第八章
立体几何初步
8.5.1直线与直线平行(提升练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1.给出下列命题：
①若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；
②若两条直线与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行；
③若两条直线与第三条直线平行，这两条直线互相平行；
④若两条直线均与一个平面平行，则这两条直线互相平行.
其中正确的命题的个数是(
)
A．1
B．2
C．3
D．4
2．空间中有三条线段AB，BC，CD，且，那么直线AB与CD的位置关系是(
)
A．平行
B．异面
C．相交或平行
D．平行或异面或相交均有可能
3．下列命题中,正确的结论有(
)
①若果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,则这两个角相等;
②若两条相交直线和另两条相交直线分别平行,则这两组直线所成的锐角(或直角)相等;
③若两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线平行.
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
4．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是(
)
A．l1⊥l2，l2⊥l3?l1∥l3
B．l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3
C．l1∥l2∥l3?l1，l2，l3共面
D．l1，l2，l3共点?l1，l2，l3共面
5.已知直线a，b，c，下列三个命题：
①若a与b异面，b与c异面，则a与c异面；②若a∥b，a和c相交，则b和c也相交；
③若a⊥b，a⊥c，则b∥c.其中，正确命题的个数是(
)
A．0
B．1
C．2
D．3
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．下列命题中,错误的结论有(
)
A.如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等
B.如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等
C.如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等或互补
D.如果两条直线同时平行于第三条直线,那么这两条直线互相平行
已知，，是空间中的三条相互不重合的直线，下列说法不正确是(
)
若，，则；
B.若与相交，与相交，则与相交；
C.若平面，平面，则，一定是异面直线；
D.若，与成等角，则．
8．如图，设E，F，G，H依次是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上除端点外的点，且＝＝λ，＝＝μ，则下列结论正确的是(
)
A.当λ＝μ时，四边形EFGH是平行四边形；
B.当λ≠μ时，四边形EFGH是梯形；
C.当λ＝μ＝时，四边形EFGH是平行四边形；
D.当λ＝μ≠时，四边形EFGH是梯形.
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．已知，，，则 .?
10．已知E、F、G、H为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，若＝＝，＝＝，则四边形EFGH形状为____.
11．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若过A，C，B1三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为l，则l与A1C1的位置关系是___.
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AD，AB的中点，M，N分别为B1C1，C1D1的中点．
求证：(1)MC∥A1E，A1F∥CN；
(2)∠EA1F＝∠NCM.
13．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P分别是CC1、B1C1、C1D1的中点.
求证：∠NMP＝∠BA1D.
14．长方体AC1中，底面ABCD为边长为2的正方形，高AA1为1，M，N分别是边C1D1与A1D1的中点．
(1)求证：四边形MNAC是等腰梯形；
(2)求梯形MNAC的面积．第八章
立体几何初步
8.5.1直线与直线平行(提升练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1.给出下列命题：
①若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；
②若两条直线与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行；
③若两条直线与第三条直线平行，这两条直线互相平行；
④若两条直线均与一个平面平行，则这两条直线互相平行.
其中正确的命题的个数是(
)
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【解析】在空间中，若两条直线和第三条直线所成的角相等，可能这三条直线构成等腰三角形，可得这两条直线不一定互相平行，故①错;在空间中，若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行或相交或异面，故②错;
若两条直线都与同一个平面平行，则这两条直线互相平行或相交或异面，故③错;在空间中，若两条直线都与第三条直线平行，由公理4可得这两条直线互相平行，故④对.
故选：A
2．空间中有三条线段AB，BC，CD，且，那么直线AB与CD的位置关系是(
)
A．平行
B．异面
C．相交或平行
D．平行或异面或相交均有可能
【答案】D
【解析】
如图可知AB，CD有相交，平行，异面三种情况．
故选：D
3．下列命题中,正确的结论有(
)
①若果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,则这两个角相等;
②若两条相交直线和另两条相交直线分别平行,则这两组直线所成的锐角(或直角)相等;
③若两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线平行.
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
【答案】B
【解析】 ①中,如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补,故①错误;②中,如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等,故②正确;③中,两条直线和第三条直线所成的角相等,这两条直线不一定平行,故③错.
故选:B.
4．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是(
)
A．l1⊥l2，l2⊥l3?l1∥l3
B．l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3
C．l1∥l2∥l3?l1，l2，l3共面
D．l1，l2，l3共点?l1，l2，l3共面
【答案】B
【解析】若l1⊥l2，l2⊥l3，则l1，l3有三种位置关系，可能平行、相交或异面，故A不对.虽然l1∥l2∥l3，或l1，l2，l3共点，但l1，l2，l3可能共面，也可能不共面，故C、D也不正确.
故选：B
5.已知直线a，b，c，下列三个命题：
①若a与b异面，b与c异面，则a与c异面；②若a∥b，a和c相交，则b和c也相交；
③若a⊥b，a⊥c，则b∥c.其中，正确命题的个数是(
)
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】A
【解析】对于①，c与a可以相交；对于②，b和c可以异面；对于③，b与c可以相交，也可以异面.
故选：A
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．下列命题中,错误的结论有(
)
A.如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等
B.如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等
C.如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等或互补
D.如果两条直线同时平行于第三条直线,那么这两条直线互相平行
【答案】AC
【解析】这两个角相等或互补,选项A错误;由等角定理知选项B正确;在空间中,这样的两个角大小关系不确定,选项C错误;由基本事实4知选项D正确.
故选：AC
已知，，是空间中的三条相互不重合的直线，下列说法不正确是(
)
若，，则；
B.若与相交，与相交，则与相交；
C.若平面，平面，则，一定是异面直线；
D.若，与成等角，则．
【答案】BCD
【解析】由公理4知A正确；当与相交，与相交时，与可能相交、平行，也可能异面，故B不正确；
当平面，平面时，与可能平行、相交或异面，故C不正确；当，与成等角时，与可能相交、平行，也可能异面，故D不正确．
故选：BCD
8．如图，设E，F，G，H依次是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上除端点外的点，且＝＝λ，＝＝μ，则下列结论正确的是(
)
A.当λ＝μ时，四边形EFGH是平行四边形；
B.当λ≠μ时，四边形EFGH是梯形；
C.当λ＝μ＝时，四边形EFGH是平行四边形；
D.当λ＝μ≠时，四边形EFGH是梯形.
【答案】ABC
【解析】如图所示，连接BD.∵＝＝λ，∴EH∥BD，且EH＝λBD.同理，FG∥BD，且FG＝μBD.
∴EH∥FG.∴当λ＝μ时，EH＝FG，∴四边形EFGH是平行四边形．∴AC正确，D错误．当λ≠μ时，EH≠FG，
∴四边形EFGH是梯形，∴B正确．
故选：ABC
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．已知，，，则 .?
【答案】或
【解析】的两边与的两边分别平行，根据等角定理易知或故答案为：或
10．已知E、F、G、H为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，若＝＝，＝＝，则四边形EFGH形状为____.
【答案】梯形
【解析】如右图在△ABD中，∵＝＝，
∴EH∥BD且EH＝BD.
在△BCD中，∵＝＝，
∴FG∥BD且FG＝BD，∴EH∥FG且EH>FG，
∴四边形EFGH为梯形.
故答案为：梯形
11．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若过A，C，B1三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为l，则l与A1C1的位置关系是___.
【答案】l∥A1C1
【解析】∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，AC?平面ABCD，
∴AC∥平面A1B1C1D1．
又平面ACB1经过直线AC与平面A1B1C1D1相交于直线l，
∴AC∥l，又∵AC∥A1C1，∴l∥A1C1．
故答案为：l∥A1C1
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AD，AB的中点，M，N分别为B1C1，C1D1的中点．
求证：(1)MC∥A1E，A1F∥CN；
(2)∠EA1F＝∠NCM.
【答案】答案见解析
【解析】
(1)
证明 如图，取A1D1的中点I，连接DI，MI，又M为B1C1的中点，
几何体ABCD－A1B1C1D1为正方体，
∴C1D1CD，MIC1D1，
根据基本事实4知CDMI，故四边形IDCM为平行四边形，∴MC∥ID，
又I，E分别为A1D1，AD的中点，∴A1IED，
∴四边形A1IDE为平行四边形，∴A1E∥ID.
故MC∥A1E.
同理可证A1F∥CN.
(2)由(1)知A1F∥CN，MC∥A1E，
又∠EA1F与∠NCM两边的方向均相反，
∴∠EA1F＝∠NCM.
13．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P分别是CC1、B1C1、C1D1的中点.
求证：∠NMP＝∠BA1D.
【答案】答案见解析
【解析】如图，连接CB1、CD1，∵CDA1B1，
∴四边形A1B1CD是平行四边形，
∴A1D∥B1C.
∵M、N分别是CC1、B1C1的中点，∴MN∥B1C，
∴MN∥A1D.
∵BCA1D1，∴四边形A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥CD1．
∵M、P分别是CC1、C1D1的中点，∴MP∥CD1，
∴MP∥A1B，
∴∠NMP和∠BA1D的两边分别平行且方向都相反，
∴∠NMP＝∠BA1D.
14．长方体AC1中，底面ABCD为边长为2的正方形，高AA1为1，M，N分别是边C1D1与A1D1的中点．
(1)求证：四边形MNAC是等腰梯形；
(2)求梯形MNAC的面积．
【答案】答案见解析
【解析】(1)证明：连接A1C1，则MN是△A1C1D1的中位线，
如图所示，则有MNA1C1.
又A1C1AC，∴MNAC.
∴M，N，A，C共面，且四边形MNAC为梯形．
∵Rt△AA1N≌Rt△CC1M，∴AN＝CM.
∴梯形MNAC为等腰梯形．
(2)由题意，得AN2＝A1A2＋A1N2＝1＋1＝2，
AC＝2，MN＝，
则梯形MNAC的高h＝
＝，
∴S梯形MNAC＝(AC＋MN)×h＝.
