北师大版数学八年级下册：第一章 三角形的证明 专题练习（word含答案)

小专题1　等腰三角形中的分类讨论思想
类型1　针对腰长和底边长进行分类
1．等腰三角形的两条边长分别为3和4，则这个等腰三角形的周长是 ．
2．若实数x，y满足|x－5|＋＝0，则以x，y的值为边长的等腰三角形的周长为 ．
类型2　针对顶角和底角进行分类
3．等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是（ ）
A．55°，55° B．70°，40°或70°，55°
C．70°，40° D．55°，55°或70°，40°
4．定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若在等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝ ．
5．若等腰三角形中有一个角为52°，则它的一条腰上的高与底边的夹角的度数为 ．
类型3　针对锐角、直角和钝角三角形进行分类
6．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为40°，则底角∠B等于（ ）
A．20° B．60°或20°
C．65°或25° D．60°
7．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，腰长为6，则其底边上的高是 ．
8．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，求这个等腰三角形的底角的度数．
类型4　确定等腰三角形的数目
9．如图，在平面直角坐标系中，已知A(2，2)，B(4，0)．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ ）
A．5 B．6
C．7 D．8

第9题图　　　第10题图
10．如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝2.若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（ ）
A．1个 B．2个
C．3个 D．3个以上
类型5　等腰三角形中的动点问题
11．如图，∠BOC＝60°，点A是BO延长线上的一点，OA＝10 cm，动点P从点A出发沿AB以2 cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OC以1 cm/s的速度移动．如果点P，Q同时出发，用t(s)表示移动的时间，当t＝或10时，△POQ是等腰三角形．
小专题2　特殊三角形中常用辅助线的作法
类型1　利用等腰三角形“三线合一”作辅助线
方法1　遇到等腰三角形常作底边上的高
1．如图，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于点D，E是AD上一点，且EA＝EC，求证：EB⊥AB.
方法2　当等腰三角形中有底边中点时，常连底边上的中线
2．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点O为AB的中点，OE⊥OF分别交AC，BC于点E，F.求证：OE＝OF.
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D为BC的中点，DE⊥AC于点E，AE＝2，求CE的长．
类型2　巧用特殊角构造含30°角的直角三角形
方法1　连接两点构造含30°角的直角三角形
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，DE＝2，则BC的长为 ．
方法2　延长两边构造含30°角的直角三角形(补形)
5．如图，在四边形ABCD中，AD＝4，BC＝1，∠A＝30°，∠B＝90°，∠ADC＝120°，则CD＝ ．

第5题图 　　第6题图
方法3　作垂线构造含30°角的直角三角形
6．如图，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB于点C.若EC＝1，则OF＝ ．
7．如图，在△ABC中，BD是AC边上的中线，BD⊥BC于点B，∠ABD＝30°，求证：AB＝2BC.
小专题3　构造等腰三角形的常用方法
　类型1　利用平行线构造等腰三角形
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且BD＝CE，DE交BC于点F，求证：DF＝EF.
2．已知△ABC为等边三角形，点D为AC上的一个动点，点E为BC延长线上一点，且BD＝DE.
(1)如图1，若点D在边AC上，猜想线段AD与CE之间的关系，并说明理由；
(2)如图2，若点D在AC的延长线上，(1)中的结论是否成立？请说明理由．
类型2　运用倍角关系构造等腰三角形
3．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，且∠ABC＝2∠C，求证：AB＋BD＝AC.
类型3　截长补短构造等腰三角形
4．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，且AB＋BD＝DC，求∠C的度数．(用截长法与补短法两种方法解答)
5．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB<90°，且AD⊥BC于点D.求证：AB＋BD＝CD.
小专题4　等腰直角三角形常见的解题模型
模型1　等腰直角三角形＋斜边的中点→连接直角顶点和斜边中点
1．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF.求证：△DEF为等腰直角三角形．
【变式1】　如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，E，F分别在AC，AB上，且DE⊥DF.试判断DE，DF的数量关系，并说明理由．
【变式2】　如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，E，F分别为AB，CA延长线上的点，且BE＝AF，那么△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．
模型2　等腰直角三角形＋8字模型中有两直角，常用截长补短构造全等
2．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AC上一点．若CE⊥BD于点E，连接AE.求证：∠AEB＝45°.
模型2变式　等腰直角三角形及8字模型中只有一个直角，过等腰直角三角形的顶点作垂线构造直角
3．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AC上一点．若∠AEB＝45°.求证：CE⊥BD.
【变式】　将第3题中的“∠AEB＝45°”改为“∠AEC＝135°”，第3题中的结论还成立吗？并说明理由．
补充模型　三垂直模型
4．如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为(2，3)，则点F的坐标为 ．
小专题5　角平分线的综合运用
　　　　　　　　　　　　　　　　
模型1　双垂线型
1．感知：如图1，AD平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°，易知：DB＝DC.
探究：(1)如图2，AD平分∠BAC，∠ABD＋∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，求证：DB＝DC；
(2)如图3，AD平分∠BAC，BD＝DC，AC≠AB，求证：∠ABD＋∠ACD＝180°.
,图1)　,图2)　,图3)
【变式】　如图，∠CAB＝40°，点D为∠CAB的平分线与线段BC的垂直平分线的交点，连接CD，试求∠DCB的度数．
模型2　截长补短型
2．如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC＝AB＋CD.
【变式】　已知，在△ABC中，BD为∠ABC的平分线．
(1)如图1，若∠A＝100°，∠C＝50°，求证：BC＝BA＋AD;
(2)如图2，若∠BAC＝100°，∠C＝40°，求证：BC＝BD＋AD.
　　　
图1　　　　　　　　　　　图2
模型3　延长相交型
　3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，BE是角平分线，CD⊥BE交BE的延长线于点D，求证：BE＝2CD.
模型4　平行等腰型
4．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，AO，BO分别平分∠BAC，∠ABC，连接OC.
(1)求证：OC平分∠ACB；
(2)若AB＝6，AC＝10，求OB的长．
【变式】　如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC.若AN＝1，则BC的长为 ．
参考答案：
小专题1　等腰三角形中的分类讨论思想
类型1　针对腰长和底边长进行分类
1．等腰三角形的两条边长分别为3和4，则这个等腰三角形的周长是10或11．
2．若实数x，y满足|x－5|＋＝0，则以x，y的值为边长的等腰三角形的周长为25．
类型2　针对顶角和底角进行分类
3．等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是(D)
A．55°，55° B．70°，40°或70°，55°
C．70°，40° D．55°，55°或70°，40°
4．定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若在等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝或．
5．若等腰三角形中有一个角为52°，则它的一条腰上的高与底边的夹角的度数为26°或38°．
类型3　针对锐角、直角和钝角三角形进行分类
6．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为40°，则底角∠B等于(C)
A．20° B．60°或20°
C．65°或25° D．60°
7．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，腰长为6，则其底边上的高是3或3．
8．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，求这个等腰三角形的底角的度数．
解：分两种情况讨论：
①若∠A＜90°，如图1所示．
∵BD⊥AC，∴∠A＋∠ABD＝90°.
∵∠ABD＝36°，∴∠A＝90°－36°＝54°.
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝×(180°－54°)＝63°.
②若∠A＞90°，如图2所示．
同①可得∠DAB＝90°－36°＝54°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝∠DAB＝27°.
综上所述，等腰三角形底角的度数为63°或27°.
类型4　确定等腰三角形的数目
9．如图，在平面直角坐标系中，已知A(2，2)，B(4，0)．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是(A)
A．5 B．6
C．7 D．8

第9题图　　　第10题图
10．如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝2.若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有(D)
A．1个 B．2个
C．3个 D．3个以上
类型5　等腰三角形中的动点问题
11．如图，∠BOC＝60°，点A是BO延长线上的一点，OA＝10 cm，动点P从点A出发沿AB以2 cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OC以1 cm/s的速度移动．如果点P，Q同时出发，用t(s)表示移动的时间，当t＝或10时，△POQ是等腰三角形．
小专题2　特殊三角形中常用辅助线的作法
类型1　利用等腰三角形“三线合一”作辅助线
方法1　遇到等腰三角形常作底边上的高
1．如图，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于点D，E是AD上一点，且EA＝EC，求证：EB⊥AB.
证明：过点E作EF⊥AC于点F.
∵EA＝EC，
∴AF＝FC＝AC.
∵AC＝2AB，∴AF＝AB.
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.
在△ABE和△AFE中，
∴△ABE≌△AFE(SAS)．
∴∠ABE＝∠AFE＝90°.∴EB⊥AB.
方法2　当等腰三角形中有底边中点时，常连底边上的中线
2．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点O为AB的中点，OE⊥OF分别交AC，BC于点E，F.求证：OE＝OF.
证明：连接OC.
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，点O为AB的中点，
∴∠B＝∠ACO＝∠BCO＝45°，CO⊥AB.
∴OC＝OB，∠COB＝90°.
又∵∠EOF＝90°，∴∠EOC＝∠FOB.
在△EOC和△FOB中，
∴△EOC≌△FOB(ASA)．∴OE＝OF.
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D为BC的中点，DE⊥AC于点E，AE＝2，求CE的长．
解：连接AD.
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，D为BC的中点，
∴∠DAC＝∠BAC＝60°，∠ADC＝90°.
∵DE⊥AC，∴∠ADE＝90°－60°＝30°.
∴AD＝2AE＝4.
又∵∠C＝90°－∠DAC＝30°，
∴AC＝2AD＝8.
∴CE＝AC－AE＝8－2＝6.
类型2　巧用特殊角构造含30°角的直角三角形
方法1　连接两点构造含30°角的直角三角形
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，DE＝2，则BC的长为12．
方法2　延长两边构造含30°角的直角三角形(补形)
5．如图，在四边形ABCD中，AD＝4，BC＝1，∠A＝30°，∠B＝90°，∠ADC＝120°，则CD＝2．

第5题图 　　第6题图
方法3　作垂线构造含30°角的直角三角形
6．如图，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB于点C.若EC＝1，则OF＝2．
7．如图，在△ABC中，BD是AC边上的中线，BD⊥BC于点B，∠ABD＝30°，求证：AB＝2BC.
证明：过点A作AM⊥BD，交BD的延长线于点M.
∵在Rt△ABM中，∠ABD＝30°，
∴AB＝2AM.
∵BD为AC边上的中线，∴AD＝CD.
∵DB⊥BC，AM⊥BD，∴∠DBC＝∠M＝90°.
在△BCD和△MAD中，
∴△BCD≌△MAD(AAS)．
∴BC＝AM.
∴AB＝2BC.
　
小专题3　构造等腰三角形的常用方法
　类型1　利用平行线构造等腰三角形
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且BD＝CE，DE交BC于点F，求证：DF＝EF.
证明：过点D作DM∥AC，交BC于点M.
∴∠DMB＝∠ACB，∠FDM＝∠E.
∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.
∴∠B＝∠DMB.∴BD＝MD.
∵BD＝CE，∴MD＝CE.
在△DMF和△ECF中，
∴△DMF≌△ECF(AAS)．
∴DF＝EF.
2．已知△ABC为等边三角形，点D为AC上的一个动点，点E为BC延长线上一点，且BD＝DE.
(1)如图1，若点D在边AC上，猜想线段AD与CE之间的关系，并说明理由；
(2)如图2，若点D在AC的延长线上，(1)中的结论是否成立？请说明理由．
解：(1)AD＝CE.
理由：过点D作DP∥BC，交AB于点P.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠APD＝∠ABC＝∠ACB＝∠PDA＝60°.
∴△APD也是等边三角形．
∴AP＝PD＝AD.
∵DB＝DE，∴∠DBC＝∠DEC.
∵DP∥BC，∴∠PDB＝∠CBD.
∴∠PDB＝∠DEC.
∵∠BPD＝180°－∠APD＝120°，∠DCE＝180°－∠ACB＝120°，∴∠BPD＝∠DCE.
在△BPD和△DCE中，
∴△BPD≌△DCE(AAS)．
∴PD＝CE.∴AD＝CE.
(2)AD＝CE成立．
理由：过点D作DP∥BC，交AB的延长线于点P.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠APD＝∠ABC＝∠ACB＝∠PDC＝60°.
∴△APD也是等边三角形．
∴AP＝PD＝AD.
∵DB＝DE，∴∠DBC＝∠DEC.
∵DP∥BC，∴∠PDB＝∠CBD.
∴∠PDB＝∠DEC.
∵∠DCE＝∠ACB＝60°，
∴∠P＝∠DCE.
在△BPD和△DCE中，
∴△BPD≌△DCE(AAS)．∴PD＝CE.
∴AD＝CE.
类型2　运用倍角关系构造等腰三角形
3．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，且∠ABC＝2∠C，求证：AB＋BD＝AC.
证明：方法1：在边AC上截取AP＝AB，连接PD.
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠PAD.
在△ABD和△APD中，
∴△ABD≌△APD(SAS)．
∴∠B＝∠APD，BD＝PD.
∵∠B＝2∠C，∠APD＝∠PDC＋∠C，
∴∠PDC＝∠C.
∴PD＝PC.∴BD＝PC.
∴AB＋BD＝AP＋PC＝AC.
方法2：延长AB至点E，使BE＝BD，连接DE，证△AED≌△ACD即可．
方法3：延长CB至点E，使BE＝AB，连接AE，则∠E＝∠C＝∠EAB，易证∠EAD＝∠EDA，∴AC＝EA＝ED＝EB＋BD＝AB＋BD.
类型3　截长补短构造等腰三角形
4．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，且AB＋BD＝DC，求∠C的度数．(用截长法与补短法两种方法解答)
解：方法1(截长法)：在CD上取点E，使DE＝BD，连接AE，则△ADB≌△ADE(SAS)，
∴CE＝AB＝AE.
∴∠B＝∠AED＝∠C＋∠CAE＝2∠C.
∵∠BAC＝120°，∴∠B＋∠C＝2∠C＋∠C＝60°.∴∠C＝20°.
方法2(补短法)：延长DB至点F，使BF＝AB，连接AF，则AB＋BD＝DF＝CD.
∴△ADF≌△ADC(SAS)．
∴AF＝AC，∠C＝∠F＝∠ABC.
∵∠BAC＝120°，
∴∠ABC＋∠C＝∠ABC＋∠ABC＝60°.
∴∠ABC＝40°.
∴∠C＝20°.
5．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB<90°，且AD⊥BC于点D.求证：AB＋BD＝CD.
证明：方法1(截长法)：在CD上取点E，使DE＝BD，连接AE，
易证△ABD≌△AED，则AB＝AE，∠ABC＝∠AED.
∵∠ABC＝2∠ACB，
∴∠AED＝∠ACB＋∠CAE＝2∠ACB.
∴∠CAE＝∠ACB.
∴AE＝EC.
∴AB＋BD＝EC＋DE＝CD.
方法2(补短法)：延长DB至点F，使BF＝AB，连接AF，
由BF＝AB可知，∠F＝∠FAB，
∴∠ABC＝2∠F.
∵∠ABC＝2∠ACB，
∴∠F＝∠ACB.
易证△ADF≌△ADC，则AB＋BD＝DF＝CD.
小专题4　等腰直角三角形常见的解题模型
模型1　等腰直角三角形＋斜边的中点→连接直角顶点和斜边中点
1．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF.求证：△DEF为等腰直角三角形．
证明：连接AD，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC中点，
∴AD＝BD＝CD，∠BAD＝∠CAD＝∠B＝45°，AD⊥BC.
在△BDE和△ADF中，
∴△BDE≌△ADF(SAS)．
∴DE＝DF，∠BDE＝∠ADF.
∵∠BDE＋∠ADE＝90°，
∴∠ADF＋∠ADE＝90°，即∠EDF＝90°.
∴△EDF为等腰直角三角形．
【变式1】　如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，E，F分别在AC，AB上，且DE⊥DF.试判断DE，DF的数量关系，并说明理由．
解：DE＝DF，理由如下：
连接AD，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC中点，
∴CD＝AD，∠C＝∠DAF＝45°，AD⊥BC.
∴∠CDE＋∠EDA＝∠ADF＋∠EDA＝90°.
∴∠CDE＝∠ADF.
在△CDE和△ADF中，
∴△CDE≌△ADF(ASA)．
∴DE＝DF.
【变式2】　如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，E，F分别为AB，CA延长线上的点，且BE＝AF，那么△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．
解：△DEF仍为等腰直角三角形．
证明：连接AD，
∵AB＝AC，
∴△ABC为等腰三角形．
∵∠BAC＝90°，D为BC的中点，
∴AD＝BD，AD⊥BC.
∴∠DAC＝∠ABD＝45°.
∴∠DAF＝∠DBE＝135°.
又∵AF＝BE，
∴△DAF≌△DBE(SAS)．
∴FD＝ED，∠FDA＝∠EDB.
∴∠EDF＝∠EDB＋∠FDB＝∠FDA＋∠FDB＝∠ADB＝90°.
∴△DEF仍为等腰直角三角形．
模型2　等腰直角三角形＋8字模型中有两直角，常用截长补短构造全等
2．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AC上一点．若CE⊥BD于点E，连接AE.求证：∠AEB＝45°.
证明：在BE上截取BF＝CE，
连接AF.
易证∠ABF＝∠ACE，
△ABF≌△ACE(SAS)，
得等腰Rt△AFE，
∴∠AEB＝45°.
模型2变式　等腰直角三角形及8字模型中只有一个直角，过等腰直角三角形的顶点作垂线构造直角
3．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AC上一点．若∠AEB＝45°.求证：CE⊥BD.
证明：过点A作AF⊥AE交BE于点F，得等腰直角△AFE，
△ABF≌△ACE(SAS)．
∴∠ABE＝∠ACE.
∴∠BEC＝∠BAC＝90°，
即CE⊥BD.
【变式】　将第3题中的“∠AEB＝45°”改为“∠AEC＝135°”，第3题中的结论还成立吗？并说明理由．
解：第3题中的结论仍然成立．
理由：如图，过点A作AF⊥AE，交CE的延长线于点F，
则∠BAE＝90°＋∠CAE＝∠CAF.
∵∠AEC＝135°，
∴∠AEF＝45°.
∴△AEF为等腰直角三角形，AE＝AF.
在△BAE和△CAF中，
∴△BAE≌△CAF(SAS)．
∴∠BEA＝∠CFA＝45°.
∴∠BEC＝∠AEC－∠BEA＝135°－45°＝90°，
即CE⊥BE.
补充模型　三垂直模型
4．如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为(2，3)，则点F的坐标为(－1，5)．
小专题5　角平分线的综合运用
　　　　　　　　　　　　　　　　
模型1　双垂线型
1．感知：如图1，AD平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°，易知：DB＝DC.
探究：(1)如图2，AD平分∠BAC，∠ABD＋∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，求证：DB＝DC；
(2)如图3，AD平分∠BAC，BD＝DC，AC≠AB，求证：∠ABD＋∠ACD＝180°.
,图1)　,图2)　,图3)
证明：(1)过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC的延长线于点F.
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠F＝∠DEB＝90°.
∵∠EBD＋∠ACD＝180°，∠ACD＋∠FCD＝180°，
∴∠EBD＝∠FCD.
在△DFC和△DEB中，
∴△DFC≌△DEB(AAS)．∴DC＝DB.
(2)过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC的延长线于点F.
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠DFC＝∠DEB＝90°.
在Rt△DEB和Rt△DFC中，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC(HL)．
∴∠ABD＝∠DCF.
∵∠DCF＋∠ACD＝180°，
∴∠ABD＋∠ACD＝180°.
【变式】　如图，∠CAB＝40°，点D为∠CAB的平分线与线段BC的垂直平分线的交点，连接CD，试求∠DCB的度数．
解：过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F，连接BD.
∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴DE＝DF，∠DEC＝∠DFB＝90°.
∵∠CAB＝40°，∴∠EDF＝140°.
∵点D在线段BC的垂直平分线上，
∴DC＝DB.
∴Rt△DEC≌Rt△DFB(HL)．
∴∠EDC＝∠FDB.
∴∠CDB＝∠CDF＋∠FDB＝∠CDF＋∠EDC＝∠EDF＝140°.
∴∠DCB＝×(180°－40°)＝20°.
模型2　截长补短型
2．如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC＝AB＋CD.
证明：在BC上截取BF＝AB，连接EF.
∵BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，
∴∠ABE＝∠FBE，∠FCE＝∠DCE.
在△ABE和△FBE中，
∴△ABE≌△FBE(SAS)．∴∠A＝∠BFE.
∵AB∥CD，∴∠A＋∠D＝180°.
∴∠BFE＋∠D＝180°.
∵∠BFE＋∠CFE＝180°，∴∠CFE＝∠D.
在△FCE和△DCE中，
∴△FCE≌△DCE(AAS)．∴CF＝CD.
∴BC＝BF＋CF＝AB＋CD.
【变式】　已知，在△ABC中，BD为∠ABC的平分线．
(1)如图1，若∠A＝100°，∠C＝50°，求证：BC＝BA＋AD;
(2)如图2，若∠BAC＝100°，∠C＝40°，求证：BC＝BD＋AD.
　　　
图1　　　　　　　　　　　图2
证明：(1)在边BC上截取BE＝BA，连接DE.
∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠DBE.
又∵BA＝BE，BD＝BD，
∴△ABD≌△EBD(SAS)．
∴AD＝DE，∠A＝∠BED.
∵∠A＝100°，∴∠BED＝100°.
∵∠C＝50°，∴∠CDE＝50°.∴∠C＝∠CDE.
∴DE＝CE.∴AD＝CE.
∵BC＝BE＋CE，∴BC＝BA＋AD.
(2)以BC为边作等边△A′BC，在A′C上截取CD′＝BD，连接AA′，AD′.
∵∠BAC＝100°，∠ACB＝40°，∴∠ABC＝40°.
∴∠ABC＝∠ACB.∴AB＝AC.
∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠ABC＝20°.
∴△A′BC为等边三角形．
∴A′B＝A′C＝BC，
∠A′BC＝∠A′CB＝∠BA′C＝60°.
∴∠A′CA＝∠A′CB－∠ACB＝20°.
∵A′B＝A′C，AB＝AC，A′A＝A′A，
∴△A′BA≌△A′CA(SSS)．
∴∠BA′A＝∠CA′A＝30°.
∵AB＝AC，∠ABD＝∠ACD′，BD＝CD′，
∴△ABD≌△ACD′(SAS)．
∴∠BAD＝∠CAD′＝100°，AD＝AD′.
∴∠AD′C＝180°－∠CAD′－∠ACD′＝60°.
∴∠D′AA′＝∠AD′C－∠D′A′A＝30°.
∴∠D′AA′＝∠DA′A.
∴A′D′＝AD′.∴A′D′＝AD.
∴BC＝A′C＝A′D′＋CD′＝AD＋BD.
模型3　延长相交型
　3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，BE是角平分线，CD⊥BE交BE的延长线于点D，求证：BE＝2CD.
证明：延长BA，CD相交于点Q.
∵∠CAQ＝∠BAE＝∠BDC＝90°，
∴∠ACQ＋∠Q＝90°，∠ABE＋∠Q＝90°.
∴∠ACQ＝∠ABE.
在△ABE和△ACQ中，
∴△ABE≌△ACQ(ASA)．∴BE＝CQ.
∵BD平分∠ABC，∴∠QBD＝∠CBD.
∵∠BDC＝90°，∴∠BDC＝∠BDQ＝90°.
在△QDB和△CDB中，
∴△QDB≌△CDB(ASA)．∴CD＝DQ.
∴BE＝CQ＝2CD.
模型4　平行等腰型
4．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，AO，BO分别平分∠BAC，∠ABC，连接OC.
(1)求证：OC平分∠ACB；
(2)若AB＝6，AC＝10，求OB的长．
解：(1)证明：过点O分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为M，N，E，易得OE＝OM＝ON，
∴CO平分∠ACB.
(2)过点O作OD∥BC交AC于点D.
∵BO平分∠ABC，∠ABC＝2∠ACB，
∴∠ABO＝∠ACB.
∵OD∥BC，∴∠ADO＝∠ACB.
∴∠ABO＝∠ADO.
又∵∠BAO＝∠DAO，AO＝AO，
∴△BAO≌△DAO(AAS)．
∴OB＝OD，AD＝AB＝6.
∴DC＝AC－AD＝10－6＝4.
∵OD∥BC，∴∠DOC＝∠OCB＝∠ACO.
∴OB＝OD＝DC＝4.
【变式】　如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC.若AN＝1，则BC的长为6．