2020-2021学年北师大版数学六下第二单元《比例》期中章节复习精编讲义（含解析）

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2020-2021学年北师大版数学六年级下册期中章节复习精编讲义
第二单元《比例》
知识点一：比例的认识
1.只有比值相等的两个比才能组成比例。
2.每个比例都有两个内项和两个外项组成，并且两个外项之积等于两个内项之积。用字母表示：如果a:b=c:d或，那么ad=bc。
3.比例与比的联系与区别：比例是一个等式，等号的两端都是比，且比值相等；比表示两个数的相除关系
知识点二：比例的应用
1.根据外项之积等于内项之积的规律可以求比例中的未知项，就是解比例。
2.解比例实际上就是解方程，要做好检验
知识点三：比例尺
1.比例尺不是一把尺子，比例尺是一个比，是图上距离与实际距离的比。
2.按呈现形式，比例尺可以分为：数值比例尺与线段比例尺。
按放缩关系，比例尺可以分为：放大比例尺与缩小比例尺。
3.比例尺的应用
图上距离：实际距离=比例尺或
图上距离=实际距离×比例尺
实际距离=图上距离÷比例尺
4.应用比例尺解决问题时，图上距离与实际距离的单位要统一。
5.应用比例尺画图，要先标出比例尺，并根据比例尺计算出图上距离后再画图
知识点四：图形的放大和缩小
1.无论是将图形放大还是缩小，虽然图形的大小发生了变化，但是都要保持形状不变。
2.将图形按一定的比放大或缩小，长度变化，角度不变。
3.按一定的比放大或缩小图形，注意将水平方向与垂直方向的线段按同样的比放大或缩小
一、精挑细选（共5题；每题2分，共10分）
1.
一个底是5厘米，高是3厘米的三角形，按4：1放大，得到的图形面积是（
???
）平方厘米。
A.?15???????????????????????????????????????????B.?60???????????????????????????????????????????C.?120
2.
把线段比例尺
改写成数值比例尺是（???
）。
A.?1：50???????????????????????????????B.?1：5000000???????????????????????????????C.?1：20000000
3.
某单位《普法知识问答》的总平均分为87分，男同志的平均分为85分，女同志的平均分为90分，问此单位的男、女比例是多少?（??
）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
4.
一幅地图的比例尺是1：1000000，下列说法不正确的是（???
）
A.?这是一个数值比例尺???????????????????????????????????B.?说明要把实际距离缩小1000000倍后，再画在图纸上
C.?图上距离相当于实际距离的
???D.?图上1厘米相当于实际1000000米
5.
同时同地，一根长1米的标杆的影长0.6米，一名修理工要爬至48米高的电视塔上修理设备，他竖直方向爬行的速度为0.4米/秒，则此人的影子移动的速度为（　　）米/秒．
A.?0.56?????????????????????????????????????B.?0.24?????????????????????????????????????C.?0.48?????????????????????????????????????D.?0.36
二、判断正误（共5题；每题2分，共10分）
6.
把面积是36平方厘米的正方形按1：2缩小后面积是18平方厘米.（??
）
7.
0.6、0.7、1.4、1.2四个数能组成比例．（
??）
8.
在比例里，两个外项的积减去两个内项的积，差为0。（???
）
9.
苹果个数的
等于梨的
，那么苹果个数比梨多。（
???）
10.
5：
和
分钟：
小时能组成比例。
三、仔细想，认真填（共8题；每空1分，共12分）
11.在一幅比例尺是1：200的图纸上，量得一个圆形花坛的直径是2cm。这个花坛实际的直径是________m，占地面积是________
。如果沿着这个花坛的四周修一条宽1m的环形小路，那么小路的面积是________
。
12.
在一幅比例尺是
的地图上，量得扬州至南京大约2.5厘米，那么扬州与南京大约相距________千米；扬州到上海的实际距离约是248千米，那么在这幅地图上扬州至上海的距离约是________厘米。
13.
已知a：b=c：d，现将a扩大到原来的3倍，b缩小到原来的
，c不变，d应________。比例式仍然成立。
14.
是________比例尺，把它改写成数值比例尺是________。
15.
青年路高架某出口到长乐水世界的实际距离是14千米，在一幅地图上量得这两地间的距离为7厘米，这幅地图上量得长乐水世界到大洋湾生态旅游景区的距离为2.5厘米，长乐水世界到洋湾生态旅游景区的实际距离是________千米。
16.
某校在原有基础（学生700人，教师300人）上扩大规模，现新增加教师75人。为使学生和教师比例低于2∶1，问学生人数最多能增加百分之________。
17.
※
要加工一批零件，师傅和徒弟合干7.5小时后，已加工的零件和未加工零件数量的比为3∶7，如果师傅单独加工全部零件需要30小时完成，徒弟每小时只能加工6个，这批零件一共有________个．（用比例解）
18.
图中，平行四边形被分成甲、乙、丙三个三角形，甲的面积比丙多24平方厘米，乙的面积与丙的比是3：5，这个平行四边形的面积是________平方厘米．
四、计算能手（共1题；共9分）
19.
(
9分
)
解比例。
（1）：x=：15
（2）
=
（3）
：
=
：
五、综合提升（共1题；共8分）
20.
(
8分
)
根据图中提供的信息，完成下面问题。
（1）陈晨家与汽车站的图上距离是________厘米（结果用整厘米表示），实际距离是________米。
（2）小明所在学校在汽车站的正西方向1000米处，学校与汽车站的图上距离是________厘米。
（3）请在上图中画出学校的位置，并标出名称。
六、解答问题（共10题；共51分）
21.
(
4分
)
在比例尺是1：4000000的中国地图上，笑笑量得A、B两地的图上距离是16cm。一辆汽车平均每时行驶80km，上午8：30从A地出发，下午4：30能否到达B地？通过计算说明。
22.
(
4分
)
把1.5m长的竹竿直立在地面上，量得它的影长是1.2m，同时量得同一地的一根旗杆的影长是6.4m。这根旗杆高多少米?（用比例解答）
23.
(
5分
)
在一幅比例尺是1：2000000的地图上，量得甲、乙两地的距离是30cm。
（1）甲、乙两地的实际距离是多少？
（2）如果在一幅地图上甲、乙两地的距离是15cm，那么这幅地图的比例尺是多少？
24.
(
4分
)
地球表面积约是51000万平方千米，地球陆地面积和海洋面积的比约是29∶71
．
陆地面积和海洋面积分别约是多少万平方千米？(按陆地面积、海洋面积的顺序填写)
25.
(
4分
)
秦奋从图书馆借来一本故事书．
①他原打算每天读10页，18天正好读完．可是借期只有12天，他每天平均读多少页才能按借期读完?
②实际读这本书时，他3天读了60页．照这样计算，读完这本故事书，实际读了多少天?
26.
(
7分
)
建筑工地用的混凝土是用水泥、黄沙、石子三种材料按照1∶2∶4搅拌而成的．
（1）搅拌这种混凝土140吨，需要水泥、黄沙和石子各多少吨？
（2）现在工地上有水泥7吨，黄沙10吨，石子20吨．如果要把石子全部用完，水泥够不够？够，剩余多少吨？不够，还缺多少吨？
27.
(
4分
)
甲、乙两个仓库存有同样质量的货物，如果从甲仓库运15吨货物到乙仓库，那么甲、乙两个仓库现在存货质量的比是2：3。甲、乙两个仓库原来各存有货物多少吨?（用比例解答）
28.
(
5分
)
在比例尺是1：25000000的中国地图上，量得北京到杭州的距离是5cm。
（1）北京到杭州的实际距离是多少？
（2）杭州到北京的高铁，平均速度为280千米/时，爸爸7：48从杭州乘高铁出发，大约什么时候能到达北京？
29.
(
4分
)
下面是小华坐出租车从家去展览馆的路线图．出租车在3千米以内按起步价10元计算，以后每增加1千米车费就增加1.4元．按图中提供的信息算一算，小华一共要花多少元车费．
30.
(
10分
)
学校要修建一个圆柱形的水池，在比例尺是1：200的设计图纸上，水池的半径为3厘米，深为2厘米。
（1）按图施工，这个水池的实际应该挖多少米深？
（2）按图施工，这个水池的能装下多少立方米的水？
（3）为了加固和美观，施工时给水池底部和水池壁都铺了水泥，且平均厚度是10厘米，然后再用油漆将新铺水泥的表面粉刷一遍，请问粉刷部分的面积是多少
平方米？（结果保留一位小数）
一、精挑细选
1.C
解：（5×4）×（3×4）÷2
=20×12÷2
=20×6
=120（平方厘米）
故答案为：C。
思路引导：按4：1放大，意思就是三角形的底和高都扩大了4倍，扩大后的三角形的底乘以扩大后的三角形的高除以2就是扩大后三角形的面积。
2.B
1cm：50km=1cm：5000000cm=1：5000000
故答案为：B。
思路引导：线段比例尺
表示：图上1cm代表实际50km，再根据比例尺=图上距离：实际距离，换算单位，即可求得正确答案。
3.C
解：假设此单位有男同志x人，女同志y人，所以87（x+y）=85x+90y，解得2x=3y，所以x：y=3：2，所以此单位的男、女比例是。
故答案为：C。
思路引导：本题可以利用方程作答，即设此单位有男同志x人，女同志y人，题中存在的等量关系是：总平均分×男、女同志的人数之和=男同志的平均分×男同志的人数+女同志的平均分×女同志的人数，据此解得x和y的关系式，进而求得此单位的男、女比例。
4.D
解：1000000÷100000=10（千米）
故答案为：D。
思路引导：比例尺是1：1000000，是一个数值比例尺
，说明图上距离1厘米，代表实际距离1000000厘米；1000000厘=10千米；所以这个比例尺是缩小1000000倍后，再画在图纸上的；也就是说
图上距离相当于实际距离的。
5.B
解：设此人的影子移动的速度为x米/秒．
0.6：1=x：0.4，
????
x=0.6×0.4，
????
x=0.24，
答：此人的影子移动的速度为0.24米/秒．
故选：B．
思路引导：因为在时间相同时，速度比等于路程的比，所以再根据在同时同地，影子的长度与物体的实际长度的比值一定，所以影子的长度与物体的实际长度成正比例，由此列出比例解答即可．
二、判断正误
6.错误
解：36÷4=9，把面积是36平方厘米的正方形按1：2缩小后面积是9平方厘米。原题说法错误。
故答案为：错误。
思路引导：正方形按1：2缩小，面积就会按1：4缩小，因此用原来的面积除以4即可求出缩小后的面积。
7.正确
0.6×1.4＝0.84
0.7×1.2＝0.84
0.84＝0.84
所以0.6、0.7、1.4、1.2四个数能组成比例，原题说法正确。
故答案为：正确。
思路引导：判断4个数能否组成比例的方法是：最大的数和最小的数相乘的积等于中间两个数字相乘的积，那么这四个数能组成比例，据此解答。
8.正确
在比例里，两个外项的积减去两个内项的积，差为0，此题说法正确。
故答案为：正确。
思路引导：比例的基本性质：在比例里，两外项之积等于两内项之积，两个外项的积减去两个内项的积，差为0，据此判断。
9.错误
解：设苹果有x千克，梨有y千克，可得：；
所以：x：y=：=（×4）：（×4）=2：3，即苹果比梨少。
故答案为：错误。
思路引导：苹果个数的等于梨的
，
可得：
，
依据比例的基本性质可得，苹果比梨少。
10.错误
解：5：=；
分钟：小时=分钟：×60分钟=：20=；
因为≠
，
所以5：和分钟：小时不能组成比例，即错误。
故答案为：错误。
思路引导：分别计算出两个比值，即用比的前项除以后项得出的商，注意带单位的比值的求法（先将单位统一，再求比值），若两个比值相等则可以组成比例，若两个比值不相等则不能组成比例。
三、仔细想，认真填
11.4；12.56；15.7
解：2÷=400（cm）；400cm=4m；
4÷2=2（m）；
3.14×2?
=3.14×4
=12.56（m?）；
2＋1=3（m）；
3.14×（3?-2?）
=3.14×（9-4）
=3.14×5
=15.7（m?）。
故答案为：4；12.56；15.7。
思路引导：实际距离=图上距离÷比例尺；圆的面积=π×半径?；环形小路的面积=π×（R?-r?）。
12.100；6.2
2.5÷=2.5×4000000=10000000（厘米）=100（千米），
248千米=24800000厘米，24800000×=6.2（厘米）
故答案为：100；6.2
思路引导：实际距离=图上距离÷比例尺，图上距离=实际距离×比例尺。
13.缩小到原来的
解：3÷=9，所以d应缩小到原来的
，
这样比例式依旧成立。
故答案为：缩小到原来的。
思路引导：将a扩大到原来的3倍，b缩小到原来的
，
就是将等号左边的比值扩大3÷=9倍，要使比例式依旧成立，那么等号右边的比值也要扩大9倍，比的前项不变，那么只能是把后项缩小到原来的。
14.线段；1：12000000
解：题干是线段比例尺，把它改写成数值比例尺是：
1厘米：120千米
=1厘米：12000000厘米
=1：12000000
故答案为：线段；1：12000000。
思路引导：一幅图的图上距离与实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。
15.5
解：设长乐水世界到洋湾生态旅游景区的实际距离是x千米。
14：x=7：2.5
?
?
?
7x=14×2.5
?
?
?
?x=5
故答案为：5。
思路引导：在同一副地图上，
青年路高架某出口到长乐水世界的实际距离
：
长乐水世界到洋湾生态旅游景区的实际距离
=青年路高架某出口到长乐水世界的图上距离：长乐水世界到洋湾生态旅游景区的图上距离。据此列出方程解答即可。
16.七
解：设增加学生的人数为x人，则有
（700+x）：（300+75）＜2：1
???????????????????????????
＜2
?????????????????????????????
700+x＜750
???????????????????????????????
??
??
x＜750-700
?????????????????????????????????????
x＜
50
学生增加的百分数=x÷700＜50÷700≈7.1%
所以学生人数最多能增加百分之七。
故答案为：七。
思路引导：设增加学生的人数为x人，根据“（原来学生的人数+增加的学生人数）：（原来老师的人数+增加的老师人数）＜学生和老师的比2：1”即可列出不等式，利用比与除法的关系解出不等式x的取值范围；再利用学生增加的百分数=增加学生的人数÷原来学生的人数即可得出答案。
17.900
解：设这批零件一共有x个，
???????????????????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
????????????????????????????????????????????????????????????????????
?
???
????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
???????????????????????????????????????????????????????????????????????????
?
????
??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
?
?????
故答案为：900
思路引导：设这批零件一共有x个；已加工的个数：
，
用总数减去已加工的个数就可以表示出未加工的个数，根据已加工的与未加工的个数比是3:7列出比列解答即可.
18.128
解：（24+24×
）×2，
=64×2，
=128（平方厘米）；
答：平行四边形的面积是128平方厘米
故此题答案为：128．
思路引导：由图意可知：甲的面积=乙的面积+丙的面积，甲比丙多的部分就是乙的面积，乙的面积就是24平方厘米，由此可以求出丙的面积，进而可求出平行四边形的面积．此题主要考查等底等高的图形面积大小及比的意义，将数据代入公式即可求得结果．
四、计算能手
19.（1）???
：x=：15
解：x=×15
?????
x=12
????????
x=12÷
????????
x=20
（2）??
??
=
解：2x=3×0.8
??????
2x=2.4
????????
x=2.4÷2
????????
x=1.2
（3）??
解：x=×
?????
x=
????????
x=÷
????????
x=
思路引导：比例的基本性质，在比例里，两个内项积等于两个外项积。
五、综合提升
20.（1）3；750（2）4
（3）
解：（1）陈晨家与汽车站的图上距离是3厘米，实际距离是：250×3=750（米）；
（2）图上距离是：100÷250=4（厘米）。
思路引导：（1）用直尺测量出两地的图上距离；比例尺表示图上1厘米相当于实际250米，用图上距离乘250即可求出实际距离；
（2）用实际距离除以250即可求出图上距离；
（3）图上的方向是上北下南、左西右东，根据图上的方向和图上距离确定学校的位置即可。
六、解答问题
21.解：16÷=64000000（cm）=640（km）
640÷80=8（时）
上午8：30经过8时是下午4：30
答：能。
思路引导：AB两地的实际距离=图上距离÷比例尺，然后把单位进行换算，即1km=1000cm，那么
笑笑从A地到B地用的时间=AB两地的实际距离÷这辆骑车的平均每小时行驶的速度，然后把上午出发的时间加上笑笑从A地到B地用的时间，如果等于或大于下午4：30，说明能到达，反之就不能到达。
22.解：设这根旗杆高x米，
???
x：6.4=1.5：1.2
?
??
?
1.2x=6.4×1.5
??????
1.2x=9.6
1.2x÷1.2=9.6÷1.2
???????????
x=8
答：这根旗杆高8米。
思路引导：此题主要考查了列比例解决问题，旗杆的高度：影长=竹竿的高度：影长，设这根旗杆高x米，据此列正比例解答。
23.（1）解：实际距离=30÷（1：
2000000
）
=30×
2000000
=60000000（cm）
=600000m
=600km
答：甲、乙两地的实际距离是600km。
（2）解：比例尺=15：60000000
=1：4000000
答：这幅地图的比例尺是1：4000000。
思路引导：（1）实际距离=图上距离：比例尺，代入数值计算即可，注意最后将单位化成千米；
（2）比例尺=图上距离：实际距离，代入数值计算即可。
24.解：陆地面积约是14790万平方千米，海洋面积约36210万平方千米．
思路引导：根据陆地面积和海洋面积的比，可以确定陆地面积和海洋面积与地球总面积比较的占比，然后求出它们各自的面积。
25.解：①设每天平均读x页．12x=10×18；x=15
②设实际读了x天．
；x=9
思路引导：①原计划18天读的页数现在12天读的页数相等，据此代入数据列方程，解决问题。
②全书的页数与实际每天读的页数成正比，据此代入数据列方程,解决问题。
26.（1）20吨,40吨,80吨
（2）够,剩余2吨
思路引导：(1)根据比确定水泥，黄沙，石子三种材料与总重量比较的占比，然后根据各自的占比，求出它们的重量。
（2）假设10吨黄沙需要水泥x吨，x:10=1:2，解得x=5，7-5=2吨，所以，
够,剩余2吨。
27.解：设甲、乙仓库原来各有货物x吨。
（x-15）：（x＋15）=2：3
????????????????
3（x-15）=2（x＋15）
???????????????????????
3x-45=2x＋30
??????????????????
?
??
3x-2x=45＋30
????????????????
?
?
?
?
?
???
x=75
答：甲、乙两个仓库原来各存有货物75吨。
思路引导：（甲仓库原来的吨数-15）：（乙仓库原来的吨数＋15）=2：3，据此列比例，解比例。
28.（1）解：实际距离=5÷（1：
25000000
）
=5×25000000
=125000000（cm）
=1250km
答：北京到杭州的实际距离是1250千米。
（2）解：1250÷280≈4.5（小时）
4.5小时=4小时30分
7时48分+4小时30分=12时18分
答：爸爸7：48从杭州乘高铁出发，大约12：18能到达北京。
思路引导：（1）实际距离=图上距离：比例尺，代入数值计算可得出实际距离，再根据1km=1000m=100000cm即可转化成千米数；
（2）根据时间=路程÷速度即可得出杭州到北京高铁运行的时间，最后用开始的时刻+高铁运行的时间=到达的时刻，代入数值计算即可。
29.解：（4+8）÷
，
=12×50000，
=600000（厘米），
600000厘米=6千米，
10+（6﹣3）×1.4，
=10+4.2，
=14.2（元）；
答：小华去参观一共要花14.2元出租车费．
思路引导：先用“4+8”求出小华从家到文化馆再到展览馆的图上距离，然后根据“图上距离÷比例尺=实际距离”，代入数值，计算出小华从家到展览馆的实际距离；用“小华从家到展览馆的实际距离﹣3”求出超过3千米的路程，根据“单价×数量=总价”求出超出3千米增加的车费，最后根据“起步价+增加的车费=租车总费用”解答即可．解答此题应根据：（1）图上距离、比例尺和实际距离三者的关系，（2）单价、数量和总价三个量之间的关系．
30.（1）解：2÷
=400（厘米）=4（米）
答：这个水池实际应该挖4米深。
（2）解：r=3÷
=600（厘米）=6（米）
V
=
3.14×6?×4=452.16（立方米）
答：这个水池能装下452.16立方米的水。
（3）解：10cm=0.1m
r=6-0.1=5.9（米），
h=4-0.1=3.9（米）
3.14×5.9×2×3.9+3.14×5.9×5.9
=3.14×46.02+3.14×34.81
=3.14×80.83
≈253.8（平方米）
答：粉刷部分的面积是253.8平方米。
思路引导：（1）用图上距离除以比例尺即可求出实际距离，然后换算成米即可；
（2）先求出实际的半径长度，然后用底面积乘高求出能装下水的体积即可；
（3）先把10cm换算成0.1m，则实际的半径长度减少了0.1m，实际高度减少了0.1米，先计算出实际半径和实际高度。然后用底面积加上侧面积即可求出需要粉刷部分的面积。
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