6.4.3 第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例（教案）-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册

第六章 平面向量及其应用
6.4.3 第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例
一、教学目标
1.了解实际问题中常用的测量相关术语，能够运用余弦定理、正弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离、高度、角度的实际问题；
2.通过对余弦定理、正弦定理应用的学习，培养学生数学抽象、数学运算、数学建模等数学素养。
二、教学重难点
1.由实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解；
2.由实际问题建立数学模型，画出示意图。
三、教学过程：
1、创设情境：
如图所示， A，B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A，B两点间的距离的方法.并求出A，B间的距离。
教师提出本节课解决的问题---------应用余弦定理、正弦定理解决实际问题
探究1：你能把它转化成数学问题，写出已知量和要求的量吗？
测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD=a，并且在C，D两点分别测得∠BCA=α，∠ACD=β，∠CDB=γ， ∠BDA=δ，
问题1：如何求AB间的距离？
学生小组活动探究
二. 建构数学
1．（1）基线的概念
在测量中，根据测量需要适当确定的线段叫做基线
（2）选择原则
在测量过程中，应根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．
2．测量中的有关角的概念
(1)仰角和俯角
如下图所示，与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角。
(2)方向角
如下图所示，从指定方向线到目标方向线所成的水平角．如南偏西60°，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.
三. 数学应用
例1 完成探究1
解：在△ADC和△BDC中，应用正弦定理得
于是，在△ABC中，应用余弦定理可得A，B两点间的距离
变式训练：1.如图，设，两点在河的两岸，在所在河岸边选一定点，测量的距离为，，，则，两点间的距离是　　．
解：，，，
在三角形中，由正弦定理，得，
，
、两点的距离为，
2.如图，地面四个5G中继站A、B、C、D，已知，，，，则A、B两个中继站的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得，，
在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得，
在中，由余弦定理得
，所以.
例2 图，在点和点测得淮安电视塔塔顶的仰角分别为和（点、与塔底在同一直线上）又测得米，根据所测数据可求淮安电视塔的高度.
解:，，，
在三角形中，由正弦定理，得，
，
、两点的距离为，
答：淮安电视塔的高度50m．
变式训练：如图所示，要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，求电视塔的高度．
解：设电视塔AB的高为x，
则在Rt△ABC中，
由∠ACB＝45°，得BC＝x.
在Rt△ADB中，∠ADB＝30°，∴BD＝x.
在△BDC中，由余弦定理，得
BD2＝BC2＋CD2－2BC×CDcos120°，
即(x)2＝x2＋402－2·x·40·cos120°，
解得x＝40，
答：电视塔的高为40 m.
例3.如图，A、B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，试求：
则求救援船到达D点所需要的时间．
【答案】1小时.
【解析】由题意可知：在中，，，则，
由正弦定理得：，
由，
代入上式得：，轮船D与观测点B的距离为海里.
在中，，，，
由余弦定理得：
，
，，
即该救援船到达点所需的时间小时.
故答案为:1小时.
变式训练：如图所示，甲船以每小时30 海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B2处，此时两船相距10 海里．乙船每小时航行_____________海里
【答案】30
【解析】连接A1B2，由题意知，A1B1＝20，A2B2＝10，A1A2＝×30 ＝10 (海里)．又∵∠B2A2A1＝180°－120°＝60°，∴△A1A2B2是等边三角形，
∠B1A1B2＝105°－60°＝45°.
在△A1B2B1中，由余弦定理得B1B＝A1B＋A1B－2A1B1·A1B2cos 45°＝202＋(10)2－2×20×10×＝200，∴B1B2＝10(海里)．
因此乙船的速度大小为×60＝30(海里/小时)．
故答案为:30海里/小时
四、小结：
余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即
a2＝b2＋c2－2bccosA，
b2＝a2＋c2－2accosB，
c2＝a2＋b2－2abcosC
变形：，，
应用:（1）已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；
（2）已知三角形的三条边就可以求出其它角。
正弦定理：
应用:（1）已知两角及任一边，求其他两边和一角；
已知两边和其中一边对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）。

题型:(1)距离问题；(2)底部不可到达的建筑物的高度； (3)角度问题。
五、作业：习题6.4.3