6.4.3 第1课时 余弦定理（教案）-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册

第六章 平面向量及其应用
6.4.3 第1课时 余弦定理
一、教学目标
1.掌握证明余弦定理的向量方法，熟记公式；
2.掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题；
2.掌握余弦定理公式的变式，判别三角形形状；
4.通过对余弦定理的学习，培养学生数学抽象、数学运算、数学建模等数学素养。
二、教学重难点
1.余弦定理的发现和证明过程；
2.余弦定理在解三角形时如何进行边角互化。
三、教学过程：
1、创设情境：
量得岛A与岛C距离为1338m，量得岛A与岛B距离为700m，再利用仪器测出岛A对岛B和岛C（即线段BC）的张角，最后通过计算求出岛B和岛C的长度.
问题1：此实际问题如何转化为数学问题？
生答：如图，已知：边AB、 AC和角Ａ(两条边、一个夹角)，求边BC.
问题2:已知三角形两边分别为b和c,这两边的夹角为A，角A满足什么条件时较易求出第三边a？
教师就这个问题提出小组探究活动主题
2、探索新知
探究1.在三角形ABC中，三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，怎样用b，c和A表示a？
教师：将数学问题可以先特殊化，A=900，怎么解决？
生答：利用勾股定理。
问题3：你能利用向量证明勾股定理吗？
生答：由想到再平方处理得到。
问题4：勾股定理指出了直角三角形中的三条边之间的关系，如果是斜三角形，三条边之间的关系又是如何？学生小组活动探讨解决，投影展示学生探讨活动的成果。
利用，两边平方得到a2＝b2＋c2－2bccosA，
二. 建构数学
余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即
a2＝b2＋c2－2bccosA，
b2＝a2＋c2－2accosB，
c2＝a2＋b2－2abcosC
探究2：正弦定理结构的最大特点是什么？
等式两边均为齐次式，结构和谐体现了数学的和谐美
问题4：正弦定理里面包含了几个等式？每个等式中有几个量？
生答：3个等式 4个量
问题5：使用余弦定理解斜三角形？
应用1：已知两边和一个夹角，求第三边．
例1.在中，已知b=60cm，c=34cm， ，求（角度精准到 ，边长精确到1cm.）
解：由余弦定理，得
，所以，
变式训练：在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则求
解：在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，
可得．
探究3：余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，应用余弦定理，我们可以解决已知两边和一个夹角，求第三边，如果知道了三角形的三边能否确定三角形的角，怎么确定呢？
生答：，，
例2.已知的内角，，的对边分别为，，，若，，，则求。
解：由，，，
可得，
由，可得
变式训练：在中，内角，，所对的边长分别为，，，如果，，，那么最大内角的余弦值等于　　
A． B． C． D．
解：在中，，，，
是三角形中的最大角，
则，
即的最大内角的余弦值为．故选：．
例3.（1）在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝（ ）
A．4　　　　　　　 B.
C. D．2
解：由余弦定理知b2＝a2＋c2－2accos B.
∴2＝3＋c2－2·c.即c2－c＋1＝0.
解得c＝或c＝，当c＝时，由余弦定理得
cos A＝＝＝.
∵0°当c＝时，由余弦定理得
cos A＝＝＝－.
∵0°故c＝，A＝60°，C＝75°或c＝，A＝120°，C＝15°.
（2）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcos C＋ccos B＝2b，则＝________.
解：由余弦定理得bcos C＋ccos B＝b·＋c·＝＝a，
所以a＝2b，即＝2.
（3）在△ABC中，若lg(a＋c)＋lg(a－c)＝lg b－lg，则 A＝________.
解：由题意可知lg(a＋c)(a－c)＝lg b(b＋c)，
所以(a＋c)(a－c)＝b(b＋c)．即b2＋c2－a2＝－bc.
所以cos A＝＝－.
又0°（4）在△ABC中，sin2＝(a，b，c分别为角A，B，C的对应边)，则△ABC的形状为(　　)
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
解：∵sin2＝＝，
∴cosA＝＝?a2＋b2＝c2，符合勾股定理．
故△ABC为直角三角形．
四、小结：
余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即
a2＝b2＋c2－2bccosA，
b2＝a2＋c2－2accosB，
c2＝a2＋b2－2abcosC
变形：，，
应用:（1）已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；
（2）已知三角形的三条边就可以求出其它角。
方法:(1)从特殊到一般的方法；(2)向量法证明余弦定理。
五、作业：习题6.4.3