2020-2021学年鲁教五四新版九年级下册数学期中复习试卷（word解析版）

2020-2021学年鲁教五四新版九年级下册数学期中复习试卷
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．在关于x的函数y＝+（x﹣1）0中，自变量x的取值范围是（　　）
A．x≥﹣2
B．x≥﹣2且x≠0
C．x≥﹣2且x≠1
D．x≥1
2．下列各运算中，计算正确的是（　　）
A．a+a＝a2
B．（3a2）3＝9a6
C．（a+b）2＝a2+b2
D．2a?3a＝6a2
3．如图，正方形ABCD的面积是（　　）
A．5
B．25
C．7
D．1
4．如图，在矩形ABCD中，AD＝2，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B的对应点E落在CD上，且DE＝EF，则四边形ABCE的面积为（　　）
A．
B．
C．
D．
5．有一座抛物线形拱桥，正常水位桥下面宽度为20米，拱顶距离水平面4米，如图建立直角坐标系，若正常水位时，桥下水深6米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18米，则当水深超过多少米时，就会影响过往船只的顺利航行（　　）
A．2.76米
B．6.76米
C．6米
D．7米
6．如图是某几何图形的三视图，则这个几何体是（　　）
A．圆柱
B．圆锥
C．长方体
D．球
7．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BCA＝45°，AC＝，点D在BC边上，将△ABC沿直线AD翻折，点B恰好落在AC边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，连接PE，PC，则△PEC的周长的最小值为（　　）
A．2﹣
B．
C．
+1
D．
+2
8．若关于x的不等式组恰好只有2个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　）
A．3
B．4
C．6
D．1
9．2019年末到2020年5月2日截止，世界各国感染新冠状肺炎病毒患者达到3315003人，将数据3315003四舍五入精确到万位，用科学记数表示为（　　）
A．3.31×106
B．3.32×106
C．3.315×105
D．3.32×105
10．已知实数x满足（x2﹣2x+1）2+4（x2﹣2x+1）﹣5＝0，那么x2﹣2x+1的值为（　　）
A．﹣5或1
B．﹣1或5
C．1
D．5
11．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，将△ABC沿DE折叠，使底角顶点C落在三角形三边的垂直平分线的交点O处，若BE＝BO，则∠ABC的度数为（　　）
A．54°
B．60°
C．63°
D．72°
12．如图，在Rt△ABC纸片中，AB＝4，AC＝3，BC＝5，将Rt△ABC纸片按图示方式折叠，使点A恰好落在斜边BC上的点E处，BD为折痕，则下列四个结论：①BD平分∠ABC；②AD＝DE；③DE＝EC；④△DEC的周长为4，其中正确的个数有（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．因式分解：x2y﹣36y＝　
　．
14．已知a，b是方程x2﹣x﹣3＝0的两个实数根，则a2+b+1的值为　
　．
15．如图所示，正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，点F的坐标为（﹣1，1），点C的坐标为（﹣4，2），则这两个正方形位似中心的坐标是　
　．
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB过点A（﹣2，0），B（0，2），⊙O（O为坐标原点）的半径为1，点P在直线AB上，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为　
　．
17．甲、乙两人同时从A、B两地出发相向而行，甲先步行到达B地后原地休息，甲、乙两人的距离y（km）与乙步行的时间x（h）之间的函数关系的图象如图，则步行全程甲比乙少用　
　小时．
18．如图，已知等边△OA1B1，顶点A1在双曲线y＝（x＞0）上，点B1的坐标为（2，0）．过B1作B1A2∥OA1，交双曲线于点A2，过A2作A2B2∥A1B1，交x轴于B2，得到第二个等边△B1A2B2．过B2作B2A3∥B1A2，交双曲线于点A3，过A3作A3B3∥A2B2交x轴于点B3得到第三个等边△B2A3B3；以此类推，…，则点B2的坐标为　
　，Bn的坐标为　
　．
三．解答题（共6小题）
19．（1﹣）÷，其中．
20．某校想知道同学们对“新冠肺炎”知识的了解程度，决定随机抽取部分同学进行一次问卷调查，并根据收集到的信息进行了统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）接受问卷调查的同学共有　
　名．
（2）请补全折线统计图，并求出扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角的大小；
（3）为了让全校师生都能更好地预防“新冠肺炎”，学生会准备组织一次宣讲活动，由问卷调查中“了解”的几名同学组成一个宣讲团．已知这几名同学中只有两个女生，若要在该宣讲团中任选两名同学在全校师生大会上作代表发言，请用列表或画树状图的方法，求选取的两名同学是一名女生一名男生的概率．
21．如图，大海中有A和B两个岛屿，为测量它们之间的距离，在海岸线PQ上点E处测得∠AEP＝60°，∠BEQ＝45°；在点F处测得∠AFP＝45°，∠BFQ＝90°，EF＝2km．
（1）判断AB、AE的数量关系，并说明理由；
（2）求两个岛屿A和B之间的距离（结果保留根号）．
22．已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一动点，连接AC，BC，在BA的延长线上取一点D，连接CD，使CD＝CB．
（1）如图1，若AC＝AD，求证：CD是⊙O的切线；
（2）如图2，延长DC交⊙O于点E，连接AE．
i）若⊙O的直径为，sinB＝，求AD的长；
ii）若CD＝2CE，求cosB的值．
23．△ABC与△CDE都是等边三角形，连接AD、BE．
（1）如图①，当点B、C、D在同一条直线上时，则∠BCE＝　
　度；
（2）将图①中的△CDE绕着点C逆时针旋转到如图②的位置．求证：AD＝BE；
（3）在将△CDE绕点C旋转的过程中，当点A、C、E在一条直线上时，若CD＝2BC＝4，请直接写出BE的长．
24．已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．
（1）求此二次函数解析式；
（2）连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形；
（3）在对称轴右侧抛物线上找一点P，使得P、D、C构成以PC为底边的等腰三角形，求出点P的坐标及此时四边形PBCD的面积．
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．解：根据题意得：x+2≥0且x﹣1≠0，
解得：x≥﹣2且x≠1．
故选：C．
2．解：A、原式＝2a，不符合题意；
B、原式＝27a6，不符合题意；
C、原式＝a2+2ab+b2，不符合题意；
D、原式＝6a2，符合题意．
故选：D．
3．解：设正方形的边长为c，
由勾股定理可知：c2＝32+42，
∴c2＝25，
故选：B．
4．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠ADC＝90°，
由旋转得：BC＝EF，AB＝AE，
∵DE＝EF，
∴AD＝DE＝2，即△ADE为等腰直角三角形，
根据勾股定理得：AE＝＝＝2，
则AB＝AE＝2，
∴四边形ABCE的面积＝矩形ABCD的面积﹣△ADE的面积＝AB?AD﹣AD?DE＝4﹣2，
故选：C．
5．解：设该抛物线的解析式为y＝ax2，在正常水位下x＝10，代入解析式可得﹣4＝a×102?a＝﹣
故此抛物线的解析式为y＝﹣x2．
因为桥下水面宽度不得小于18米
所以令x＝9时
可得y＝＝﹣3.24米
此时水深6+4﹣3.24＝6.76米
即桥下水深6.76米时正好通过，所以超过6.76米时则不能通过．
故选：B．
6．解：∵俯视图为圆，
∴该几何体为圆柱、圆锥或球，
∵左视图和主视图为长方形，
∴该几何体为圆柱．
故选：A．
7．解：∠B＝90°，∠BCA＝45°，AC＝，
∴AB＝BC＝1，
∵沿AD折叠B和E重合，
∴∠ABD＝∠AED＝90°，AB＝AE＝1，∠BAD＝∠EAD，
∴AD垂直平分BE，即B和E关于AD对称，BD＝DE，
∵CE＝AC﹣AE＝﹣1，
由∠DEA＝90°，
∴∠DEC＝90°，
∵∠BCA＝45°，
∴CE＝DE＝﹣1，
∴当P和D重合时，PE+CP的值最小，即此时△CPE的周长最小，
最小值是CE+PE+PC＝CE+BD+DC＝CE+BC，
∴△PEC的周长的最小值是CE+BC＝﹣1+1＝．
故选：B．
8．解：解不等式组得：＜x＜2，
由关于x的不等式组恰好只有2个整数解，得到﹣1≤＜0，即0≤a＜4，
满足条件的整数a的值为0、1、2、3，
整数a的值之和是0+1+2+3＝6，
故选：C．
9．解：3315003＝3.315003×106≈3.32×106．
故选：B．
10．解：设y＝x2﹣2x+1，则y2+4y﹣5＝0．
整理，得（y+5）（y﹣1）＝0．
解得y＝﹣5（舍去）或y＝1．
即x2﹣2x+1的值为1．
故选：C．
11．解：连接OC，
设∠OCE＝x°，
由折叠的性质可得：OE＝CE，
∴∠COE＝∠OCE＝x°，
∵三角形三边的垂直平分线的交于点O，
∴OB＝OC，且O是△ABC外接圆的圆心，
∴∠OBC＝∠OCE＝x°，∠BOC＝2∠A，
∵∠OEB＝∠OCE+∠COE＝2x°，BE＝BO，
∴∠BOE＝∠OEB＝2x°，
∵△OBE中，∠OBC+∠BOE+∠OEB＝180°，
∴x+2x+2x＝180，
解得：x＝36，
∴∠OBC＝∠OCE＝36°，
∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCE＝108°，
∴∠A＝∠BOC＝54°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝＝63°．
故选：C．
12．解：∵△BDE是由△BDA翻折得到，
∴∠ABD＝∠EBD，AD＝DE，AB＝BE＝4，⑦正确；
∴BD平分∠ABC，①正确；
∵BC＝5，
∴EC＝BC﹣BE＝5﹣4＝1，
∴△DEC的周长＝EC+DE+CD＝EC+AD+CD＝CE+AC＝1+3＝4，④正确；
∵∠DEC＝90°，∠C≠45°，
∴DE≠EC，③错误，
∴①②④正确，
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．解：x2y﹣36y＝y（x2﹣36）＝y（x+6）（x﹣6），
故答案为：y（x+6）（x﹣6）．
14．解：∵a，b是方程x2﹣x﹣3＝0的两个根，
∴a2﹣a＝3，b2﹣b＝3，
两式相减可得：a2﹣a﹣b2+b＝0，即a2+b＝b2+a，
由根与系数的关系可得：a+b＝1，ab＝﹣3，
a2+b+b2+a＝（a+b）2﹣2ab+（a+b）＝1+6+1＝8，
∴a2+b＝b2+a＝4，
故a2+b+1＝5．
故答案是：5．
15．解：①当两个位似图形在位似中心同旁时，位似中心就是CF与x轴的交点，
设直线CF解析式为y＝kx+b，将C（﹣4，2），F（﹣1，1）代入，得，
解得即y＝﹣x+，
令y＝0得x＝2，
∴O′坐标是（2，0）；
②当位似中心O′在两个正方形之间时，
可求直线OC解析式为y＝﹣x，直线DE解析式为y＝x+1，
联立，解得，
即O′（﹣，）．
故答案为：（2，0）或（﹣，）．
16．解：连接OP、OQ，如图：
∵PQ是⊙O的切线，
∴OQ⊥PQ；
根据勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2，
∵当PO⊥AB时，线段PQ最短；
又∵A（﹣2，0），B（0，2），
∴OA＝OB＝2，
∴AB＝OA＝4，
∴OP＝AB＝2，
∴PQ＝＝＝，
故答案为：．
17．解：由图象可得，
乙的速度为21×7＝3（km/h），
则甲的速度为：21÷3﹣3＝7﹣3＝4（km/h），
a＝21÷4＝5.25，
则步行全程甲比乙少用7﹣5.25＝1.75（小时），
故答案为：1.75．
18．解：如图，作A2C⊥x轴于点C，设B1C＝a，则A2C＝a，
OC＝OB1+B1C＝2+a，A2（2+a，
a）．
∵点A2在双曲线y＝（x＞0）上，
∴（2+a）?a＝，
解得a＝﹣1，或a＝﹣﹣1（舍去），
∴OB2＝OB1+2B1C＝2+2﹣2＝2，
∴点B2的坐标为（2，0）；
作A3D⊥x轴于点D，设B2D＝b，则A3D＝b，
OD＝OB2+B2D＝2+b，A2（2+b，
b）．
∵点A3在在双曲线y＝（x＞0）上，
∴（2+b）?b＝，
解得b＝﹣+，或b＝﹣﹣（舍去），
∴OB3＝OB2+2B2D＝2﹣2+2＝2，
∴点B3的坐标为（2，0）；
同理可得点B4的坐标为（2，0）即（4，0）；
以此类推…，
∴点Bn的坐标为（2，0），
故答案为（2，0），（2，0）．
三．解答题（共6小题）
19．解：原式＝
＝，
当时，
原式＝＝．
20．解：（1）根据题意得：30÷50%＝60（名），
答：接受问卷调查的学生共有
60名；
（2）“了解”的人数＝60﹣10﹣15﹣30＝5（名）；
“基本了解”部分所对应扇形的圆心角是：360°×＝90°；
补全折线图如图所示：
（3）设“了解”的同学中两位女同学分别为G1，G2；男同学为B1，B2，B3，
根据题意可列如下表格：
B1
B2
B3
G1
G2
B1
（B1，B2）
（B1，B3）
（B1，G1）
（B1，G2）
B2
（B2，B1）
（B2，B3）
（B2，G1）
（B2，G2）
B3
（B3，B1）
（B3，B2）
（B3，G1）
（B3，G2）
G1
（G1，B1）
（G1，B2）
（G1，B3）
（G1，G2）
G2
（G2，B1）
（G2，B2）
（G2，B3）
（G2，G1）
由表格知，总共有20种等可能发生的情况，其中符合题意的有12种，
选取的两名同学是一名女生一名男生的概率＝＝．
21．解：（1）相等．
∵∠BEQ＝45°，∠BFQ＝90°，
∴∠EBF＝∠BEQ＝45°，
∴EF＝BF，
又∵∠AFP＝45°，
∴∠BFA＝45°．
在△AEF与△ABF中，
，
∴△AEF≌△ABF（SAS），
∴AB＝AE；
（2）过点A作AH⊥PQ，垂足为H．
设AE＝xkm，
则AH＝xsin60°km，HE＝xcos60°km，
∴HF＝HE+EF＝xcos60°+2，
Rt△AHF中，AH＝HF?tan45°，
∴xsin60°＝（xcos60°+2）?tan45°，
解得：x＝（2+2）km
即AB＝AE＝（2+2）km．
答：两个岛屿A与B之间的距离约为（2+2）km．
22．（1）证明：连接OC，
∵CD＝BC，
∴∠B＝∠D，
∵AC＝AD，
∴∠D＝∠ACD，
∴∠B＝∠ACD，
∵OA＝OC，
∴∠BAC＝∠OCA，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B+∠BAC＝90°，
∴∠ACD+∠OCA＝90°，
∴∠DCO＝90°，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
解：（2）i）连接OC，
∵∠ACB＝90°，AB＝，sinB＝，
在Rt△ACB中，AC＝AB?sinB，
∴AC＝＝1，
在Rt△ACB中，BC＝＝＝3，
∵OB＝CO，
∴∠OCB＝∠B，
∵∠B＝∠D，
∴∠OCB＝∠D，
∵∠CBO＝∠DBC，
∴△COB∽△DCB，
∴，
∴CB2＝OB?BD，
∵AB＝，
∴OA＝OB＝，
∴BD＝32×＝，
∴AD＝BD﹣AB＝；
ii）连接CO，
∵CD＝2CE，
设CE＝k，
∴CD＝BC＝2k，
∴DE＝3k，
∵∠E＝∠B，∠OCB＝∠B＝∠D，
∴△DAE∽△COB，
∴，
设⊙O的半径为r，
∴AD＝r，
∴BD＝AD+AB＝r+2r＝r，
∵△COB∽△DCB，
∴，
∴BC2＝OB?BD，
∴（2k）2＝r×r，
∴k＝r，
∴BC＝2k＝r，
∴cosB＝．
23．解：（1）∵△CDE都是等边三角形，
∴∠DCE＝60°，
∵点B、C、D在同一条直线，
∴∠BCE+∠DCE＝180°，
∴∠BCE＝180°﹣∠DCE＝120°，
故答案为：120；
（2）∵△ABC与△CDE都是等边三角形，
∴BC＝AC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB+∠ACE＝∠DCE+∠ACE，
∴∠BCE＝∠ACD，
在△BCE和△ACD中，
，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE＝AD；
（3）∵CD＝2BC＝4，
∴BC＝2，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，AC＝BC＝2，
∵△CDE是等边三角形，CD＝4，
∴CE＝CD＝4，
当点E在CA的延长线上时，如图③，
过点B作BG⊥AC于G，则∠CBG＝∠ABC＝30°，
在Rt△CBG中，∠CBG＝30°，BC＝2，
∴CG＝AB＝1，
根据勾股定理得，BG＝，
∴EG＝CE﹣CG＝4﹣1＝3，
在Rt△BGE中，
根据勾股定理得，BE＝＝＝2；
当点E在AC的延长线上时，如图④，
过点B作BH⊥AC于H，则∠CBH＝∠ABC＝30°，
在Rt△CBH中，∠CBH＝30°，BC＝2，
∴CH＝AB＝1，
根据勾股定理得，BH＝，
∴EH＝CE+CH＝4+1＝5，
在Rt△BHE中，
根据勾股定理得，BE＝＝＝2；
即满足条件的BE的长为2或2．
24．解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C
（0，3），
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）由y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4得，D点坐标为（1，4），
∵y＝﹣x2+2x+3与x轴交于另一点B，
∴令y＝0，﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴CD＝＝，
BC＝＝3，
BD＝＝2，
∵CD2+BC2＝（）2+（3）2＝20，BD2＝（2）2＝20，
∴CD2+BC2＝BD2，
∴△BCD是直角三角形；
（3）如图，
∵P、D、C构成以PC为底边的等腰三角形，
∴点D在PC的垂直平分线上，
∴点C与点P关于对称轴直线x＝1对称，
∴点P的坐标为（2，3），
∵S四边形PBCD＝S△DCP+S△CBP，
∴S四边形PBCD＝×2×（4﹣3）+×2×3＝4．