四川省成都市高新区2021届高三下学期3月月考理科数学试题 Word版含答案

成都市高新区2018级高三3月月考
数 学 试 题（理科）
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合false，false，则false
A．false B．false C．false D．false
2．设复数z满足false，则false
A．1 B．2 C．false D．false
3．已知等比数列false的前n项和为false，若false，false，则false的公比为
A．false或false B．false或false C．false或false D．false或false
36525202571754．为了解户籍性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为false的调查样本，其中城镇户籍与农民户籍各false人；男性false人，女性false人.绘制不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图（如图所示），其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述中错误的是
A．是否倾向选择生育二胎与户籍有关
B．是否倾向选择生育二胎与性别无关
C．倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数相同
D．倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数
5．若向量false，false满足false，false，false，则false
A．false B．false C．false D．false
6．已知焦点为false的抛物线false上有一点false，以false为圆心，false为半径的圆被false轴截得的弦长为false，则false
A．2或false B．2 C．1 D．1或false
7．已知平面false，直线false，且有false，false，给出下列命题：①若false，则false；②若false，则false；③若false，则false；④若false，则false. 其中正确命题有
A．①④ B．①② C．②③ D．③④
8．已知false，则false的大小关系为
A．false B．false C．false D．false
9．将偶函数false的图象向右平移false个单位，得到false的图象，则false的一个单调递增区间为
A．false B．false C．false D．false
10．已知函数false，“函数false在false上有两个不相等的零点”是“false”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
11．已知双曲线false：false(false，false)的左?右焦点分别为false，false，且以false为直径的圆与双曲线false的右支交于false，直线false与false的左支交于false，若false，则双曲线false的离心率为
A．false B．false C．false D．false
12．已知false，false，记false，则false的最小值为
A．false B．false C．false D．false

第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．若实数false满足不等式组false则目标函数false的最大值为 ▲ ．
14．false的展开式中各项系数之和为81，则展开式中false的系数为 ▲ ．
15．已知圆台内有一个球，该球与此圆台的上下两个底面及母线都相切，若圆台的上，下两个底面的半径分别为false，那么这个球的体积为 ▲ ．
16．已知数列false的前n项和为false，数列false的前n项和为false，满足false，且false.则false ▲ ；若存在false，使得false成立，则实数false的最小值为 ▲ ．
三、解答题：本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．(本小题满分12分)
已知在false中，角false的对边分别为false，且false.
（1）求角false的大小；
（2）若false，求false面积的最大值.
18．(本小题满分12分)
2020年是让人难忘的一年，为了战胜疫情，全国人民万众一心，同舟共济，众志成城.隔离期间，教育部门倡导学生停课不停学，建议学生在家进行网课学习，为了解全校高中学生在家上网课的时长，随机从高一高二两个年级中各选择了10名同学，统计了学生在家一周上网课的时长，统计结果如下(单位：小时)：其中，高一年级中有一个数据模糊.
高一年级
高二年级
9 7
4 6
false 4 3 1
2 0
0
1
2
3
4
2 6
0 1 2 2 6 7
0
（1）若高一年级的平均时长小于高二年级的平均时长，设false，求图中false的所有可能值；
（2）将两个年级中学习时长超过25小时的学生称为“学习达人”.设false，现从所有“学习达人”中任选3人，求高一年级的人数false的分布列和数学期望；
（3）记高二年级学习时间的方差为false，若在高二年级中增加一名学生false得到一组新的数据，若该名学生的学习时长为20，记新数据的方差为false，比较false与false的大小(直接写结论).
46964604889519．(本小题满分12分)
如图所示，四棱柱false的底面是菱形，侧棱垂直于底面，点false，false分别在棱false上，且满足false，false，平面false与平面false的交线为false.
（1）证明：直线false平面false；
（2）已知false，设false与平面false所成的角为false，求false的取值范围.
20．(本小题满分12分)
已知椭圆C：false的左、右顶点分别为false，上、下顶点分别为false，四边形false的面积为false，坐标原点O到直线false的距离为false.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l与椭圆C相交于A，B两点，点P为椭圆C上异于A，B的一点，四边形false为平行四边形，探究：平行四边形false的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.
21．(本小题满分12分)
已知函数false.
（1）当false时，讨论函数false的单调性；
（2）当false时，若false，且false在false时恒成立，求实数a的取值范围.
请考生在22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做题的第一题记分.作答时请将答题纸上所选题目对应题号后的方框涂黑.
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，已知曲线false的参数方程为false(false为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线false的极坐标方程为false.
（1）求曲线false与曲线false两交点所在直线的极坐标方程；
（2）若直线false过点false且与直线false:false平行，直线false与曲线false相交于A，B两点，求false的值.
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数false.
（1）求不等式false的解集；
（2）若false的最小值为false，且实数false，满足false，求证：false.
数学试卷（理科） 参考答案
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C
D
A
C
B
B
B
C
A
A
D
B
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．12 14．24 15．false 16．false false （第一空2分，第二空3分.）
三、解答题：本大题共6个小题，共70分.
17．(本小题满分12分)
解：（1）因为false，
由正弦定理，可得false，
整理得false， false2分
又由余弦定理，可得false， false4分
又因为false，所以false. false6分
（2）由（1）知false，
又由false，可得false. false8分
因为false，当且仅当false时等号成立，所以false， false10分
所以false，
即false面积的最大值false. false12分
18．(本小题满分12分)
解：（1）高一年级10名同学学习时长的平均值为false，则：
false； false1分
高二年级10名同学学习时长的平均值为false，则：
false. false2分
因为高一年级的平均时长小于高二年级的平均时长，所以false，解得false， false3分
解得false或false或false或false. false4分
（2）因为false，所以高一年级的“学习达人”有2人，高二年级的“学习达人”有3人.
由题意，随机变量false的所有可能取值为：0，1，2，则：
false. false7分
所以随机变量false的分布列为：
false8分所以false. false10分
（3）false. false12分
386715016891019．（(本小题满分12分)
解：（1）如图，连接false，与false交于点false.
由条件可知false，且false，所以false，
因为false平面false，所以false平面false. false2分
因为四棱柱false的底面是菱形，且侧棱垂直于底面，
所以false，false，
又false，所以false平面false， false4分
因为平面false平面false，所以false.所以false平面false. false6分
（2）如图所示，以false为坐标原点，分别以false，false的方向为false，false轴的正方向建立空间直角坐标系.
332740046990设false，因为false，所以false.
则false，false.
所以false，false，false.
由（1）可知false是平面false的一个法向量， false7分
而false， false8分
所以falsefalse， false10分
当false时，false，
即false. false12分
20．(本小题满分12分)
解：（1）直线false的方程为false， false1分
由题意可得false，解得false， false3分
∴椭圆C的方程为false false4分
（2）当直线false的斜率不存在时，直线false的方程为false，此时false false6分
当直线false的斜率存在时，设false：false，false，false，
联立false，可得false， false7分
则false，
false，false， false8分
false，
∵四边形false为平行四边形，∴false，∴false，
∵点P在椭圆上，∴false，整理得false， false10分
false false11分
原点O到直线false的距离false，
false，
综上，四边形false的面积为定值3. false12分
21．(本小题满分12分)
解：（1）false，
①当false时，false恒成立，
即函数false在false递减； false2分
②当false时，令false，
解得false，
令false，
解得false，
即函数false在false上单调递增，在false上单调递减. false4分
综上，当false时，函数false在false递减；
当false时，函数false在false上单调递增，在false上单调递减. false5分
（2）由题意，即当false时false在false时恒成立，
即false在false时恒成立.
记false，
则false， false6分
记false，
false在false递增，
又false，
当false时，
得false. false8分
下面证明：当false时，false在false时恒成立.
因为false.
所以只需证false在false时恒成立. false10分
记false，
所以false，
又false，
所以false在false单调递增，
又false，
所以false，false单调递减；
false，false单调递增， false11分
所以false，
∴ false在false恒成立.
即false在false时恒成立.
综上可知，当false在false时恒成立时，
实数a的取值范围为false. false12分
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
解：（1）由false(false为参数)，消去参数false，
得曲线false的普通方程为：false， false2分
由false，得false，
得曲线false的直角坐标方程为：false，即false. false3分
所以两方程相减可得交线为false， false4分
所以直线的极坐标方程为falsefalse. false5分
（2）由false:false，得false，
∴直线l的直角坐标方程：false， false6分
直线l的斜率为false，所以直线false的斜率为false，倾斜角为false，
所以直线false的参数方程为false(t为参数) false7分
将直线false的参数方程代入曲线false，false中，
得false.
设A，B两点的参数为false，false，
∴false，false，则false，false异号. false8分
∴false
false. false10分
23．（本小题满分10分）选修4-5 不等式选讲
解：（1）①当false时，不等式即为false，解得false； false1分
②当false时，不等式即为false，false； false2分
③当false时，不等式即为false，false. false3分
综上，不等式false的解集为false. false5分
（2）由绝对值不等式的性质可得：false false7分
false当false时，false取最小值4，即false，即false
false false9分
当且仅当false时等号成立. false10分