第六章
平面向量及其应用
6.4.3第一课时余弦定理
(提升篇）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1．在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】在中，，，
根据余弦定理：
，可得
，即
由
故.故选：A.
2．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab＝( )
A．8－4
B．1
C．
D．
【答案】C
【解析】因为C＝60°，所以c2＝a2＋b2－2abcos
60°，即c2＝a2＋b2－ab.①
又因为(a＋b)2－c2＝4，所以c2＝a2＋b2＋2ab－4.②
比较①②知－ab＝2ab－4，所以ab＝.故选：C.
3．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝10，b＝15，C＝60°，则cos
B＝( )
A.
B.
C.－
D.－
【答案】A
【解析】由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2ab·cos
C
＝102＋152－2×10×15×cos
60°＝175，
∴c＝5.∴cos
B＝＝＝.故选：A.
4．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2＝ac且c＝2a，则cos
B等于( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由b2＝ac，c＝2a，所以cos
B＝＝＝.故选：B.
5.中，角，，的对边分别为，，，则“”是“为锐角”的（
）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充分必要条件
D．既非充分又非必要条件
【答案】A
【解析】在中,若,则,即,
,,
为锐角,即“”“为锐角”,
若为锐角,则,即,无法推出,
所以“为锐角”“”,
综上所述:“”是“为锐角”的充分非必要条件,故选:A.
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2＋c2－bc＝a2，bc＝a2，则角C的大小可能是( )
A.
B．
C.
D．
【答案】CD
【解析】选A.由b2＋c2－bc＝a2，得b2＋c2－a2＝bc，则cos
A＝＝＝，则A＝，
由bc＝a2，得sin
Bsin
C＝sin2A＝×＝，
即4sin(π－C－A)sin
C＝，
即4sin(C＋A)sin
C＝4sinsin
C＝，
即4sin
C＝2sin2C＋2sin
Ccos
C＝，
即(1－cos
2C)＋sin
2C＝－cos
2C＋sin
2C＝，则－
cos
2C＋sin
2C＝0，
则cos
2C＝sin
2C，则tan
2C＝，
即2C＝或，即C＝或，故选:CD.
7.在△ABC中，cos2
＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状不可能为( )
A．直角三角形
B．等边三角形
C．等腰三角形
D．等腰三角形或直角三角形
【答案】BCD
【解析】 已知等式变形得cos
B＋1＝＋1，即cos
B＝ ①.由余弦定理得cos
B＝，代入①得＝，整理得b2＋a2＝c2，即C为直角，则△ABC为直角三角形．故选:BCD
8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3acos
A＝bcos
C＋ccos
B，b＋c＝3，则a的最小值不可能为( )
A．1
B．
C．2
D．3
【答案】 ACD
【解析】在△ABC中，因为3acos
A＝bcos
C＋ccos
B，
所以,整理得cos
A＝.
因为b＋c＝3，所以两边平方可得b2＋c2＋2bc＝9，由b2＋c2≥2bc，可得9≥2bc＋2bc＝4bc，解得bc≤，当且仅当b＝c时等号成立，所以由a2＝b2＋c2－2bccos
A，可得a2＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－≥9－×＝3，当且仅当b＝c时等号成立，所以a的最小值为.故选:ACD.
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．在中，已知，，则形状为
__________三角形
【答案】等边．
【解析】由余弦定理，得，因为，，所以
，化为，得，所以为等边三角形．故答案为:等边．
10．在中，点在边上，，，，，
则________．
【答案】．
【解析】，在中，由余弦定理，得．
故答案为:
11．已知的三边分别为所对的角分别为，且三边满足，已知的外接圆的面积为，设.则的取值范围为______，函数的最大值的取值范围为_______．
【答案】
【解析】由，可知c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c),
化简得,由余弦定理可得cosB=,又B∈(0,π),B=,
因为,解得R=,
由
,解得b=3,
由余弦定理得，
由基本不等式可得，解得a+c≤6,根据两边之和大于第三边可得a+c>3,即a+c得取值范围是；
=-+4（a+c）sinx+2=-2
又-1≤sinx≤1,可知sinx=1时，函数f(x)的最大值为4（a+c）,
函数的最大值的取值范围为
故答案为(1)
(2)
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．设的内角，，的对边分别为，，．已知．
（1）求；
（2）若为锐角三角形，且，求的取值范围．
【答案】(1);(2).
【解析】（1）由，得，得
，因为，，所以，，
所以，得．
（2）若为锐角三角形，且，由余弦定理得，因为为锐角三角形，所以即解得，
13．在中，角、、的对边分别为、、，且满足。
(1)求的大小；
(2)求的最大值。
【答案】(1);(2)1.
【解析】(1)由余弦定理及题设，得，又，∴；
由(1)知，
则,
∵，∴当时，取得最大值。
14．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A；
（2）若，证明：△ABC是直角三角形．
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）因为，所以，
即，解得，又，所以；
（2）因为，所以，即①，
又②，
将②代入①得，，
即，而，解得，
所以，故，即是直角三角形．第六章
平面向量及其应用
6.4.3第一课时余弦定理
(提升篇）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1．在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=（
）
A.
B.
C.
D.
2．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab＝( )
A．8－4
B．1
C．
D．
3．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝10，b＝15，C＝60°，则cos
B＝( )
A.
B.
C.－
D.－
4．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2＝ac且c＝2a，则cos
B等于( )
A．
B．
C．
D．
5.中，角，，的对边分别为，，，则“”是“为锐角”的（
）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充分必要条件
D．既非充分又非必要条件
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2＋c2－bc＝a2，bc＝a2，则角C的大小可能是( )
A.
B．
C.
D．
7.在△ABC中，cos2
＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状不可能为( )
A．直角三角形
B．等边三角形
C．等腰三角形
D．等腰三角形或直角三角形
8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3acos
A＝bcos
C＋ccos
B，b＋c＝3，则a的最小值不可能为( )
A．1
B．
C．2
D．3
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．在中，已知，，则形状为
__________
三角形
10．在中，点在边上，，，，，
则________．
11．已知的三边分别为所对的角分别为，且三边满足，已知的外接圆的面积为，设.则的取值范围为______，函数的最大值的取值范围为_______．
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．设的内角，，的对边分别为，，．已知．
（1）求；
（2）若为锐角三角形，且，求的取值范围．
13．在中，角、、的对边分别为、、，且满足。
(1)求的大小；
(2)求的最大值。
14．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A；
（2）若，证明：△ABC是直角三角形．
