第六章
平面向量及其应用
6.4.1
平面几何中的向量方法
(提升篇）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1．如图，正方形中，是的中点，若，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】以为坐标原点建立平面直角坐标系，设正方形边长为，
由此，，故，
解得.故选:B。
2．在梯形中，，，，，若点在线段上，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】建立如图所示平面直角坐标系：
因为，，，，
所以，
设
所以，
所以，，
所以，
当时，的最小值为，故选：B.
3．已知边长为2的菱形中，点为上一动点，点满足，，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意知：，设，
∴
，∴.
以与交点为原点，为轴，为轴建立如下图所示的平面直角坐标系：
∴，，设，则，，
∴，
当时，的最小值为,故选:D。
4．已知是非零向量，且满足，则的形状为（
）
A．等腰（非等边）三角形
B．直角（非等腰）三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
【答案】C
【解析】∵，∴，
即.
∵，∴，
即，
∴，即.
∵，∴，∴为等边三角形.故选:C
5.设为所在平面内一点，满足，则的面积与的面积的比值为（
）
A．6
B．
C．
D．4
【答案】A
【解析】作，，，如图，∵，∴是的重心，则，设，
设，
∵，，，
∴，即，同理，，
，
∴．故选:A。
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．已知平面向量、、为三个单位向量，且，若（），则的可能取值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【解析】依题意，、是一组垂直的单位向量，如图建立坐标系，向量、作为一组垂直的单位基底可以表示单位圆上任一点C（表示由x轴非负半轴旋转到OC所形成的角）构成的向量，，
因为，，，，
所以，故，，
故，故可以是选项中的0，1，.
故选:ABC。
7.设点的外心，且R，那么下列命题为真命题的是
A.
若，则
B.
若，则
C.
若，，，则四边形AOBC的面积是5
D.
若且，则的最大值是
【答案】ACD
【解析】如图，
对于选项A：?，?，则点?三点共线，又直角三角形的外心在斜边上，故?，A正确；
对于选项B：若?，则点?三点共线，故?中，?，此时?O为?AB的中点，则?，不满足?，B错误；
对于选项C：?，则点?O在?外，又?，即?，所以?，C正确；
对于选项D：?，即??，因为?，平方则有??，化简得?，即???当?时取，故有?舍掉，故?，D正确，故选ACD.
8．已知是边长为2的等边三角形，D、E分别是AC，AB上的两点，且，，BD与CE交于点O，则下列说法正确的是?
?
A.
B.
C.
D.
在方向上的投影为
【答案】BCD
【解析】由题意可知，E为AB中点，则，
则以E为原点，EA，EC分别为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系．
所以，，，，，
设，．
因为，，而，
所以，解得．
所以，所以O是CE的中点．
对于选项A项，，所以，故A项错误．
对于选项B项，因为O是CE的中点，所以，故B项正确．
对于选项C项，，所以，故C项正确．
对于选项D项，，，所以在方向上的投影为：
，故D项正确．故选:BCD．
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．如图，在中，是的中点，在边上，且，若，则的值为 ．
【解析】是的中点，在边上，且，
，，
，
，
，．故答案为：．
10．在中，，，为所在平面上任意一点，则的最小值为________
【答案】－1
【解析】如图，以为建立平面直角坐标系，则，设，，，，，
，
∴当时，取得最小值．故答案为：-1．
11．如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________．
【答案】
【解析】，，，
，
解得，
以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
,
∵，∴的坐标为,
∵又∵,则，设，则（其中），
，，
，
所以，当时，取得最小值.
故答案为：；.
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．如图，，，，且.
（1）求与间的关系式；
（2）若，求与的值及四边形的面积.
【答案】（1）；（2）或，16.
【解析】（1）∵，，，
∴，
∵，∴，
∴.
（2），，
∵，∴，即，
又∵，∴解得或.
∴，或，，
又∵，∴四边形的面积为.
13．如图所示，以两边为边向外作正方形和，为的中点.求证：.
【答案】证明见解析
【解析】因为是的中点，所以.
又因为，
所以
，
所以，即.
14．在中，底边上的中线，若动点满足.
（1）求的最大值；
（2）若为等腰三角形，且，点满足（1）的情况下，求的值.
【答案】（1）8；（2）-5.
【解析】（1）且
三点共线，又
在线段上
为的中点，设，则，，
当时，取最大值
（2）为等腰三角形，且为底边的中线
以为坐标原点，，所在直线分别为，轴建立平面直角坐标系
由（1）可得，又
，
则第六章
平面向量及其应用
6.4.1
平面几何中的向量方法
(提升篇）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1．如图，正方形中，是的中点，若，则（
）
A．
B．
C．
D．
2．在梯形中，，，，，若点在线段上，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
3．已知边长为2的菱形中，点为上一动点，点满足，，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
4．已知是非零向量，且满足，则的形状为（
）
A．等腰（非等边）三角形
B．直角（非等腰）三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
5.设为所在平面内一点，满足，则的面积与的面积的比值为（
）
A．6
B．
C．
D．4
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．已知平面向量、、为三个单位向量，且，若（），则的可能取值为（
）
A．
B．
C．
D．
7.设点的外心，且R，那么下列命题为真命题的是
A.
若，则
B.
若，则
C.
若，，，则四边形AOBC的面积是5
D.
若且，则的最大值是
8．已知是边长为2的等边三角形，D、E分别是AC，AB上的两点，且，，BD与CE交于点O，则下列说法正确的是?
?
A.
B.
C.
D.
在方向上的投影为
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．如图，在中，是的中点，在边上，且，若，则的值为
．
10．在中，，，为所在平面上任意一点，则的最小值为________
11．如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________．
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．如图，，，，且.
（1）求与间的关系式；
（2）若，求与的值及四边形的面积.
13．如图所示，以两边为边向外作正方形和，为的中点.求证：.
14．在中，底边上的中线，若动点满足.
（1）求的最大值；
（2）若为等腰三角形，且，点满足（1）的情况下，求的值.
