第六章
平面向量及其应用
6.4.3第一课时余弦定理
(基础篇）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝( )
A.
B．
C.
D.
2．在中所对的边分别是，若，则（
）
A．37
B．13
C．
D．
3．在中，分别是角的对边，，则角的正弦值为（
）
A．1
B．
C．
D．
4．在中，角，，所对的边分别为，，，若，则的形状为（
）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不确定
5.若△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，CA＝6，则·的值为( )
A.19
B.14
C.－18
D.－19
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2，c＝2，cos
A＝，则b＝( )
A．2
B．3
C．4
D．2
7.在中，已知，，则形状不可能为
（
）
A．等边三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2＋c2－b2)tan
B＝ac，则角B的大小为( )
A.
B.
C.
D.
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．在中，若，则角_______
10．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若cos
A＝，b＋c＝2a，则△ABC的形状为________．
11．在中，已知，，边上的中线长，则
．
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，2cos(A＋B)＝1.
(1)求角C的度数；
(2)求AB的长.
13．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a－c)2＝b2－ac.
(1)求cos
B的值；
(2)若b＝，且a＋c＝2b，求ac的值．
14．在中，、、分别为角、、的对边，且。
(1)求角的大小；
(2)设函数，当取最大值时，判断的形状。第六章
平面向量及其应用
6.4.3第一课时余弦定理
(基础篇）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝( )
A.
B．
C.
D.
【答案】C
【解析】 因为在△ABC中，设AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，所以由余弦定理得cos∠BAC＝＝＝－，因为∠BAC为△ABC的内角，所以∠BAC＝.故选：C.
2．在中所对的边分别是，若，则（
）
A．37
B．13
C．
D．
【答案】D
【解析】∵，
∴，
∴，故选：D．
3．在中，分别是角的对边，，则角的正弦值为（
）
A．1
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意知，整理得，
由余弦定理，可得，
又由，所以，所以.故选：A.
4．在中，角，，所对的边分别为，，，若，则的形状为（
）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不确定
【答案】C
【解析】因为，所以，所以，所以的形状为钝角三角形.故选：C
5.若△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，CA＝6，则·的值为( )
A.19
B.14
C.－18
D.－19
【答案】D
【解析】设三角形的三边分别为a，b，c，
依题意得，a＝5，b＝6，c＝7.
∴·＝||·||·cos(π－B)＝－ac·cos
B.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cos
B，
∴－ac·cos
B＝(b2－a2－c2)＝(62－52－72)＝－19，
∴·＝－19.故选：D
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2，c＝2，cos
A＝，则b＝( )
A．2
B．3
C．4
D．2
【答案】AC
【解析】由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos
A，∴4＝b2＋12－6b，即b2－6b＋8＝0，∴b＝2或b＝4.故选：AC
7.在中，已知，，则形状不可能为
（
）
A．等边三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
【答案】BCD．
【解析】由余弦定理，得，因为，，所以
，化为，得，所以为等边三角形．故选:BCD．
8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2＋c2－b2)tan
B＝ac，则角B的大小为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】BC
【解析】∵(a2＋c2－b2)tan
B＝ac，∴tan
B＝，即cos
Btan
B＝，sin
B＝，B＝或B＝.故选：BC
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．在中，若，则角_______
【答案】．
【解析】由，得，由余弦定理，得
，所以，得，又，所以．故答案为:．
10．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若cos
A＝，b＋c＝2a，则△ABC的形状为________．
【答案】等边三角形
【解析】由余弦定理及cos
A＝得＝，∴b2＋c2－a2＝bc.
∵b＋c＝2a，∴a＝，∴b2＋c2－()2＝bc，即(b－c)2＝0，
∴b＝c，于是a＝b＝c.∴△ABC为等边三角形．
故答案为:等边三角形
11．在中，已知，，边上的中线长，则
．
【答案】．
【解析】如图，
设，在中，由余弦定理，得
，在中，由余弦定理，得
，由，得，化为，解得，所以．故答案为:9.
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，2cos(A＋B)＝1.
(1)求角C的度数；
(2)求AB的长.
【答案】(1)120°;(2).
【解析】 (1)cos
C＝cos[180°－(A＋B)]
＝－cos(A＋B)＝－.
又∵0°(2)∵a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，
∴
∴AB2＝a2＋b2－2abcos
120°＝(a＋b)2－ab＝10，
∴AB＝.
13．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a－c)2＝b2－ac.
(1)求cos
B的值；
(2)若b＝，且a＋c＝2b，求ac的值．
【答案】(1);(2)12.
【解析】(1)由(a－c)2＝b2－ac，可得a2＋c2－b2＝ac.所以＝，即cos
B＝.
因为b＝，cos
B＝，由余弦定理，得b2＝13＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－ac，又a＋c＝2b＝2，
所以13＝52－ac，解得ac＝12.
14．在中，、、分别为角、、的对边，且。
(1)求角的大小；
(2)设函数，当取最大值时，判断的形状。
【解析】(1)在中，根据余弦定理：，而，∴；
(2)由题意可知，
即，则，
∵，∴当，即，又，∴，
∴取最大值，此时是直角三角形。
