，点E，F，G，Q，H在一条直线上，且EF＝GH，我们知道按如图所作的直线l为线段FG的垂直平分线．下列说法正确的是(A)
A．l是线段EH的垂直平分线
B．l是线段EQ的垂直平分线
C．l是线段FH的垂直平分线
D．EH是l的垂直平分线

第6题图　　　第7题图
7．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接MN，分别与AC，BC交于点D，E，连接AE，则：
(1)∠ADE＝90°；
(2)AE＝EC；(填“＝”“＞”或“＜”)
(3)当AB＝3，AC＝5时，△ABE的周长等于7．
8．为了推进农村新型合作医疗制度改革，准备在某镇新建一个医疗点P，使P到该镇A村、B村、C村所属的村委会所在地的距离都相等(A，B，C不在同一直线上，地理位置如图)，请你用尺规作图的方法确定点P的位置．要求：写出已知、求作，不写作法，保留作图痕迹．
解：已知：A，B，C三点不在同一直线上．
求作：作一点P，使PA＝PB＝PC.
如图所示，点P即为所求的点．
9．在平面内，到三点A，B，C距离相等的点(D)
A．只有一个 　 B．有两个
C．有三个或三个以上 　 D．有一个或没有
10．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＞AC.按下列步骤作图：
①分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；
②作直线MN，与边AB相交于点D，连接CD.
下列说法不一定正确的是(C)
A．∠BDN＝∠CDN B．∠ADC＝2∠B
C．∠ACD＝∠DCB D．2∠B＋∠ACD＝90°
11．等腰三角形的底角为40°，两腰的垂直平分线交于点P，则(B)
A．点P在三角形内
B．点P在三角形外
C．点P在三角形底边上
D．点P的位置与三角形的边长有关
12．如图，由于水资源缺乏，B，C两地不得不从黄河上的扬水站A引水，这就需要A，B，C之间铺设地下输水管道，有人设计了三种铺设方案：如图①②③，图中实线表示管道铺设线路，在图②中，AD垂直BC于点D；在图③中，OA＝OB＝OC.为减少渗漏，节约水资源，并降低工程造价，铺设线路应尽量缩短，已知△ABC恰好是一个边长为a的等边三角形，那么通过计算，你认为最好的铺设方案是方案③．
13．如图所示，已知线段a，b，求作等腰三角形，使高为a，腰长为b(a＜b，尺规作图，保留作图痕迹)．
解：作法：(1)作线段AD＝a；
(2)过点D作直线MN⊥AD于点D；
(3)以点A为圆心，b为半径画弧，交MN于B，C两点，连接AB，AC，△ABC即为所求，如图所示．
14．如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M，N两点，DM与EN相交于点F.
(1)若∠ACB＝120°，求∠MCN的度数；
(2)若△CMN的周长为15 cm，求AB的长；
(3)若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．
解：(1)∵DM，EN分别垂直平分AC和BC，
∴AM＝CM，CN＝BN.
∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN.
∴∠MCN＝180°－(∠CMN＋∠CNM)
＝180°－(2∠A＋2∠B)
＝180°－2(180°－∠ACB)
＝60°.
(2)∵AM＝CM，BN＝CN，∴△CMN的周长为CM＋MN＋CN＝AM＋MN＋BN＝AB.
∵△CMN的周长为15 cm，∴AB＝15 cm.
(3)∵∠MFN＝70°，
∴∠MNF＋∠NMF＝180°－70°＝110°.
∵∠AMD＝∠NMF，∠BNE＝∠MNF，
∴∠AMD＋∠BNE＝∠NMF＋∠MNF＝110°.
∴∠A＋∠B＝90°－∠AMD＋90°－∠BNE＝70°.
又∵∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，
∴∠MCN＝180°－2(∠A＋∠B)＝40°.
【变式】　如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC.
(1)求∠PAQ的度数；
(2)若△APQ周长为12，BC长为8，求PQ的长．
解：(1)设∠PAQ＝x，∠CAP＝y，∠BAQ＝z，
∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC，
∴AP＝PB，AQ＝CQ.
∴∠B＝∠BAP＝x＋z，∠C＝∠CAQ＝x＋y.
∵∠BAC＝80°，
∴∠B＋∠C＝100°，
即x＋y＋z＝80°，x＋z＋x＋y＝100°.
∴x＝20°.
∴∠PAQ＝20°.
(2)∵△APQ周长为12，
∴AQ＋PQ＋AP＝12.
∵AQ＝CQ，AP＝PB，
∴CQ＋PQ＋PB＝12，即BC＋2PQ＝12.
∵BC＝8，
∴PQ＝2.