6.4.3 第2课时 正弦定理（教案）-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册

第六章 平面向量及其应用
6.4.3 第2课时 正弦定理
一、教学目标
1. 了解正弦定理的多种证明方法，尤其是向量证明法；?
2.掌握正弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；
3.通过对正弦定理的学习，培养学生数学抽象、数学运算、数学建模等数学素养。
二、教学重难点
1.利用正弦定理解决一些简单的三角形度量问题；
2. 正弦定理的证明，正弦定理在解三角形时应用思路。
三、教学过程：
1、创设情境：
某游览风景区欲在两山之间架设一条观光索道,现要测的两山之间B、C两点的距离,如何求得B、C两点的距离?现在岸边选定1公里的基线AB,并在A点处测得∠A=600，在C点测得∠C=450,如何求得B.C两点的距离?
学生活动1
探究1：你能把它转化成数学问题，写出已知量和要求的量吗？
学生活动2
探究2：在中，如何求边BC的长呢？回忆一下直角三角形的边角关系?（C为直角）
如右图，中的边角关系：
________；________； ____=1____；
∴____c____；____c____；____c____；
∴__________________________________
那么，上述结论，如何证明？
（学生小组活动探究）
探究3：这个关系式对任意也成立吗
二. 建构数学
探究4：如何证明这个等式？（教师点拨）
(作高法)
在ΔABC中，角A、B、C的对边为a、b、c，
1.在RtΔABC中，∠C=900, csinA=a,csinB=b，即 = 。
2. 在锐角ΔABC中，过C做CD⊥AB于D，则|CD|==，即 ，同理得 ，故有 。
3. 在钝角ΔABC中，∠B为钝角，过C做CD⊥AB交AB的延长线D，则|CD|==，即 ，故有。
（学生小组活动探究）
（向量法）过作单位向量垂直于，由+，两边同乘以单位向量得?(+?，则?+??
∴||?||cos90+||?||cos(90)=| |?||cos(90)
∴ ∴=
同理，若过作垂直于得：= ∴
探究5：还有其它的证明方法吗？课后尝试用其它方法来证明!
正弦定理：在一个三角形中。各边和它所对角的正弦比相等，即：==它适合于任何三角形。
探究6：正弦定理结构的最大特点是什么？
____结构和谐、对称体现了数学的和谐美与对称美_____________________
探究7：正弦定理里面包含了几个等式？
生答：3个 ，=，
每个等式中有几个量？
生答：4个
解斜三角形是指由六个元素(三条边和三个角)中的三个元素(至少有一个是边)，求其余三个未知元素的过程。
学生活动3 如图下列哪些可以直接使用正弦定理解三角形？
归纳使用正弦定理解三角形的条件:_____（1）已知两角及任一边，求其他两边和一角___________________________________
___（2）已知两边和其中一边对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）______
三. 数学应用
例1. 某游览风景区欲在两山之间架设一条观光索道,现要测的两山之间B、C两点的距离,如何求得B、C两点的距离?现在岸边选定1公里的基线AB,并在A点处测得∠A=600，在C点测得∠C=450,如何求得B.C两点的距离?
解：由正弦定理得，，所以
答：
变题:在△ABC中，已知b=10, A=60,C=45,求角B,a和c
答案：B=1050 ,a=;c=
总结:此问题归为已知两角和任一边求其他两边和一角
例2.在△ABC中，已知a=16， b=， A=，求角B，C和边c
解：由正弦定理得
解得
所以
变题: 在△ABC中，已知a=16，b=， B=45° .求角A，C和边c
解：由正弦定理得
解得
法一、
法二、
总结:此问题归为已知两边和其中一边对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）
四、小结：
正弦定理：
应用:（1）已知两角及任一边，求其他两边和一角；
（2）已知两边和其中一边对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）。
方法:(1)从特殊到一般的方法；(2)作高法证明正弦定理； (3)向量法证明正弦定理。
五、作业：习题6.4.3