第六章
平面向量及其应用
6.4.3
第3课时
余弦定理、正弦定理应用举例(提升篇）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1．如图，设、两点在水库的两岸，测量者在的同侧的库边选定一点，测出的距离为m，，，就可以计算出、两点的距离为（ ）
A．m
B．m
C．m
D．m
2．为测量某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20
m的楼顶上测得塔顶A的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，那么塔AB的高度是( )
A．20
m
B．20
m
C．20(1＋)
m
D．30
m
3．如图所示为起重机装置示意图．支杆BC＝10
m，吊杆AC＝15
m，吊索AB＝5
m，起吊的货物与岸的距离AD为( )
A．30
m
B．
m
C．15
m
D．45
m
4．中华人民共和国国歌有个字，小节，奏唱需要秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（米/秒）
A．
B．
C．
D．
5.如图，地面四个5G中继站A、B、C、D，已知，，，，则A、B两个中继站的距离是（
）
A．
B．
C．
D．
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100
m
到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度不可能为(
)
A.50
m
B.100
m
C.120
m
D.150
m
7.如图，轮船A和轮船B同时离开海港匀速直线航行，其中轮船A的航行速度是v(nmile/h)，轮船B的航行速度比轮船A快10(nmile/h)．已知航行lh后，测得两船之间的距离为（v+20）nmile，如果两艘轮船的航行方向之间的夹角为钝角，则下列满足条件的v是(
)．
A．10
B．30
C．25
D．20
8．如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C，然后给出了三种测量方案(△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)，则一定能确定A，B间距离的所有方案为(
)
A.测量A，B，b
B.测量a，b，C
C.测量A，B，a
D.测量A，B，C
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9.在游学活动中，同学们在杭州西湖边上看见了雷峰塔，为了估算塔高，某同学在塔的正东方向选择某点A处观察塔顶，其仰角约为45°，然后沿南偏西30°方向走了大约140
m来到B处，在B处观察塔顶其仰角约为30°，由此可以估算出雷峰塔的高度为_____________
10．如图，A、B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，试求：
则救援船到达D点所需要的时间为____________．
11．如图所示，甲船以每小时30
海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B2处，此时两船相距10
海里．乙船每小时航行_____________海里
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600
m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则求此山的高度CD.
第12题
13．如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D点需要多长时间？
14．如图，要计算某湖泊岸边两景点B与C的距离，由于受地形的限制，需要在岸上选取A和D两点，现测得，，，，，则求两景点B与C的距离.第六章
平面向量及其应用
6.4.3
第3课时
余弦定理、正弦定理应用举例(提升篇）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1．如图，设、两点在水库的两岸，测量者在的同侧的库边选定一点，测出的距离为m，，，就可以计算出、两点的距离为（ ）
A．m
B．m
C．m
D．m
【答案】A
【解析】∵中，，，
∴.
又∵中，m，
∴由正弦定理可得：，则m.故选：A.
2．为测量某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20
m的楼顶上测得塔顶A的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，那么塔AB的高度是( )
A．20
m
B．20
m
C．20(1＋)
m
D．30
m
【答案】A
【解析】如图所示，
由已知得四边形CBMD为正方形，而CB＝20
m，
∴BM＝20
m.
又在Rt△AMD中，DM＝20
m，∠ADM＝30°，
∴AM＝DMtan
30°＝
m，
∴AB＝AM＋MB＝＋20＝20m.
故选:A.
3．如图所示为起重机装置示意图．支杆BC＝10
m，吊杆AC＝15
m，吊索AB＝5
m，起吊的货物与岸的距离AD为( )
A．30
m
B．
m
C．15
m
D．45
m
【答案】B
【解析】在△ABC中，AC＝15
m，AB＝5
m，BC＝10
m，由余弦定理得cos
∠ACB＝＝＝－，所以sin
∠ACB＝.又∠ACB＋∠ACD＝180°，所以sin
∠ACD＝sin
∠ACB＝.在Rt△ACD中，AD＝ACsin
∠ACD＝15×＝(m)．
故选:B
4．中华人民共和国国歌有个字，小节，奏唱需要秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（米/秒）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】如图，由题意，∴，
在中，，即，．
∴，
（米/秒）．故选:B．
5.如图，地面四个5G中继站A、B、C、D，已知，，，，则A、B两个中继站的距离是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意可得，，
在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得，
在中，由余弦定理得
，所以.故选：C.
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100
m
到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度不可能为(
)
A.50
m
B.100
m
C.120
m
D.150
m
【答案】BCD
【解析】如图，设水柱的高度是h
m，水柱底端为C则在△ABC中，∠BAC＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝h，
根据余弦定理得，(h)2＝h2＋1002－2×h×100×cos
60°，
即h2＋50h－5
000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，
解得h＝50或h＝－100(舍去)，
故水柱的高度是50
m.故选:BCD
7.如图，轮船A和轮船B同时离开海港匀速直线航行，其中轮船A的航行速度是v(nmile/h)，轮船B的航行速度比轮船A快10(nmile/h)．已知航行lh后，测得两船之间的距离为（v+20）nmile，如果两艘轮船的航行方向之间的夹角为钝角，则下列满足条件的v是(
)．
A．10
B．30
C．25
D．20
【答案】CD
【解析】不妨设海港所在点为，作图如下：
根据题意可得，
因为，根据余弦定理可得：
，
即，
解得，
又要满足三角形三边关系，即可得：，
即.
故的取值范围是.故选：CD
8．如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C，然后给出了三种测量方案(△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)，则一定能确定A，B间距离的所有方案为(
)
A.测量A，B，b
B.测量a，b，C
C.测量A，B，a
D.测量A，B，C
【答案】ABC
【解析】对于选项A，利用内角和定理先求出C＝π－A－B，再利用正弦定理＝解出c；故A正确;
对于选项B，直接利用余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos
C即可解出c；故B正确
对于选项C，先利用内角和定理求出C＝π－A－B，
再利用正弦定理＝解出c；故C正确
对于选项D，不知道长度，显然不能求c.故D错误;故选:ABC
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9.在游学活动中，同学们在杭州西湖边上看见了雷峰塔，为了估算塔高，某同学在塔的正东方向选择某点A处观察塔顶，其仰角约为45°，然后沿南偏西30°方向走了大约140
m来到B处，在B处观察塔顶其仰角约为30°，由此可以估算出雷峰塔的高度为_____________
【答案】70
m
【解析】根据题意，建立数学模型，如图所示，
其中∠CAD＝45°，∠BAC＝60°，∠CBD＝30°，设塔CD高为x，则CA＝x，BC＝x，在△ABC中，由余弦定理得：BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos
∠CAB，
即3x2＝x2＋1402－2x×140×，
化简得x2＋70x－140×70＝0，即(x－70)(x＋140)＝0，
解得x＝70，即雷峰塔的高度为70
m.
故答案为:70
m.
10．如图，A、B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，试求：
则救援船到达D点所需要的时间为____________．
【答案】1小时.
【解析】由题意可知：在中，，，则，
由正弦定理得：，
由，
代入上式得：，轮船D与观测点B的距离为海里.
在中，，，，
由余弦定理得：
，
，，
即该救援船到达点所需的时间小时.
故答案为:1小时.
11．如图所示，甲船以每小时30
海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B2处，此时两船相距10
海里．乙船每小时航行_____________海里
【答案】30
【解析】连接A1B2，由题意知，A1B1＝20，A2B2＝10，A1A2＝×30
＝10
(海里)．又∵∠B2A2A1＝180°－120°＝60°，∴△A1A2B2是等边三角形，
∠B1A1B2＝105°－60°＝45°.
在△A1B2B1中，由余弦定理得B1B＝A1B＋A1B－2A1B1·A1B2cos
45°＝202＋(10)2－2×20×10×＝200，∴B1B2＝10(海里)．
因此乙船的速度大小为×60＝30(海里/小时)．
故答案为:30海里/小时
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600
m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则求此山的高度CD.
【答案】100
【解析】由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.又AB＝600
m，故由正弦定理得＝，解得BC＝300
m.
在Rt△BCD中，CD＝BC·tan
30°＝300
×＝100(m)．
第12题
13．如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D点需要多长时间？
解：由题意知AB＝5(3＋)海里，
∠DBA＝90°－60°＝30°，
∠DAB＝90°－45°＝45°，
∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.
在△DAB中，由正弦定理，
得＝，
∴DB＝＝
＝＝10(海里)．
又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC
＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝20(海里)，
在△DBC中，由余弦定理，得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos
∠DBC＝300＋1
200－2×10×20×＝900，∴CD＝30(海里)，
∴需要的时间t＝＝1(小时)．
故救援船到达D点需要1小时．
14．如图，要计算某湖泊岸边两景点B与C的距离，由于受地形的限制，需要在岸上选取A和D两点，现测得，，，，，则求两景点B与C的距离.
【答案】
【解析】在中，因为，，，
由余弦定理得，
整理得，
解得或（舍去），
在中，因为，，
所以，
由正弦定理得：
，
所以.
故答案为：
