北师大版数学八年级下册：1.4 角平分线 同步练习（word版含答案）

4　角平分线
第1课时　角平分线的性质定理及其逆定理
1．下列各图中，OP是∠MON的平分线，点E，F，G分别在射线OM，ON，OP上，则可以解释定理“角平分线上的点到角的两边的距离相等”的图形是（ ）
2．如图，点P是∠AOB的平分线上一点，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，连接CD交OP于点E，下列结论不一定正确的是（ ）
A．PC＝PD B．OC＝OD
C．OP垂直平分CD D．OE＝CD

第2题图　　　第3题图
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，DC＝AD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．如图，点P是∠AOC的平分线上一点，PD⊥OA，垂足为D，且PD＝3，点M是射线OC上一动点，则PM的最小值为 ．

第4题图　　　　第5题图
5．如图，BD平分∠ABC，DE⊥BC于点E，AB＝7，DE＝4，则△ABD的面积为 ．
6．已知：如图所示，点O在∠BAC的平分线上，OD⊥AC，OE⊥AB，垂足分别为D，E，DO，EO的延长线分别交AE，AD的延长线于点B，C，求证：OB＝OC.
7．如图，DA⊥AC，DE⊥BC.若AD＝5 cm，DE＝5 cm，∠ACD＝30°，则∠DCE＝（ ）
23056850A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
8．如图，BE＝CF，DE⊥AB交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC，求证：AD是∠BAC的平分线．
9．已知D，E分别是△ABC中AB边，AC边上的一点，在△ABC内有一点O，使OE＝OD，则AO平分∠CAB吗？
解：AO平分∠CAB，理由如下：
因为点O到∠CAB两边的距离相等，所以点O在∠CAB的平分线上．所以AO平分∠CAB.
以上解法是否正确？若不正确，请说明理由，并写出正确的结论．
10．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是（ ）
A．M点 　 B．N点 　 C．P点 　 D．Q点

第10题图　　　第11题图
11．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E.若DE＝1，则BC的长为（ ）
A．2＋ B.＋
C．2＋ D．3
12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥BA于点E，AB＝6 cm，则△DEB的周长是 cm.
13．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC.
(1)求证：AM⊥DM；
(2)若BC＝8，求点M到AD的距离．
14．已知：如图，锐角△ABC的两条高BD，CE相交于点O，且OB＝OC.
(1)求证：△ABC是等腰三角形；
(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．
15．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD是∠BAC的平分线，AC＝.若点P是AD上一动点，且作PN⊥AC于点N，则PN＋PC的最小值是．
第2课时　三角形三个内角的平分线
1．到三角形三条边的距离相等的点是三角形________的交点（ ）
A．三个内角平分线 B．三边垂直平分线
C．三条中线 D．三条高线
2．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，下面结论中正确的是（ ）
A．∠1＞∠2 B．∠1＝∠2
C．∠1＜∠2 D．∠1＝2∠2

第2题图 　　　　第3题图
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，△ABC的三条内角平分线相交于点O，OM⊥AB于点M.若OM＝4，S△ABC＝180，则△ABC的周长是 ．
4．如图，在△ABC中，AB＋AC＝20，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝3，求图中阴影部分的面积．
5．如图所示是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．△ABC的三条中线的交点
B．△ABC三边垂直平分线的交点
C．△ABC三条角平分线的交点
D．△ABC三条高所在直线的交点
6．如图，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，现准备在其中建一小亭供人们小憩，使小亭中心到三条马路的距离相等，试确定小亭中心的位置．
　　
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且相交于点F，则下列说法错误的是（ ）
A．BF＝CF
B．点F到∠BAC两边的距离相等
C．CE＝BD
D．点F到A，B，C三点的距离相等

第7题图 　　　第8题图
8．如图，l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）
A．1处 B．2处
C．3处 D．4处
9．如图，BD垂直平分线段AC，AE⊥BC，垂足为E，交BD于点P，AE＝7 cm，AP＝4 cm，则点P到直线AB的距离是 ．
10．如图，在△ABC中，PD⊥AC，PE⊥AB，PF⊥BC，PD＝PE＝PF，求证：∠BPC＝90°＋∠BAC.
11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是Rt△ABC的一条角平分线，点O，E，F分别在BD，BC，AC上，且四边形OECF是正方形(四边相等，四个角都是直角)．
(1)求证：点O在∠BAC的平分线上；
(2)若AC＝5，BC＝12，求OE的长．
参考答案：
第1课时　角平分线的性质定理及其逆定理
1．下列各图中，OP是∠MON的平分线，点E，F，G分别在射线OM，ON，OP上，则可以解释定理“角平分线上的点到角的两边的距离相等”的图形是(D)
2．如图，点P是∠AOB的平分线上一点，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，连接CD交OP于点E，下列结论不一定正确的是(D)
A．PC＝PD B．OC＝OD
C．OP垂直平分CD D．OE＝CD

第2题图　　　第3题图
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，DC＝AD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于(C)
A．4 B．3 C．2 D．1
4．如图，点P是∠AOC的平分线上一点，PD⊥OA，垂足为D，且PD＝3，点M是射线OC上一动点，则PM的最小值为3．

第4题图　　　　第5题图
5．如图，BD平分∠ABC，DE⊥BC于点E，AB＝7，DE＝4，则△ABD的面积为14．
6．已知：如图所示，点O在∠BAC的平分线上，OD⊥AC，OE⊥AB，垂足分别为D，E，DO，EO的延长线分别交AE，AD的延长线于点B，C，求证：OB＝OC.
证明：∵点O在∠BAC的平分线上，OD⊥AC，OE⊥AB，
∴OE＝OD，∠BEO＝∠CDO＝90°.
在△BEO和△CDO中，
∴△BEO≌△CDO(ASA)．
∴OB＝OC.
7．如图，DA⊥AC，DE⊥BC.若AD＝5 cm，DE＝5 cm，∠ACD＝30°，则∠DCE＝(A)
A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
8．如图，BE＝CF，DE⊥AB交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC，求证：AD是∠BAC的平分线．
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠DFC＝90°.
在Rt△DEB和Rt△DFC中，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC(HL)．
∴DE＝DF.
∴AD是∠BAC的平分线．
9．已知D，E分别是△ABC中AB边，AC边上的一点，在△ABC内有一点O，使OE＝OD，则AO平分∠CAB吗？
解：AO平分∠CAB，理由如下：
因为点O到∠CAB两边的距离相等，所以点O在∠CAB的平分线上．所以AO平分∠CAB.
以上解法是否正确？若不正确，请说明理由，并写出正确的结论．
解：不正确．以上解法忽视了OD，OE分别垂直于AB，AC的条件，故产生错误．正确的结论是“AO不一定平分∠CAB”．
10．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是(A)
A．M点 　 B．N点 　 C．P点 　 D．Q点

第10题图　　　第11题图
11．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E.若DE＝1，则BC的长为(A)
A．2＋ B.＋
C．2＋ D．3
12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥BA于点E，AB＝6 cm，则△DEB的周长是6cm.
13．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC.
(1)求证：AM⊥DM；
(2)若BC＝8，求点M到AD的距离．
解：(1)证明：∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，
∴∠MAD＝∠BAD，∠ADM＝∠ADC.
∵AB∥CD，
∴∠BAD＋∠ADC＝180°.
∴∠MAD＋∠ADM＝(∠BAD＋∠ADC)＝90°.
又∵∠AMD＋∠MAD＋∠ADM＝180°，
∴∠AMD＝90°.
∴AM⊥DM.
(2)过点M作MN⊥AD于点N.
∵AB∥CD，∠B＝90°，
∴∠C＝90°，即BM⊥AB，MC⊥DC.
又∵AM，DM分别平分∠BAD，∠ADC，
∴BM＝MN，MN＝MC.
∴MN＝BC＝4.
∴点M到AD的距离为4.
14．已知：如图，锐角△ABC的两条高BD，CE相交于点O，且OB＝OC.
(1)求证：△ABC是等腰三角形；
(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．
解：(1)证明：∵BD，CE是△ABC的高，
∴∠BEC＝∠CDB＝90°.
又∵∠EOB＝∠DOC，
∴∠ABD＝∠ACE.
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB.
∴∠ABC＝∠ACB.
∴AB＝AC.
∴△ABC是等腰三角形．
(2)点O在∠BAC的平分线上．
理由：∵∠BEO＝∠CDO＝90°，∠BOE＝∠COD，OB＝OC，
∴△BOE≌△COD(AAS)．
∴OE＝OD.
又∵OD⊥AC，OE⊥AB，
∴点O在∠BAC的平分线上．
15．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD是∠BAC的平分线，AC＝.若点P是AD上一动点，且作PN⊥AC于点N，则PN＋PC的最小值是．
第2课时　三角形三个内角的平分线
1．到三角形三条边的距离相等的点是三角形________的交点(A)
A．三个内角平分线 B．三边垂直平分线
C．三条中线 D．三条高线
2．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，下面结论中正确的是(B)
A．∠1＞∠2 B．∠1＝∠2
C．∠1＜∠2 D．∠1＝2∠2

第2题图 　　　　第3题图
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，△ABC的三条内角平分线相交于点O，OM⊥AB于点M.若OM＝4，S△ABC＝180，则△ABC的周长是90．
4．如图，在△ABC中，AB＋AC＝20，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝3，求图中阴影部分的面积．
解：连接OA，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F.
∵OB平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，
∴OE＝OD＝3.
同理可得OF＝OD＝3.
∴S阴影＝S△AOB＋S△AOC＝AB·OE＋AC·OF＝(AB＋AC)·OE＝×20×3＝30.
5．如图所示是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在(C)
A．△ABC的三条中线的交点
B．△ABC三边垂直平分线的交点
C．△ABC三条角平分线的交点
D．△ABC三条高所在直线的交点
6．如图，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，现准备在其中建一小亭供人们小憩，使小亭中心到三条马路的距离相等，试确定小亭中心的位置．
　　
解：如图所示，分别作三角形绿地两个角的平分线交于点P，点P即为所求．
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且相交于点F，则下列说法错误的是(D)
A．BF＝CF
B．点F到∠BAC两边的距离相等
C．CE＝BD
D．点F到A，B，C三点的距离相等

第7题图 　　　第8题图
8．如图，l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有(D)
A．1处 B．2处
C．3处 D．4处
9．如图，BD垂直平分线段AC，AE⊥BC，垂足为E，交BD于点P，AE＝7 cm，AP＝4 cm，则点P到直线AB的距离是3_cm．
10．如图，在△ABC中，PD⊥AC，PE⊥AB，PF⊥BC，PD＝PE＝PF，求证：∠BPC＝90°＋∠BAC.
证明：∵PD⊥AC，PE⊥AB，PF⊥BC，PD＝PE＝PF，
∴点P是△ABC三个内角平分线的交点．
∴CP平分∠ACB，BP平分∠ABC.
∴∠PCB＝∠ACB，∠PBC＝∠ABC.
∴∠BPC＝180°－∠PCB－∠PBC
＝180°－∠ACB－∠ABC
＝180°－(∠ACB＋∠ABC)
＝180°－(180°－∠BAC)
＝90°＋∠BAC.
11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是Rt△ABC的一条角平分线，点O，E，F分别在BD，BC，AC上，且四边形OECF是正方形(四边相等，四个角都是直角)．
(1)求证：点O在∠BAC的平分线上；
(2)若AC＝5，BC＝12，求OE的长．
解：(1)证明：过点O作OM⊥AB于点M.
∵BD是△ABC的一条角平分线，OM⊥AB，OE⊥BC，
∴OE＝OM.
∵四边形OECF是正方形，
∴OE＝OF，OF⊥AC.∴OM＝OF.
∴点O在∠BAC的平分线上．
(2)∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，
∴由勾股定理，得AB＝13.
易证BE＝BM，AM＝AF.
∵BE＝BC－CE，AF＝AC－CF，CE＝CF＝OE，
∴BE＝12－OE，AF＝5－OE.
∵BM＋AM＝AB，
∴BE＋AF＝13，即12－OE＋5－OE＝13.
解得OE＝2，即OE的长为2.