2.1
指数函数
2.1.1 指数与指数幂的运算
第1课时 根式
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标
核
心
素
养
1．理解n次方根及根式的概念，掌握根式的性质．(重点)2．能利用根式的性质对根式进行运算．(重点、难点、易错点)
借助根式的性质对根式进行运算，提升数学运算素养.
1．根式及相关概念
(1)a的n次方根定义
如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N
.
(2)a的n次方根的表示
n的奇偶性
a的n次方根的表示符号
a的取值范围
n为奇数
R
n为偶数
±
[0，＋∞)
(3)根式
式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
2．根式的性质(n>1，且n∈N
),
(1)n为奇数时，＝a.
(2)n为偶数时，＝|a|＝
(3)＝0.
(4)负数没有偶次方根．
思考：()n中实数a的取值范围是任意实数吗？
提示：不一定，当n为大于1的奇数时，a∈R；
当n为大于1的偶数时，a≥0.
1．的运算结果是( )
A．3
B．－3
C．±3
D．±
A [＝＝3.]
2．m是实数，则下列式子中可能没有意义的是( )
A.
B.
C.
D.
C [当m<0时，没有意义，其余各式均有意义．]
3．下列说法正确的个数是( )
①16的4次方根是2；②的运算结果是±2；③当n为大于1的奇数时，对任意a∈R都有意义；④当n为大于1的偶数时，只有当a≥0时才有意义．
A．1
B．2
C．3
D．4
B [①16的4次方根应是±2；②＝2，所以正确的应为③④.]
4．若x3＝－5，则x＝________.
－ [若x3＝－5，则x＝＝－.]
n次方根的概念问题
【例1】 (1)27的立方根是________；16的4次方根是
________；
(2)已知x6＝2
020，则x＝________；
(3)若有意义，则实数x的取值范围为________．
(1)3 ±2 (2)± (3)[－3，＋∞) [(1)27的立方根是3；16的4次方根是±2.
(2)因为x6＝2
020，所以x＝±.
(3)要使有意义，
则需要x＋3≥0，即x≥－3.
所以实数x的取值范围是[－3，＋∞)．]
n次方根的个数及符号的确定
?1?n的奇偶性决定了n次方根的个数；
?2?n为奇数时，a的正负决定着n次方根的符号.
1.已知a∈R，n∈N
，给出下列4个式子：
①；②；③；④.其中无意义的有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．0个
A [①中(－3)2n>0，所以有意义；②中根指数为5有意义；③中(－5)2n＋1<0，因此无意义；④中根指数为9，有意义．选A.]
利用根式的性质化简求值
【例2】 (教材改编题)化简下列各式：
(1)＋()5；
(2)＋()6；
(3).
[解] (1)原式＝(－2)＋(－2)＝－4.
(2)原式＝|－2|＋2＝2＋2＝4.
(3)原式＝|x＋2|＝
正确区分与?)n
?1??)n已暗含了有意义，据n的奇偶性可知a的范围；
?2?中的a可以是全体实数，的值取决于n的奇偶性.
2．若＝3a－1，求a的取值范围．
[解] ∵＝＝|3a－1|，
由|3a－1|＝3a－1可知3a－1≥0，
∴a≥.
有限制条件的根式的运算
[探究问题]
1．当a>b时，等于多少？
提示：当a>b时，＝a－b.
2．绝对值|a|的代数意义是什么？
提示：|a|＝
【例3】 (1)若x<0，则x＋|x|＋＝________.
(2)若－3
思路点拨：(1)由x<0，先计算|x|及，再化简．
(2)结合－3(1)－1 [∵x<0，∴|x|＝－x，＝|x|＝－x，
∴x＋|x|＋＝x－x－1＝－1.]
(2)[解] －
＝－＝|x－1|－|x＋3|，
当－3当1因此，原式＝
1．将本例(2)的条件“－3[解] 原式＝－＝
|x－1|－|x＋3|.因为x≤－3，所以x－1<0，x＋3≤0，
所以原式＝－(x－1)＋(x＋3)＝4.
2．在本例(1)条件不变的情况下，求＋.
[解] ＋＝x＋＝x＋1.
带条件根式的化简
?1?有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简.
?2?有条件根式的化简经常用到配方的方法.当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负.
1．核心要点：注意同()n的区别．前者求解时，要分n为奇数还是偶数，同时要注意实数a的正负，而后者()n＝a是恒等式，只要()n有意义，其值恒等于a.
2．数学思想：一个数到底有没有n次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n为奇数或偶数这两种情况.
1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)实数a的奇次方根只有一个．
( )
(2)当n∈N
时，()n＝－2.
( )
(3)＝π－4.
( )
[答案] (1)√ (2)× (3)×
2．已知m10＝2，则m等于( )
A.
B．－
C.
D．±
D [∵m10＝2，∴m是2的10次方根．又∵10是偶数，
∴2的10次方根有两个，且互为相反数．∴m＝±.]
3.＋＝________.
1 [＋＝4－π＋π－3＝1.]
4．已知－1[解] 原式＝－
＝|x－2|－|x＋1|.
因为－1所以x＋1>0，x－2<0，
所以原式＝2－x－x－1＝1－2x.
PAGE第2课时 指数幂及运算
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1．理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化．(重点、难点)2．掌握实数指数幂的运算性质，并能对代数式进行化简或求值．(重点)
1．通过分数指数幂、运算性质的推导，培养逻辑推理素养．2．借助指数幂的运算性质对代数式化简或求值，提升数学运算素养.
1．分数指数幂的意义
分数指数幂
正分数指数幂
规定：aeq
\s\up8()＝(a>0，m，n∈N
，且n>1)
负分数指数幂
规定：aeq
\s\up8(－)＝eq
\f(1,aeq
\s\up8())＝(a>0，m，n∈N
，且n>1)
0的分数指数幂
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
思考：在分数指数幂与根式的互化公式aeq
\s\up8()＝中，为什么必须规定a>0?
提示：①若a＝0,0的正分数指数幂恒等于0，即＝aeq
\s\up8()＝0，无研究价值．
②若a<0，aeq
\s\up8()＝不一定成立，如(－2)eq
\s\up14()＝无意义，故为了避免上述情况规定了a>0.
2．有理数指数幂的运算性质,
(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)．
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)．
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
3．无理数指数幂
一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
1．下列运算结果中，正确的是( )
A．a2a3＝a5
B．(－a2)3＝(－a3)2
C．(－1)0＝1
D．(－a2)3＝a6
A [a2a3＝a2＋3＝a5；(－a2)3＝－a6≠(－a3)2＝a6；(－1)0＝1，若成立，需要满足a≠1，故选A.]
2．4eq
\s\up14()等于( )
A．25 B. C.eq
\r(4eq
\s\up14()) D.
B [4eq
\s\up14()＝＝，故选B.]
3．已知a>0，则aeq
\s\up14(－)等于( )
A.
B.
C.
D．－
B [aeq
\s\up14(－)＝eq
\f(1,aeq
\s\up14())＝.]
4．(meq
\s\up14())4＋(－1)0＝________.
m2＋1 [(meq
\s\up14())4＋(－1)0＝m2＋1.]
根式与分数指数幂的互化
【例1】 (1)(多选题)下列各式中成立的是( )
A.＝
B.＝(x＋y)eq
\s\up14()
C.＝
D.＝aeq
\s\up14()
(2)已知xeq
\s\up14(－)＝4，则x等于( )
A．±
B．±8
C.
D．±2
(3)将下列根式化成分数指数幂的形式：
①；②a·；③.
(1)CD (2)A [(1)＝3eq
\s\up14()＝3eq
\s\up14()＝，故A错误．
＝(x3＋y3)eq
\s\up14()，故B错误．
＝(9eq
\s\up14())eq
\s\up14()＝(3eq
\s\up14())eq
\s\up14()＝3eq
\s\up14()＝，故C正确．
＝eq
\r(a·aeq
\s\up14())＝eq
\r(aeq
\s\up14())＝(aeq
\s\up14())eq
\s\up14()＝aeq
\s\up14()，故D正确．
(2)由xeq
\s\up14(－)＝4得＝4，即＝，
∴x2＝，∴x＝±，故选A.]
(3)解：①＝eq
\r(3,a·aeq
\s\up14())＝(aeq
\s\up14())eq
\s\up14()＝aeq
\s\up14()×eq
\s\up14()＝aeq
\s\up14().
②由题意知，∴a＜0，
∴a＝－，
∴a·＝－＝－＝－(－a)eq
\s\up14().
根式与分数指数幂互化的规律
(1)根指数分数指数的分母，
被开方数(式)的指数分数指数的分子．
(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．
1．用分数指数幂的形式表示a·为( )
A．－aeq
\s\up14()
B．－(－a)
eq
\s\up14()
C．－(－a)eq
\s\up14()
D．－aeq
\s\up14()
B [由题意知－a≥0，∴a≤0.
∴a＝－，
∴a·＝－＝－
＝－(－a)eq
\s\up14()，故选B]
2.将下列根式与分数指数幂进行互化：
(1)a3·；(2)(a>0，b>0)．
利用分数指数幂的运算性质化简求解
【例2】 (教材改编题)化简求值：
(2)(a－2b－3)·(－4a－1b)÷(12a－4b－2c)；
(3)2÷4×3.
指数幂运算的常用技巧
?1?有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算.
?2?负指数幂化为正指数幂的倒数.
?3?底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质.
提醒：化简的结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数.
指数幂运算中的条件求值
[探究问题]
1．和存在怎样的等量关系？
提示：＝＋4.
2．已知＋的值，如何求a＋的值？反之呢？
提示：设＋＝m，则两边平方得a＋＝m2－2；反之若设a＋＝n，则n＝m2－2，∴m＝.即＋＝.
【例3】 (1)若2x＝7,2y＝6，则4x－y等于( )
A.
B.
C.
D.
(2)已知aeq
\s\up14()＋aeq
\s\up14(－)＝4，求下列各式的值：
①a＋a－1；②a2＋a－2.
(1)D [由2x＝7,2y＝6得
4x－y＝＝＝＝，故选D.]
(2)[解] ①将aeq
\s\up14()＋aeq
\s\up14(－)＝4两边平方，得a＋a－1＋2＝16，故a＋a－1＝14.
②将a＋a－1＝14两边平方，得a2＋a－2＋2＝196，故a2＋a－2＝194.
1．在本例(2)条件不变的条件下，求a－a－1的值．
[解] 令a－a－1＝t，则两边平方得a2＋a－2＝t2＋2，
∴t2＋2＝194，即t2＝192，∴t＝±8，即a－a－1＝±8.
2．在本例(2)条件不变的条件下，求a2－a－2的值．
[解] 由上题可知，a2－a－2＝(a－a－1)(a＋a－1)＝±8×14＝±112.
解决条件求值的思路
?1?在利用条件等式求值时，往往先将所求式子进行有目的的变形，或先对条件式加以变形，沟通所求式子与条件等式的联系，以便用整体代入法求值.
?2?在利用整体代入的方法求值时，要注意完全平方公式的应用.
1．核心要点：(1)根式与分数指数幂的互化．
(2)对根式进行运算时，一般先将根式化成分数指数幂，这样可方便使用同底数幂的运算律．
2．数学思想：解决较复杂的条件求值问题时，“整体思想”是简化求解的“利器”．
1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)0的任何指数幂都等于0.
( )
(2)5eq
\s\up14()＝.
( )
(3)分数指数幂与根式可以相互转化，如＝aeq
\s\up14().
( )
(4)aeq
\s\up8()可以理解为个a.(
)
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
2．把根式a化成分数指数幂是( )
A．(－a)
eq
\s\up14()
B．－(－a)
eq
\s\up14()
C．－aeq
\s\up14()
D．aeq
\s\up14()
D [由题意可知a≥0，故排除A、B、C选项，选D.]
3．已知xeq
\s\up14()＋xeq
\s\up14(－)＝5，则的值为( )
A．5
B．23
C．25
D．27
B [∵xeq
\s\up14()＋xeq
\s\up14(－)＝5，∴x＋x－1＝23，即＝23.]
PAGE2.1.2 指数函数及其性质
第1课时 指数函数的图象及性质
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1.理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的定义域、值域的求法．(重点、难点)2．能画出具体指数函数的图象，并能根据指数函数的图象说明指数函数的性质．(重点)
1．通过学习指数函数的图象，培养直观想象的数学素养．2．借助指数函数的定义域、值域的求法，提升逻辑推理素养.
1．指数函数的概念
一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.
2．指数函数的图象和性质,
a的范围
a＞1
0＜a＜1
图象
性质
定义域
R
值域
(0，＋∞)
过定点
(0,1)，即当x＝0时，y＝1
单调性
在R上是增函数
在R上是减函数
奇偶性
非奇非偶函数
对称性
函数y＝ax与y＝a－x的图象关于y轴对称
思考：(1)指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于什么？
(2)指数函数值随自变量有怎样的变化规律？
提示：(1)指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于字母a.当a>1时，图象具有上升趋势；当0(2)指数函数值随自变量的变化规律
1．下列函数一定是指数函数的是( )
A．y＝2x＋1
B．y＝x3
C．y＝3·2x
D．y＝3－x
D [由指数函数的定义可知D正确．]
2．函数y＝3－x的图象是( )
A B C D
B [∵y＝3－x＝，∴B选项正确．]
3．若指数函数f(x)的图象过点(3,8)，则f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝x3
B．f(x)＝2x
C．f(x)＝
D．f(x)＝xeq
\s\up14()
B [设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则由f(3)＝8得a3＝8，
∴a＝2，∴f(x)＝2x，故选B.]
4．函数y＝ax(a>0且a≠1)在R上是增函数，则a的取值范围是________．
(1，＋∞) [结合指数函数的性质可知，若y＝ax(a>0且a≠1)在R上是增函数，则a>1.]
指数函数的概念
【例1】 (1)下列函数中，是指数函数的个数是( )
①y＝(－8)x；②y＝2x2－1；③y＝ax；④y＝2·3x.
A．1
B．2
C．3
D．0
(2)(教材改编题)已知函数f(x)为指数函数，且f＝，则f(－2)＝________.
(1)D (2) [(1)①中底数－8<0，所以不是指数函数；
②中指数不是自变量x，而是x的函数，
所以不是指数函数；
③中底数a，只有规定a>0且a≠1时，才是指数函数；
④中3x前的系数是2，而不是1，所以不是指数函数，故选D.
(2)设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，由f＝得a－＝，所以a＝3，又f(－2)＝a－2，所以f(－2)＝3－2＝.]
1．判断一个函数是否为指数函数，要牢牢抓住三点：
(1)底数是大于0且不等于1的常数；
(2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上；
(3)ax的系数必须为1.
2．求指数函数的解析式常用待定系数法．
1.已知函数f(x)＝(2a－1)x是指数函数，则实数a的取值范围是________．
∪(1，＋∞) [由题意可知解得a>，且a≠1，
所以实数a的取值范围是∪(1，＋∞)．]
指数函数的图象的应用
【例2】 (1)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )
A．a>1，b<0
B．a>1，b>0
C．00
D．0(2)函数y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点______．
(1)D (2)(3,4) [(1)由于f(x)的图象单调递减，所以0又00，b<0，故选D.
(2)令x－3＝0得x＝3，此时y＝4.故函数y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点(3,4)．]
指数函数图象问题的处理技巧
?1?抓住图象上的特殊点，如指数函数的图象过定点.
?2?利用图象变换，如函数图象的平移变换?左右平移、上下平移?.
?3?利用函数的奇偶性与单调性.奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图象的走势.
2．如图，曲线C1，C2，C3，C4是指数函数y＝ax的图象，而a∈，则图象C1，C2，C3，C4对应的函数的底数依次是__________，__________，________，________.
π [根据指数函数底数变化引起图象变化的规律知，C2的底数＜C1的底数＜1＜C4的底数＜C3的底数，又＜＜1＜＜π，
故图象C1，C2，C3，C4对应的函数的底数依次是，，π，.]
3．已知f(x)＝2x的图象，指出下列函数的图象是由y＝f(x)的图象通过怎样的变化得到：
(1)y＝2x＋1；(2)y＝2x－1；(3)y＝2x＋1；
(4)y＝2－x；(5)y＝2|x|.
[解] (1)y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向左平移1个单位得到．
(2)y＝2x－1的图象是由y＝2x的图象向右平移1个单位得到．
(3)y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向上平移1个单位得到．
(4)∵y＝2－x与y＝2x的图象关于y轴对称，∴作y＝2x的图象关于y轴的对称图形便可得到y＝2－x的图象．
(5)∵y＝2|x|为偶函数，故其图象关于y轴对称，故先作出当x≥0时，y＝2x的图象，再作关于y轴的对称图形，即可得到y＝2|x|的图象．]
指数函数的定义域、值域问题
[探究问题]
1．函数y＝2x2＋1的定义域与f(x)＝x2＋1的定义域什么关系？
提示：定义域相同．
2．如何求y＝2x2＋1的值域？
提示：可先令t＝x2＋1，则易求得t的取值范围为[1，＋∞)，又y＝2t在[1，＋∞)上是单调递增函数，故2t≥2，所以y＝2x2＋1的值域为[2，＋∞)．
【例3】 求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝；
(2)y＝；
(3)y＝4x＋2x＋1＋2.
思路点拨：―→
[解] (1)要使函数式有意义，则1－3x≥0，即3x≤1＝30，因为函数y＝3x在R上是增函数，所以x≤0，故函数y＝的定义域为(－∞，0]．
因为x≤0，所以0<3x≤1，所以0≤1－3x<1，
所以∈[0,1)，即函数y＝的值域为[0,1)．
(2)定义域为R.
∵x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，
∴≤＝16.
又∵>0，
∴函数y＝的值域为(0,16]．
(3)因为对于任意的x∈R，函数y＝4x＋2x＋1＋2都有意义，所以函数y＝4x＋2x＋1＋2的定义域为R.因为2x>0，所以4x＋2x＋1＋2＝(2x)2＋2×2x＋2＝(2x＋1)2＋1>1＋1＝2，
即函数y＝4x＋2x＋1＋2的值域为(2，＋∞)．
1．若本例(1)的函数换为“y＝eq
\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－1)”，求其定义域．
[解] 由－1≥0得≥，∴x≤0，
即函数的定义域为(－∞，0]．
2．若本例(3)的函数增加条件“0≤x≤2”，再求函数的值域．
[解] ∵0≤x≤2，∴1≤2x≤4，∴y＝4x＋2x＋1＋2＝(2x)2＋2×2x＋2＝(2x＋1)2＋1.
令2x＝t，则t∈[1,4]，且f(t)＝(t＋1)2＋1，
易知f(t)在[1,4]上单调递增，
∴f(1)≤f(t)≤f(4)，即5≤f(t)≤26，
即函数y＝4x＋2x＋1＋2的值域为[5,26]．
1．函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同．
2．函数y＝af(x)的值域的求解方法如下：
(1)换元，令t＝f(x)；
(2)求t＝f(x)的定义域x∈D；
(3)求t＝f(x)的值域t∈M；
(4)利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域．
3．形如y＝f(ax)的值域，要先求出u＝ax的值域，再结合y＝f(u)确定出y＝f(ax)的值域．
1．核心要点：(1)判断一个函数是否为指数函数只需判定其解析式是否符合y＝ax(a>0且a≠1)这一结构形式．
(2)指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系：在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小，即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．
2．数学思想：由于指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的定义域为R，所以函数y＝af(x)(a>0且a≠1)与函数f(x)的定义域相同，求函数y＝af(x)的值域，可先求t＝f(x)的值域，再根据函数y＝at的单调性确定y＝af(x)的值域，体现了整体的思想．
1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)y＝x2是指数函数．
( )
(2)函数y＝2－x不是指数函数．
( )
(3)指数函数的图象一定在x轴的上方．
( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
2．如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是( )
A．a＜b＜1＜c＜d
B．b＜a＜1＜d＜c
C．1＜a＜b＜c＜d
D．a＜b＜1＜d＜c
B [作直线x＝1，与四个图象分别交于A，B，C，D四点，则A(1，a)，B(1，b)，
C(1，c)，D(1，d)，由图可知b]
3．函数y＝eq
\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))))的定义域是________．
[0，＋∞) [由1－≥0得≤1＝，
∴x≥0，
∴函数y＝eq
\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))))的定义域为[0，＋∞)．]
4．设f(x)＝3x，g(x)＝.
(1)在同一坐标系中作出f(x)，g(x)的图象；
(2)计算f(1)与g(－1)，f(π)与g(－π)，f(m)与g(－m)的值，从中你能得到什么结论？
[解] (1)函数f(x)，g(x)的图象如图所示：
(2)f(1)＝31＝3，g(－1)＝＝3，
f(π)＝3π，g(－π)＝＝3π，
f(m)＝3m，g(－m)＝＝3m.
从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y轴对称．
PAGE第2课时 指数函数及其性质的应用
学
习
目
标
核
心
素
养
1.掌握指数函数的性质并会应用，能利用指数函数的单调性比较幂的大小及解不等式．(重点)2．通过本节内容的学习，进一步体会函数图象是研究函数的重要工具，并能运用指数函数研究一些实际问题．(难点)
借助指数函数的性质及应用，培养逻辑推理和数学运算素养.
利用指数函数的单调性比较大小
【例1】 (教材改编题)比较下列各组数的大小：
(1)0.6－1.2和0.6－1.5；
(2)1.70.2和0.92.1；
(3)a1.1与a0.3(a>0且a≠1)；
(4)40.9，80.61和.
解：(1)0.6－1.2,0.6－1.5可看作函数y＝0.6x的两个函数值，
因为函数y＝0.6x在R上是减函数，
且－1.2>－1.5，所以0.6－1.2<0.6－1.5.
(2)由指数函数性质得，1.70.2>1.70＝1,0.92.1<0.90＝1，
所以1.70.2>0.92.1.
(3)当a>1时，y＝ax在R上是增函数，故a1.1>a0.3；
当0(4)40.9＝21.8,80.61＝23×0.61＝21.83，＝21.5，
因为y＝2x在R上是增函数，所以21.83＞21.8＞21.5，
即80.61＞40.9＞.
比较幂的大小的方法
?1?同底数幂比较大小时构造指数函数，根据其单调性比较.
?2?指数相同底数不同时分别画出以两幂底数为底数的指数函数图象，当x取相同幂指数时可观察出函数值的大小.
?3?底数、指数都不相同时，取与其中一底数相同与另一指数相同的幂与两数比较，或借助“1”与两数比较.
?4?当底数含参数时，要按底数a>1和01.比较下列各组值的大小
(1)0.80.7，0.80.9，1.20.8；
解：(1)1.20.8＞1.20＝1，
而0.80.9＜0.80.7＜0.80＝1，
∴0.80.9＜0.80.7＜1.20.8.
利用指数函数的单调性解不等式
【例2】 (1)解不等式≤2；
(2)已知a0，a≠1)，求x的取值范围．
[解] (1)∵2＝，
∴原不等式可以转化为≤.
∵y＝在R上是减函数，
∴3x－1≥－1，∴x≥0，
故原不等式的解集是{x|x≥0}．
(2)分情况讨论：
①当00，a≠1)在R上是减函数，
∴x2－3x＋1>x＋6，∴x2－4x－5>0，
根据相应二次函数的图象可得x<－1或x>5；
②当a>1时，函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在R上是增函数，
∴x2－3x＋1根据相应二次函数的图象可得－1综上所述，当05；当a>1时，－11．利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式．
2．解不等式af(x)>ag(x)(a>0，a≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即af(x)>ag(x)?
2．若ax＋1>(a>0且a≠1)，求x的取值范围．
[解] 因为ax＋1>，所以ax＋1>a3x－5，
当a>1时，y＝ax为增函数，可得x＋1>3x－5，所以x<3；
当03.
综上，当a>1时，x的取值范围为(－∞，3)；当0指数型函数单调性的综合应用
[探究问题]
1．试结合图象，分析y＝2－x，y＝2|x|，y＝的单调性，并写出相应单调区间．
提示：
2．结合探究1，分析函数y＝2|x|与函数y＝|x|的单调性是否一致？
提示：y＝2|x|的单调性与y＝|x|的单调性一致．
3．函数y＝a－x2(a>0，且a≠1)的单调性与y＝－x2的单调性存在怎样的关系？
提示：分两类：(1)当a>1时，函数y＝a－x2的单调性与y＝－x2的单调性一致；
(2)当0【例3】 判断f(x)＝的单调性，并求其值域．
思路点拨：―→
―→eq
\x(函数y＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))的单调性)eq
\o(――→,\s\up8(同增异减))eq
\x(函数f?x?的单调性)
[解] 令u＝x2－2x，则原函数变为y＝.
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，又∵y＝在(－∞，＋∞)上递减，
∴y＝在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减．
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，
∴y＝，u∈[－1，＋∞)，
∴0<≤＝3，
∴原函数的值域为(0,3]．
把本例的函数改为“f(x)＝2”，求其单调区间．
[解] 函数y＝2的定义域是R.
令u＝－x2＋2x，则y＝2u.
当x∈(－∞，1]时，函数u＝－x2＋2x为增函数，函数y＝2u是增函数，
所以函数y＝2在(－∞，1]上是增函数．
当x∈[1，＋∞)时，函数u＝－x2＋2x为减函数，函数y＝2u是增函数，所以函数y＝2在[1，＋∞)上是减函数．
综上，函数y＝2的单调减区间是[1，＋∞)，单调增区间是(－∞，1]．
函数y＝af?x??a>0，a≠1?的单调性的处理技巧
?1?关于指数型函数y＝af?x??a>0，且a≠1?的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0?2?求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f?u?，u＝φ?x?，通过考查f?u?和φ?x?的单调性，求出y＝f?φ?x??的单调性.
1．核心要点：解简单指数不等式问题的注意点
(1)形如ax>ay的不等式，可借助y＝ax的单调性求解．如果a的值不确定，需分01两种情况进行讨论．
(2)形如ax>b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解．
(3)形如ax>bx的不等式，可借助图象求解．
2．数学方法：比较两个指数式值的大小的主要方法
(1)比较形如am与an的大小，可运用指数函数y＝ax的单调性．
(2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若amc且c>bn，则am>bn.
3．数学思想：研究y＝af(x)型单调区间时，要注意a>1还是0当a>1时，y＝af(x)与f(x)单调性相同．
当01．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)y＝21－x是R上的增函数．
( )
(2)若0.1a>0.1b，则a>b.
( )
(3)a，b均大于0且不等于1，若ax＝bx，则x＝0.
( )
(4)由于y＝ax(a>0且a≠1)既非奇函数，也非偶函数，所以指数函数与其他函数也组不成具有奇偶性的函数．
( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
2．若2x＋1<1，则x的取值范围是( )
A．(－1,1)
B．(－1，＋∞)
C．(0,1)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－1)
D [∵2x＋1<1＝20，且y＝2x是增函数，
∴x＋1<0，∴x<－1.]
3．下列判断正确的是( )
A．1.72.5＞1.73
B．0.82＜0.83
C．π2＜π
D．0.90.3＞0.90.5
D [∵y＝0.9x在定义域上是减函数，0.3＜0.5，∴0.90.3＞0.90.5.]
4．已知函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)的图象经过点.
(1)比较f(2)与f(b2＋2)的大小；
(2)求函数g(x)＝ax2－2x(x≥0)的值域．
[解] (1)由已知得a2＝，解得a＝，因为f(x)＝在R上递减，2≤b2＋2，所以f(2)≥f(b2＋2)．
(2)因为x≥0，所以x2－2x≥－1，所以≤3，
即函数g(x)＝ax2－2x(x≥0)的值域为(0,3]．
PAGE2.2 对数函数
2.2.1 对数与对数运算
第1课时 对数
学
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目
标
核
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养
1.理解对数的概念，掌握对数的性质，能进行简单的对数计算．(重点、难点)2．理解指数式与对数式的等价关系，会进行对数式与指数式的互化．(重点)3．理解常用对数、自然对数的概念及记法.
借助指数式与对数式的互化及应用对数的性质解题，提升数学运算素养.
1.对数
(1)指数式与对数式的互化及有关概念：
(2)底数a的范围是a>0，且a≠1.
2．常用对数与自然对数,
3.对数的基本性质
(1)负数和零没有对数．
(2)loga1＝0(a>0，且a≠1)．
(3)logaa＝1(a>0，且a≠1)．
思考：为什么零和负数没有对数？
提示：由对数的定义：ax＝N(a>0且a≠1)，则总有N>0，所以转化为对数式x＝logaN时，不存在N≤0的情况．
1．若a2＝M(a>0且a≠1)，则有( )
A．log2M＝a
B．logaM＝2
C．log22＝M
D．log2a＝M
B [∵a2＝M，∴logaM＝2，故选B.]
2．若log3x＝3，则x＝( )
A．1
B．3
C．9
D．27
D [∵log3x＝3，∴x＝33＝27.]
3．若log2x＝3，则x＝________.
8 [∵log2x＝3.∴x＝23＝8.]
4．ln
1＝________，lg
10＝________.
0 1 [∵loga1＝0，∴ln
1＝0，又logaa＝1，∴lg
10＝1.]
对数的概念
【例1】 (1)在b＝log(a－1)(2a－3)中，实数a的取值范围是( )
A.≤a＜2
B.＜a＜2
C.＜a＜2或a＞2
D．2≤a≤3
(2)将下列指数式化为对数式或将对数式化为指数式．
①2－7＝；②N＝a5(a＞0，且a≠1)；
③ln
x＝2；④loga10＝2(a＞0，且a≠1)．
(1)C [由对数的定义可知
解得a＞且a≠2，故选C.]
(2)解：①由2－7＝得log2＝－7.
②由N＝a5得logaN＝5.
③由ln
x＝2得e2＝x.
④由loga10＝2得a2＝10.
指数式与对数式互化的方法
?1?将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式；
?2?将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式.
1.将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)3－2＝； (2)＝16；
(3)logeq
\s\do16()27＝－3;
(4)log64＝－6.
[解] (1)log3＝－2；(2)logeq
\s\do16()16＝－2；
(3)＝27；(4)()－6＝64.
利用指数式与对数式的关系求值
【例2】 (教材改编题)求下列各式中的x的值：
(1)log64x＝－；
(2)logx
8＝6；
(3)lg
100＝x;
(4)－ln
e2＝x.
[解] (1)x＝(64)eq
\s\up14(－)＝(43)
eq
\s\up14(－)＝4－2＝.
(2)x6＝8，所以x＝(x6)eq
\s\up8()＝8eq
\s\up8()＝(23)eq
\s\up8()＝2eq
\s\up14()＝.
(3)10x＝100＝102，所以x＝2.
(4)由－ln
e2＝x，得－x＝ln
e2，即e－x＝e2，
所以x＝－2.
求对数式logaN?a>0，且a≠1，N>0?的值的步骤
?1?设logaN＝m；
?2?将logaN＝m写成指数式am＝N；
?3?将N写成以a为底的指数幂N＝ab，则m＝b，即logaN＝b.
[解] (1)设x＝log9
27，则9x＝27,32x＝33，∴x＝.
利用对数的性质及对数恒等式求值
[探究问题]
1．你能推出对数恒等式alogaN＝N(a>0且a≠1，N
>0)吗？
提示：因为ax＝N，所以x＝logaN，代入ax＝N可得alogaN＝N.
2．若方程logaf(x)＝0，则f(x)等于多少？若方程logaf(x)＝1呢？(其中a>0且a≠1)
提示：若logaf(x)＝0，则f(x)＝1；若logaf(x)＝1，则f(x)＝a.
【例3】 (1)设5log5(2x－1)＝25，则x的值等于( )
A．10
B．13
C．100
D．±100
(2)若log3(lg
x)＝0，则x的值等于________．
思路点拨：(1)利用对数恒等式alogaN＝N求解；
(2)利用logaa＝1，loga1＝0求解．
(1)B (2)10 [(1)由5＝25得2x－1＝25，所以x＝13，故选B.
(2)由log3(lg
x)＝0得lg
x＝1，∴x＝10.]
1．若本例(2)的条件改为“ln(log3x)＝1”，则x的值为________．
3e [由ln(log3x)＝1得log3x＝e，∴x＝3e.]
2．在本例(2)条件不变的前提下，计算xeq
\s\up14(－)的值．
[解] ∵x＝10，∴xeq
\s\up14(－)＝10eq
\s\up14(－)＝.
1．利用对数性质求解的两类问题的解法
(1)求多重对数式的值解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值．
(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解．
2．性质alogaN＝N与logaab＝b的作用
(1)alogaN＝N的作用在于能把任意一个正实数转化为以a为底的指数形式．
(2)logaab＝b的作用在于能把以a为底的指数转化为一个实数．
1．核心要点：
(1)对数的概念：ab＝N?b＝logaN(a>0且a≠1)是解决指数、对数问题的有利工具．
(2)对数恒等式alogaN＝N，其成立的条件是a>0，a≠1，N>0.
2．数学思想：指数式、对数式的互化反映了数学上的等价转化思想，在涉及到对数式求值问题时，常转化为指数幂的运算问题．
1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)logaN是loga与N的乘积．
( )
(2)(－2)3＝－8可化为log(－2)(－8)＝3.
( )
(3)对数运算的实质是求幂指数．
( )
(4)在b＝log3(m－1)中，实数m的取值范围是(1，＋∞)．
( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
2．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )
A．100＝1与lg
1＝0
B．27eq
\s\up14(－)＝与log27＝－
C．log39＝2与9eq
\s\up14()＝3
D．log55＝1与51＝5
C [C不正确，由log39＝2可得32＝9.]
3．若log2(logx9)＝1，则x＝________.
3 [由log2(logx9)＝1可知logx9＝2，即x2＝9，∴x＝3(x＝－3舍去)．]
4．求下列各式中的x值：
(1)logx27＝；
(2)log2
x＝－；
(3)x＝log27；
(4)x＝logeq
\s\do16()16.
[解] (1)由logx27＝，可得xeq
\s\up14()＝27，
∴x＝27eq
\s\up14()＝(33)eq
\s\up14()＝32＝9.
(2)由log2x＝－，可得x＝2eq
\s\up14(－)，
∴x＝eq
\s\up14()＝＝.
(3)由x＝log27，可得27x＝，
∴33x＝3－2，∴x＝－.
(4)由x＝logeq
\s\do16()16，可得＝16，
∴2－x＝24，∴x＝－4.
PAGE第2课时 对数的运算
学
习
目
标
核
心
素
养
1．理解对数的运算性质．(重点)2．能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．(难点)3．会运用运算性质进行一些简单的化简与证明．(易混点)
1．借助对数的运算性质化简、求值，培养数学运算素养．2．通过学习换底公式，提升逻辑推理素养.
1．对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN；
(2)loga＝logaM－logaN；
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．
思考：当M>0，N>0时，loga(M＋N)＝logaM＋logaN，loga(MN)＝logaM·logaN是否成立？
提示：不一定．
2．对数的换底公式,
若a>0且a≠1；c>0且c≠1；b>0，则有logab＝.
1．计算log84＋log82等于( )
A．log86
B．8
C．6
D．1
D [log84＋log82＝log88＝1.]
2．计算log510－log52等于( )
A．log58
B．lg
5
C．1
D．2
C [log510－log52＝log55＝1.]
3．log23·log32＝________.
1 [log23·log32＝×＝1.]
对数运算性质的应用
【例1】 (教材改编题)计算下列各式的值：
(1)lg
－lg
＋lg
；
(2)lg
52＋lg
8＋lg
5·lg
20＋(lg
2)2；
(3).
[解] (1)原式＝(5lg
2－2lg
7)－·lg
2＋(2lg
7＋lg
5)
＝lg
2－lg
7－2lg
2＋lg
7＋lg
5
＝lg
2＋lg
5
＝(lg
2＋lg
5)
＝lg
10
＝.
(2)原式＝2lg
5＋2lg
2＋lg
5(2lg
2＋lg
5)＋(lg
2)2
＝2lg
10＋(lg
5＋lg
2)2
＝2＋(lg
10)2＝2＋1＝3.
(3)原式＝
＝＝＝.
1．利用对数性质求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同，再找真数间的联系．
2．对于复杂的运算式，可先化简再计算．化简问题的常用方法：
(1)“拆”：将积(商)的对数拆成两对数之和(差)；
(2)“收”：将同底对数的和(差)收成积(商)的对数．
1.求下列各式的值：
(1)lg25＋lg
2·lg
50；
(2)lg
8＋lg25＋lg
2·lg
50＋lg
25.
[解] (1)原式＝lg25＋(1－lg
5)(1＋lg
5)＝lg25＋1－lg25＝1.
(2)lg
8＋lg25＋lg
2·lg
50＋lg
25＝2lg
2＋lg25＋lg
2(1＋lg
5)＋2lg
5
＝2(lg
2＋lg
5)＋lg2
5＋lg
2＋lg
2·lg
5＝2＋lg
5(lg
5＋lg
2)＋lg
2＝2＋lg
5＋lg
2＝3.
对数的换底公式
【例2】 (1)计算：
(log2125＋log425＋log85)·(log1258＋log254＋log52)；
(2)已知log189＝a,18b＝5，求log3645(用a，b表示)．
[解] (1)(log2125＋log425＋log85)·(log1258＋log254＋log52)＝(log253＋log2252＋log235)·(log5323＋log5222＋log52)＝log25·(1＋1＋1)·log52＝·3＝13.
(2)∵18b＝5，∴b＝log185.
又log189＝a，
∴log3645＝＝＝＝.
(变结论)在本例(2)的条件下，求log915(用a，b表示)
[解] ∵log189＝a，∴log183＝.又log185＝b，
∴log915＝＝＝＝.
1．在化简带有对数的表达式时，若对数的底不同，需利用换底公式．
2．常用的公式有：logab·logba＝1，loganbm＝logab，logab＝等．
2．求值：
(1)log23·log35·log516；
(2)(log32＋log92)(log43＋log83)．
[解] (1)原式＝··＝＝＝4.
(2)原式＝
＝
＝·＝.
对数运算性质的综合应用
[探究问题]
1．若2a＝3b，则等于多少？
提示：设2a＝3b＝t，则a＝log2t，b＝log3t，∴＝log23.
2．对数式logab与logba存在怎样的等量关系？
提示：logab·logba＝1，
即logab＝.
【例3】 已知3a＝5b＝c，且＋＝2，求c的值．
思路点拨：
[解] ∵3a＝5b＝c，∴a＝log3c，b＝log5c，
∴＝logc3，＝logc5，
∴＋＝logc15.
由logc15＝2得c2＝15，即c＝.
1．把本例条件变为“3a＝5b＝15”，求＋的值．
[解] ∵3a＝5b＝15，
∴a＝log315，b＝log515，
∴＋＝log153＋log155＝log1515＝1.
2．若本例条件改为“若a，b是正数，且3a＝5b＝c”，比较3a与5b的大小．
[解] ∵3a＝5b＝c，∴a＝log3c，b＝log5c，
∴3a－5b＝3log3c－5log5c
＝－
＝
＝<0，
∴3a<5b.
应用换底公式应注意的两个方面
?1?化成同底的对数时，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用.
?2?题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式.
1．核心要点：应用对数的运算法则，可将高一级(乘、除、乘方)的运算转化为低一级(加、减、乘)的运算．
2．数学思想：换底公式反映了数学上的化归思想，其实质是将不同底的对数运算问题转化为同底的对数运算．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)log2x2＝2log2x.
( )
(2)loga[(－2)×(－3)]＝loga(－2)＋loga(－3)．
( )
(3)logaM·logaN＝loga(M＋N)．
( )
(4)logx2＝.
( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．计算log92·log43＝( )
A．4
B．2
C．
D．
D [log92·log43＝·＝·＝.]
3．设10a＝2，lg
3＝b，则log26＝( )
A.
B.
C．ab
D．a＋b
B [∵10a＝2，∴lg
2＝a，
∴log26＝＝＝.]
4．计算：(1)log535－2log5＋log57－log51.8；
(2)log2＋log212－log242－1.
[解] (1)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log5＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2.
(2)原式＝log2＋log212－log2－log22
＝log2＝log2
＝log22eq
\s\up14(－)＝－.
PAGE2.2.2 对数函数及其性质
第1课时 对数函数的图象及性质
学
习
目
标
核
心
素
养
1.理解对数函数的概念，会求对数函数的定义域．(重点、难点)2．能画出具体对数函数的图象，并能根据对数函数的图象说明对数函数的性质．(重点)
1．通过学习对数函数的图象，培养直观想象素养．2．借助对数函数的定义域的求解，提升数学运算的素养.
1．对数函数的概念
函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
思考1：函数y＝2log3x，y＝log3(2x)是对数函数吗？
提示：不是，其不符合对数函数的形式．
2．对数函数的图象及性质
a的范围
0a>1
图象
定义域
(0，＋∞)
值域
R
a的范围
0a>1
性质
定点
(1,0)，即x＝1时，y＝0
单调性
在(0，＋∞)上是减函数
在(0，＋∞)上是增函数
思考2：对数函数的“上升”或“下降”与谁有关？
提示：底数a与1的关系决定了对数函数的升降．
当a>1时，对数函数的图象“上升”；当03．反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)和对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数．
1．函数y＝logax的图象如图所示，则实数a的可能取值为( )
A．5 B. C. D.
A [由图可知，a>1，故选A.]
2．若对数函数过点(4,2)，则其解析式为________.
f(x)＝log2x [设对数函数的解析式为f(x)＝logax(a>0且a≠1)．由f(4)＝2得loga4＝2，∴a＝2，即f(x)＝log2x.]
3．函数f(x)＝log2(x＋1)的定义域为________．
(－1，＋∞) [由x＋1>0得x>－1，故f(x)的定义域为(－1，＋∞)．]
对数函数的概念及应用
(2)若函数y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，则a＝________.
(3)已知对数函数的图象过点(16,4)，则f＝________________.
(1)D (2)4 (3)－1 [(1)由对数函数定义知，③⑥是对数函数，故选D.
(2)因为函数y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，
所以
解得a＝4.
(3)设对数函数为f(x)＝logax(a>0且a≠1)，
由f(16)＝4可知loga16＝4，∴a＝2，
∴f(x)＝log2x，
∴f＝log2＝－1.]
判断一个函数是对数函数的方法
1.若函数f(x)＝(a2＋a－5)logax是对数函数，则a＝______.
2 [由a2＋a－5＝1得a＝－3或a＝2.
又a>0且a≠1，所以a＝2.]
对数函数的定义域
【例2】 (教材改编题)求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝＋ln(x＋1)；
(2)f(x)＝eq
\f(1,\r(logeq
\s\do16()x＋1))；
(3)f(x)＝log(2x－1)(－4x＋8)．
[解] (1)函数式若有意义，需满足即解得－1(2)要使函数f(x)有意义，则logeq
\s\do16()x＋1>0，即logeq
\s\do16()x>－1，解得0(3)由题意得解得故函数y＝log(2x－1)(－4x＋8)的定义域为.
求对数型函数的定义域时应遵循的原则
?1?分母不能为0.
?2?根指数为偶数时，被开方数非负.
?3?对数的真数大于0，底数大于0且不为1.
提醒：定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念，若自变量在真数上，则必须保证真数大于0；若自变量在底数上，应保证底数大于0且不等于1.
2．求下列函数的定义域：
(1)y＝；
(2)f(x)＝logx＋1(16－4x)．
[解] (1)要使函数有意义，需满足
即
解得＜x≤1，即函数f(x)的定义域为.
(2)要使函数有意义，需满足
解得－1所以函数定义域为(－1,0)∪(0,4)．
对数函数的图象问题
[探究问题]
1．如图，曲线C1，C2，C3，C4分别对应y＝loga1x，y＝loga2x，y＝loga3x，y＝loga4x的图象，你能指出a1，a2，a3，a4以及1的大小关系吗？
提示：作直线y＝1，它与各曲线C1，C2，C3，C4的交点的横坐标就是各对数的底数，由此可判断出各底数的大小必有a4>a3>1>a2>a1>0.
2．函数y＝ax与y＝logax(a>0且a≠1)的图象有何特点？
提示：两函数的图象关于直线y＝x对称．
【例3】 (1)当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象为( )
A B C D
(2)已知函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A也在函数f(x)＝3x＋b的图象上，则f(log32)＝________.
(3)已知f(x)＝loga|x|，满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象．
(1)C (2) [∵a>1，∴0<<1，∴y＝a－x是减函数，y＝logax是增函数，故选C.
(2)由x＋3＝1得x＝－2，则A(－2，－1)，
由f(－2)＝3－2＋b＝－1得b＝－.
∴f(x)＝3x－，∴f(log32)＝3log32－＝2－＝.]
(3)[解] ∵f(x)＝loga|x|，
∴f(－5)＝loga5＝1，即a＝5，
∴f(x)＝log5|x|，
∴f(x)是偶函数，其图象如图所示．
1．把本例(1)的条件“a>1”去掉，函数“y＝logax”改为“y＝loga(－x)”，则函数y＝a－x与y＝loga(－x)的图象可能是( )
C [∵在y＝loga(－x)中，－x＞0，∴x＜0，
∴图象只能在y轴的左侧，故排除A，D；
当a＞1时，y＝loga(－x)是减函数，
y＝a－x＝是减函数，故排除B；
当0＜a＜1时，y＝loga(－x)是增函数，
y＝a－x＝是增函数，∴C满足条件，故选C.]
2．把本例(3)改为f(x)＝＋2，试作出其图象．
[解] 第一步：作y＝log2x的图象，如图(1)所示．
(1) (2)
第二步：将y＝log2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度，得y＝log2(x＋1)的图象，如图(2)所示．
第三步：将y＝log2(x＋1)的图象在x轴下方的部分作关于x轴的对称变换，得y＝|log2(x＋1)|的图象，如图(3)所示．
第四步：将y＝|log2(x＋1)|的图象沿y轴向上平移2个单位长度，即得到所求的函数图象，如图(4)所示．
(3) (4)
函数图象的变换规律
(1)一般地，函数y＝f(x±a)＋b(a，b为实数)的图象是由函数y＝f(x)的图象沿x轴向左或向右平移|a|个单位长度，再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的．
(2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的．一般地，y＝f(|x－a|)的图象是关于直线x＝a对称的轴对称图形；函数y＝|f(x)|的图象与y＝f(x)的图象在f(x)≥0的部分相同，在f(x)<0的部分关于x轴对称．
1．核心要点：(1)判断一个函数是不是对数函数的关键是看所给函数是否具有y＝logax(a＞0且a≠1)这种形式．
(2)对数函数的图象与性质．
(3)涉及对数函数定义域的问题，常从真数和底数两个角度分析．
2．数学思想：在对数函数y＝logax中，底数a对其图象直接产生影响，学会用分类讨论的观点认识和掌握对数函数的图象和性质．
1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对数函数的定义域为R.
( )
(2)函数y＝loga(x＋2)恒过定点(－1,0)．
( )
(3)对数函数的图象一定在y轴右侧．
( )
(4)函数y＝log2x与y＝x2互为反函数．
( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．下列函数是对数函数的是( )
A．y＝2＋log3x
B．y＝loga(2a)(a>0，且a≠1)
C．y＝logax2(a>0，且a≠1)
D．y＝ln
x
D [结合对数函数的形式y＝logax(a>0且a≠1)可知D正确．]
4．已知f(x)＝log3x.
(1)作出这个函数的图象；
(2)若f(a)[解] (1)作出函数y＝log3x的图象如图所示．
(2)令f(x)＝f(2)，
即log3x＝log32，解得x＝2.
由图象知：
当0所以所求a的取值范围为0PAGE第2课时 对数函数及其性质的应用
学
习
目
标
核
心
素
养
1.掌握对数函数的单调性，会进行同底对数和不同底对数大小的比较．(重点)2．通过指数函数、对数函数的学习，加深理解分类讨论、数形结合这两种重要数学思想的意义和作用．(重点)
1．通过学习对数函数的单调性的应用，培养逻辑推理素养．2．借助对数函数性质的综合应用的学习，提升逻辑推理及数学运算素养.
比较对数值的大小
【例1】 (教材改编题)比较下列各组值的大小：
(1)log5与log5；
(2)logeq
\s\do10()2与logeq
\s\do10()2；
(3)log23与log54；
(4)log52与logeq
\s\do10()3.
[解] (1)法一(单调性法)：对数函数y＝log5x在(0，＋∞)上是增函数，而<，所以log5法二(中间值法)：因为log5<0，
log5>0，
所以log5(2)法一(单调性法)：由于logeq
\s\do10()2＝，logeq
\s\do10()2＝，
又因对数函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，
且>，所以0>log2>log2，
所以<，所以logeq
\s\do10()2\s\do10()2.
法二(图象法)：如图，在同一坐标系中分别画出y＝logeq
\s\do10()x及y＝logeq
\s\do10()x的图象，由图易知：
logeq
\s\do10()2\s\do10()2.
(3)取中间值1，
因为log23>log22＝1＝log55>log54，
所以log23>log54.
(4)解：log52＞log51＝0，logeq
\s\do10()3＜logeq
\s\do10()1＝0，∴log52＞logeq
\s\do10()3.
比较对数值大小的常用方法
(1)同底数的利用对数函数的单调性．
(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化．
(3)底数和真数都不同，找中间量．
提醒：比较数的大小时先利用性质比较出与零或1的大小．
1.比较下列各组值的大小：
(1)logeq
\s\do10()0.5，logeq
\s\do10()0.6；
(2)log1.51.6，log1.51.4；
(3)log0.57，log0.67；
(4)log3π，log20.8.
[解] (1)因为函数y＝logeq
\s\do10()x是减函数，且0.5<0.6，所以logeq
\s\do10()0.5>logeq
\s\do10()0.6.
(2)因为函数y＝log1.5x是增函数，且
1.6>1.4，所以log1.51.6>log1.51.4.
(3)因为0>log70.6>log70.5，
所以<，
即log0.67(4)因为log3π>log31＝0，log20.8log20.8.
解对数不等式
【例2】 已知函数f(x)＝loga(x－1)，g(x)＝loga(6－2x)(a＞0，且a≠1)．
(1)求函数φ(x)＝f(x)＋g(x)的定义域；
(2)试确定不等式f(x)≤g(x)中x的取值范围．
思路点拨：(1)直接由对数式的真数大于0联立不等式组求解x的取值集合．
(2)分a＞1和0＜a＜1求解不等式得答案．
[解] (1)由解得1＜x＜3，∴函数φ(x)的定义域为{x|1＜x＜3}．
(2)不等式f(x)≤g(x)，即为loga(x－1)≤loga(6－2x)，
①当a＞1时，不等式等价于
解得1②当0＜a＜1时，不等式等价于
解得≤x<3.
综上可得，当a＞1时，不等式的解集为；
当0＜a＜1时，不等式的解集为.
常见的对数不等式的三种类型
?1?形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论；
?2?形如logax＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解；
?3?形如logax＞logbx的不等式，可利用图象求解.
2．(1)已知loga>1，求a的取值范围；
(2)已知log0.7(2x)[解] (1)由loga>1得loga>logaa.
①当a>1时，有a<，此时无解．
②当0所以a的取值范围是.
(2)因为函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上为减函数，
所以由log0.72x1.
即x的取值范围是(1，＋∞)．
对数函数性质的综合应用
[探究问题]
1．类比y＝af(x)单调性的判断法，你能分析一下y＝logeq
\s\do10()(2x－1)的单调性吗？
提示：形如y＝af(x)的单调性满足“同增异减”的原则，由于y＝logeq
\s\do10()(2x－1)由函数y＝logeq
\s\do10()t及t＝2x－1复合而成，且定义域为2x－1>0，即x>，结合“同增异减”可知，
y＝logeq
\s\do10()(2x－1)的减区间为.
2．如何求形如y＝logaf(x)的值域？
提示：先求y＝f(x)的值域，注意f(x)>0，在此基础上，分a>1和0【例3】 (1)已知y＝loga(2－ax)是[0,1]上的减函数，则a的取值范围为( )
A．(0,1)
B．(1,2)
C．(0,2)
D．[2，＋∞)
(2)函数f(x)＝logeq
\s\do10()(x2＋2x＋3)的值域是________．
思路点拨：(1)结合对数函数及y＝2－ax的单调性，构造关于a的不等式组，解不等式组可得．
(2)先求真数的范围，再根据对数函数的单调性求解．
(1)B (2)(－∞，－1] [(1)∵f(x)＝loga(2－ax)在[0,1]上是减函数，且y＝2－ax在[0,1]上是减函数，
∴
即∴
∴1＜a＜2.
(2)f(x)＝logeq
\s\do10()(x2＋2x＋3)＝logeq
\s\do10()[(x＋1)2＋2]，
因为(x＋1)2＋2≥2，
所以logeq
\s\do10()[(x＋1)2＋2]≤logeq
\s\do10()2＝－1，所以函数f(x)的值域是(－∞，－1]．]
1．求本例(2)的函数f(x)在[－3,1]上的值域．
[解] ∵x∈[－3,1]，
∴2≤x2＋2x＋3≤6，
∴logeq
\s\do10()6≤logeq
\s\do10()(x2＋2x＋3)≤logeq
\s\do10()2，
即－log26≤f(x)≤－1，
∴f(x)的值域为[－log26，－1]．
2．求本例(2)的单调区间．
[解] ∵x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2>0，
又y＝logeq
\s\do10()t在(0，＋∞)为减函数，
且t＝x2＋2x＋3在(－∞，－1)上为减函数，在[－1，＋∞)上为增函数，故由复合函数单调性可知，y＝logeq
\s\do10()
(x2＋2x＋3)单调递增区间为(－∞，－1)，单调递减区间为[－1，＋∞)．
1．已知对数型函数的单调性求参数的取值范围，要结合复合函数的单调性规律，注意函数的定义域求解；若是分段函数，则需注意两段函数最值的大小关系．
2．求对数型函数的值域一般是先求真数的范围，然后利用对数函数的单调性求解．
1．核心要点：比较两个对数值的大小及解对数不等式问题，其依据是对数函数的单调性，若对数的底数是字母且范围不明确，一般要分a>1和02．数学思想：解决与对数函数相关的问题时要树立“定义域优先”的原则，同时注意数形结合思想和分类讨论思想在解决问题中的应用．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)y＝log2x2在[0，＋∞)上为增函数．
( )
(2)y＝logeq
\s\do10()x2在(0，＋∞)上为增函数．
( )
(3)ln
x<1的解集为(－∞，e)．
( )
(4)函数y＝logeq
\s\do10()(x2＋1)的值域为[0，＋∞)．
( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
2．设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则( )
A．a>c>b
B．b>c>a
C．c>b>a
D．c>a>b
D [a＝log32log22＝1，由对数函数的性质可知log523．函数f(x)＝log2(1＋2x)的单调增区间是______．
[易知函数f(x)的定义域为，又因为函数y＝log2x和y＝1＋2x都是增函数，所以f(x)的单调增区间是.]
4．已知a＞0且满足不等式22a＋1＞25a－2.
(1)求实数a的取值范围；
(2)求不等式loga(3x＋1)(3)若函数y＝loga(2x－1)在区间[1,3]上有最小值为－2，求实数a的值．
[解] (1)∵22a＋1＞25a－2，∴2a＋1＞5a－2，即3a＜3，∴a＜1，即0＜a＜1.
(2)由(1)得，0＜a＜1，∵loga(3x＋1)∴
即解得即不等式的解集为.
(3)∵0＜a＜1，∴函数y＝loga(2x－1)在区间[1,3]上为减函数，∴当x＝3时，y有最小值为－2，即loga5＝－2，∴a－2＝＝5，解得a＝.
PAGE2.3 幂函数
学
习
目
标
核
心
素
养
1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式．(重点、易混点)2．结合幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝xeq
\s\up8()的图象，掌握它们的性质．(重点、难点)3．能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小．(重点)
1.结合幂函数的图象，培养直观想象的数学素养．2．借助幂函数的性质，提升逻辑推理的数学素养.
1．幂函数的概念
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
思考：幂函数与指数函数的自变量有何区别？
提示：幂函数是形如y＝xα(α∈R)，自变量在底数上，而指数函数是形如y＝ax(a>0且a≠1)，自变量在指数上．
2．幂函数的图象,
在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝xeq
\s\up8()，y＝x－1的图象如图所示：
3．幂函数的性质,
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝xeq
\s\up8()
y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
{x|x≠0}
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增函数
x∈[0，＋∞)时，增函数x∈(－∞，0]时，减函数
增函数
增函数
x∈(0，＋∞)时，减函数x∈(－∞，0)时，减函数
1．下列函数中不是幂函数的是( )
A．y＝ B．y＝x3 C．y＝3x D．y＝x－1
C [只有y＝3x不符合幂函数y＝xα的形式，故选C.]
2．已知f(x)＝(m＋1)x是幂函数，则m＝( )
A．2
B．1
C．3
D．0
D [由题意可知m＋1＝1，即m＝0，
∴f(x)＝x2.]
3．已知幂函数f(x)＝xα的图象过点，则f(4)＝
________.
[由f(2)＝可知2α＝，
即α＝－，
∴f(4)＝4－＝.]
幂函数的概念
【例1】 已知y＝(m2＋2m－2)xeq
\s\up8()＋2n－3是幂函数，求m，n的值．
[解] 由题意得解得
所以m＝－3，n＝.
判断一个函数是否为幂函数的方法
判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα?α为常数?的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：?1?指数为常数；?2?底数为自变量；?3?系数为1.
1.(1)在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
(2)若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝3f(2)，则f的值等于________．
(1)B (2) [(1)∵y＝＝x－2，
∴是幂函数；
y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数；
y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；
y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0,1)，所以常函数y＝1不是幂函数．
(2)设f(x)＝xα，∵f(4)＝3f(2)，∴4α＝3×2α，解得α＝log23，∴f＝＝.]
幂函数的图象及应用
【例2】 (教材改编题)点(，2)与点分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x为何值时，有：
(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)解：设f(x)＝xα，g(x)＝xβ.
∵()α＝2，(－2)β＝－，∴α＝2，β＝－1，
∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知，
(1)当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)；
(2)当x＝1时，f(x)＝g(x)；
(3)当x∈(0,1)时，f(x)解决幂函数图象问题应把握的两个原则
?1?依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在?0，1?上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴?简记为指大图低?；在?1，＋∞?上，指数越大，幂函数图象越远离x轴?简记为指大图高?.
?2?依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象?类似于y＝x－1或y＝xeq
\s\up8()或y＝x3?来判断.
2.(1)若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图，则a，b，c，d的大小关系是( )
A．d>c>b>a
B．a>b>c>d
C．d>c>a>b
D．a>b>d>c
(2)函数y＝xeq
\s\up8()－1的图象关于x轴对称的图象大致是( )
A B C D
(1)B (2)B [(1)令a＝2，b＝，c＝－，d＝－1，正好和题目所给的形式相符合．
在第一象限内，x＝1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以a>b>c>d.故选B.
(2)y＝xeq
\s\up8()的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数y＝xeq
\s\up8()－1的图象可看作由y＝xeq
\s\up8()的图象向下平移一个单位得到的(如选项A中的图所示)，将y＝xeq
\s\up8()－1的图象关于x轴对称后即为选项B.]
幂函数性质的综合应用
[探究问题]
1．幂函数y＝xα在(0，＋∞)上的单调性与α有什么关系？
提示：当α>0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增；当α<0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递减．
2．23.1和23.2可以看作哪一个函数的两个函数值？二者的大小关系如何？
提示：23.1和23.2可以看作函数f(x)＝2x的两个函数值，因为函数f(x)＝2x单调递增，所以23.1＜23.2.
3．2.3－0.2和2.2－0.2可以看作哪一个函数的两个函数值？二者的大小关系如何？
提示：2.3－0.2和2.2－0.2可以看作幂函数f(x)＝x－0.2的两个函数值，因为函数f(x)＝x－0.2在(0，＋∞)上单调递减，所以2.3－0.2＜2.2－0.2.
【例3】 比较下列各组中幂值的大小：
(1)30.8,30.7；(2)0.213,0.233；(3)2eq
\s\up8()，1.8eq
\s\up8()；
(4)1.2eq
\s\up8()，0.9eq
\s\up8(－)，.
思路点拨：构造幂函数或指数函数，借助其单调性求解．
[解] (1)∵函数y＝3x是增函数，且0.8＞0.7，
∴30.8>30.7.
(2)∵函数y＝x3是增函数，且0.21＜0.23，∴0.213<0.233.
(3)∵函数y＝xeq
\s\up8()是增函数，且2＞1.8，∴2eq
\s\up8()>1.8eq
\s\up8().
又∵y＝1.8x是增函数，且>，
∴1.8eq
\s\up8()>1.8eq
\s\up8()，∴2eq
\s\up8()>1.8eq
\s\up8().
(4)0.9－＝eq
\s\up8()，＝1.1eq
\s\up8().
∵1.2>>1.1，且y＝xeq
\s\up8()在[0，＋∞)上单调递增，
∴1.2eq
\s\up8()>eq
\s\up8()>1.1，
即1.2eq
\s\up8()>0.9eq
\s\up8(－)>.
把本例的各组数据更换如下，再比较其大小关系：
(1)与；
(2)与；
(3)eq
\s\up8()与eq
\s\up8().
[解] (1)因为幂函数y＝x0.5在[0，＋∞)上是单调递增的，
又>，所以>.
(2)因为幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的，
又－<－，所以>.
(3)因为函数y1＝为R上的减函数，又>，
所以eq
\s\up8()>eq
\s\up8().
又因为函数y2＝xeq
\s\up8()在(0，＋∞)上是增函数，且>，
所以eq
\s\up8()>eq
\s\up8()，
所以eq
\s\up8()>eq
\s\up8().
比较幂的大小的关键是弄清底数与指数是否相同.若底数相同，则利用指数函数的单调性比较大小；若指数相同，则利用幂函数的单调性比较大小；若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”，也可以是如例3?3?中的1.8eq
\s\up8()
1．核心要点：(1)幂函数的概念是区别指数函数及处理幂函数相关问题的依据．判断一个函数是否为幂函数，其关键是判断其是否符合y＝xα(α为常数)的形式．
(2)幂函数的单调性是比较幂值大小关系的重要依据，要学会用幂函数的图象及性质处理幂值大小的比较问题．
2．数学思想：幂函数的图象是幂函数性质的直观反映，会用类比的思想分析函数y＝xα(α为常数)同五个函数(y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝xeq
\s\up8())图象与性质的关系．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)幂函数的图象都过点(0,0)，(1,1)．
( )
(2)幂函数的图象一定不能出现在第四象限．
( )
(3)当幂指数α取1,3，时，幂函数y＝xα是增函数．
( )
(4)当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．幂函数的图象过点(2，)，则该幂函数的解析式是( )
A．y＝x－1
B．y＝xeq
\s\up8()
C．y＝x2
D．y＝x3
B [设f(x)＝xα，则2α＝，∴α＝，∴f(x)＝xeq
\s\up8().选B.]
3．函数y＝xeq
\s\up8()的图象是( )
A B
C D
C [∵函数y＝xeq
\s\up8()是非奇非偶函数，故排除A、B选项．又>1，故选C.]
PAGE第二章
基本初等函数（Ⅰ）
[巩固层·知识整合]
[提升层·题型探究]
指数与对数的运算
.
指数、对数的运算应遵循的原则,指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的.对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧.
1.设3x＝4y＝36，则＋的值为( )
A．6
B．3
C．2
D．1
D [由3x＝4y＝36得x＝log336，y＝log436，
∴＋＝2log363＋log364＝log369＋log364＝log3636＝1.]
基本初等函数的图象及应用
【例2】 (1)若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数正确的是( )
A B C D
(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝.
①如图，画出函数f(x)的图象；
②根据图象写出f(x)的单调区间，并写出函数的值域．
(1)B [由已知函数图象可得，loga3＝1，所以a＝3.A项，函数解析式为y＝3－x，在R上单调递减，与图象不符；C项中函数的解析式为y＝(－x)3＝－x3，当x>0时，y<0，这与图象不符；D项中函数解析式为y＝log3(－x)，在(－∞，0)上为单调递减函数，与图象不符；B项中对应函数解析式为y＝x3，与图象相符．故选B.]
(2)[解] ①先作出当x≥0时，f(x)＝的图象，利用偶函数的图象关于y轴对称，再作出f(x)在x∈(－∞，0)时的图象．
②函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为[0，＋∞)，值域为(0,1]．
1．识别函数的图象从以下几个方面入手：
(1)单调性：函数图象的变化趋势；
(2)奇偶性：函数图象的对称性；
(3)特殊点对应的函数值．
2．指数函数与对数函数图象经过定点的实质是a0＝1，loga1＝0.
2．函数y＝1＋logeq
\s\do10()(x－1)的图象一定经过点( )
A．(1,1)
B．(1,0)
C．(2,1)
D．(2,0)
C [把y＝logeq
\s\do10()x的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位即可得到y＝1＋logeq
\s\do10()(x－1)的图象，故其经过点(2,1)．]
比较大小
【例3】 若0A．3y<3x
B．logx3C．log4xD.<
C [因为0对于A，函数y＝3x在R上单调递增，故3x<3y，A错误．
对于B，根据底数a对对数函数y＝logax的影响：当0logy3，B错误．
对于C，函数y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，故log4x对于D，函数y＝在R上单调递减，故>，D错误．]
1．比较两数大小常用的方法有单调性法、图象法、中间值法等．
2．当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．
3．比较多个数的大小时，先利用“0”“1”作为分界点，然后在各部分内再利用函数性质比较大小．
4．含参数的问题，要根据参数的取值进行分类讨论．
3.设a＝log2π，b＝logeq
\s\do10()π，c＝π－2，则( )
A．a>b>c
B．b>a>c
C．a>c>b
D．c>b>a
C [∵a＝log2π>log22＝1，b＝logeq
\s\do10()π\s\do10()1＝0，c＝π－2＝，即0c>b，故选C.]
基本初等函数的性质
【例4】 (1)设函数f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，则f(x)( )
A．是偶函数，且在单调递增
B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增
D．是奇函数，且在单调递减
(2)已知a>0，a≠1且loga3>loga2，若函数f(x)＝logax在区间[a,3a]上的最大值与最小值之差为1.
①求a的值；
②若1≤x≤3，求函数y＝(logax)2－loga＋2的值域．
(1)D [由得函数f(x)的定义域为∪∪，其关于原点对称，因为f(－x)＝ln|2(－x)＋1|－ln|2(－x)－1|＝ln|2x－1|－ln|2x＋1|＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，排除A，C.当x∈时，f(x)＝ln(2x＋1)－ln(1－2x)，易知函数f(x)单调递增，排除B.当x∈时，f(x)＝ln(－2x－1)－ln(1－2x)＝ln＝ln，易知函数f(x)单调递减，故选D.]
(2)[解] ①因为loga3>loga2，所以f(x)＝logax在[a,3a]上为增函数．
又f(x)在[a,3a]上的最大值与最小值之差为1，
所以loga(3a)－logaa＝1，即loga3＝1，所以a＝3.
②函数y＝(log3x)2－log3＋2＝(log3x)2－log3x＋2＝＋.
令t＝log3x，因为1≤x≤3，
所以0≤log3x≤1，即0≤t≤1.
所以y＝＋∈，
所以所求函数的值域为.
1．把本例(1)的函数f(x)改为“f(x)＝ln(x＋)”，判断其奇偶性．
[解] ∵f(x)＝ln(x＋)，∴其定义域为R，
又f(－x)＝ln(－x＋)，
∴f(x)＋f(－x)＝ln(x＋)＋ln(－x＋)＝ln
1＝0，
∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
2．把本例(2)②中的函数改为“y＝a2x＋ax－1”，求其最小值．
[解] 由题意可知y＝32x＋3x－1，
令3x＝t，则t∈[3,27]，
∴f(t)＝t2＋t－1＝－，t∈[3,27]，
∴当t＝3时，f(t)min＝f(3)＝9＋3－1＝11.
1．研究函数的性质要树立定义域优先的原则．
2．换元法的作用是利用整体代换，将问题转化为常见问题．该类问题中，常设u＝logax或u＝ax，转化为一元二次方程、二次函数等问题．要注意换元后u的取值范围．
分类讨论思想的应用
【例5】 已知函数f(x)＝log3(ax－1)，a>0且a≠1.
(1)求该函数的定义域；
(2)若该函数的图象经过点M(2,1)，讨论f(x)的单调性并证明．
思路点拨：(1)分a>1和00；
(2)借助单调性的定义求证．
[解] (1)要使函数f(x)有意义，只需ax－1>0，即ax>1.
①当a>1时，解得x>0，
②当0故当a>1时，函数的定义域为(0，＋∞)；
当0(2)由f(2)＝1得，log3(a2－1)＝1，
∴a2＝4，即a＝2.
故函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
设x2>x1>0，则2x2>2x1>1，
即2x2－1>2x1－1>0，
∴>1，
∴log3>log31＝0，
即f(x2)－f(x1)>0.
∴f(x2)>f(x1)，
故f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
在解决底数中含字母参数的指数或对数函数问题时，常对底数进行分类讨论，一般分a>1与04.已知函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大，求a的值．
[解] ①若a>1，则f(x)是增函数，
∴f(x)在[1,2]上的最大值为f(2)，最小值为f(1)，
∴f(2)－f(1)＝，
即a2－a＝，
解得a＝.
②若0∴f(x)在[1,2]上的最大值为f(1)，最小值为f(2)，
∴f(1)－f(2)＝，即a－a2＝，
解得a＝.
综上所述，a＝或a＝.
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