北师大版数学八年级下册：1.2 直角三角形 同步练习（2课时，word附答案）

2　直角三角形
第1课时　直角三角形的性质与判定
1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是（ ）
A．120° B．90° C．60° D．30°
2．已知a∥b，某学生将一直角三角板如图所示放置．如果∠1＝35°，那么∠2的度数为（ ）
A．35° B．55° C．56° D．65°

第2题图　　第3题图
3．如图，点D在△ABC的边AC上，将△ABC沿BD翻折后，点A恰好与点C重合．若BC＝5，CD＝3，则BD的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，数轴上点A表示的实数是 ．
5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D.
(1)求证：∠ACD＝∠B；
(2)若AF平分∠CAB分别交CD，BC于点E，F，求证：∠CEF＝∠CFE.
6．由下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A＝37°，∠C＝53°
B．∠A－∠C＝∠B
C．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5
D．∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5
7．下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（ ）
A．2，4，5 B．6，8，11
C．5，12，12 D．1，1，
8．如图，AD＝13，BD＝12，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4.求阴影部分的面积．
9．下列定理中，没有逆定理的是（ ）
A．直角三角形的两个锐角互余
B．等腰三角形的两个底角相等
C．全等三角形的周长相等
D．等边三角形的三个角都相等
10．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．对顶角相等
B．同位角相等，两直线平行
C．直角都相等
D．全等三角形的面积相等
11．在Rt△ABC中，已知其中两边分别为6和8，则其面积为 ．
12．已知下列命题：①若a＋b＝0，则|a|＝|b|；②等边三角形的三个内角都相等；③底角相等的两个等腰三角形全等．其中原命题与逆命题均为真命题的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
13．已知M，N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠ACD交AB于点E，则下列结论一定成立的是（ ）
A．BC＝EC B．EC＝BE
C．BC＝BE D．AE＝EC

第14题图　　第15题图
15．如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为（ ）
A．3 B．6 C．3 D.
16．已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD＝，AD＝1，AB＝2AC，则BC的长为 ．
17．如图，圆柱形玻璃杯高为14 cm，底面周长为32 cm，在杯内壁离杯底5 cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为 cm.(杯壁厚度不计)
18．如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．
→→
19．观察下列勾股数组：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…；a，b，c.根据你发现的规律，请写出：
(1)当a＝19时，b，c的值是多少？
(2)当a＝2n＋1时，求b，c的值．
第2课时　直角三角形全等的判定
1．如图，点P是∠BAC内一点，PE⊥AC于点E，PF⊥AB于点F，PE＝PF，则能直接得到△PEA≌△PFA的理由是（ ）
A．HL B．ASA
C．AAS D．SAS

第1题图　　　第2题图
2．如图，已知AD是△ABC的边BC上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是（ ）
A．AB＝AC B．∠BAC＝90°
C．BD＝AC D．∠B＝45°
3．如图，∠B＝∠D＝90°，BC＝CD，∠1＝40°，则∠2＝（ ）
A．40° B．50°
C．60° D．75°

第3题图　　　第4题图
4．如图，点D，A，E在直线l上，AB＝AC，BD⊥l于点D，CE⊥l于点E，且BD＝AE.若BD＝3，CE＝5，则DE＝8．
5．如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC＝BD.求证：∠ABC＝∠BAD.
6．下列条件中不能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．两个锐角分别对应相等
B．两条直角边分别对应相等
C．一条直角边和斜边分别对应相等
D．一个锐角和斜边分别对应相等
7．如图所示，已知BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为E，F，则在下列条件中选择一组，可以判定 Rt△ABE≌Rt△DCF的是 ．(填序号)
①AB＝DC，∠B＝∠C；②AB＝DC，AB∥CD；③AB＝DC，BE＝CF；④AB＝DF，BE＝CF.
8．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D在边AB上，且DB＝BC，过点D作EF⊥AC，分别交AC于点E，交CB的延长线于点F.求证：AB＝BF.
9．如图，点C是路段AB的中点，小明和小红两人从点C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地，并且DA⊥AB于点A，EB⊥AB于点B.此时小明到路段AB的距离是50米，则小红到路段AB的距离是多少米？
10．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4，则下列图中的直角三角形与Rt△ABC全等的是（ ）
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD和CE交于点O，AO的延长线交BC于点F，则图中全等的直角三角形有（ ）
23590250A．3对
B．4对
C．5对
D．6对
12．如图所示，过正方形ABCD的顶点B作直线a，过点A，C作a的垂线，垂足分别为E，F.若AE＝1，CF＝3，则AB的长为 ．

第12题图 　　第13题图
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，线段PQ＝AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当AP＝ 时，△ABC和△PQA全等．
14．如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF.
(1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；
(2)若∠CAE＝30°，求∠ACF的度数．
15．如图1，E，F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F.若AB＝CD，BF＝DE，BD交AC于点M.
(1)求证：AE＝CF，MD＝MB；
(2)当E，F两点移动到如图2的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
参考答案：
2　直角三角形
第1课时　直角三角形的性质与判定
1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是(D)
A．120° B．90° C．60° D．30°
2．已知a∥b，某学生将一直角三角板如图所示放置．如果∠1＝35°，那么∠2的度数为(B)
A．35° B．55° C．56° D．65°

第2题图　　第3题图
3．如图，点D在△ABC的边AC上，将△ABC沿BD翻折后，点A恰好与点C重合．若BC＝5，CD＝3，则BD的长为(D)
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，数轴上点A表示的实数是－1．
5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D.
(1)求证：∠ACD＝∠B；
(2)若AF平分∠CAB分别交CD，BC于点E，F，求证：∠CEF＝∠CFE.
证明：(1)∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠ACD＋∠BCD＝90°，∠B＋∠BCD＝90°.
∴∠ACD＝∠B.
(2)∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠DAE.
又∵在Rt△AFC中，∠CFA＝90°－∠CAF，
在Rt△AED中，∠AED＝90°－∠DAE，
∴∠AED＝∠CFE.
又∵∠CEF＝∠AED，
∴∠CEF＝∠CFE.
6．由下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是(C)
A．∠A＝37°，∠C＝53°
B．∠A－∠C＝∠B
C．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5
D．∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5
7．下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是(D)
A．2，4，5 B．6，8，11
C．5，12，12 D．1，1，
8．如图，AD＝13，BD＝12，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4.求阴影部分的面积．
解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝5.
在△ABD中，∵AD＝13，BD＝12，AB＝5，
∴AB2＋BD2＝AD2.
∴△ABD是直角三角形，∠ABD＝90°.
∴S阴影＝S△ABD－S△ABC
＝AB·BD－BC·AC
＝30－6
＝24.
9．下列定理中，没有逆定理的是(C)
A．直角三角形的两个锐角互余
B．等腰三角形的两个底角相等
C．全等三角形的周长相等
D．等边三角形的三个角都相等
10．下列命题的逆命题是真命题的是(B)
A．对顶角相等
B．同位角相等，两直线平行
C．直角都相等
D．全等三角形的面积相等
11．在Rt△ABC中，已知其中两边分别为6和8，则其面积为24或6．
12．已知下列命题：①若a＋b＝0，则|a|＝|b|；②等边三角形的三个内角都相等；③底角相等的两个等腰三角形全等．其中原命题与逆命题均为真命题的有(A)
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
13．已知M，N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是(B)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠ACD交AB于点E，则下列结论一定成立的是(C)
A．BC＝EC B．EC＝BE
C．BC＝BE D．AE＝EC

第14题图　　第15题图
15．如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为(A)
A．3 B．6 C．3 D.
16．已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD＝，AD＝1，AB＝2AC，则BC的长为2或2．
17．如图，圆柱形玻璃杯高为14 cm，底面周长为32 cm，在杯内壁离杯底5 cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为20cm.(杯壁厚度不计)
18．如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．
→→
解：在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，
设BD＝x，则CD＝14－x.
由勾股定理，得AD2＝AB2－BD2＝152－x2，AD2＝AC2－CD2＝132－(14－x)2，
∴152－x2＝132－(14－x)2.
解得x＝9.
∴AD＝＝＝12.
∴S△ABC＝BC·AD＝×14×12＝84.
19．观察下列勾股数组：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…；a，b，c.根据你发现的规律，请写出：
(1)当a＝19时，b，c的值是多少？
(2)当a＝2n＋1时，求b，c的值．
解：(1)当a＝19时，设b＝k，则c＝k＋1，观察有如下规律：192＋k2＝(k＋1)2.
解得k＝180.
∴b＝180，c＝181.
(2)当a＝2n＋1时，设b＝k，则c＝k＋1，根据勾股定理a2＋b2＝c2得(2n＋1)2＋k2＝(k＋1)2，
解得k＝2n(n＋1)．
∴b＝2n(n＋1)，c＝2n(n＋1)＋1.
第2课时　直角三角形全等的判定
1．如图，点P是∠BAC内一点，PE⊥AC于点E，PF⊥AB于点F，PE＝PF，则能直接得到△PEA≌△PFA的理由是(A)
A．HL B．ASA
C．AAS D．SAS

第1题图　　　第2题图
2．如图，已知AD是△ABC的边BC上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是(A)
A．AB＝AC B．∠BAC＝90°
C．BD＝AC D．∠B＝45°
3．如图，∠B＝∠D＝90°，BC＝CD，∠1＝40°，则∠2＝(B)
A．40° B．50°
C．60° D．75°

第3题图　　　第4题图
4．如图，点D，A，E在直线l上，AB＝AC，BD⊥l于点D，CE⊥l于点E，且BD＝AE.若BD＝3，CE＝5，则DE＝8．
5．如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC＝BD.求证：∠ABC＝∠BAD.
证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠ACB＝∠BDA＝90°.
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)．
∴∠ABC＝∠BAD.
6．下列条件中不能判定两个直角三角形全等的是(A)
A．两个锐角分别对应相等
B．两条直角边分别对应相等
C．一条直角边和斜边分别对应相等
D．一个锐角和斜边分别对应相等
7．如图所示，已知BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为E，F，则在下列条件中选择一组，可以判定 Rt△ABE≌Rt△DCF的是①②③．(填序号)
①AB＝DC，∠B＝∠C；②AB＝DC，AB∥CD；③AB＝DC，BE＝CF；④AB＝DF，BE＝CF.
8．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D在边AB上，且DB＝BC，过点D作EF⊥AC，分别交AC于点E，交CB的延长线于点F.求证：AB＝BF.
证明：∵EF⊥AC，
∴∠F＋∠C＝90°.
∵∠ABC＝90°，
∴∠A＋∠C＝90°.
∴∠A＝∠F.
又∵DB＝BC，
∠FBD＝∠ABC＝90°，
∴△FBD≌△ABC(AAS)．
∴AB＝BF.
9．如图，点C是路段AB的中点，小明和小红两人从点C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地，并且DA⊥AB于点A，EB⊥AB于点B.此时小明到路段AB的距离是50米，则小红到路段AB的距离是多少米？
解：∵DA⊥AB，EB⊥AB，
∴△ADC和△BEC为直角三角形．
∵点C是路段AB的中点，
∴AC＝BC.
∵小明和小红两人从点C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地，
∴CD＝CE.∴Rt△ADC≌Rt△BEC(HL)．
∴BE＝AD＝50米．
答：小红到路段AB的距离是50米．
10．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4，则下列图中的直角三角形与Rt△ABC全等的是(A)
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD和CE交于点O，AO的延长线交BC于点F，则图中全等的直角三角形有(D)
A．3对
B．4对
C．5对
D．6对
12．如图所示，过正方形ABCD的顶点B作直线a，过点A，C作a的垂线，垂足分别为E，F.若AE＝1，CF＝3，则AB的长为．

第12题图 　　第13题图
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，线段PQ＝AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当AP＝5或10时，△ABC和△PQA全等．
14．如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF.
(1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；
(2)若∠CAE＝30°，求∠ACF的度数．
解：(1)证明：∵∠ABC＝90°，
∴∠CBF＝∠ABE＝90°.
在Rt△ABE和Rt△CBF中，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)．
(2)∵AB＝CB，∠ABC＝90°，
∴∠CAB＝∠ACB＝45°.
∴∠BAE＝∠CAB－∠CAE＝45°－30°＝15°.
由(1)知Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴∠BCF＝∠BAE＝15°.
∴∠ACF＝∠BCF＋∠ACB＝15°＋45°＝60°.
15．如图1，E，F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F.若AB＝CD，BF＝DE，BD交AC于点M.
(1)求证：AE＝CF，MD＝MB；
(2)当E，F两点移动到如图2的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
解：(1)证明：在Rt△ABF和Rt△CDE中，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)．
∴AF＝CE.
∴AF－EF＝CE－EF，即AE＝CF.
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠DEM＝∠BFM＝90°.
在△DEM和△BFM中，
∴△DEM≌△BFM(AAS)．
∴MD＝MB.
(2)AE＝CF，MD＝MB仍然成立．证明：
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)．
∴AF＝CE.
∴AF＋EF＝CE＋EF，即AE＝CF.
在△DEM和△BFM中，
∴△DEM≌△BFM(AAS)．
∴MD＝MB.