6.3.5 平面向量数量积的坐标表示（教案）-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册

第六章 平面向量及其应用
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
一、教学目标
1.掌握平面向量数量积的坐标表示；?
2.会运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题；
3.通过对平面向量数量积的坐标表示的学习，培养学生数学抽象、数学运算等数学素养。
二、教学重难点
1．理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算．
2．能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式．
3．能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直．
三、教学过程：
1、复习回顾
平面向量的数量积以及向量线性坐标运算
2.探索新知
问题1.过对平面向量的数量积以及向量线性坐标运算的学习，你能否已根据两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，用a和b的坐标表示a·b?
生答：记a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
∴a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j
∴a·b＝(x1i＋y1j)(x2i＋y2j)＝x1x2i2＋(x1y2＋x2y1)i·j＋y1y1j2＝x1x2＋y1y2
重要结论：平面向量数量积的坐标表示
已知两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝ x1x2＋y1y2 ，即两个向量的数量积等于 它们对应坐标的乘积的和 ．
问题2.小组合作，请大家利用平面向量的数量积的坐标表示推导出向量模的坐标表示、两向量垂直的坐标表示以及两向量夹角的余弦公式？
生1答：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
则a⊥ba·b＝0x1x2＋y1y2＝0
生2答：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b?a·b＝|a||b|cos900＝0
生3答：设θ是a与b的夹角，则cos θ＝＝.
重要结论：平面向量坐标表示的几个公式
(1)向量模的坐标表示
若a＝(x，y)，则|a|2＝ x2＋y2 ，或|a|＝.
(2)两向量垂直的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b? x1x2＋y1y2＝0 .
(3)两向量夹角的余弦公式
设a，b是两个非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，则cos θ＝＝.
3.数学运用
例1.(1)已知向量，，若，则=________
(2)已知向量，，则与的夹角=________
解:(1)因为，所以，解得：，
(2)设与的夹角为，则，
又，，即与的夹角是.
变式训练：若向量，，则向量与的夹角的余弦值为_________
解:，，，
则，,，.
例2.已知向量，，若与的夹角是锐角，则求实数的取值范围；
解:由题意 ，即，，∴，
若，则，解得，综上的范围是．
变式训练：设平面向量，，若与的夹角为钝角，则求的取值范围.
解:因为与的夹角为钝角，且不反向， ， 即解得
当两向量反向时，存在使即，解得
所以的取值范围.
例3.如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=4，CD=8，若，，则求·.
解:
以为坐标原点，建立直角坐标系如图：
因为直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=4，CD=8，若，
所以，，，，所以，，
则．
小结：
1.平面向量数量积的坐标表示；
2.两个向量垂直的坐标表示；
3.运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题.
五、作业：习题6.3.5