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人教版八年级下册数学同步经典题型，常考题型集锦
第十六章
二次根式
第一节：二次根式的概念和性质
考点一：二次根式的定义
下列各式中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？
(1)；(2)；(3)；
(4)；(5)；(6)(x≤3)；
(7)(x≥0)；(8)；(9)；
(10)(ab≥0)．
考点二：根据二次根式有意义求字母的取值范围
求使下列式子有意义的x的取值范围．
(1)；(2)；(3).
考点三：利用二次根式的非负性求解
(1)已知a、b满足＋|b－|＝0，解关于x的方程(a＋2)x＋b2＝a－1；
(2)已知x、y都是实数，且y＝＋＋4，求yx的平方根．
考点四：和二次根式有关的规律探究性问题
先观察下列等式，再回答下列问题．
①＝1＋－＝1；
②＝1＋－＝1；
③＝1＋－＝1.
(1)请你根据上面三个等式提供的信息，写出的结果；
(2)请你按照上面各等式反映的规律，试写出用
含n的式子表示的等式(n为正整数)．
考点五：
利用＝|a|、()2＝a进行计算
化简：
(1)()2；(2)；(3)；(4)(－)2.
考点六：
()2＝a(a≥0)的有关应用
在实数范围内分解因式．
(1)a2－13；(2)4a2－5；(3)x4－4x2＋4.
考点七：
结合数轴利用二次根式的性质求值或化简
已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：＋2－|a－b|.
考点八：二次根式的化简与三角形三边关系的综合
已知a、b、c是△ABC的三边长，化简－＋.
考点九：
利用分类讨论的思想对二次根式进行化简
已知x为实数时，化简＋.
考点十：
二次根式的规律探究性问题
细心观察，认真分析下列各式，然后解答问题．
()2＋1＝2，S1＝，
()2＋1＝3，S2＝，
()2＋1＝4，S3＝.
(1)请用含n(n是正整数)的等式表示上述变化规律；
(2)推算出OA10的长；
(3)求出S＋S＋S＋…＋S的值．
考点十一：代数式的定义及简单应用
按照下列程序计算，表格内应输出的代数式是____________．
→→→→→
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第十六章
二次根式
第一节：二次根式的概念和性质
考点一：二次根式的定义
下列各式中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？
(1)；(2)；(3)；
(4)；(5)；(6)(x≤3)；
(7)(x≥0)；(8)；(9)；
(10)(ab≥0)．
解析：要判断一个根式是不是二次根式，一是看根指数是不是2，二是看被开方数是不是非负数．
解：因为，，＝，(x≤3)，，(ab≥0)中的根指数都是2，且被开方数为非负数，所以都是二次根式.的根指数不是2，，(x≥0)，的被开方数小于0，所以不是二次根式．
方法总结：判断一个式子是不是二次根式，要看所给的式子是否具备以下条件：
(1)带二次根号“”；
(2)被开方数是非负数．
考点二：根据二次根式有意义求字母的取值范围
求使下列式子有意义的x的取值范围．
(1)；(2)；(3).
解：(1)由题意得4－3x＞0，解得x＜.当x＜时，有意义；
(2)由题意得解得x≤3且x≠2.当x≤3且x≠2时，有意义；
(3)由题意得解得x≥－5且x≠0.当x≥－5且x≠0时，有意义．
方法总结：含二次根式的式子有意义的条件：
(1)如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是各个二次根式中的被开方数都必须是非负数；
(2)如果所给式子中含有分母，则除了保证二次根式中的被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
考点三：利用二次根式的非负性求解
(1)已知a、b满足＋|b－|＝0，解关于x的方程(a＋2)x＋b2＝a－1；
(2)已知x、y都是实数，且y＝＋＋4，求yx的平方根．
解析：(1)根据二次根式的非负性和绝对值的非负性求解即可；(2)根据二次根式的非负性即可求得x的值，进而求得y的值，进而可求出yx的平方根．
解：(1)根据题意得解得则(a＋2)x＋b2＝a－1，即－2x＋3＝－5，解得x＝4；
(2)根据题意得解得x＝3.则y＝4，故yx＝43＝64，±＝±8，∴yx的平方根为±8.
方法总结：二次根式和绝对值都具有非负性，几个非负数的和为0，这几个非负数都为0.
考点四：和二次根式有关的规律探究性问题
先观察下列等式，再回答下列问题．
①＝1＋－＝1；
②＝1＋－＝1；
③＝1＋－＝1.
(1)请你根据上面三个等式提供的信息，写出的结果；
(2)请你按照上面各等式反映的规律，试写出用
含n的式子表示的等式(n为正整数)．
解析：(1)从三个等式中可以发现，等号右边第一个加数都是1，第二个加数是个分数，设分母为n，第三个分数的分母就是n＋1，结果是一个带分数，整数部分是1，分数部分的分子也是1，分母是前项分数的分母的积；(2)根据(1)找的规律写出表示这个规律的式子．
解：(1)＝1＋－＝1；
(2)＝1＋－＝1(n为正整数)．
方法总结：解答规律探究性问题，都要通过仔细观察找出字母和数之间的关系，通过阅读找出题目隐含条件并用关系式表示出来．
考点五：
利用＝|a|、()2＝a进行计算
化简：
(1)()2；(2)；(3)；(4)(－)2.
解析：根据二次根式的性质进行计算即可．
解：(1)()2＝5；(2)＝5；(3)＝5；(4)(－)2＝5.
方法总结：利用＝|a|进行计算与化简，幂的运算法则仍然适用，同时要注意二次根式的被开方数要为非负数．
考点六：
()2＝a(a≥0)的有关应用
在实数范围内分解因式．
(1)a2－13；(2)4a2－5；(3)x4－4x2＋4.
解析：由于任意一个非负数都可以写成一个数的平方的形式，利用这个即可将以上几个式子在实数范围内分解因式．
解：(1)a2－13＝a2－()2＝(a＋)(a－)；
(2)4a2－5＝(2a)2－()2＝(2a＋)(2a－)；
(3)x4－4x2＋4＝(x2－2)2＝[(x＋)(x－)]2＝(x＋)2(x－)2.
方法总结：一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式．这就需要把一个非负数表示成平方的形式．
考点七：
结合数轴利用二次根式的性质求值或化简
已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：＋2－|a－b|.
解析：根据数轴确定a和b的取值范围，进而确定a＋1、b－1和a－b的取值范围，再根据二次根式的性质和绝对值的意义化简求解．
解：从数轴上a，b的位置关系可知－2＜a＜－1，1＜b＜2，且b＞a，故a＋1＜0，b－1＞0，a－b＜0.原式＝|a＋1|＋2|b－1|－|a－b|＝－(a＋1)＋2(b－1)＋(a－b)＝b－3.
方法总结：结合数轴利用二次根式的性质求值或化简，解题的关键是根据数轴判断字母的取值范围和熟练运用二次根式的性质．
考点八：二次根式的化简与三角形三边关系的综合
已知a、b、c是△ABC的三边长，化简－＋.
解析：根据三角形的三边关系得出b＋c＞a，b＋a＞c.根据二次根式的性质得出含有绝对值的式子，最后去绝对值符号合并即可．
解：∵a、b、c是△ABC的三边长，∴b＋c＞a，b＋a＞c，∴原式＝|a＋b＋c|－|b＋c－a|＋|c－b－a|＝a＋b＋c－(b＋c－a)＋(b＋a－c)＝a＋b＋c－b－c＋a＋b＋a－c＝3a＋b－c.
方法总结：解答本题的关键是根据三角形的三边关系得出不等关系，再进行变换后，结合二次根式的性质进行化简．
考点九：
利用分类讨论的思想对二次根式进行化简
已知x为实数时，化简＋.
解析：根据＝|a|，结合绝对值的性质，将x的取值范围分段进行讨论解答．
解：＋＝＋＝|x－1|＋|x|.当x≤0时，x－1＜0，原式＝1－x＋(－x)＝1－2x；当0＜x≤1时，x－1≤0，原式＝1－x＋x＝1；当x＞1时，x－1＞0，原式＝x－1＋x＝2x－1.
方法总结：利用二次根式的性质进行化简时，要结合具体问题，先确定出被开方数的正负，对于式子＝|a|，当a的符号无法判断时，就需要分类讨论，分类时要做到不重不漏．
考点十：
二次根式的规律探究性问题
细心观察，认真分析下列各式，然后解答问题．
()2＋1＝2，S1＝，
()2＋1＝3，S2＝，
()2＋1＝4，S3＝.
(1)请用含n(n是正整数)的等式表示上述变化规律；
(2)推算出OA10的长；
(3)求出S＋S＋S＋…＋S的值．
解析：利用直角三角形的面积公式，观察上述结论，会发现第n个三角形的一直角边长就是，另一条直角边长为1，然后利用面积公式可得．
解：(1)()2＋1＝n＋1，Sn＝(n是正整数)；
(2)∵OA1＝，OA2＝，OA3＝，…∴OA10＝；
(3)S＋S＋S＋…＋S＝＋＋＋…＋＝(1＋2＋3＋…＋10)＝.
方法总结：解题时通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想．
考点十一：代数式的定义及简单应用
按照下列程序计算，表格内应输出的代数式是____________．
→→→→→
解析：根据程序所给的运算，用代数式表示即可，
根据程序所给的运算可得输出的代数式为－n.故答案为－n.
方法总结：根据实际问题列代数式的一般步骤：
(1)认真审题，对语言或图形中所代表的意思进行仔细辨析；
(2)分清语言和图形表述中各种数量的关系；
(3)根据各数量间的运算关系及运算顺序写出代数式．
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