第18章平行四边形 单元综合提升-2020-2021学年人教版八年级数学下册（word含答案）
文档属性
| 名称 | 第18章平行四边形 单元综合提升-2020-2021学年人教版八年级数学下册（word含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 452.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-04-14 07:00:22 | ||
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文档简介
2021年度人教版八年级数学下册《第18章平行四边形》单元综合同步提升训练（附答案）
1．如图，两个全等的矩形纸片重叠在一起，矩形的长和宽分别是8和6，则重叠部分的四边形周长是（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
2．如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE＝CF；②∠AEB＝75°；③BE+DF＝EF；④正方形对角线AC＝1+，其中正确的序号是（ ）
A．①②④ B．①② C．②③④ D．①③④
3．如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，若∠BAD＝70°，则∠CFD等于（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
4．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，则下列结论错误的是（ ）
A．GF＝AD B．EF＝AC C．GE＝BC D．GE＝GF
5．如图，在等边△ABC中，BC＝8cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以3cm/s的速度运动，E、F同时出发．设运动时间为t（s），当t＝（ ）s时，以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
A．1或2 B．2 C．2或3 D．2或4
6．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则PM的最小值为（ ）
A．5 B．2.5 C．4.8 D．2.4
7．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是线段OA、OB的中点，若AC+BD＝32cm，△OEF的周长为13cm，则CD的长为（ ）
A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm
8．如图，四边形ABCD为正方形，O为AC、BD的交点，△DCE为Rt△，∠CED＝90°，OE＝2，若CE?DE＝4，则正方形的面积为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
9．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠BAD的平分线交BC于E，若∠EAC＝15°，则∠COE＝（ ）
A．45° B．60° C．75° D．30°
10．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，P、M、N分别是AB、AC、BD的中点，若BC＝6，则△PMN的周长是（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
11．如图所示，将一组邻边长分别为5和12的两个矩形ABCD和矩形AEFG拼成“L”形图案，则线段CF的长为 ．
12．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6．过点D作BA的垂线，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为 ．
13．如图，在矩形ABCD中，AD＝AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，证明下列结论①∠AED＝∠CED，②△ABE≌△AHD，③HF＝AB，④H是BF中点，⑤BC﹣CF＝2HE．其中正确的结论有 ．
14．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足分别为E、F．求PE+PF＝ ．
15．在?ABCD中，AB＝5，AC＝，BC边上的高为4，则BC＝ ．
16．如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF＝18°，则∠AED等于 度．
17．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC＝10，BD＝24，则OE的长为 ．
18．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB、CD于E、F，连接PB、PD．若AE＝3，PF＝5．则图中阴影部分的面积为 ．
19．在平面直角坐标系xOy中，平行四边形的三个顶点O（0，0），A（3，0），B（3，2），则其第四个顶点C的坐标是 ．
20．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G、H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为 ．
21．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD平分∠BAC交BC于点D，E为AC的中点，连按DE，则△CDE的面积为 ．
22．如图，在菱形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，分别过点B、C作BE∥AC，CE∥BD，BE与CE交于点E．
（1）求证：四边形OBEC是矩形；
（2）当∠ABD＝60°，AD＝2时，求BE的长．
23．如图，已知正方形ABCD的面积是8，连接AC、BD交于点O，CM平分∠ACD交BD于点M，MN⊥CM，交AB于点N，
（1）求∠BMN的度数；
（2）求BN的长．
24．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F分别是边DC、AB的中点，FE的延长线分别AD、BC的延长线交于点H、G，求证：∠AHF＝∠BGF．
25．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与D相交于点O点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当AC＝2AB时，四边形EGCF是什么样的四边形？试说明理由．
26．已知，在?ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且AE＝AF．
（1）如图1，当EC＝4，AE＝8时，求?ABCD的对角线BD的长；
（2）如图2，若点M为CD的中点，连接EM，AM．求证：AM＝EM．
27．如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，EF⊥AD于点F，DG⊥AE于点G，DG与EF交于点O．
（1）求证：四边形ABEF是正方形；
（2）若AD＝AE，求证：AB＝AG；
（3）在（2）的条件下，已知AB＝1，求OD的长．
28．正方形ABCD中，M为射线CD上一点（不与D重合），以CM为边，在正方形ABCD的异侧作正方形CFGM，连接BM，DF，直线BM与DF交于点E．
（1）如图1，若M在CD的延长线上，求证：DF＝BM，DF⊥BM；
（2）如图2，若M移到边CD上．
①在（1）中结论是否仍成立？（直接回答不需证明）
②连接BD，若BD＝BF，且正方形CFGM的边长为1，试求正方形ABCD的周长．
29．如图，点E在矩形ABCD的边CD上，连接AE，BE，过点A作AF⊥BE于点F，且CE＝BF．
（1）证明：BC＝AF；
（2）若∠AEB＝2∠CEB，求∠EAF的度数．
参考答案
1．解：如图所示：
由题意得：矩形BFDE≌矩形BHDG，
∴∠G＝90°，DG＝DE＝6，BG∥DH，BE∥DF，BG＝8，
∴四边形ABCD平行四边形，
∴平行四边形ABCD的面积＝AD×DG＝CD×DE，
∴AD＝CD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴CD＝BC＝AB＝AD，
设CD＝BC＝x，则CG＝8﹣x，
在Rt△CDG中，由勾股定理得：62+（8﹣x）2＝x2，
解得：x＝，
∴CD＝，
∴四边形ABCD的周长＝4CD＝25；
故选：D．
2．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE＝AF，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE＝DF，
∵BC＝DC，
∴BC﹣BE＝CD﹣DF，
∴CE＝CF，故①正确；
∵CE＝CF，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴∠CEF＝45°，
∵∠AEF＝60°，
∴∠AEB＝75°，故②正确；
如图，连接AC，交EF于G点，
∴AC⊥EF，且AC平分EF，
∵∠CAF≠∠DAF，
∴DF≠FG，
∴BE+DF≠EF，故③错误；
∵△AEF是边长为2的等边三角形，∠ACB＝∠ACD，
∴AC⊥EF，EG＝FG，
∴AG＝AE?sin60°＝2×＝，CG＝EF＝1，
∴AC＝AG+CG＝+1；故④正确．
所以其中正确的序号是：①②④．
故选：A．
3．解：连接BF，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAC＝∠BAD＝×70°＝35°，∠BCF＝∠DCF＝∠BAC，BC＝DC，∠ABC＝180°﹣∠BAD＝180°﹣70°＝110°，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴AF＝BF，
∴∠DCF＝∠ABF＝∠BAC＝35°，
∴∠CBF＝∠ABC﹣∠ABF＝110°﹣35°＝75°，
在△BCF和△DCF中，
，
∴△BCF≌△DCF（SAS），
∴∠CDF＝∠CBF＝75°，
∴∠CFD＝180°﹣∠CDF﹣∠DCF＝180°﹣75°﹣35°＝70°，
故选：C．
4．解：∵E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，
∴，，，
故选项A，C正确，
∵AD＝BC，
∴GE＝GF，
故选项D正确，
∵EF不一定等于AG，
故选项B不正确；
故选：B．
5．解：当点F在C的左侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝3tcm，
则CF＝BC﹣BF＝（8﹣3t）cm，
∵AG∥BC，
∴当AE＝CF时，四边形AECF是平行四边形，
即t＝8﹣3t，
解得：t＝2；
当点F在C的右侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝3tcm，
则CF＝BF﹣BC＝（3t﹣8）cm，
∵AG∥BC，
∴当AE＝CF时，四边形AEFC是平行四边形，
即t＝3t﹣8，
解得：t＝4；
综上可得：当t＝2或4s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形，
故选：D．
6．解：连接AP，如图所示：
∵∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，
∴BC＝＝10，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF＝AP，EF与AP互相平分，
∵M是EF的中点，
∴M为AP的中点，
∴PM＝AP，
根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，
即AP⊥BC时，AP最短，同样PM也最短，
∴当AP⊥BC时，AP＝＝4.8，
∴AP最短时，AP＝4.8，
∴当PM最短时，PM＝AP＝2.4．
故选：D．
7．解：∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴OA＝AC，OB＝BD，CD＝AB，
∵AC+BD＝32cm，
∴OA+OB＝16cm，
∵点E，F分别是线段AO，BO的中点，
∴OE+OF＝OA+OB＝8cm，
∵△OEF的周长为13cm，
∴EF＝5cm，
∴AB＝2EF＝10cm，
∴CD＝10cm．
故选：B．
8．解：如图，过点O作OM⊥CE于M，作ON⊥DE交ED的延长线于N，
∵∠CED＝90°，
∴四边形OMEN是矩形，
∴∠MON＝90°，
∵∠COM+∠DOM＝∠DON+∠DOM，
∴∠COM＝∠DON，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OC＝OD，
在△COM和△DON中，
，
∴△COM≌△DON（AAS），
∴OM＝ON，CM＝DN，
∴四边形OMEN是正方形，
∵OE＝2，
∴2NE2＝OE2＝（2）2＝8，
∴NE＝ON＝2，
∵DE+CE＝DE+EM+MC＝DE+EM+DN＝EN+EM＝2EN＝4，
设DE＝a，CE＝b，
∴a+b＝4，
∵CE?DE＝4，
CD2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝42﹣2×4＝8，
∴S正方形ABCD＝8．
故选：D．
9．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝BO，∠BAD＝∠ABE＝90°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝45°，
又∵∠CAE＝15°，
∴∠BAO＝45°+15°＝60°，
∴△ABO是等边三角形，
∴AB＝BO，
又∵∠BAE＝45°＝∠AEB，
∴AB＝EB，
∴BO＝BE，
∴∠BOE＝＝75°，
∴∠COE＝180°﹣∠AOB﹣∠BOE＝180°﹣60°﹣75°＝45°，
故选：A．
10．解：∵P、M分别是AB、AC的中点，
∴PM是△ABC的中位线，
∴PM＝BC＝3，PM∥BC，
∴∠APM＝∠CBA＝70°，
同理可得，PN是△ABD的中位线，
∴PN＝AD＝3，PN∥AD，
∴∠BPN＝∠DAB＝50°，
∴∠MPN＝180°﹣50°﹣70°＝60°，
又∵PM＝PN，
∴△PMN为等边三角形，
∴PM＝MN＝PN＝3，
∴△PMN的周长＝9，
故选：B．
11．解：延长CD交FG于H，如图所示：
∵矩形ABCD和矩形AEFG的一组邻边长分别为5和12，
∴∠ADC＝∠BCD＝∠B＝∠G＝90°，AB＝CD＝GF＝12，AD＝BC＝AG＝5，AE∥GF，
∴BG＝AG+AB＝17，∠DHG＝∠ADC＝90°，
∴∠CHF＝90°，四边形BCHG是矩形，
∴CH＝BG＝17，GH＝BC＝5，
∴HF＝GF﹣GH＝12﹣5＝7，
∴CF＝＝＝13，
故答案为：13．
12．解：∵四边形ABCD是菱形，AB＝5，AC＝6．
∴AB＝BC＝CD＝DA＝5，AC⊥BD，OA＝OC＝3，
∴OB＝＝＝4，
∴BD＝2OB＝8，
∵，∴＝5DE，
解得，DE＝，故答案为：．
13．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠C＝∠ADC＝90°，AB＝DC，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CED，
∵∠BAD的平分线交BC于点E，
∴∠BAE＝∠DAH＝45°，
∴△ABE和△ADH是等腰直角三角形，
∴AE＝AB，AD＝AH，
∵AD＝AB＝AH，
∴AD＝AE，AB＝AH＝DH＝DC，
∴∠ADE＝∠AED，
∴∠AED＝∠CED，
∴①正确；
在△ABE和△AHD中，
，
∴△ABE≌△AHD（AAS），故②正确；
∴BE＝DH，
∵AB＝AH，
∵∠AHB＝（180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠OHE＝∠AHB＝67.5°，
∴∠DHO＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∵∠EBH＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∴∠EBH＝∠OHD，
在△BEH和△HDF中，
，
∴△BEH≌△HDF（ASA），
∴BH＝HF，故④正确；
∵AB＝AH，∠BAE＝45°，
∴△ABH不是等边三角形，
∴AB≠BH，
∴即AB≠HF，故③错误；
过H作HK⊥BC于K，
可知KC＝BC，HK＝KE，
由上知HE＝EC，
∴BC＝KE十EC，
又KE＝HK＝FC，HE＝EC，
故BC＝HK+HE，BC＝2HK+2HE＝FC+2HE
∴⑤正确；
故答案为：①②④⑤．
14．解：连接OP，如图所示：
∵矩形ABCD的两边AB＝3，BC＝4，
∴S矩形ABCD＝AB?BC＝12，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，AC＝＝5，
∴S△AOD＝S矩形ABCD＝3，OA＝OD＝，
∴S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA?PE+OD?PF＝OA（PE+PF）＝×（PE+PF）＝3，
∴PE+PF＝，
故答案为：．
15．解：分两种情况；
①如图1所示：
在?ABCD中，BC边上的高AE为4，AB＝5，AC＝2，
∴EC＝＝＝2，
BE＝＝＝3，
∴BC＝BE+CE＝3+2＝5；
②如图2所示：
同①得：EC＝2，AB＝CD＝5，BE＝3，
∴BC＝BE﹣EC＝3﹣2＝1；
综上所述，BC的长为5或1，
故答案为：5或1．
16．解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠BAE＝∠DAE＝45°，∠ABC＝90°．
∵∠CBF＝18°，
∴∠ABE＝72°，
∴∠AEB＝180°﹣∠BAE﹣∠ABE＝180°﹣45°﹣72°＝63°．
∵AE＝AE，∠BAE＝∠DAE，AB＝AD，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴∠AED＝∠AEB＝63°．
故答案为：63．
17．解：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED为平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝5，OB＝OD＝BD＝12，
∴∠DOC＝90°，CD＝＝＝13，
∴平行四边形OCED为矩形，
∴OE＝CD＝13，
故答案为：13．
18．解：作PM⊥AD于M，交BC于N．
则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，
∴S△ADC＝S△ABC，S△AMP＝S△AEP，S△PBE＝S△PBN，S△PFD＝S△PDM，S△PFC＝S△PCN，
∴S△DFP＝S△PBE＝×3×5＝7.5，
∴S阴＝7.5+7.5＝15，
故答案为：15．
19．解：∵O（0，0）、A（3，0），
∴OA＝3，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴BC∥OA，BC＝OA＝3，
∵B（3，2），
∴点C的坐标为（3﹣3，2），
即C（0，2）；
同理可得：C（6，2）或（0，﹣2）；
故答案为：（0，2）或（6，2）或（0，﹣2）．
20．解：连接CH并延长交AD于P，连接PE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝2，
∵E，F分别是边AB，BC的中点，
∴AE＝CF＝×2＝1，
∵AD∥BC，
∴∠DPH＝∠FCH，
∵∠DHP＝∠FHC，
∵DH＝FH，
∴△PDH≌△CFH（AAS），
∴PD＝CF＝1，
∴AP＝AD﹣PD＝1，
∴PE＝＝，
∵点G，H分别是EC，FD的中点，
∴GH＝EP＝．
21．解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴BD＝DC＝3，AD⊥BC，
由勾股定理得，AD＝＝4，
∴△ABC的面积＝×BC×AD＝6，
∵AD是△ABC的中线，
∴△ADC的面积＝×△ABC的面积＝3，
∵DE是△ADC的中线，
∴△CDE的面积＝×△ADC的面积＝，
故答案为：．
22．（1）证明：∵BE∥AC，CE∥BD，
∴BE∥OC，CE∥OB，
∴四边形OBEC为平行四边形，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠BOC＝90°，
∴四边形OBEC是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD＝AB，OB＝OD，OA＝OC，
∵∠DAB＝60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴BD＝AD＝AB＝2，
∴OD＝OB＝，
在Rt△AOD中，AO＝＝＝3
∴OC＝OA＝3，
∵四边形OBEC是矩形，
∴BE＝OC＝3．
23．解：（1）∵正方形ABCD的面积是8，
∴BC＝CD＝＝2，
∴BD＝×2＝4．
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DCO＝∠BCO＝∠CDO＝∠MBN＝45°，
∵CM平分∠ACD，
∴∠DCM＝∠MCO＝22.5°，
∴∠BMC＝∠CDO+∠DCM＝45°+22.5°＝67.5°．
∵MN⊥CM，
∴∠CMN＝90°，
∴∠BMN＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∴∠BMN的度数为22..5°．
（2）∵∠MCO＝22.5°，∠BCO＝45°，
∴∠BCM＝∠BCO+∠MCO＝67.5°，
又∵∠BMC＝67.5°，
∴∠BCM＝∠BMC，
∴BM＝BC＝CD＝2，
∴DM＝BD﹣BM＝4﹣2．
∵∠DCM＝22.5°，∠BMN＝22.5°，
∴∠DCM＝∠BMN．
∴在△DCM和△BMN中，
，
∴△DCM≌△BMN（ASA），
∴BN＝DM＝4﹣2，
∴BN的长为4﹣2．
24．证明：连接BD，取BD的中点P，连接EP，FP，
∵E、F、P分别是DC、AB、BD边的中点，
∴EP是△BCD的中位线，PF是△ABD的中位线，
∴PF＝AD，PF∥AD，EP＝BC，EP∥BC，
∴∠H＝∠PFE，∠BGF＝∠FEP，
∵AD＝BC，
∴PE＝PF，
∴∠PEF＝∠PFE，
∴∠AHF＝∠BGF．
25．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴BE＝OB，DF＝OD，
∴BE＝DF，
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）解：当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：
∵AC＝2OA，AC＝2AB，
∴AB＝OA，
∵E是OB的中点，
∴AG⊥OB，
∴∠OEG＝90°，
同理：CF⊥OD，
∴AG∥CF，
∴EG∥CF，
∵EG＝AE，OA＝OC，
∴OE是△ACG的中位线，
∴OE∥CG，
∴EF∥CG，
∴四边形EGCF是平行四边形，
∵∠OEG＝90°，
∴四边形EGCF是矩形．
26．解：（1）连接AC，如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABE＝∠ADF，
在△ABE和△ADF中，，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AC⊥BD，
∵EC＝4，AE＝8，AE⊥BC，
∴，
设AB＝BC＝x，则BE＝BC﹣EC＝x﹣4，
在Rt△ABE中，AE2+BE2＝AB2，则82+（x﹣4）2＝x2，
解得，x＝10，即AB＝BC＝10，
∴，
∴，
解得，BD＝8；
（2）如图，延长AM、EC交于点F，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠D＝∠FCM，∠DAM＝∠F，
∵点M为CD的中点，
∴DM＝CM，
在△ADM和△FCM中，，
∴△ADM≌△FCM（AAS），
∴AM＝FM＝，
∴EM是Rt△AEF斜边AF上的中线，
∴，
即AM＝EM．
27．（1）证明：∵矩形ABCD，
∴∠BAF＝∠ABE＝90°，
∵EF⊥AD，
∴四边形ABEF是矩形，
∵AE平分∠BAD，
∴EF＝EB，
∴四边形ABEF是正方形；
（2）∵AE平分∠BAD，
∴∠DAG＝∠BAE，
在△AGD和△ABE中，，
∴△AGD≌△ABE（AAS），
∴AB＝AG
（3）∵四边形ABEF是正方形，
∴AB＝AF＝1，
∵△AGD≌△ABE，
∴DG＝AB＝AF＝AG＝1，
∵AD＝AE，
∴AD﹣AF＝AE﹣AG，
即DF＝EG，
在△DFO和△EGO中，，
∴△DFO≌△EGO（AAS），
∴FO＝GO，FD＝EG
∵∠DAE＝∠AEF＝45°，∠AFE＝∠AGD＝90°，
∴DF＝FO＝OG＝EG，
∴DO＝OF＝OG，
∴DG＝DO+OG＝OG+OG＝1，
∴OG＝＝﹣1，
∴OD＝（﹣1）＝2﹣．
28．解：（1）证明：∵四边形ABCD与四边形CFGM都是正方形，
∴∠BCM＝∠FCD＝90°，BC＝CD，CM＝CF．
在△BCM和△DCF中，
，
∴△BCM≌△DCF（SAS）．
∴DF＝BM，∠CFD＝∠CMB．
∵∠BMC+∠CBM＝90°，
∴∠CBM+∠CFD＝90°，
∴∠BEF＝90°，
∴DF⊥BM；
（2）①成立．
∵四边形ABCD与四边形CFGM都是正方形，
∴∠BCM＝∠FCD＝90°，BC＝CD，CM＝CF．
在△BCM和△DCF中，
，
∴△BCM≌△DCF（SAS）．
∴DF＝BM，∠CFD＝∠CMB．
∵∠BMC+∠CBM＝90°，
∴∠CBM+∠CFD＝90°，
∴∠BEF＝90°，
∴DF⊥BM；
②设正方形ABCD的边长为x，则BC＝CD＝x，
∴BD＝＝x，
∵正方形CFGM的边长为1，
∴BF＝BC+CF＝x+1．
∵BD＝BF，
∴x＝x+1，
∴x＝+1．
∴4x＝4+4．
∴正方形ABCD的周长为4+4．
29．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，CD∥AB，
∴∠CEB＝∠FBA，
∵AF⊥BE，
∴∠AFB＝90°＝∠C，
在△BCE和△AFB中，
，
∴△BCE≌△AFB（ASA），
∴BC＝AF；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，AD＝BC，
∵BC＝AF，
∴AD＝AF，
∵AF⊥BE，
∴∠AFE＝90°＝∠D，
在Rt△ADE和Rt△AFE中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△AFE（HL），
∴∠AED＝∠AEF，
∵∠AEB＝2∠CEB，
∴∠AED＝∠AEB＝2∠CEB，
∵∠AED+∠AEB+∠CEB＝180°，
∴5∠CEB＝180°，
∴∠CEB＝36°，
∴∠AEB＝72°，
∵∠AFE＝90°，
∴∠EAF＝180°﹣∠AFE﹣∠AEB＝180°﹣90°﹣72°＝18°
1．如图，两个全等的矩形纸片重叠在一起，矩形的长和宽分别是8和6，则重叠部分的四边形周长是（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
2．如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE＝CF；②∠AEB＝75°；③BE+DF＝EF；④正方形对角线AC＝1+，其中正确的序号是（ ）
A．①②④ B．①② C．②③④ D．①③④
3．如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，若∠BAD＝70°，则∠CFD等于（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
4．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，则下列结论错误的是（ ）
A．GF＝AD B．EF＝AC C．GE＝BC D．GE＝GF
5．如图，在等边△ABC中，BC＝8cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以3cm/s的速度运动，E、F同时出发．设运动时间为t（s），当t＝（ ）s时，以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
A．1或2 B．2 C．2或3 D．2或4
6．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则PM的最小值为（ ）
A．5 B．2.5 C．4.8 D．2.4
7．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是线段OA、OB的中点，若AC+BD＝32cm，△OEF的周长为13cm，则CD的长为（ ）
A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm
8．如图，四边形ABCD为正方形，O为AC、BD的交点，△DCE为Rt△，∠CED＝90°，OE＝2，若CE?DE＝4，则正方形的面积为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
9．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠BAD的平分线交BC于E，若∠EAC＝15°，则∠COE＝（ ）
A．45° B．60° C．75° D．30°
10．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，P、M、N分别是AB、AC、BD的中点，若BC＝6，则△PMN的周长是（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
11．如图所示，将一组邻边长分别为5和12的两个矩形ABCD和矩形AEFG拼成“L”形图案，则线段CF的长为 ．
12．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6．过点D作BA的垂线，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为 ．
13．如图，在矩形ABCD中，AD＝AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，证明下列结论①∠AED＝∠CED，②△ABE≌△AHD，③HF＝AB，④H是BF中点，⑤BC﹣CF＝2HE．其中正确的结论有 ．
14．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足分别为E、F．求PE+PF＝ ．
15．在?ABCD中，AB＝5，AC＝，BC边上的高为4，则BC＝ ．
16．如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF＝18°，则∠AED等于 度．
17．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC＝10，BD＝24，则OE的长为 ．
18．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB、CD于E、F，连接PB、PD．若AE＝3，PF＝5．则图中阴影部分的面积为 ．
19．在平面直角坐标系xOy中，平行四边形的三个顶点O（0，0），A（3，0），B（3，2），则其第四个顶点C的坐标是 ．
20．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G、H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为 ．
21．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD平分∠BAC交BC于点D，E为AC的中点，连按DE，则△CDE的面积为 ．
22．如图，在菱形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，分别过点B、C作BE∥AC，CE∥BD，BE与CE交于点E．
（1）求证：四边形OBEC是矩形；
（2）当∠ABD＝60°，AD＝2时，求BE的长．
23．如图，已知正方形ABCD的面积是8，连接AC、BD交于点O，CM平分∠ACD交BD于点M，MN⊥CM，交AB于点N，
（1）求∠BMN的度数；
（2）求BN的长．
24．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F分别是边DC、AB的中点，FE的延长线分别AD、BC的延长线交于点H、G，求证：∠AHF＝∠BGF．
25．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与D相交于点O点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当AC＝2AB时，四边形EGCF是什么样的四边形？试说明理由．
26．已知，在?ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且AE＝AF．
（1）如图1，当EC＝4，AE＝8时，求?ABCD的对角线BD的长；
（2）如图2，若点M为CD的中点，连接EM，AM．求证：AM＝EM．
27．如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，EF⊥AD于点F，DG⊥AE于点G，DG与EF交于点O．
（1）求证：四边形ABEF是正方形；
（2）若AD＝AE，求证：AB＝AG；
（3）在（2）的条件下，已知AB＝1，求OD的长．
28．正方形ABCD中，M为射线CD上一点（不与D重合），以CM为边，在正方形ABCD的异侧作正方形CFGM，连接BM，DF，直线BM与DF交于点E．
（1）如图1，若M在CD的延长线上，求证：DF＝BM，DF⊥BM；
（2）如图2，若M移到边CD上．
①在（1）中结论是否仍成立？（直接回答不需证明）
②连接BD，若BD＝BF，且正方形CFGM的边长为1，试求正方形ABCD的周长．
29．如图，点E在矩形ABCD的边CD上，连接AE，BE，过点A作AF⊥BE于点F，且CE＝BF．
（1）证明：BC＝AF；
（2）若∠AEB＝2∠CEB，求∠EAF的度数．
参考答案
1．解：如图所示：
由题意得：矩形BFDE≌矩形BHDG，
∴∠G＝90°，DG＝DE＝6，BG∥DH，BE∥DF，BG＝8，
∴四边形ABCD平行四边形，
∴平行四边形ABCD的面积＝AD×DG＝CD×DE，
∴AD＝CD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴CD＝BC＝AB＝AD，
设CD＝BC＝x，则CG＝8﹣x，
在Rt△CDG中，由勾股定理得：62+（8﹣x）2＝x2，
解得：x＝，
∴CD＝，
∴四边形ABCD的周长＝4CD＝25；
故选：D．
2．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE＝AF，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE＝DF，
∵BC＝DC，
∴BC﹣BE＝CD﹣DF，
∴CE＝CF，故①正确；
∵CE＝CF，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴∠CEF＝45°，
∵∠AEF＝60°，
∴∠AEB＝75°，故②正确；
如图，连接AC，交EF于G点，
∴AC⊥EF，且AC平分EF，
∵∠CAF≠∠DAF，
∴DF≠FG，
∴BE+DF≠EF，故③错误；
∵△AEF是边长为2的等边三角形，∠ACB＝∠ACD，
∴AC⊥EF，EG＝FG，
∴AG＝AE?sin60°＝2×＝，CG＝EF＝1，
∴AC＝AG+CG＝+1；故④正确．
所以其中正确的序号是：①②④．
故选：A．
3．解：连接BF，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAC＝∠BAD＝×70°＝35°，∠BCF＝∠DCF＝∠BAC，BC＝DC，∠ABC＝180°﹣∠BAD＝180°﹣70°＝110°，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴AF＝BF，
∴∠DCF＝∠ABF＝∠BAC＝35°，
∴∠CBF＝∠ABC﹣∠ABF＝110°﹣35°＝75°，
在△BCF和△DCF中，
，
∴△BCF≌△DCF（SAS），
∴∠CDF＝∠CBF＝75°，
∴∠CFD＝180°﹣∠CDF﹣∠DCF＝180°﹣75°﹣35°＝70°，
故选：C．
4．解：∵E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，
∴，，，
故选项A，C正确，
∵AD＝BC，
∴GE＝GF，
故选项D正确，
∵EF不一定等于AG，
故选项B不正确；
故选：B．
5．解：当点F在C的左侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝3tcm，
则CF＝BC﹣BF＝（8﹣3t）cm，
∵AG∥BC，
∴当AE＝CF时，四边形AECF是平行四边形，
即t＝8﹣3t，
解得：t＝2；
当点F在C的右侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝3tcm，
则CF＝BF﹣BC＝（3t﹣8）cm，
∵AG∥BC，
∴当AE＝CF时，四边形AEFC是平行四边形，
即t＝3t﹣8，
解得：t＝4；
综上可得：当t＝2或4s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形，
故选：D．
6．解：连接AP，如图所示：
∵∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，
∴BC＝＝10，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF＝AP，EF与AP互相平分，
∵M是EF的中点，
∴M为AP的中点，
∴PM＝AP，
根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，
即AP⊥BC时，AP最短，同样PM也最短，
∴当AP⊥BC时，AP＝＝4.8，
∴AP最短时，AP＝4.8，
∴当PM最短时，PM＝AP＝2.4．
故选：D．
7．解：∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴OA＝AC，OB＝BD，CD＝AB，
∵AC+BD＝32cm，
∴OA+OB＝16cm，
∵点E，F分别是线段AO，BO的中点，
∴OE+OF＝OA+OB＝8cm，
∵△OEF的周长为13cm，
∴EF＝5cm，
∴AB＝2EF＝10cm，
∴CD＝10cm．
故选：B．
8．解：如图，过点O作OM⊥CE于M，作ON⊥DE交ED的延长线于N，
∵∠CED＝90°，
∴四边形OMEN是矩形，
∴∠MON＝90°，
∵∠COM+∠DOM＝∠DON+∠DOM，
∴∠COM＝∠DON，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OC＝OD，
在△COM和△DON中，
，
∴△COM≌△DON（AAS），
∴OM＝ON，CM＝DN，
∴四边形OMEN是正方形，
∵OE＝2，
∴2NE2＝OE2＝（2）2＝8，
∴NE＝ON＝2，
∵DE+CE＝DE+EM+MC＝DE+EM+DN＝EN+EM＝2EN＝4，
设DE＝a，CE＝b，
∴a+b＝4，
∵CE?DE＝4，
CD2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝42﹣2×4＝8，
∴S正方形ABCD＝8．
故选：D．
9．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝BO，∠BAD＝∠ABE＝90°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝45°，
又∵∠CAE＝15°，
∴∠BAO＝45°+15°＝60°，
∴△ABO是等边三角形，
∴AB＝BO，
又∵∠BAE＝45°＝∠AEB，
∴AB＝EB，
∴BO＝BE，
∴∠BOE＝＝75°，
∴∠COE＝180°﹣∠AOB﹣∠BOE＝180°﹣60°﹣75°＝45°，
故选：A．
10．解：∵P、M分别是AB、AC的中点，
∴PM是△ABC的中位线，
∴PM＝BC＝3，PM∥BC，
∴∠APM＝∠CBA＝70°，
同理可得，PN是△ABD的中位线，
∴PN＝AD＝3，PN∥AD，
∴∠BPN＝∠DAB＝50°，
∴∠MPN＝180°﹣50°﹣70°＝60°，
又∵PM＝PN，
∴△PMN为等边三角形，
∴PM＝MN＝PN＝3，
∴△PMN的周长＝9，
故选：B．
11．解：延长CD交FG于H，如图所示：
∵矩形ABCD和矩形AEFG的一组邻边长分别为5和12，
∴∠ADC＝∠BCD＝∠B＝∠G＝90°，AB＝CD＝GF＝12，AD＝BC＝AG＝5，AE∥GF，
∴BG＝AG+AB＝17，∠DHG＝∠ADC＝90°，
∴∠CHF＝90°，四边形BCHG是矩形，
∴CH＝BG＝17，GH＝BC＝5，
∴HF＝GF﹣GH＝12﹣5＝7，
∴CF＝＝＝13，
故答案为：13．
12．解：∵四边形ABCD是菱形，AB＝5，AC＝6．
∴AB＝BC＝CD＝DA＝5，AC⊥BD，OA＝OC＝3，
∴OB＝＝＝4，
∴BD＝2OB＝8，
∵，∴＝5DE，
解得，DE＝，故答案为：．
13．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠C＝∠ADC＝90°，AB＝DC，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CED，
∵∠BAD的平分线交BC于点E，
∴∠BAE＝∠DAH＝45°，
∴△ABE和△ADH是等腰直角三角形，
∴AE＝AB，AD＝AH，
∵AD＝AB＝AH，
∴AD＝AE，AB＝AH＝DH＝DC，
∴∠ADE＝∠AED，
∴∠AED＝∠CED，
∴①正确；
在△ABE和△AHD中，
，
∴△ABE≌△AHD（AAS），故②正确；
∴BE＝DH，
∵AB＝AH，
∵∠AHB＝（180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠OHE＝∠AHB＝67.5°，
∴∠DHO＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∵∠EBH＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∴∠EBH＝∠OHD，
在△BEH和△HDF中，
，
∴△BEH≌△HDF（ASA），
∴BH＝HF，故④正确；
∵AB＝AH，∠BAE＝45°，
∴△ABH不是等边三角形，
∴AB≠BH，
∴即AB≠HF，故③错误；
过H作HK⊥BC于K，
可知KC＝BC，HK＝KE，
由上知HE＝EC，
∴BC＝KE十EC，
又KE＝HK＝FC，HE＝EC，
故BC＝HK+HE，BC＝2HK+2HE＝FC+2HE
∴⑤正确；
故答案为：①②④⑤．
14．解：连接OP，如图所示：
∵矩形ABCD的两边AB＝3，BC＝4，
∴S矩形ABCD＝AB?BC＝12，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，AC＝＝5，
∴S△AOD＝S矩形ABCD＝3，OA＝OD＝，
∴S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA?PE+OD?PF＝OA（PE+PF）＝×（PE+PF）＝3，
∴PE+PF＝，
故答案为：．
15．解：分两种情况；
①如图1所示：
在?ABCD中，BC边上的高AE为4，AB＝5，AC＝2，
∴EC＝＝＝2，
BE＝＝＝3，
∴BC＝BE+CE＝3+2＝5；
②如图2所示：
同①得：EC＝2，AB＝CD＝5，BE＝3，
∴BC＝BE﹣EC＝3﹣2＝1；
综上所述，BC的长为5或1，
故答案为：5或1．
16．解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠BAE＝∠DAE＝45°，∠ABC＝90°．
∵∠CBF＝18°，
∴∠ABE＝72°，
∴∠AEB＝180°﹣∠BAE﹣∠ABE＝180°﹣45°﹣72°＝63°．
∵AE＝AE，∠BAE＝∠DAE，AB＝AD，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴∠AED＝∠AEB＝63°．
故答案为：63．
17．解：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED为平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝5，OB＝OD＝BD＝12，
∴∠DOC＝90°，CD＝＝＝13，
∴平行四边形OCED为矩形，
∴OE＝CD＝13，
故答案为：13．
18．解：作PM⊥AD于M，交BC于N．
则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，
∴S△ADC＝S△ABC，S△AMP＝S△AEP，S△PBE＝S△PBN，S△PFD＝S△PDM，S△PFC＝S△PCN，
∴S△DFP＝S△PBE＝×3×5＝7.5，
∴S阴＝7.5+7.5＝15，
故答案为：15．
19．解：∵O（0，0）、A（3，0），
∴OA＝3，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴BC∥OA，BC＝OA＝3，
∵B（3，2），
∴点C的坐标为（3﹣3，2），
即C（0，2）；
同理可得：C（6，2）或（0，﹣2）；
故答案为：（0，2）或（6，2）或（0，﹣2）．
20．解：连接CH并延长交AD于P，连接PE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝2，
∵E，F分别是边AB，BC的中点，
∴AE＝CF＝×2＝1，
∵AD∥BC，
∴∠DPH＝∠FCH，
∵∠DHP＝∠FHC，
∵DH＝FH，
∴△PDH≌△CFH（AAS），
∴PD＝CF＝1，
∴AP＝AD﹣PD＝1，
∴PE＝＝，
∵点G，H分别是EC，FD的中点，
∴GH＝EP＝．
21．解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴BD＝DC＝3，AD⊥BC，
由勾股定理得，AD＝＝4，
∴△ABC的面积＝×BC×AD＝6，
∵AD是△ABC的中线，
∴△ADC的面积＝×△ABC的面积＝3，
∵DE是△ADC的中线，
∴△CDE的面积＝×△ADC的面积＝，
故答案为：．
22．（1）证明：∵BE∥AC，CE∥BD，
∴BE∥OC，CE∥OB，
∴四边形OBEC为平行四边形，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠BOC＝90°，
∴四边形OBEC是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD＝AB，OB＝OD，OA＝OC，
∵∠DAB＝60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴BD＝AD＝AB＝2，
∴OD＝OB＝，
在Rt△AOD中，AO＝＝＝3
∴OC＝OA＝3，
∵四边形OBEC是矩形，
∴BE＝OC＝3．
23．解：（1）∵正方形ABCD的面积是8，
∴BC＝CD＝＝2，
∴BD＝×2＝4．
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DCO＝∠BCO＝∠CDO＝∠MBN＝45°，
∵CM平分∠ACD，
∴∠DCM＝∠MCO＝22.5°，
∴∠BMC＝∠CDO+∠DCM＝45°+22.5°＝67.5°．
∵MN⊥CM，
∴∠CMN＝90°，
∴∠BMN＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∴∠BMN的度数为22..5°．
（2）∵∠MCO＝22.5°，∠BCO＝45°，
∴∠BCM＝∠BCO+∠MCO＝67.5°，
又∵∠BMC＝67.5°，
∴∠BCM＝∠BMC，
∴BM＝BC＝CD＝2，
∴DM＝BD﹣BM＝4﹣2．
∵∠DCM＝22.5°，∠BMN＝22.5°，
∴∠DCM＝∠BMN．
∴在△DCM和△BMN中，
，
∴△DCM≌△BMN（ASA），
∴BN＝DM＝4﹣2，
∴BN的长为4﹣2．
24．证明：连接BD，取BD的中点P，连接EP，FP，
∵E、F、P分别是DC、AB、BD边的中点，
∴EP是△BCD的中位线，PF是△ABD的中位线，
∴PF＝AD，PF∥AD，EP＝BC，EP∥BC，
∴∠H＝∠PFE，∠BGF＝∠FEP，
∵AD＝BC，
∴PE＝PF，
∴∠PEF＝∠PFE，
∴∠AHF＝∠BGF．
25．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴BE＝OB，DF＝OD，
∴BE＝DF，
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）解：当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：
∵AC＝2OA，AC＝2AB，
∴AB＝OA，
∵E是OB的中点，
∴AG⊥OB，
∴∠OEG＝90°，
同理：CF⊥OD，
∴AG∥CF，
∴EG∥CF，
∵EG＝AE，OA＝OC，
∴OE是△ACG的中位线，
∴OE∥CG，
∴EF∥CG，
∴四边形EGCF是平行四边形，
∵∠OEG＝90°，
∴四边形EGCF是矩形．
26．解：（1）连接AC，如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABE＝∠ADF，
在△ABE和△ADF中，，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AC⊥BD，
∵EC＝4，AE＝8，AE⊥BC，
∴，
设AB＝BC＝x，则BE＝BC﹣EC＝x﹣4，
在Rt△ABE中，AE2+BE2＝AB2，则82+（x﹣4）2＝x2，
解得，x＝10，即AB＝BC＝10，
∴，
∴，
解得，BD＝8；
（2）如图，延长AM、EC交于点F，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠D＝∠FCM，∠DAM＝∠F，
∵点M为CD的中点，
∴DM＝CM，
在△ADM和△FCM中，，
∴△ADM≌△FCM（AAS），
∴AM＝FM＝，
∴EM是Rt△AEF斜边AF上的中线，
∴，
即AM＝EM．
27．（1）证明：∵矩形ABCD，
∴∠BAF＝∠ABE＝90°，
∵EF⊥AD，
∴四边形ABEF是矩形，
∵AE平分∠BAD，
∴EF＝EB，
∴四边形ABEF是正方形；
（2）∵AE平分∠BAD，
∴∠DAG＝∠BAE，
在△AGD和△ABE中，，
∴△AGD≌△ABE（AAS），
∴AB＝AG
（3）∵四边形ABEF是正方形，
∴AB＝AF＝1，
∵△AGD≌△ABE，
∴DG＝AB＝AF＝AG＝1，
∵AD＝AE，
∴AD﹣AF＝AE﹣AG，
即DF＝EG，
在△DFO和△EGO中，，
∴△DFO≌△EGO（AAS），
∴FO＝GO，FD＝EG
∵∠DAE＝∠AEF＝45°，∠AFE＝∠AGD＝90°，
∴DF＝FO＝OG＝EG，
∴DO＝OF＝OG，
∴DG＝DO+OG＝OG+OG＝1，
∴OG＝＝﹣1，
∴OD＝（﹣1）＝2﹣．
28．解：（1）证明：∵四边形ABCD与四边形CFGM都是正方形，
∴∠BCM＝∠FCD＝90°，BC＝CD，CM＝CF．
在△BCM和△DCF中，
，
∴△BCM≌△DCF（SAS）．
∴DF＝BM，∠CFD＝∠CMB．
∵∠BMC+∠CBM＝90°，
∴∠CBM+∠CFD＝90°，
∴∠BEF＝90°，
∴DF⊥BM；
（2）①成立．
∵四边形ABCD与四边形CFGM都是正方形，
∴∠BCM＝∠FCD＝90°，BC＝CD，CM＝CF．
在△BCM和△DCF中，
，
∴△BCM≌△DCF（SAS）．
∴DF＝BM，∠CFD＝∠CMB．
∵∠BMC+∠CBM＝90°，
∴∠CBM+∠CFD＝90°，
∴∠BEF＝90°，
∴DF⊥BM；
②设正方形ABCD的边长为x，则BC＝CD＝x，
∴BD＝＝x，
∵正方形CFGM的边长为1，
∴BF＝BC+CF＝x+1．
∵BD＝BF，
∴x＝x+1，
∴x＝+1．
∴4x＝4+4．
∴正方形ABCD的周长为4+4．
29．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，CD∥AB，
∴∠CEB＝∠FBA，
∵AF⊥BE，
∴∠AFB＝90°＝∠C，
在△BCE和△AFB中，
，
∴△BCE≌△AFB（ASA），
∴BC＝AF；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，AD＝BC，
∵BC＝AF，
∴AD＝AF，
∵AF⊥BE，
∴∠AFE＝90°＝∠D，
在Rt△ADE和Rt△AFE中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△AFE（HL），
∴∠AED＝∠AEF，
∵∠AEB＝2∠CEB，
∴∠AED＝∠AEB＝2∠CEB，
∵∠AED+∠AEB+∠CEB＝180°，
∴5∠CEB＝180°，
∴∠CEB＝36°，
∴∠AEB＝72°，
∵∠AFE＝90°，
∴∠EAF＝180°﹣∠AFE﹣∠AEB＝180°﹣90°﹣72°＝18°