4.3公式法(1)—平方差公式(含答案）

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北师大版2020﹣2021学年度下学期八年级数学下册第四章因式分解
4.3
公式法
第1课时——平方差公式
【知识清单】
1．平方差公式:
(1)文字叙述：两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积.
(2)字母表示：a2?b2=(a+b)(a?b).
利用公式把一个多项式分解因式的方法，叫做公式法，公式中的a、b可以是数，也可以是整式(单项式、多项式).
2．能用平方差公式分解因式的多项式的特点：
(1)只有两项(或两个整体)；
(2)两项都能用完全平方表示，即：字母的指数是偶数，系数是完全平方数或写成它的算术平方根的完全平方)；
(3)
两项符号相反(一项为正，一项为负).
【经典例题】
例题1、下列多项式中能用平方差公式分解因式的是(　　)
A．a2+(?b)2
B．3m2?12mn
C．?a2?b2
D．(
m+1)2?(?2?n)2
【考点】因式分解——运用公式法．?
【分析】能用平方差公式分解因式的式子特点是：两项平方项，符号相反．
【解答】A．a2+(?b)2=a2+b2符号相同，不能用平方差公式分解因式，故A选项错误；
B．3m2?12mn两项不都是平方项，不能用平方差公式分解因式，故B选项错误；
C．?a2?b2符号相同，不能用平方差公式分解因式，故C选项错误；
D．(
m+1)2?(?2?n)2=(
m+1)2?(
n+2)2，两项都可以表示成完全平方式，且两项符号相反，
能用平方差公式分解因式，故D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查用平方差公式分解因式的式子特点，两平方项的符号相反，熟记平方差公式的结构特点是解本题的关键．
例题2、分解因式
(1)?x2y+16y；
(2)
18y
2?2(2x?3y
)
2；
(3)
?16(5x+4y
)
2+25(3x?2y
)
2
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】(1)原式先提公因式(当多项式的各项含有公式时，通常先提取这个公因式，然后再进一步因式分解)再利用平方差公式分解即可；(2)原式先提公因式，再变形利用平方差公式分解，然后再合并同类项即可；(3)原式变形利用平方差公式分解，然后必须合并同类项.
【解答】(1)原式=
?y(x2?16)=
?y(x+4)(x?4)；
(2)原式=2[
(3y)2?(2x?3y
)
2]=2[3y+(2x?3y)][
3y?(2x?3y)]
=2(3y+2x?3y)
(3y?2x+3y)
=4x(6y?2x)=8x(3y?x)；
(3)原式=25(3x?2y)
2?16(5x+4y)
2
=[5(3x?2y)]
2?[4(5x+4y)]
2
=[5(3x?2y)+
4(5x+4y)]
[5(3x?2y)?4(5x+4y)]
=(15x?10y+20x+16y)(
15x?10y?20x?16y)
=
?
(35x?6y)(
5x+36y).
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解和化简的方法是解本题的关键．
【夯实基础】
1．下列多项式能用平方差公式分解因式的是(
)
A．x2?xy
B．x2?4x
C．(x?2)2?9
D．?9x2?16
2．若81?k2x4=(9+25x2)(3+5x)(3?5x)，则k的值为(
)
A．?5
B．25
C．±5
D．±25
3．x2021?x2019分解因式的结果是(
)
A．x2019
(x?1)
B．x2020
(x?1)
C．x
2019
(x?1)
(x+1)
D．x
2020
(x?1)
(x+1)
4．(1)如图1，边长为a的大正方形剪下来
一块边长为b的小正方形；
(2)如图2，若将阴影部分裁剪下来，
重新拼成一个矩形；
(3)由图1到图2两图的阴影部分面积，
可以得到公式为(
)(用式子表达)．
A．(a+b)(a?b)
=a2?b2
B．a2?b2=(a+b)(a?b)
C．(a?b)2=a2?2ab+b2
D．(a+b)2=a2+2ab+b2
5．任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n=s×t(s、t是正整数，且s≤t)，如果p×q在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q(p≤q)是n的最佳分解，并规定
F
(n)=．例如：18可以分解成1×18，2×9，3×6，这时就有
F
(18)
==．结合以上信息，给出下列关于F(n)
的说法：①F(2)
=；②F(32)=；③
F(48)
=；④若n是一个整数的平方，则F(n)=1．其中正确的说法有
．(只填序号)
6．直接写出分解因式的结果：
①3a3?27a=
；
②(a+b)3?(a+b)
=
；
③(a?b)2?(a?c)2=
；
④4(m?n)2021+16(n?m)2019=
．
7．分解因式：
(1)
9a3?16a5；
(2)
2(4x?3y
)3+72(3y?4x)；
(3)3a2?12b2?2a+4b；
(4)(3x?2y)2+(4x+3y)2?2y(6x+7y).
8．
运用平方差公式进行简便计算：
(1)392?292；
(2)；
(3)20202
?20192+20182
?20172+…+42
?32+22?1.
9．已知a，b，c是△ABC的三条边，证明：(c?b)2?a2是负数；
【提优特训】
10．小明在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于10的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，他抄在作业本上的式子是(“□”表示漏抄的指数)，则这个指数可能的结果共有(　　)
A．2种
B．3种
C．4种
D．5种
11．把多项式ac+bc+a2?b2分解因式的结果为(
)
A．(a+b)(a?b+c)
B．(a+b)(a?b?c)
C．(a+b)(b?c?a)
D．(a?b)(a?b+c)
12．在实数范围内分解因式x4?9的结果为(
)
A．(x2+3)(x2?3)
B．
(x2+3)
(x+)
(x?)
C.
(x2+3)
2
(x?)
D．(x2?)2
13．已知248?1可以被1至10之间的两个整数整除，则这两个数为(
)
A．6，8
B．7，9
C．8，9
D．6，9
14．(1)已知a+b=3，则a2?b2+6b的值是
.
(2)已知m+n=8，且m2?n2=48，则m=
，n=
．
15．已知两个连续奇数的平方差为2000，则这两个连续奇数可以是
．
16．若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”．如：3=22?12，
7=42?32，
8=32?12，因此3，7，8都是“智慧数”．已知按从小到大顺序构成如下列：
3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，19，20，21，23，24，25，…则数字2019
是第
个“智慧数”，第2019个“智慧数”是
.
17．n为整数，试证明(n+11)2?(n?3)2的值一定能被14整除.
18．阅读下列解题过程，再解答问题：
例题：在Rt△ABC中，一条直角边长为11，另两条边均为正整数，求该三角形的面积.
解：设斜边为c
，另一直角边为a，则c2?a2=112，∴(c?a)(c+a)=121=121×1=11×11，
∵两边均为整数，∴c?a，c+a均为正整数，且c+a>
c?a，∴c?a=1，c+a=121，
解这个方程组得c=61，a=60，该直角三角形的面积为=330.
由上面的解题方法解答下列问题：
已知一个整数的平方减去73得另外一个整数的平方，求这两个数大小.
【中考链接】
19．分解因式：
(2020?长春，泰州)x2?4=
.
(2020?宁波，邵阳，湘西)2x2?18=
.
(2020?温州)
x2?25=
.
(2020?济宁)a3?4a=
.
(2020?东营)12a2?3b2=
；
(2020?绵阳)x3y?4xy3=
.
(2020?呼伦贝尔)
a2b?4b3=
.
(2020?绍兴，盐城)1?x2=
.
(2020?镇江)9x2?1=
.
(2020?凉山)
a3?ab2=
.
(2020?天水，丹东)m3n?mn=
.
(2020?黄石)m3n?mn3=
.
(2020?新疆，青海)
?2a
x2+2ay2=
.
(2020?潍坊，黔东南，昆明，铁岭)
x2y?9y=
；
(2020?舟山，台州，张家界，岳阳，嘉兴)
m2?9=
；
(2020?玉林，常州，深圳，怀化)
a3?a=
.
参考答案
1、C
2、D
3、C
4、B
5、①③④
10、D
11、A
12、B
13、B
14、(1)9，(2)7，1
15、499，501或?501，?499
16、1515
，2695
6．直接写出分解因式的结果：
①3a3?27a=
3a(a+3)
(a?3)
；
②(a+b)3?(a+b)
=
(a+b)(
a+b+1)(
a+b?1)
.
③(a?b)2?(a?c)2=(2a?b?c)(c?b)
；
④4(m?n)2021+16(n?m)2019=
4(m?n)2019
(m?n+2)(
m?n?2)
．
7．分解因式：
(1)
9a3?16a5；
(2)
2(4x?3y
)3+72(3y?4x)；
(3)3a2?12b2?2a+4b；
(4)(3x?2y)2+(4x+3y)2?2y(6x+7y).
解：(1)原式=
a3(9?16a2)=
a3(3+4a)
(3?4a)
；
(2)原式=2
(4x?3y
)
[
(4x?3y
)2?36
]=
2
(4x?3y
)
(4x?3y
+6)(4x?3y
?6)；
(3)原式=(3a2?12b2)?(2a?4b)=3(a2?4b2)?2(a?2b)
=3(a+2b)(
a?2b)
?2(a?2b)
=3
(a?2b)(
a+2b?2)；
(4)
原式=
9x2
?12xy+4y2+16x2+24xy+9y2
?12xy
?14y2
=25x2
?y2=(5x+y)(
5x?y).
8．
运用平方差公式进行简便计算：
(1)392?292；
(2)；
(3)20202
?20192+20182
?20172+…+42
?32+22?1.
解：(1)原式=392?292=(39+29)(
39?29)=680；
(2)原式=
=
=.
(3)原式=20202
?20192+20182
?20172+…+42?32+22?1
=(20202
?20192)+
(20182
?20172)+…+(42
?32)+(22
?1)
=(2020?2019)(
2020+2019)+
(2018?2017)(
2018+2017)+…+(4?3)
(4+3)
+(2?1)
(2+1)
=
(
2020+2019)+
(
2018+2017)+…+
(4+3)+
(2+1)
=(2020+1)×1010=2021×1010.
9．已知a，b，c是△ABC的三条边，证明：(c?b)2?a2是负数；
解：(c?b)2?a2=(c?b?a)(c?b+a)=
(a?b+c)(c?b?a)
∵a，b，c是△ABC的三条边，
∴a?b+
c
>0，c?b?a<0，
∴(a?b+c)(c?b?a)<0，
∴(c?b)2?a2是负数.
17．n为整数，试证明(n+11)2?(n?3)2的值一定能被14整除.
证明：∵(n＋11)2?(n?3)2
　
　＝[(n＋11)＋(n?3)][(n＋11)?(n?3)]
　　
＝(2n＋8)×14＝28(n＋4)
　
　∵28能被14整除
　　
∴28(n＋4)能被14整除
　
　
故(n+11)2?(n?3)2的值一定被14整除.
18．阅读下列解题过程，再解答问题：
例题：在Rt△ABC中，一条直角边长为11，另两条边均为正整数，求该三角形的面积.
解：设斜边为c
，另一直角边为a，则c2?a2=112，∴(c?a)(c+a)=121=121×1=11×11，
∵两边均为整数，∴c?a，c+a均为正整数，且c+a>
c?a，∴c?a=1，c+a=121，
解这个方程组得c=61，a=60，该直角三角形的面积为=330.
由上面的解题方法解答下列问题：
已知一个整数的平方减去73得另外一个整数的平方，求这两个数大小.
解：设这两个整数分别为x，y，
根据题意得x2?73=y2，
∴x2?y2=73，
∴(x+y)(x?y)
=73=1×73=(?1)
×(?73)=
73×1=(?73×(?1)，
∴可得，，，.
解得，，，.
∴这两个数分别为73，?36或37，36或?37，36或?37，?36.
19．分解因式：
(2020?长春，泰州)x2?4=
(x+2)(x?2)
.
(2020?宁波，邵阳，湘西)2x2?18=
2(x+3)(x?3)
.
(2020?温州)
x2?25=
(x+5)(x?5)
.
(2020?济宁)a3?4a=
a(a+2)(a?2)
.
(2020?东营)12a2?3b2=
3(2a+b)(
2a?b)
；
(2020?绵阳)x3y?4xy3=
xy(x+2y)(
x?2y)
.
(2020?呼伦贝尔)
a2b?4b3=
b(a+2b)(a?2b)
.
(2020?绍兴，盐城)1?x2=
(1+x)(1?x)
.
(2020?镇江)9x2?1=
(3x+1)(
3x?1)
.
(2020?凉山)
a3?ab2=
a(a+b)(a?b)
.
(2020?天水，丹东)m3n?mn=
mn(m+1)(m?1)
.
(2020?黄石)m3n?mn3=
mn(m+n)(m?n)
.
(2020?新疆，青海)
?2a
x2+2ay2=
2a(y+x)(y?x)
.
(2020?潍坊，黔东南，昆明，铁岭)
x2y?9y=
y(x+3)(x?3)
；
(2020?舟山，台州，张家界，岳阳，嘉兴)
m2?9=
(m+3)(m?3)
；
(2020?玉林，常州，深圳，怀化)
a3?a=
a(a+1)(a?1)
.
第4题图1?????????????第4题图2
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