第八章
立体几何初步
8.5.1直线与直线平行(基础练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1.已知a，b是两条异面直线，c∥a，那么c与b的位置关系( )
A．一定是异面
B．一定是相交
C．不可能平行
D．不可能相交
【答案】C
【解析】若c∥b，而c∥a，由基本事实4，知a∥b，这与a，b是两条异面直线矛盾，所以c与b不可能平行.
故选:C
2．若两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形( )
A．全等
B．相似
C．仅有一个角相等
D．全等或相似
【答案】D
【解析】由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等.
故选:D
3．如图，AA′是长方体ABCD－A′B′C′D′的一条棱，那么长方体中与AA′平行的棱共有(
)条.
A.0
B.1
C.2
D.3
【答案】D
【解析】∵四边形ABB′A′、ADD′A′均为长方形，
∴AA′∥BB′，AA′∥DD′.
又四边形BCC′B′为长方形，
∴BB′∥CC′，∴AA′∥CC′.
故与AA′平行的棱共有3条，它们分别是BB′，CC′，DD′.
故选:D
4．如图，用正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是( )
A．MN与CC1垂直
B．MN与AC垂直
C．MN与A1B1平行
D．MN与BD平行
【答案】C
【解析】连接DC1，可知MN是△C1DB的中位线，所以MN∥BD，BD与A1B1不平行，所以MN不可能与A1B1平行.
故选:C
5.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于点G，H，则GH与AB的位置关系是(
)
A．平行
B．相交
C．异面
D．平行或异面
【答案】A
【解析】由长方体性质知：EF∥平面ABCD，
∵EF?平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝GH，∴EF∥GH.又∵EF∥AB，∴GH∥AB.
故选:A
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．下列四面体中，直线EF与MN不可能平行的是(
)
【答案】ABD
【解析】根据过平面内一点和平面外一点的直线，与平面内不过该点的直线异面，可判定A，B中EF，MN异面；C中直线EF与MN平行；D中，若EF∥MN，则过EF的平面与底面相交，EF就跟交线平行，则过点N有两条直线与EF平行，不可能.
故选:ABD．
7．如图,在四面体中,分别是的中点,则下列说法中正确的是(
)
A．四点共面
B．
C．
D．四边形为梯形
【答案】ABC
【解析】由中位线定理,易知,,,.于A,由基本事实易得P,所以四点共面,故A中的说法正确；对于B,根据等角定理,得,故B中的说法正确；对于C,由等角定理,知,,所以,故C中的说法正确；由三角形的中位线定理知,,,,所以,所以四边形为平行四边形,故D中的说法不正确.
故选:ABC．
8．空间两个角α,β的两边分别对应平行,且α=60°,则β的大小可能为
( )
A.60°
B.120°
C.30°
D.90°
【答案】AB
【解析】 根据等角定理知,两个角的两边分别对应平行,则这两个角相等或互补,所以β为60°或120°,故选：AB.
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．已知分别为空间四边形的棱，，，的中点，若对角线，，则的值是______
【答案】10
【解析】根据题意，作图如下：
如图所示，由三角形中位线的性质，可得//BD//GF，HG//AC//EF，
可得四边形为平行四边形，故：.
故答案为:10
10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BD和B1D1分别是正方形ABCD和A1B1C1D1的对角线．∠DBC的两边与________的两边分别平行且方向相同；∠DBC的两边与________的两边分别平行且方向相反．
【答案】∠D1B1C1
∠B1D1A1
【解析】因为B1D1∥BD，B1C1∥BC且方向相同，所以∠DBC的两边与∠D1B1C1的两边分别平行且方向相同．因为B1D1∥BD，D1A1∥BC且方向相反，所以∠DBC的两边与∠B1D1A1的两边分别平行且方向相反．故答案为:∠D1B1C1
∠B1D1A1
11．已知棱长为a的正方体ABCD－A′B′C′D′中，M、N分别为CD、AD的中点，则MN与A′C′的位置关系是____.
【答案】MNA′C′.
【解析】如图所示，MNAC，
又∵ACA′C′，
∴MNA′C′.
故答案为:MNA′C′
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中的平面A1C1内有一点P,经过点P作棱BC的平行线,应该怎样画?并说明理由.
【答案】答案见解析
【解析】如图,在平面A1C1内过点P作直线EF∥B1C1,交A1B1于点E,交C1D1于点F,则直线EF即为所求.理由如下:
因为EF∥B1C1,BC∥B1C1,所以EF∥BC.
13．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，E，F分别为棱AA1，CC1的中点.求证：BFED1．
【答案】答案见解析
【解析】如图，取BB1的中点G，连接GC1，GE.
∵F为CC1的中点，∴BGC1F，
∴四边形BGC1F为平行四边形，
∴BFGC1．
又∵EGA1B1，A1B1D1C1，
∴EGD1C1，
∴四边形EGC1D1为平行四边形，
∴ED1GC1，∴BFED1．
14．如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．
（1）求证：四边形BB1M1M为平行四边形；
（2）求证：∠BMC＝∠B1M1C1.
【答案】答案见解析
【解析】 (1)∵ABCD?A1B1C1D1为正方体．
∴AD＝A1D1，且AD∥A1D1，
又M，M1分别为棱AD，A1D1的中点，
∴AM＝A1M1且AM∥A1M1，
∴四边形AMM1A1为平行四边形，
∴MM1＝AA1且MM1∥AA1.
又AA1＝BB1且AA1∥BB1，
∴MM1＝BB1且MM1∥BB1，
∴四边形BB1M1M为平行四边形．
(2)法一：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，
∴B1M1∥BM.
同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，
∴C1M1∥CM.∵∠BMC和∠B1M1C1方向相同，
∴∠BMC＝∠B1M1C1.
法二：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，
∴B1M1＝BM.
同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，
∴C1M1＝CM.
又∵B1C1＝BC，
∴△BCM≌△B1C1M1，
∴∠BMC＝∠B1M1C1.第八章
立体几何初步
8.5.1直线与直线平行(基础练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1.已知a，b是两条异面直线，c∥a，那么c与b的位置关系( )
A．一定是异面
B．一定是相交
C．不可能平行
D．不可能相交
2．若两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形( )
A．全等
B．相似
C．仅有一个角相等
D．全等或相似
3．如图，AA′是长方体ABCD－A′B′C′D′的一条棱，那么长方体中与AA′平行的棱共有(
)条.
A.0
B.1
C.2
D.3
4．如图，用正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是( )
A．MN与CC1垂直
B．MN与AC垂直
C．MN与A1B1平行
D．MN与BD平行
5.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于点G，H，则GH与AB的位置关系是(
)
A．平行
B．相交
C．异面
D．平行或异面
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．下列四面体中，直线EF与MN不可能平行的是(
)
7．如图,在四面体中,分别是的中点,则下列说法中正确的是(
)
A．四点共面
B．
C．
D．四边形为梯形
8．空间两个角α,β的两边分别对应平行,且α=60°,则β的大小可能为
( )
A.60°
B.120°
C.30°
D.90°
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．已知分别为空间四边形的棱，，，的中点，若对角线，，则的值是______
10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BD和B1D1分别是正方形ABCD和A1B1C1D1的对角线．∠DBC的两边与________的两边分别平行且方向相同；∠DBC的两边与________的两边分别平行且方向相反．
11．已知棱长为a的正方体ABCD－A′B′C′D′中，M、N分别为CD、AD的中点，则MN与A′C′的位置关系是____.
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中的平面A1C1内有一点P,经过点P作棱BC的平行线,应该怎样画?并说明理由.
13．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，E，F分别为棱AA1，CC1的中点.求证：BFED1．
14．如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．
（1）求证：四边形BB1M1M为平行四边形；
（2）求证：∠BMC＝∠B1M1C1.
【答案】答案见
