第六章
平面向量及其应用
6.4第四课时
余弦定理、正弦定理综合应用
(提升篇）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1．在中，，，，则的面积等于（
）
A．
B．
C．
D．
2．一海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( )
A．10海里
B．10海里
C．20海里
D．20海里
3．在中，角，，的对边为，，着，，，则（
）
A．
B．
C．
D．1
4．为了增强数学的应用性，强化学生的理解，某学校开展了一次户外探究.当地有一座山，高度为，同学们先在地面选择一点，在该点处测得这座山在西偏北方向，且山顶处的仰角为；然后从处向正西方向走140米后到达地面处，测得该山在西偏北方向，山顶处的仰角为.同学们建立了如图模型，则山高为（
）
A．米
B．米
C．米
D．米
5.已知中，BC边上的中线，，，则的周长为（
）
A．
B．
C．
D．
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．在中，角，，的对边分别为，，，若为非零实数），则下列结论正确的是
A．当时，是直角三角形
B．当时，是锐角三角形
C．当时，是钝角三角形
D．当时，是钝角三角形
7.对于，有如下命题，其中正确的有（
）
A．若，则为等腰三角形
B．若，则为直角三角形
C．若，则为钝角三角形
D．若，，，则的面积为或
8．在中，已知，给出下列结论中正确结论是（
）
A．由已知条件，这个三角形被唯一确定
B．一定是钝三角形
C．
D．若，则的面积是
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．在锐角三角形中，，，分别为内角，，的对边，若，，，则 ．
10．已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，的面积，则___________;a的最小值为___________．
11．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为，若，，则______．
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．已知的内角所对应的边分别为，且．
(1)求角的大小；
(2)若，，求的面积．
13．如图，在海岸A处，发现北偏东45°方向距A为(－1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A为2海里的C处的缉私船奉命以10海里/时的速度追截走私船．
此时走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间(注：≈2.449)．
14．如图，在圆内接中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足.
（1）求B；
（2）若点D是劣弧AC上一点，AB=2，BC=3，AD=1，求四边形ABCD的面积第六章
平面向量及其应用
6.4第四课时
余弦定理、正弦定理综合应用
(提升篇）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1．在中，，，，则的面积等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由及正弦定理得．
在中，由余弦定理得，
所以，解得，所以．
又，所以．故选：D．
2．一海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( )
A．10海里
B．10海里
C．20海里
D．20海里
【答案】B
【解析】根据已知条件可知△ABC中，AB＝20，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，所以∠C＝45°，
由正弦定理，有，所以10.故选：B.
3．在中，角，，的对边为，，着，，，则（
）
A．
B．
C．
D．1
【答案】D
【解析】∵，故选：D.
4．为了增强数学的应用性，强化学生的理解，某学校开展了一次户外探究.当地有一座山，高度为，同学们先在地面选择一点，在该点处测得这座山在西偏北方向，且山顶处的仰角为；然后从处向正西方向走140米后到达地面处，测得该山在西偏北方向，山顶处的仰角为.同学们建立了如图模型，则山高为（
）
A．米
B．米
C．米
D．米
【答案】C
【解析】设山的高度为，在中，，，
在中，，，
在中，，
由余弦定理得，；
即，化简得；
又，所以解得；
即山的高度为（米）.故选：C。
5.已知中，BC边上的中线，，，则的周长为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】在和中，由余弦定理，可知
，
，
∴，
在中，由余弦定理可知，
，
∴，
∴，
所以的周长为.故选：A.
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．在中，角，，的对边分别为，，，若为非零实数），则下列结论正确的是
A．当时，是直角三角形
B．当时，是锐角三角形
C．当时，是钝角三角形
D．当时，是钝角三角形
【答案】．
【解析】对于，当时，，根据正弦定理不妨设，，，显然是直角三角形；
对于，当时，，根据正弦定理不妨设，，，
显然是等腰三角形，，
说明为锐角，故是锐角三角形；
对于，当时，，根据正弦定理不妨设，，，
可得，说明为钝角，故是钝角三角形；
对于，当时，，根据正弦定理不妨设，，，
此时，不等构成三角形，故命题错误．故选：ABC.
7.对于，有如下命题，其中正确的有（
）
A．若，则为等腰三角形
B．若，则为直角三角形
C．若，则为钝角三角形
D．若，，，则的面积为或
【答案】CD
【解析】对于A：，或，
或，所以为等腰三角形或直角三角形，故A错误；
对于B:
，或，所以不一定是直角三角形，故B错误；
对于C：，，
由正弦定理得，又，所以角为钝角，所以为钝角三角形，故C正确；
对于D:
，，，，又，
或，或，或，故D正确.
故选：CD
8．在中，已知，给出下列结论中正确结论是（
）
A．由已知条件，这个三角形被唯一确定
B．一定是钝三角形
C．
D．若，则的面积是
【答案】BC
【解析】可设的周长为，则由，
可得，，，
又，则，，，
故三角形不确定，A错；由，为钝角，故B正确；
由正弦定理，故C正确；
由，则，得，故，由，
得，的面积是，故D错.
故选：BC
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．在锐角三角形中，，，分别为内角，，的对边，若，，，则 ．
【答案】5
【解析】由，，，则，
由正弦定理和余弦定理可得，，
即有，解得或5，
当时，最大，由余弦定理可得
，即为钝角，不合题意，舍去；
当时，最大，由余弦定理可得
，即为锐角，合题意．故答案为：5．
10．已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，的面积，则___________;a的最小值为___________．
【答案】
【解析】因为，由正弦定理可得，即，
又由，所以，
又因为，即，解得，
由余弦定理可得，
当且仅当时等号成立，
所以，所以.
故答案为：，.
11．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为，若，，则______．
【答案】4
【解析】∵，
∴由正弦定理得，
∴，
又，
∴由余弦定理得，∴，
∵为的内角，
∴，∴，∴，
故答案为：4．
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．已知的内角所对应的边分别为，且．
(1)求角的大小；
(2)若，，求的面积．
【答案】(1)；(2)．
【解析】(1)因为，由正弦定理，得．
因为，所以．
即，所以．
因为，所以，又因为，所以．
(2)由余弦定理及得，，即．
又因为，所以，所以．
13．如图，在海岸A处，发现北偏东45°方向距A为(－1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A为2海里的C处的缉私船奉命以10海里/时的速度追截走私船．
此时走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间(注：≈2.449)．
【解析】 设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则有CD＝10t(海里)，BD＝10t(海里)．
在△ABC中，∵AB＝(－1)海里，AC＝2海里，∠BAC＝45°＋75°＝120°，根据余弦定理，可得BC＝＝(海里)．根据正弦定理，可得sin∠ABC＝＝＝.
∴∠ABC＝45°，易知CB方向与正北方向垂直，从而∠CBD＝90°＋30°＝120°.
在△BCD中，根据正弦定理，可得sin∠BCD＝＝＝，∴∠BCD＝30°，∠BDC＝30°，∴BD＝BC＝(海里)，则有10t＝，t＝≈0.245小时＝14.7分钟．故缉私船沿北偏东60°方向，需14.7分钟才能追上走私船．
14．如图，在圆内接中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足.
（1）求B；
（2）若点D是劣弧AC上一点，AB=2，BC=3，AD=1，求四边形ABCD的面积
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由正弦定理得，
得.
因为，
所以，即.
（2）在中AB=2，BC=3，，，
解得.
在中，，A，B，C，D在圆上，
因为，所以，
所以，
解得或（舍去），
所以四边形ABCD的面积.
