第六章
平面向量及其应用
6.4.1
平面几何中的向量方法
(提升篇)
一、单选题(共5小题,满分25分,每小题5分)
1.如图,正方形中,是的中点,若,则(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】以为坐标原点建立平面直角坐标系,设正方形边长为,
由此,,故,
解得.故选:B。
2.在梯形中,,,,,若点在线段上,则的最小值为(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】建立如图所示平面直角坐标系:
因为,,,,
所以,
设
所以,
所以,,
所以,
当时,的最小值为,故选:B.
3.已知边长为2的菱形中,点为上一动点,点满足,,则的最小值为(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】由题意知:,设,
∴
,∴.
以与交点为原点,为轴,为轴建立如下图所示的平面直角坐标系:
∴,,设,则,,
∴,
当时,的最小值为,故选:D。
4.已知是非零向量,且满足,则的形状为(
)
A.等腰(非等边)三角形
B.直角(非等腰)三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
【答案】C
【解析】∵,∴,
即.
∵,∴,
即,
∴,即.
∵,∴,∴为等边三角形.故选:C
5.设为所在平面内一点,满足,则的面积与的面积的比值为(
)
A.6
B.
C.
D.4
【答案】A
【解析】作,,,如图,∵,∴是的重心,则,设,
设,
∵,,,
∴,即,同理,,
,
∴.故选:A。
二、多选题(共3小题,满分15分,每小题5分,少选得3分,多选不得分)
6.已知平面向量、、为三个单位向量,且,若(),则的可能取值为(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】ABC
【解析】依题意,、是一组垂直的单位向量,如图建立坐标系,向量、作为一组垂直的单位基底可以表示单位圆上任一点C(表示由x轴非负半轴旋转到OC所形成的角)构成的向量,,
因为,,,,
所以,故,,
故,故可以是选项中的0,1,.
故选:ABC。
7.设点的外心,且R,那么下列命题为真命题的是
A.
若,则
B.
若,则
C.
若,,,则四边形AOBC的面积是5
D.
若且,则的最大值是
【答案】ACD
【解析】如图,
对于选项A:?,?,则点?三点共线,又直角三角形的外心在斜边上,故?,A正确;
对于选项B:若?,则点?三点共线,故?中,?,此时?O为?AB的中点,则?,不满足?,B错误;
对于选项C:?,则点?O在?外,又?,即?,所以?,C正确;
对于选项D:?,即??,因为?,平方则有??,化简得?,即???当?时取,故有?舍掉,故?,D正确,故选ACD.
8.已知是边长为2的等边三角形,D、E分别是AC,AB上的两点,且,,BD与CE交于点O,则下列说法正确的是?
?
A.
B.
C.
D.
在方向上的投影为
【答案】BCD
【解析】由题意可知,E为AB中点,则,
则以E为原点,EA,EC分别为x轴,y轴正方向建立平面直角坐标系.
所以,,,,,
设,.
因为,,而,
所以,解得.
所以,所以O是CE的中点.
对于选项A项,,所以,故A项错误.
对于选项B项,因为O是CE的中点,所以,故B项正确.
对于选项C项,,所以,故C项正确.
对于选项D项,,,所以在方向上的投影为:
,故D项正确.故选:BCD.
三、填空题(共3小题,满分15分,每小题5分,一题两空,第一空2分)
9.如图,在中,是的中点,在边上,且,若,则的值为 .
【解析】是的中点,在边上,且,
,,
,
,
,.故答案为:.
10.在中,,,为所在平面上任意一点,则的最小值为________
【答案】-1
【解析】如图,以为建立平面直角坐标系,则,设,,,,,
,
∴当时,取得最小值.故答案为:-1.
11.如图,在四边形中,,,且,则实数的值为_________,若是线段上的动点,且,则的最小值为_________.
【答案】
【解析】,,,
,
解得,
以点为坐标原点,所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系,
,
∵,∴的坐标为,
∵又∵,则,设,则(其中),
,,
,
所以,当时,取得最小值.
故答案为:;.
四、解答题:(本题共3小题,共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
12.如图,,,,且.
(1)求与间的关系式;
(2)若,求与的值及四边形的面积.
【答案】(1);(2)或,16.
【解析】(1)∵,,,
∴,
∵,∴,
∴.
(2),,
∵,∴,即,
又∵,∴解得或.
∴,或,,
又∵,∴四边形的面积为.
13.如图所示,以两边为边向外作正方形和,为的中点.求证:.
【答案】证明见解析
【解析】因为是的中点,所以.
又因为,
所以
,
所以,即.
14.在中,底边上的中线,若动点满足.
(1)求的最大值;
(2)若为等腰三角形,且,点满足(1)的情况下,求的值.
【答案】(1)8;(2)-5.
【解析】(1)且
三点共线,又
在线段上
为的中点,设,则,,
当时,取最大值
(2)为等腰三角形,且为底边的中线
以为坐标原点,,所在直线分别为,轴建立平面直角坐标系
由(1)可得,又
,
则第六章
平面向量及其应用
6.4.1
平面几何中的向量方法
(提升篇)
一、单选题(共5小题,满分25分,每小题5分)
1.如图,正方形中,是的中点,若,则(
)
A.
B.
C.
D.
2.在梯形中,,,,,若点在线段上,则的最小值为(
)
A.
B.
C.
D.
3.已知边长为2的菱形中,点为上一动点,点满足,,则的最小值为(
)
A.
B.
C.
D.
4.已知是非零向量,且满足,则的形状为(
)
A.等腰(非等边)三角形
B.直角(非等腰)三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
5.设为所在平面内一点,满足,则的面积与的面积的比值为(
)
A.6
B.
C.
D.4
二、多选题(共3小题,满分15分,每小题5分,少选得3分,多选不得分)
6.已知平面向量、、为三个单位向量,且,若(),则的可能取值为(
)
A.
B.
C.
D.
7.设点的外心,且R,那么下列命题为真命题的是
A.
若,则
B.
若,则
C.
若,,,则四边形AOBC的面积是5
D.
若且,则的最大值是
8.已知是边长为2的等边三角形,D、E分别是AC,AB上的两点,且,,BD与CE交于点O,则下列说法正确的是?
?
A.
B.
C.
D.
在方向上的投影为
三、填空题(共3小题,满分15分,每小题5分,一题两空,第一空2分)
9.如图,在中,是的中点,在边上,且,若,则的值为
.
10.在中,,,为所在平面上任意一点,则的最小值为________
11.如图,在四边形中,,,且,则实数的值为_________,若是线段上的动点,且,则的最小值为_________.
四、解答题:(本题共3小题,共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
12.如图,,,,且.
(1)求与间的关系式;
(2)若,求与的值及四边形的面积.
13.如图所示,以两边为边向外作正方形和,为的中点.求证:.
14.在中,底边上的中线,若动点满足.
(1)求的最大值;
(2)若为等腰三角形,且,点满足(1)的情况下,求的值.