第六章
平面向量及其应用
6.3.1平面向量基本定理
(提升篇）
一、选择题（共6小题，满分30分，每小题5分）
1．河中水流自西向东每小时10
km，小船自南岸A点出发，想要沿直线驶向正北岸的B点，并使它的实际速度达到每小时10
km，该小船行驶的方向和静水速度分别为( )
A.西偏北30°，速度为20
km/h
B.北偏西30°，速度为20
km/h
C.西偏北30°，速度为20
km/h
D.北偏西30°，速度为20
km/h
【答案】B
【解析】由题意得
，方向为北偏西30°，故选：B
2．物体受到一个水平向右的力及与它成角的另一个力的作用已知的大小为2N，它们的合力与水平方向成角，则的大小为（
）
A.
3N
B.
C.
2N
D.
【答案】C
【解析】令，，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，
则表示合力，，
结合题意可知，，则，
因为，所以，
所以，即，
所以．故的大小为2N．故选:C．
3．某人骑自行车的速度是v1,风速为v2,则逆风行驶的速度为( )
A.v1-v2
B.v1+v2
C.|v1|-|v2|
D.
【答案】B
【解析】由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v1+v2.注意速度是有方向和大小的,是一个向量.故选:B．
4．平面上有两个向量今有动点P从开始沿着与向量相同的方向做匀速直线运动，速度的大小为；另一动点Q从点出发，沿与向量相同的方向做匀速直线运动，速度的大小为，设在时刻秒时分别在处，则当时，________秒?（
）
A.
B.
2
C.
3
D.
4
【答案】B
【解析】，，．
又，，
，．
当t时刻时，点P的位置为，点Q位置为，
，，
，
．故选:B．
5.体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运动处于如图所示的平衡状态时,若两只胳膊的夹角为60°,每只胳膊的拉力大小均为400
N,则该学生的体重约为(参考数据:重力加速度的大小为g=10
N/kg,≈1.732)( )
A.63
kg
B.69
kg
C.75
kg
D.81
kg
【答案】B
【解析】设两只胳膊的拉力分别为F1,F2,学生的体重为m
kg,
则mg=|F1+F2|
=
=
=400≈692.8,可得m≈69
kg.故选:B.
6．(多选题)在日常生活中，我们会看到两人共提一个行李包的情境如下图假设行李包所受重力为G，两个拉力分别为，，若，与的夹角为则以下结论正确的是（
）
A.
的最小值为
B.
的范围为
C.
当时，
D.
当时，
【答案】ACD
【解析】，
，
，
．
对于当?时，的最小值为，故A正确；
对于当时竖直方向上没有分力与重力平衡，不成立故?，所以B错；
对于当时，，故C正确；
对于当时，，故选：ACD
二、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
7．已知两恒力F1＝(3，4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20，15)移动到点B(7，0)，则F1，F2的合力F对质点所做的功为
．
【答案】－102(焦)
【解析】W＝F·＝(F1＋F2)·＝[(3，4)＋(6，－5)]·(－13，－15)＝(9，－1)·(－13，－15)＝9×(－13)＋(－1)×(－15)＝－117＋15＝－102(焦)．
8．一艘船以4
km/h的速度与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2
km/h，则经过h，则船实际航程为_____km
【答案】6
【解析】设船的速度为，水的速度为，则船的实际航行速度为，于是有
==12
=船实际航程为=6。故答案为：6.
9．如图,一个力F作用于小车G,使小车G发生了40米的位移,F的大小为50
N,且与小车的位移方向的夹角为60°,e是与小车位移方向相同的单位向量,则F在小车位移上的投影向量为 ,力F做的功为 .?
【答案】25e;1
000
J
【解析】 ∵|F|=50,且F与小车的位移方向的夹角为60°,
∴F在小车位移上的投影向量为|F|·cos
60°e=25e.
∵力F作用于小车G,使小车G发生了40米的位移,
∴力F做的功W=25×40=1
000(J).
四、解答题：（本题共3小题，共55分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
10．已知图中电线AO与天花板的夹角为，电线AO所受拉力的大小为24N；绳BO与墙壁垂直，所受拉力的大小为求和的合力．
【答案】答案见解析
【解析】由题意做出受力分析图：
在直角三角形中，，即为合力，
．方向竖直向上．
11．如图，已知河水自西向东流速为，设某人在静水中游泳的速度为，在流水中实际速度为．
若此人朝正南方向游去，且，求他实际前进方向与水流方向的夹角和的大小；
若此人实际前进方向与水流垂直，且，求他游泳的方向与水流方向的夹角和的大小．
【答案】答案见解析
【解析】设，，，
则由题意知，，
根据向量加法的平行四边形法则得四边形OACB为平行四边形．
由此人朝正南方向游去得四边形OACB为矩形，且，如下图所示：
则在直角中，，
，又，所以；
由题意知，且，，如下图所示，
则在直角中，，
，
又，所以，
则，
12．如图所示,一条河的两岸互相平行,河的宽度d=500
m,一艘船从A点出发航行到河对岸,船航行速度的大小为|v1|=10
km/h,水流速度的大小为|v2|=4
km/h,设v1和v2的夹角为θ(0°<θ<180°).
(1)当cos
θ多大时,船能垂直到达对岸?
(2)当船垂直到达对岸时,航行所需时间是否最短?为什么?
【答案】答案见解析
【解析】(1)船垂直到达对岸,即v1+v2与v2垂直,即(v1+v2)·v2=0.
所以v1·v2+=0,即|v1||v2|cos
θ+|v2|2=0,所以40cos
θ+16=0,解得cos
θ=-.
(2)设船航行到对岸所需的时间为t,
则t===(h).
故当θ=90°时,船的航行时间最短,为
h.故当船垂直到达对岸时,航行所需时间不是最短的.第六章
平面向量及其应用
6.3.1平面向量基本定理
(提升篇）
一、选择题（共6小题，满分30分，每小题5分）
1．河中水流自西向东每小时10
km，小船自南岸A点出发，想要沿直线驶向正北岸的B点，并使它的实际速度达到每小时10
km，该小船行驶的方向和静水速度分别为( )
A.西偏北30°，速度为20
km/h
B.北偏西30°，速度为20
km/h
C.西偏北30°，速度为20
km/h
D.北偏西30°，速度为20
km/h
2．物体受到一个水平向右的力及与它成角的另一个力的作用已知的大小为2N，它们的合力与水平方向成角，则的大小为（
）
A.
3N
B.
C.
2N
D.
3．某人骑自行车的速度是v1,风速为v2,则逆风行驶的速度为( )
A.v1-v2
B.v1+v2
C.|v1|-|v2|
D.
4．平面上有两个向量今有动点P从开始沿着与向量相同的方向做匀速直线运动，速度的大小为；另一动点Q从点出发，沿与向量相同的方向做匀速直线运动，速度的大小为，设在时刻秒时分别在处，则当时，________秒?（
）
A.
B.
2
C.
3
D.
4
5.体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运动处于如图所示的平衡状态时,若两只胳膊的夹角为60°,每只胳膊的拉力大小均为400
N,则该学生的体重约为(参考数据:重力加速度的大小为g=10
N/kg,≈1.732)( )
A.63
kg
B.69
kg
C.75
kg
D.81
kg
6．(多选题)在日常生活中，我们会看到两人共提一个行李包的情境如下图假设行李包所受重力为G，两个拉力分别为，，若，与的夹角为则以下结论正确的是（
）
A.
的最小值为
B.
的范围为
C.
当时，
D.
当时，
二、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
7．已知两恒力F1＝(3，4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20，15)移动到点B(7，0)，则F1，F2的合力F对质点所做的功为
．
8．一艘船以4
km/h的速度与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2
km/h，则经过h，则船实际航程为_____km
9．如图,一个力F作用于小车G,使小车G发生了40米的位移,F的大小为50
N,且与小车的位移方向的夹角为60°,e是与小车位移方向相同的单位向量,则F在小车位移上的投影向量为 ,力F做的功为 .?
四、解答题：（本题共3小题，共55分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
10．已知图中电线AO与天花板的夹角为，电线AO所受拉力的大小为24N；绳BO与墙壁垂直，所受拉力的大小为求和的合力．
11．如图，已知河水自西向东流速为，设某人在静水中游泳的速度为，在流水中实际速度为．
若此人朝正南方向游去，且，求他实际前进方向与水流方向的夹角和的大小；
若此人实际前进方向与水流垂直，且，求他游泳的方向与水流方向的夹角和的大小．
12．如图所示,一条河的两岸互相平行,河的宽度d=500
m,一艘船从A点出发航行到河对岸,船航行速度的大小为|v1|=10
km/h,水流速度的大小为|v2|=4
km/h,设v1和v2的夹角为θ(0°<θ<180°).
(1)当cos
θ多大时,船能垂直到达对岸?
(2)当船垂直到达对岸时,航行所需时间是否最短?为什么?
