第六章
平面向量及其应用
6.4.1
平面几何中的向量方法
(基础篇）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1．已知正方形ABCD的边长为1，则=（
）
A．
B．
C．
D．
2．在△ABC中，=（2，3），=（1，k）,若△ABC为直角三角形，则k的值为（
）
A．－
B．
C．－或
D．－、或
3．中，，则一定是（
）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不确定
4．已知正方形的边长为6，在边上且，为的中点，则(
)
A．-6
B．12
C．6
D．-12
5.在中，，，.D是BC边上的动点，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．设点M是所在平面内一点，则下列说法正确的是?
?
?
A.
若，则点M是边BC的中点；
B.
若，则点M在边BC的延长线上；
C.
若，则点M是的重心；
D.
若，且，则面积是面积的．
7.已知为直线l上不同的三点，点O不在直线l上，实数x满足关系式，则下列结论中正确的有????
A.
x的值有且只有一个
B.
x的值有两个
C.
点B为线段AC的中点
D.
8．点O在所在的平面内，则以下说法正确的有
A.
若，则点O为的重心
B.
若，则点O为的垂心
C.
若，则点O为的外心
D.
若，则点O为的内心
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．在中,,,为斜边上靠近点的三等分点,为边的中点,则的值为__________.
10．已知在中，，，，，，则的值为_________.
?
11．已知正方形的边长为2，点P满足，则_________；_________．
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．在四边形中，已知，，，.
（1）判断四边形的形状；
（2）若，求向量与夹角的余弦值.
13．如图所示，在△ABC中，∠C为直角，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上的点，且AE＝2EB，求证：AD⊥CE.
14．已知中，，设，．
若D为斜边AB的中点，求证：．
若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于F，求AF的长度用m，n表示．第六章
平面向量及其应用
6.4.1
平面几何中的向量方法
(基础篇）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1．已知正方形ABCD的边长为1，则=（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】如图，因为正方形的边长为，
则，因为，所以，故选:C．
2．在△ABC中，=（2，3），=（1，k）,若△ABC为直角三角形，则k的值为（
）
A．－
B．
C．－或
D．－、或
【答案】D
【解析】当A为直角时，=0，所以，
当B为直角时，=0，=0,所以，
当C为直角时，=0，=0,
所以，
综上，故选:D.
3．中，，则一定是（
）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不确定
【答案】C
【解析】因为中，，则，
即，，角为钝角，所以三角形为钝角三角形,故选:C
4．已知正方形的边长为6，在边上且，为的中点，则(
)
A．-6
B．12
C．6
D．-12
【答案】A
【解析】由在边上且，为的中点，
，
，
.故选:A.
5.在中，，，.D是BC边上的动点，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设，所以
又，可知
所以
化简可得
又，，
所以
则即，
又在递增,所以
,故故选：A
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．设点M是所在平面内一点，则下列说法正确的是?
?
?
A.
若，则点M是边BC的中点；
B.
若，则点M在边BC的延长线上；
C.
若，则点M是的重心；
D.
若，且，则面积是面积的．
【答案】ACD
【解析】若，则点M是边BC的中点，故A正确；
若，则，即，所以B是CM的中点，点M在边CB的延长线上，故B错误；
若，故点M是的重心，故C正确；
因为，且，所以，令，则B，N，C三点共线，且N点落在线段BC上，M为线段AN的中点，则与的底边BC相等，高为一半，所以的面积是面积的，故D正确．
故选ACD．
7.已知为直线l上不同的三点，点O不在直线l上，实数x满足关系式，则下列结论中正确的有????
A.
x的值有且只有一个
B.
x的值有两个
C.
点B为线段AC的中点
D.
【答案】ACD
【解析】由于实数x满足关系式，?
即，?
、B、C为直线l上不同的三点，点直线l，?
，解得?
则A正确，B错误．?
此时，故C正确；?
?
当且仅当夹角为时取等号，从而D正确．?
故选:ACD．
8．点O在所在的平面内，则以下说法正确的有
A.
若，则点O为的重心
B.
若，则点O为的垂心
C.
若，则点O为的外心
D.
若，则点O为的内心
【答案】AC
【解析】对于由于，其中D为BC的中点，可知O为BC边上中线的三等分点靠近线段，所以O为的重心，故A正确．
对于B，向量，分别表示在AC和AB上取单位向量和，它们的差是向量，当，即时，则点O在的平分线上，
同理由，知点O在的平分线上，故O为的内心，故B错误；
对于C，是以，为边的平行四边形的一条对角线，而是该四边形的另一条对角线，表示这个平行四边形是菱形，即，
同理有，所以O为的外心，故C正确；
对于D，由，得，即，所以同理可得，所以O为的垂心，故D错误．
故选:AC．
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．在中,,,为斜边上靠近点的三等分点,为边的中点,则的值为__________.
【答案】
【解析】由已知可知：，，，
所以故答案为：6
10．已知在中，，，，，，则的值为_________.
?
【答案】
【解析】在中，，建立直角坐标系,?,,,依题意有D,E(2,0)得，得，故答案为：。
11．已知正方形的边长为2，点P满足，则_________；_________．
【答案】
【解析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则点、、、，
，
则点，，，
因此，，.
故答案为：；.
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．在四边形中，已知，，，.
（1）判断四边形的形状；
（2）若，求向量与夹角的余弦值.
【答案】（1）四边形是等腰梯形.（2）
【解析】（1）由题,因为,,所以,
又因为,,所以四边形是等腰梯形
（2）设,所以,,
因为,所以,解得,所以,,
设向量与夹角为,则,
故向量与夹角的余弦值为
13．如图所示，在△ABC中，∠C为直角，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上的点，且AE＝2EB，求证：AD⊥CE.
【答案】见解析
【解析】以C为原点，CA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．
设AC＝a，则A(a,0)，B(0，a)，D，C(0,0)，E.
∴＝，＝.
∵·＝－a·a＋·a＝0，∴AD⊥CE.
14．已知中，，设，．
若D为斜边AB的中点，求证：．
若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于F，求AF的长度用m，n表示．
【答案】见解析
【解析】以C为坐标原点，以边CB，CA所在的直线分别为轴x、y轴建立平面直角坐标系，如图，则，．
证明：为斜边AB的中点，?
，
，，
，即．
为CD的中点，．
设，则，．
点A，E，F共线，存在实数，使，
即，，
解得，．
，即．
