2020-2021学年北师大版数学六下第一单元《圆柱和圆锥》期中章节复习精编讲义（含解析）
文档属性
| 名称 | 2020-2021学年北师大版数学六下第一单元《圆柱和圆锥》期中章节复习精编讲义（含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-04-14 09:21:13 | ||
图片预览
文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
2020-2021学年北师大版数学六年级下册期中章节复习精编讲义
第一单元《圆柱和圆锥》
知识点一：面的旋转、圆柱和圆锥的特征
1.
点的运动形成线，线的运动形成面，面的运动形成体，这就是“点、线、面、体”之间的关系，这个关系可以简记为“点动成线，线动成面，面动成体”。
2.圆柱是由2个大小相同的圆面和1个曲面围成的，圆柱上下粗细均匀。圆锥是由1个圆面和1个曲面围成的。
3.圆柱的特征：（1）圆柱有两个底面和一个侧面；（2）两个底面是完全相同的圆，侧面是一个曲面；（3）圆柱有无数条高，所有的高都相等。
圆锥的特征：（1）圆锥有一个底面和一个侧面；（1）圆锥的底面是一个圆，侧面是一个曲面；（3）圆锥只有一条高。
4.
圆柱和圆锥的切面：
（1）把圆柱平行于底面横切，切面是大小相同的圆；沿底面直径纵切，切面是大小相同的长方形。（2）把圆锥横切，每个切面是圆，但大小不同；沿底面直径纵切，切面是大小相同的等腰三角形。
知识点二：圆柱的表面积
1.如果用S表表示圆柱的表面积，S侧
表示圆柱的侧面积，S底
表示圆柱的底面积，d表示底面的直径，r表示底面的半径，h表示圆柱的高，那么圆柱的表面积的计算公式可以表示为
S表=S侧+2S底
或S表=πdh+2π（d÷2）2或S表=2πrh+2πr2
2.
在解决实际问题时，并不是所有的圆柱形物体都有两个底面，有的只有一个底面，有的没有底面，解题时要根据实际情况选择合适的解题方法。
3.
用同一张长方形纸片可以围成底面积不同的两个圆柱。用宽作为圆柱的底面周长，所围成的圆柱的底面积小；用长作为圆柱的底面周长，所围成的圆柱的底面积大。
4.
横截圆柱后求表面积时，侧面积不变，底面积会发生变化，变化的规律是每截一次增加两个底面，截的次数比截成的段数少1。
知识点三：圆柱的体积
1.
圆柱的体积=底面积×高，用字母表示是V=Sh。
2.
计算一个圆柱的体积时，如果已知这个圆柱的高和底面半径或底面直径或底面周长，要先求出底面积，再求体积，也可以列综合算式计算。
（1）已知圆柱的底面积S和高h，求圆柱体积的计算方法：V=Sh。
（2）已知圆柱的底面半径r和高h，求圆柱体积的计算方法：V=πr2h
（3）已知圆柱的底面直径d和高h，求圆柱体积的计算方法：V=π（d÷2）2h
（4）已知圆柱的底面周长C和高h，求圆柱体积的计算方法：V=π（C÷π÷2）2h
3.
物体完全浸没在水中，物体的体积等于升高的那部分水的体积。
应用等量代换法可以将不规则物体的体积计算转化为圆柱的体积计算。
利用体积不变的特性，应用转化的思想方法，把不规则的图形转化为规则的图形来计算，能帮助我们解决许多生活中的复杂问题。
知识点四：圆锥的体积
1.圆锥的体积是与它等底等高的圆柱体积的。。
2.圆锥体积的计算方法：
（1）已知底面半径r和高h，求圆锥体积的方法：V=πr2h；
（2）已知底面直径d和高h，求圆锥体积的方法：V=π（d÷2）2h；
（3）已知底面周长C和高h，求圆锥体积的方法：V=π（C÷x÷2）2h
3.
圆柱和圆锥的体积与高分别相等，则它们的底面积之间的关系是Sm推=3Sm壮；圆柱和圆锥的体积与底面积分别相等，则它们的高之间的关系是h锥=3h柱。
一、精挑细选（共5题；每题2分，共10分）
1.
下面的圆柱与圆锥体积相等的是（?????
）。（单位：厘米）
A.?A???????????????????????????????????????????B.?B???????????????????????????????????????????C.?C???????????????????????????????????????????D.?D
2.
如图所示，把一张三条边长分别是5cm、12cm和13cm的直角三角形硬纸贴在木棒上，快速转动木棒，转出的圆锥高是（???
）cm，底面半径是（???
）cm。
A.?5，12?????????????????????????????????B.?12，5?????????????????????????????????C.?13，5?????????????????????????????????D.?12，13
3.
用—块长12.56厘米、宽8厘米的长方形铁皮，配上下面（????
）圆形铁皮正好可以做成一个无盖的圆柱形容器。
A.?r=1厘米?????????????????????????????B.?r=2厘米?????????????????????????????C.?r=4厘米?????????????????????????????D.?r=5厘米
4.
把一个长10分米、宽6分米、高8分米的长方体木块，削成一个体积最大的圆柱。求这个圆柱体积的算式是（?
??
?
）.
A.?3.14×（
）2×8???????????????????B.?3.14×（
）2×10???????????????????C.?3.14×（
）2×6
5.
一个圆柱和一个圆锥的底面积相等，圆柱的高是圆锥高的2倍，则圆锥的体积是圆柱体积的（???
）。
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?2倍
二、判断正误（共5题；每题2分，共10分）
6.
圆柱的底面半径扩大到原来的3倍，高不变，它的侧面积和底面积都扩大到原来的3倍。（???
）
7.
圆锥体积是圆柱的
．（???
）
8.
一个圆柱底面周长是10米，高是1米，它的侧面积是31.4平方米。（??
）
9.
甲、乙两个圆柱的体积相等，如果甲圆柱的高是乙圆柱的
,那么甲圆柱的半径则是乙圆柱的1.5倍。
10.
判断对错：
圆柱的侧面展开后一定是长方形。
三、仔细想，认真填（共9题；每空1分，共14分）
11.
把下图所示的长方形铁皮卷成一个高2分米的圆柱形铁桶，铁桶的底面直径大约是________分米，加上底面后，铁桶的表面积约是________平方分米，容积大约是________升。（铁皮的厚度忽略不计）
12.
一个圆锥和一个圆柱等底等高，体积相差60立方分米，圆柱的体积是________。
13.
如图，瓶底的面积和锥形杯口的面积相等，将瓶子中的液体倒入锥形杯子中，能倒满________杯。
14.
下图中，圆锥的体积是________?cm3
，
圆柱的侧面积是________?cm2
，
体积是________cm3。
15.
把一个底面半径是3厘米高18厘米的圆锥形橡皮泥捏成一个底面与圆锥底面相等的圆柱。圆柱的高是________厘米。
16.
把一个圆锥沿底面直径平均分成体积相等，形状相同的两部分，表面积比原来增加了96平方厘米，圆锥的高是6厘米，圆锥的体积是________立方厘米。
17.
一个长方形长5厘米，宽4厘米，如果以宽为轴旋转一周得到一个立体图形，得到的是________，这个图形的体积是________立方厘米。
18.
一个圆柱形水池，内直径是8米，深2米，池上装有4个同样的进水管，每个管每小时注水6.
28立方米，四管齐开，________小时可以注满水池？
19.
如图，将侧面积是157平方厘米的圆柱体，切拼成一个近似的长方体，表面积比原来增加________平方厘米．（π取3.14）
四、计算能手（共2题；共17分）
20.
(
9分
)
计算下面图形的体积。（单位：厘米）
（1）
（2）
（3）
21.
(
8分
)
??????????
（1）求圆柱的表面积和体积。
（2）求下面图形的体积。
五、解答问题（共9题；共49分）
22.
(
5分
)
一根长是2m、横截面直径是40cm的圆柱体木头浮在水面上，小明发现它正好有一半露出水面。这根木头与水接触的面积是多少平方厘米?这根木头露出水面部分的体积是多少立方厘米？
23.
(
8分
)
用绸带捆扎一个圆柱形的蛋糕盒（如下图），打结处正好是底面圆心，打结用去绸带长30cm。
（1）捆扎这个蛋糕盒至少要用绸带多少厘米？
（2）如果要在这个盒子的整个侧面贴一张产品说明（如下图），那么圆柱形蛋糕盒的底面周长是________，圆柱形蛋糕盒的高是________，圆柱形蛋糕盒的侧面积是________。
24.
(
5分
)
某品牌牙膏出口处直径为6mm，小红每次刷牙都挤出1cm长的牙膏，这样的一支牙膏可用50次。该品牌牙膏推出新包装，总容量不变，只是将出口处直径改为5mm，如果小红还是按原来的习惯，每次挤出1cm长的牙膏，那么一支新包装的牙膏小红能用多少次？
25.
(
5分
)
在日常生活中，我们要节约用水。常用的自来水龙头内直径是0.2dm，打开一个水龙头，水的流速是5分米/秒，现有一个底面半径是1dm、高是3dm的圆柱形水桶，水龙头1分钟能将这个水桶放满水吗？
26.
(
5分
)
一瓶老酸奶（如图①），奶瓶深20cm，内直径是8cm，瓶中的酸奶深10cm。把瓶盖拧紧倒置放平，这时酸奶深15cm（如图②）。这个奶瓶最多能装多少毫升酸奶？
27.
(
5分
)
一个棱长是4分米的正方形容器装满后，倒入一个底面积是12平方分米的圆锥体容器里正好装满。这个圆锥的高是多少分米？
28.
(
5分
)
把一个底面半径为1
dm的圆锥形金属完全浸没在底面周长为12.56
dm的装有水的圆柱玻璃杯中，杯子的水面比原来上升了2
cm(水没有溢出)，求圆锥的高。
29.
(
5分
)
一个圆锥形沙堆,底面半径是2米,高是1.8米,每立方米沙重1.5吨。这堆沙重多少吨?
30.
(
6分
)
一个底面直径是40cm圆柱形水槽中装有水，水的高度是15cm。现放入一个底面直径为20cm的圆锥形铁块（铁块完全浸入水中，且没有水溢出），水面上升了1cm，这个圆锥形铁块的高是多少厘米？
一、精挑细选
1.C
解：圆锥的体积是：3.14×（12÷2）2×15×=565.2立方厘米。
图形A与圆锥等底等高，所以，它与圆锥的体积不相等；
图形B的体积是：3.14×（4÷2）2×15=188.4立方厘米；
图形C的底面与圆锥的底面相等，高是圆锥的
，
所以，图形C的体积与圆锥的体积相等；
图形D的底面与圆锥的底面不相等，高是圆锥的
，
所以，图形C的体积与圆锥的体积不相等；
故答案为：C。
思路引导：圆锥的体积=×πr2h；圆柱的体积=πr2h。据此作答即可。
2.B
解：转出的圆锥高是12cm，底面半径是5cm。
故答案为：B。
思路引导：从图中可以看出，转动的这条轴是圆锥的高，另一条直角边是底面半径。
3.B
用铁皮的长做圆柱的底面周长
12.56÷3.14÷2
＝4÷2
＝2（厘米）
用铁皮的宽做圆柱的底面周长
8÷3.14÷2≈1.27（厘米）
所以用铁皮的长做圆柱的底面周长，配上半径是2cm的圆形铁皮，正好可以做成一个无盖的圆柱形容器。
故答案为：B。
思路引导：长方形相当于圆柱的侧面展开图，长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高，根据圆的周长公式：C＝2πr，那么r＝C÷2π，据此进行判断即可。
4.C
解：求这个圆柱体积的算式是：3.14×（）2×6。
故答案为：C。
思路引导：要使削成的圆柱最大，就要使圆柱的底面最大，底面最大直径是8分米，高是6分米，根据圆锥的体积公式计算即可。
5.C
=÷2=×=.
故答案为：C。
思路引导：圆柱体积=底面积×2×高，圆锥体积=底面积×高÷3，
圆锥的体积÷圆柱体积=圆锥的体积是圆柱体积的几分之几。
二、判断正误
6.错误
解：圆柱的侧面积扩大3倍；圆柱的底面积扩大：3×3=9倍。
故答案为：错误。
思路引导：圆柱侧面积=底面周长×高；圆柱底面积=Πr?。
7.错误
解：圆锥的体积是与它等底等高的圆柱体积的
，所以本题在没有“等底等高”的条件是不成立的。原题说法错误。
故答案为：错误。
思路引导：圆锥体积=底面积×高×
，
圆柱体积=底面积×高，所以等底等高的圆锥体积是圆柱体积的。
8.错误
解：10×1=10（平方米）
故答案为：错误。
思路引导：根据题意可知圆柱的侧面积=底面周长×高。
9.正确
解：因为体积相等，那么甲圆柱的底面积是乙圆柱的倍，因为
，
所以甲圆柱的半径是乙圆柱的1.5倍。原题说法正确。
故答案为：正确。
思路引导：圆柱的体积=底面积×高，所以甲圆柱的底面积是乙圆柱的倍。根据圆面积公式判断半径的倍数关系即可。
10.错误
圆柱的侧面展开后是长方形或是正方形，如果不是沿着圆柱的高展开的，，那么圆柱的侧面展开图可能是平行四边形或不规则图形原题错误。
故答案为：错误。
思路引导：如果沿着圆柱的高展开的，圆柱的底面周长为圆柱侧面展开图的长，圆柱的高为圆柱侧面展开图的宽，如果圆柱的底面周长等于圆柱的高，那么圆柱的侧面展开图就是正方形，如果圆柱的底面周长与圆柱的高不相等，那么圆柱的侧面展开图就是长方形；如果不是沿着圆柱的高展开那么圆柱的侧面展开图可能是平行四边形或不规则图形。
三、仔细想，认真填
11.2；15.7；6.28
解：6.28÷3.14=2分米，所以底面直径是2分米；（2÷2）2×3.14+6.28=9.42平方分米，所以铁桶的表面积约是15.7平方分米；（2÷2）2×3.14×2=6.28立方分米=6.28升。
故答案为：2；15.7；6.28。
思路引导：圆柱的底面直径=底面周长÷π；铁桶的表面积=圆柱的侧面积+圆柱的底面积，其中圆柱的侧面积=圆柱的底面周长×圆柱的高，圆柱的底面积=（直径÷2）2×π；圆柱的体积=（直径÷2）2×π×h。
12.90
60÷2=30（立方分米），30×3=90（立方分米）
故答案为：90。
思路引导：
等底等高的圆柱体积等于圆锥体积的3倍，把圆锥体积看作1份，圆柱体积就有这样的3份，体积相差2份，先求出1份的体积，再求3份，也就是圆柱的体积。
13.6
解：2÷=6，所以能倒满6杯。
故答案为：6。
思路引导：V瓶=S×2h，V瓶=×S×h，V瓶÷V瓶=2÷=6，所以能倒满6杯。
14.10.8；75.36；75.36
解：圆锥的体积：9×3.6÷3=10.8（立方厘米）
圆柱的侧面积：3.14×4×6=75.36（平方厘米）
圆柱的体积：3.14×（4÷2）×（4÷2）×6=75.36（立方厘米）
故答案为：10.8；75.36；75.36.
思路引导：圆锥体积=底面积×高÷3；圆柱的侧面积=底面周长×高；圆柱的体积=圆柱的底面积×高。
15.6
解：18÷3=6（厘米）
故答案为：6。
思路引导：圆柱的体积=底面积×高，圆锥的体积=底面积×高×
，
等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍。体积和底面积相等的圆柱和圆锥，圆锥的高是圆柱高的3倍。
16.401.92
圆锥沿底面半径：96÷2×2÷6÷2=48×2÷6÷2=8（厘米）
圆锥的体积：Sh=×3.14×82×6=×3.14×64×6=401.92（立方厘米）。
故答案为：401.92。
思路引导：表面积比原来增加的部分正好是两个等腰三角形的面积，三角形的底相当于圆锥底面直径，三角形的高相当于圆锥的高。圆锥底面半径=增加的表面积÷2×2÷高÷2，圆锥的体积=Sh。
17.圆柱；314
解：如果以宽为轴旋转一周得到一个立体图形，得到的是圆柱，它的体积是：
3.14×5?×4
=3.14×25×4
=78.5×4
=314（立方厘米）
故答案为：圆柱；314。
思路引导：以宽为轴旋转一周得到一个底面半径是5厘米，高为4厘米的圆柱，圆柱的体积=底面积×高，据此列式计算即可。
18.4
[3.14×（8÷2）2×2]÷6.28÷4
=[3.14×16×2]÷6.28÷4
=100.48÷6.28÷4
=16÷4
=4（小时）
答：四管齐开，4小时可以注满水池。
故答案为：4.
思路引导：水池的容积（圆柱的体积）=圆柱底面积（π×半径的平方，半径=直径的一半）×高，再用水池的容积除以每小时注水的立方米数，求出开1个管道需要多少个小时注满水，再除以4即可得出4个管道齐开需要多少小时注满水。
19.50
解：设底面半径是r厘米，高是h厘米，
3.14×r×2×h=157
?
?
?
?
?
?
?
?
rh=157÷6.28
?
?
?
?
?
?
?
?
rh=25
表面积比原来增加：2rh=2×25=50（平方厘米）。
故答案为：50。
思路引导：设底面半径是r厘米，高是h厘米，根据圆柱的侧面积公式列出一个方程，解方程求出“rh”的值。拼成近似长方形后，表面积增加了两个相同长方形的面积，长方形的长是圆柱的底面半径r厘米，宽是圆柱的高h厘米，两个长方形的面积就是“2rh”，由此即可确定表面积增加了多少平方厘米。
四、计算能手
20.（1）解：12×（4÷2）2×3.14
=12×4×3.14
=48×3.14
=150.72（立方厘来）
（2）解：×12×（8÷2）2×3.14
=4×50.24
=200.96（立方厘米）
（3）解：12×2×5+×22×3.14×9
=120+4×3.14×3
=157.68（立方厘米）
思路引导：圆柱的体积=（底面直径÷2）2×π×h；圆锥的体积=×（底面直径÷2）2×π×h；长方体的体积=长×宽。据此作答即可。
21.（1）解：表面积: 3.14×4×6+3.14×
×2
???
=75.36+25.12
???
=100.48(cm2)
体积: 3.14×
×6
???
=3.14×4×6
???
=75.36(cm3)
（2）解：3.14×
×6-
×3.14×
×3
???
=3.14×6-
×3.14×3
???
=3.14×(6-1)
???
=15.7(立方分米)
（1）
表面积: 3.14×4×6+3.14×（）2×2
=12.56×6+3.14×4×2
=75.36+25.12
=100.48（cm2）
体积：3.14×（）2×6
=3.14×4×6
=12.56×6
=75.36（cm3）
（2）3.14×（）2×6-×3.14×（）2×3
=3.14×6-×3.14×3
=3.14×（6-1）
=3.14×5
=15.7（立方分米）
思路引导：（1）已知圆柱的底面直径和高，求圆柱的表面积，用公式：S=πdh+π（）2×2，据此列式计算；
要求圆柱的体积，用公式：V=π（）2h，据此列式计算。
（2）观察图意可知，要求这个图形的体积，用圆柱的体积-圆锥的体积=这个图形的体积，圆柱的体积公式：V=πr2h，圆锥的体积公式：V=πr2
，
据此列式解答.
五、解答问题
22.解：底面半径：40÷2=20（厘米），
2米=200厘米，
3.14×20×20×2+3.14×40×200
=2512+25120
=27632（平方厘米）
27632÷2=13816（平方厘米）
3.14×20×20×200÷2
=1256×100
=125600（立方厘米）
答：这根木头与水接触的面积是27632平方厘米，这根木头露出水面部分的体积,125600立方厘米。
思路引导：直径÷2=半径，圆柱的底面积=π×半径的平方，圆柱的侧面积=底面周长×高，圆柱的底面积×2+圆柱的侧面积=圆柱的表面积，圆柱的表面积÷2=这根木头与水接触的面积；
圆柱的体积=底面积×高，圆柱的体积÷2=这根木头露出水面部分的体积。
23.（1）解：40×4+20×4+30
=160+80+30
=240+30
=270（厘米）
答：
捆扎这个蛋糕盒至少要用绸带270厘米。
（2）125.6cm；20cm；2512cm2
（2）
如果要在这个盒子的整个侧面贴一张产品说明（如下图），那么圆柱形蛋糕盒的底面周长是125.6cm，圆柱形蛋糕盒的高是20cm，圆柱形蛋糕盒的侧面积是2512cm2。
思路引导：（1）观察图可知，
捆扎这个蛋糕盒需要的绸带长度=底面直径×4+高×4+打结用去的绸带长度，据此列式解答；
（2）观察图可知，圆柱的侧面沿高展开，得到一共长方形，长方形的长是圆柱的底面周长，长方形的宽是圆柱的高，长方形的面积是圆柱的侧面积，据此解答。
24.解：3.14×（6÷2）2×1×10×50÷[3.14×（5÷2）2×1×10]
=3.14×9×500÷[3.14×6.25×10]
=14130÷196.25
=72（次）
答：那么一支新包装的牙膏小红能用72次。
思路引导：牙膏一次挤出的体积=π×（牙膏出口的直径÷2）2×牙膏挤出的长度，本题根据一支新包装的牙膏能用的次数=原来牙膏一次挤出的体积×原来一支牙膏可用的次数÷现在牙膏一次挤出的体积，代入数值计算即可。
25.解：1分钟流水的量=3.14×（0.2÷2）2×（5×60）
=3.14×0.01×300
=9.42（立方分米）；
水桶的体积=3.14×12×3
=3.14×1×3
=9.42（立方分米）；
因为9.42=9.42，所以能装满。
答：水龙头1分钟能将这个水桶放满水。
思路引导：圆柱的体积=圆柱的底面积×圆柱的高，圆柱的底面积=π×（圆柱的直径÷2）2；1分钟流水的量=水龙头的底面积×（水的流速×1分钟化成的秒数）；再根据圆柱的体积计算出水桶的体积，比较即可得出答案。
26.解：酸奶的毫升数=3.14×（8÷2）2×10+3.14×（8÷2）2×（20-15）
=3.14×42×（10+5）
=3.14×16×15
=50.24×15
=753.6（立方厘米）
=753.6毫升
答：这个奶瓶最多能装753.6毫升。
思路引导：根据题意可知，后面瓶子中的空余部分就是前面瓶子的空余部分，所以酸奶的毫升数就是前面瓶子酸奶的体积加上后面圆柱形空余部分的体积，根据圆柱的体积=底面积×高，列式解答即可。
27.正方体容器的容积为：4×4×4＝64（立方分米）
圆锥体的高为：64÷12÷
＝16（分米）
答：这个圆锥的高是16分米
思路引导：根据圆锥体容器的体积与正方体的体积相等，用正方体的体积除以底面积、和三分之一，即可求出圆锥的高。
28.解：12.56÷2÷3.14=2(dm)????
2
cm=0.2
dm??????
3.14×2
2×0.2×3÷(3.14×1
2)=2.4(dm)
思路引导：从题意可知，本题上升水的体积就是圆锥的体积，上升水的形状是一个底面周长12.56分米、高2厘米的圆柱体，运用圆柱的体积=底面积X高，可以求出上升水的体积，然后运用圆锥体积=底面积x高x
，
即可求出圆锥的高。
29.解：
×3.14×22×1.8=7.536(立方米)
7.536×1.5=11.304(吨)
解：
?
?×3.14×2
2
×1.8
=3.14×4×0.6
=7.536（立方米）
7.536×1.5=11.304（吨）
答：这堆沙重11.304吨。
思路引导：圆锥的体积=底面积×高×
，
根据体积公式计算出体积，用体积乘每立方米沙的重量即可求出总重量。
30.解：圆锥形铁块的高=3.14×（40÷2）2×1÷[×3.14×（20÷2）2]
=3.14×400×1÷[×3.14×100]
=3.14×400÷（×3.14×100）
=1256÷（×314）
=1256×3÷314
=12（厘米）
答：这个圆锥形铁块的高是12厘米。
思路引导：圆柱的体积=圆柱的底面积（π×底面半径的平方）×圆柱的高，圆锥的体积=×圆锥底面的面积（π×底面的半径的平方）×圆锥的高，圆柱（圆锥）底面半径=圆柱（圆锥）底面直径÷2，本题中圆柱形水槽水上升的体积=圆柱的底面积×水上升的高度，圆锥形铁块的高=圆柱形水槽水上升的体积÷（×圆锥底面的面积），代入数值计算即可得出答案。
知识互联网
知识导航
夯实基础
能力提升
能力达标百分训练（答案解析）
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
2020-2021学年北师大版数学六年级下册期中章节复习精编讲义
第一单元《圆柱和圆锥》
知识点一：面的旋转、圆柱和圆锥的特征
1.
点的运动形成线，线的运动形成面，面的运动形成体，这就是“点、线、面、体”之间的关系，这个关系可以简记为“点动成线，线动成面，面动成体”。
2.圆柱是由2个大小相同的圆面和1个曲面围成的，圆柱上下粗细均匀。圆锥是由1个圆面和1个曲面围成的。
3.圆柱的特征：（1）圆柱有两个底面和一个侧面；（2）两个底面是完全相同的圆，侧面是一个曲面；（3）圆柱有无数条高，所有的高都相等。
圆锥的特征：（1）圆锥有一个底面和一个侧面；（1）圆锥的底面是一个圆，侧面是一个曲面；（3）圆锥只有一条高。
4.
圆柱和圆锥的切面：
（1）把圆柱平行于底面横切，切面是大小相同的圆；沿底面直径纵切，切面是大小相同的长方形。（2）把圆锥横切，每个切面是圆，但大小不同；沿底面直径纵切，切面是大小相同的等腰三角形。
知识点二：圆柱的表面积
1.如果用S表表示圆柱的表面积，S侧
表示圆柱的侧面积，S底
表示圆柱的底面积，d表示底面的直径，r表示底面的半径，h表示圆柱的高，那么圆柱的表面积的计算公式可以表示为
S表=S侧+2S底
或S表=πdh+2π（d÷2）2或S表=2πrh+2πr2
2.
在解决实际问题时，并不是所有的圆柱形物体都有两个底面，有的只有一个底面，有的没有底面，解题时要根据实际情况选择合适的解题方法。
3.
用同一张长方形纸片可以围成底面积不同的两个圆柱。用宽作为圆柱的底面周长，所围成的圆柱的底面积小；用长作为圆柱的底面周长，所围成的圆柱的底面积大。
4.
横截圆柱后求表面积时，侧面积不变，底面积会发生变化，变化的规律是每截一次增加两个底面，截的次数比截成的段数少1。
知识点三：圆柱的体积
1.
圆柱的体积=底面积×高，用字母表示是V=Sh。
2.
计算一个圆柱的体积时，如果已知这个圆柱的高和底面半径或底面直径或底面周长，要先求出底面积，再求体积，也可以列综合算式计算。
（1）已知圆柱的底面积S和高h，求圆柱体积的计算方法：V=Sh。
（2）已知圆柱的底面半径r和高h，求圆柱体积的计算方法：V=πr2h
（3）已知圆柱的底面直径d和高h，求圆柱体积的计算方法：V=π（d÷2）2h
（4）已知圆柱的底面周长C和高h，求圆柱体积的计算方法：V=π（C÷π÷2）2h
3.
物体完全浸没在水中，物体的体积等于升高的那部分水的体积。
应用等量代换法可以将不规则物体的体积计算转化为圆柱的体积计算。
利用体积不变的特性，应用转化的思想方法，把不规则的图形转化为规则的图形来计算，能帮助我们解决许多生活中的复杂问题。
知识点四：圆锥的体积
1.圆锥的体积是与它等底等高的圆柱体积的。。
2.圆锥体积的计算方法：
（1）已知底面半径r和高h，求圆锥体积的方法：V=πr2h；
（2）已知底面直径d和高h，求圆锥体积的方法：V=π（d÷2）2h；
（3）已知底面周长C和高h，求圆锥体积的方法：V=π（C÷x÷2）2h
3.
圆柱和圆锥的体积与高分别相等，则它们的底面积之间的关系是Sm推=3Sm壮；圆柱和圆锥的体积与底面积分别相等，则它们的高之间的关系是h锥=3h柱。
一、精挑细选（共5题；每题2分，共10分）
1.
下面的圆柱与圆锥体积相等的是（?????
）。（单位：厘米）
A.?A???????????????????????????????????????????B.?B???????????????????????????????????????????C.?C???????????????????????????????????????????D.?D
2.
如图所示，把一张三条边长分别是5cm、12cm和13cm的直角三角形硬纸贴在木棒上，快速转动木棒，转出的圆锥高是（???
）cm，底面半径是（???
）cm。
A.?5，12?????????????????????????????????B.?12，5?????????????????????????????????C.?13，5?????????????????????????????????D.?12，13
3.
用—块长12.56厘米、宽8厘米的长方形铁皮，配上下面（????
）圆形铁皮正好可以做成一个无盖的圆柱形容器。
A.?r=1厘米?????????????????????????????B.?r=2厘米?????????????????????????????C.?r=4厘米?????????????????????????????D.?r=5厘米
4.
把一个长10分米、宽6分米、高8分米的长方体木块，削成一个体积最大的圆柱。求这个圆柱体积的算式是（?
??
?
）.
A.?3.14×（
）2×8???????????????????B.?3.14×（
）2×10???????????????????C.?3.14×（
）2×6
5.
一个圆柱和一个圆锥的底面积相等，圆柱的高是圆锥高的2倍，则圆锥的体积是圆柱体积的（???
）。
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?2倍
二、判断正误（共5题；每题2分，共10分）
6.
圆柱的底面半径扩大到原来的3倍，高不变，它的侧面积和底面积都扩大到原来的3倍。（???
）
7.
圆锥体积是圆柱的
．（???
）
8.
一个圆柱底面周长是10米，高是1米，它的侧面积是31.4平方米。（??
）
9.
甲、乙两个圆柱的体积相等，如果甲圆柱的高是乙圆柱的
,那么甲圆柱的半径则是乙圆柱的1.5倍。
10.
判断对错：
圆柱的侧面展开后一定是长方形。
三、仔细想，认真填（共9题；每空1分，共14分）
11.
把下图所示的长方形铁皮卷成一个高2分米的圆柱形铁桶，铁桶的底面直径大约是________分米，加上底面后，铁桶的表面积约是________平方分米，容积大约是________升。（铁皮的厚度忽略不计）
12.
一个圆锥和一个圆柱等底等高，体积相差60立方分米，圆柱的体积是________。
13.
如图，瓶底的面积和锥形杯口的面积相等，将瓶子中的液体倒入锥形杯子中，能倒满________杯。
14.
下图中，圆锥的体积是________?cm3
，
圆柱的侧面积是________?cm2
，
体积是________cm3。
15.
把一个底面半径是3厘米高18厘米的圆锥形橡皮泥捏成一个底面与圆锥底面相等的圆柱。圆柱的高是________厘米。
16.
把一个圆锥沿底面直径平均分成体积相等，形状相同的两部分，表面积比原来增加了96平方厘米，圆锥的高是6厘米，圆锥的体积是________立方厘米。
17.
一个长方形长5厘米，宽4厘米，如果以宽为轴旋转一周得到一个立体图形，得到的是________，这个图形的体积是________立方厘米。
18.
一个圆柱形水池，内直径是8米，深2米，池上装有4个同样的进水管，每个管每小时注水6.
28立方米，四管齐开，________小时可以注满水池？
19.
如图，将侧面积是157平方厘米的圆柱体，切拼成一个近似的长方体，表面积比原来增加________平方厘米．（π取3.14）
四、计算能手（共2题；共17分）
20.
(
9分
)
计算下面图形的体积。（单位：厘米）
（1）
（2）
（3）
21.
(
8分
)
??????????
（1）求圆柱的表面积和体积。
（2）求下面图形的体积。
五、解答问题（共9题；共49分）
22.
(
5分
)
一根长是2m、横截面直径是40cm的圆柱体木头浮在水面上，小明发现它正好有一半露出水面。这根木头与水接触的面积是多少平方厘米?这根木头露出水面部分的体积是多少立方厘米？
23.
(
8分
)
用绸带捆扎一个圆柱形的蛋糕盒（如下图），打结处正好是底面圆心，打结用去绸带长30cm。
（1）捆扎这个蛋糕盒至少要用绸带多少厘米？
（2）如果要在这个盒子的整个侧面贴一张产品说明（如下图），那么圆柱形蛋糕盒的底面周长是________，圆柱形蛋糕盒的高是________，圆柱形蛋糕盒的侧面积是________。
24.
(
5分
)
某品牌牙膏出口处直径为6mm，小红每次刷牙都挤出1cm长的牙膏，这样的一支牙膏可用50次。该品牌牙膏推出新包装，总容量不变，只是将出口处直径改为5mm，如果小红还是按原来的习惯，每次挤出1cm长的牙膏，那么一支新包装的牙膏小红能用多少次？
25.
(
5分
)
在日常生活中，我们要节约用水。常用的自来水龙头内直径是0.2dm，打开一个水龙头，水的流速是5分米/秒，现有一个底面半径是1dm、高是3dm的圆柱形水桶，水龙头1分钟能将这个水桶放满水吗？
26.
(
5分
)
一瓶老酸奶（如图①），奶瓶深20cm，内直径是8cm，瓶中的酸奶深10cm。把瓶盖拧紧倒置放平，这时酸奶深15cm（如图②）。这个奶瓶最多能装多少毫升酸奶？
27.
(
5分
)
一个棱长是4分米的正方形容器装满后，倒入一个底面积是12平方分米的圆锥体容器里正好装满。这个圆锥的高是多少分米？
28.
(
5分
)
把一个底面半径为1
dm的圆锥形金属完全浸没在底面周长为12.56
dm的装有水的圆柱玻璃杯中，杯子的水面比原来上升了2
cm(水没有溢出)，求圆锥的高。
29.
(
5分
)
一个圆锥形沙堆,底面半径是2米,高是1.8米,每立方米沙重1.5吨。这堆沙重多少吨?
30.
(
6分
)
一个底面直径是40cm圆柱形水槽中装有水，水的高度是15cm。现放入一个底面直径为20cm的圆锥形铁块（铁块完全浸入水中，且没有水溢出），水面上升了1cm，这个圆锥形铁块的高是多少厘米？
一、精挑细选
1.C
解：圆锥的体积是：3.14×（12÷2）2×15×=565.2立方厘米。
图形A与圆锥等底等高，所以，它与圆锥的体积不相等；
图形B的体积是：3.14×（4÷2）2×15=188.4立方厘米；
图形C的底面与圆锥的底面相等，高是圆锥的
，
所以，图形C的体积与圆锥的体积相等；
图形D的底面与圆锥的底面不相等，高是圆锥的
，
所以，图形C的体积与圆锥的体积不相等；
故答案为：C。
思路引导：圆锥的体积=×πr2h；圆柱的体积=πr2h。据此作答即可。
2.B
解：转出的圆锥高是12cm，底面半径是5cm。
故答案为：B。
思路引导：从图中可以看出，转动的这条轴是圆锥的高，另一条直角边是底面半径。
3.B
用铁皮的长做圆柱的底面周长
12.56÷3.14÷2
＝4÷2
＝2（厘米）
用铁皮的宽做圆柱的底面周长
8÷3.14÷2≈1.27（厘米）
所以用铁皮的长做圆柱的底面周长，配上半径是2cm的圆形铁皮，正好可以做成一个无盖的圆柱形容器。
故答案为：B。
思路引导：长方形相当于圆柱的侧面展开图，长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高，根据圆的周长公式：C＝2πr，那么r＝C÷2π，据此进行判断即可。
4.C
解：求这个圆柱体积的算式是：3.14×（）2×6。
故答案为：C。
思路引导：要使削成的圆柱最大，就要使圆柱的底面最大，底面最大直径是8分米，高是6分米，根据圆锥的体积公式计算即可。
5.C
=÷2=×=.
故答案为：C。
思路引导：圆柱体积=底面积×2×高，圆锥体积=底面积×高÷3，
圆锥的体积÷圆柱体积=圆锥的体积是圆柱体积的几分之几。
二、判断正误
6.错误
解：圆柱的侧面积扩大3倍；圆柱的底面积扩大：3×3=9倍。
故答案为：错误。
思路引导：圆柱侧面积=底面周长×高；圆柱底面积=Πr?。
7.错误
解：圆锥的体积是与它等底等高的圆柱体积的
，所以本题在没有“等底等高”的条件是不成立的。原题说法错误。
故答案为：错误。
思路引导：圆锥体积=底面积×高×
，
圆柱体积=底面积×高，所以等底等高的圆锥体积是圆柱体积的。
8.错误
解：10×1=10（平方米）
故答案为：错误。
思路引导：根据题意可知圆柱的侧面积=底面周长×高。
9.正确
解：因为体积相等，那么甲圆柱的底面积是乙圆柱的倍，因为
，
所以甲圆柱的半径是乙圆柱的1.5倍。原题说法正确。
故答案为：正确。
思路引导：圆柱的体积=底面积×高，所以甲圆柱的底面积是乙圆柱的倍。根据圆面积公式判断半径的倍数关系即可。
10.错误
圆柱的侧面展开后是长方形或是正方形，如果不是沿着圆柱的高展开的，，那么圆柱的侧面展开图可能是平行四边形或不规则图形原题错误。
故答案为：错误。
思路引导：如果沿着圆柱的高展开的，圆柱的底面周长为圆柱侧面展开图的长，圆柱的高为圆柱侧面展开图的宽，如果圆柱的底面周长等于圆柱的高，那么圆柱的侧面展开图就是正方形，如果圆柱的底面周长与圆柱的高不相等，那么圆柱的侧面展开图就是长方形；如果不是沿着圆柱的高展开那么圆柱的侧面展开图可能是平行四边形或不规则图形。
三、仔细想，认真填
11.2；15.7；6.28
解：6.28÷3.14=2分米，所以底面直径是2分米；（2÷2）2×3.14+6.28=9.42平方分米，所以铁桶的表面积约是15.7平方分米；（2÷2）2×3.14×2=6.28立方分米=6.28升。
故答案为：2；15.7；6.28。
思路引导：圆柱的底面直径=底面周长÷π；铁桶的表面积=圆柱的侧面积+圆柱的底面积，其中圆柱的侧面积=圆柱的底面周长×圆柱的高，圆柱的底面积=（直径÷2）2×π；圆柱的体积=（直径÷2）2×π×h。
12.90
60÷2=30（立方分米），30×3=90（立方分米）
故答案为：90。
思路引导：
等底等高的圆柱体积等于圆锥体积的3倍，把圆锥体积看作1份，圆柱体积就有这样的3份，体积相差2份，先求出1份的体积，再求3份，也就是圆柱的体积。
13.6
解：2÷=6，所以能倒满6杯。
故答案为：6。
思路引导：V瓶=S×2h，V瓶=×S×h，V瓶÷V瓶=2÷=6，所以能倒满6杯。
14.10.8；75.36；75.36
解：圆锥的体积：9×3.6÷3=10.8（立方厘米）
圆柱的侧面积：3.14×4×6=75.36（平方厘米）
圆柱的体积：3.14×（4÷2）×（4÷2）×6=75.36（立方厘米）
故答案为：10.8；75.36；75.36.
思路引导：圆锥体积=底面积×高÷3；圆柱的侧面积=底面周长×高；圆柱的体积=圆柱的底面积×高。
15.6
解：18÷3=6（厘米）
故答案为：6。
思路引导：圆柱的体积=底面积×高，圆锥的体积=底面积×高×
，
等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍。体积和底面积相等的圆柱和圆锥，圆锥的高是圆柱高的3倍。
16.401.92
圆锥沿底面半径：96÷2×2÷6÷2=48×2÷6÷2=8（厘米）
圆锥的体积：Sh=×3.14×82×6=×3.14×64×6=401.92（立方厘米）。
故答案为：401.92。
思路引导：表面积比原来增加的部分正好是两个等腰三角形的面积，三角形的底相当于圆锥底面直径，三角形的高相当于圆锥的高。圆锥底面半径=增加的表面积÷2×2÷高÷2，圆锥的体积=Sh。
17.圆柱；314
解：如果以宽为轴旋转一周得到一个立体图形，得到的是圆柱，它的体积是：
3.14×5?×4
=3.14×25×4
=78.5×4
=314（立方厘米）
故答案为：圆柱；314。
思路引导：以宽为轴旋转一周得到一个底面半径是5厘米，高为4厘米的圆柱，圆柱的体积=底面积×高，据此列式计算即可。
18.4
[3.14×（8÷2）2×2]÷6.28÷4
=[3.14×16×2]÷6.28÷4
=100.48÷6.28÷4
=16÷4
=4（小时）
答：四管齐开，4小时可以注满水池。
故答案为：4.
思路引导：水池的容积（圆柱的体积）=圆柱底面积（π×半径的平方，半径=直径的一半）×高，再用水池的容积除以每小时注水的立方米数，求出开1个管道需要多少个小时注满水，再除以4即可得出4个管道齐开需要多少小时注满水。
19.50
解：设底面半径是r厘米，高是h厘米，
3.14×r×2×h=157
?
?
?
?
?
?
?
?
rh=157÷6.28
?
?
?
?
?
?
?
?
rh=25
表面积比原来增加：2rh=2×25=50（平方厘米）。
故答案为：50。
思路引导：设底面半径是r厘米，高是h厘米，根据圆柱的侧面积公式列出一个方程，解方程求出“rh”的值。拼成近似长方形后，表面积增加了两个相同长方形的面积，长方形的长是圆柱的底面半径r厘米，宽是圆柱的高h厘米，两个长方形的面积就是“2rh”，由此即可确定表面积增加了多少平方厘米。
四、计算能手
20.（1）解：12×（4÷2）2×3.14
=12×4×3.14
=48×3.14
=150.72（立方厘来）
（2）解：×12×（8÷2）2×3.14
=4×50.24
=200.96（立方厘米）
（3）解：12×2×5+×22×3.14×9
=120+4×3.14×3
=157.68（立方厘米）
思路引导：圆柱的体积=（底面直径÷2）2×π×h；圆锥的体积=×（底面直径÷2）2×π×h；长方体的体积=长×宽。据此作答即可。
21.（1）解：表面积: 3.14×4×6+3.14×
×2
???
=75.36+25.12
???
=100.48(cm2)
体积: 3.14×
×6
???
=3.14×4×6
???
=75.36(cm3)
（2）解：3.14×
×6-
×3.14×
×3
???
=3.14×6-
×3.14×3
???
=3.14×(6-1)
???
=15.7(立方分米)
（1）
表面积: 3.14×4×6+3.14×（）2×2
=12.56×6+3.14×4×2
=75.36+25.12
=100.48（cm2）
体积：3.14×（）2×6
=3.14×4×6
=12.56×6
=75.36（cm3）
（2）3.14×（）2×6-×3.14×（）2×3
=3.14×6-×3.14×3
=3.14×（6-1）
=3.14×5
=15.7（立方分米）
思路引导：（1）已知圆柱的底面直径和高，求圆柱的表面积，用公式：S=πdh+π（）2×2，据此列式计算；
要求圆柱的体积，用公式：V=π（）2h，据此列式计算。
（2）观察图意可知，要求这个图形的体积，用圆柱的体积-圆锥的体积=这个图形的体积，圆柱的体积公式：V=πr2h，圆锥的体积公式：V=πr2
，
据此列式解答.
五、解答问题
22.解：底面半径：40÷2=20（厘米），
2米=200厘米，
3.14×20×20×2+3.14×40×200
=2512+25120
=27632（平方厘米）
27632÷2=13816（平方厘米）
3.14×20×20×200÷2
=1256×100
=125600（立方厘米）
答：这根木头与水接触的面积是27632平方厘米，这根木头露出水面部分的体积,125600立方厘米。
思路引导：直径÷2=半径，圆柱的底面积=π×半径的平方，圆柱的侧面积=底面周长×高，圆柱的底面积×2+圆柱的侧面积=圆柱的表面积，圆柱的表面积÷2=这根木头与水接触的面积；
圆柱的体积=底面积×高，圆柱的体积÷2=这根木头露出水面部分的体积。
23.（1）解：40×4+20×4+30
=160+80+30
=240+30
=270（厘米）
答：
捆扎这个蛋糕盒至少要用绸带270厘米。
（2）125.6cm；20cm；2512cm2
（2）
如果要在这个盒子的整个侧面贴一张产品说明（如下图），那么圆柱形蛋糕盒的底面周长是125.6cm，圆柱形蛋糕盒的高是20cm，圆柱形蛋糕盒的侧面积是2512cm2。
思路引导：（1）观察图可知，
捆扎这个蛋糕盒需要的绸带长度=底面直径×4+高×4+打结用去的绸带长度，据此列式解答；
（2）观察图可知，圆柱的侧面沿高展开，得到一共长方形，长方形的长是圆柱的底面周长，长方形的宽是圆柱的高，长方形的面积是圆柱的侧面积，据此解答。
24.解：3.14×（6÷2）2×1×10×50÷[3.14×（5÷2）2×1×10]
=3.14×9×500÷[3.14×6.25×10]
=14130÷196.25
=72（次）
答：那么一支新包装的牙膏小红能用72次。
思路引导：牙膏一次挤出的体积=π×（牙膏出口的直径÷2）2×牙膏挤出的长度，本题根据一支新包装的牙膏能用的次数=原来牙膏一次挤出的体积×原来一支牙膏可用的次数÷现在牙膏一次挤出的体积，代入数值计算即可。
25.解：1分钟流水的量=3.14×（0.2÷2）2×（5×60）
=3.14×0.01×300
=9.42（立方分米）；
水桶的体积=3.14×12×3
=3.14×1×3
=9.42（立方分米）；
因为9.42=9.42，所以能装满。
答：水龙头1分钟能将这个水桶放满水。
思路引导：圆柱的体积=圆柱的底面积×圆柱的高，圆柱的底面积=π×（圆柱的直径÷2）2；1分钟流水的量=水龙头的底面积×（水的流速×1分钟化成的秒数）；再根据圆柱的体积计算出水桶的体积，比较即可得出答案。
26.解：酸奶的毫升数=3.14×（8÷2）2×10+3.14×（8÷2）2×（20-15）
=3.14×42×（10+5）
=3.14×16×15
=50.24×15
=753.6（立方厘米）
=753.6毫升
答：这个奶瓶最多能装753.6毫升。
思路引导：根据题意可知，后面瓶子中的空余部分就是前面瓶子的空余部分，所以酸奶的毫升数就是前面瓶子酸奶的体积加上后面圆柱形空余部分的体积，根据圆柱的体积=底面积×高，列式解答即可。
27.正方体容器的容积为：4×4×4＝64（立方分米）
圆锥体的高为：64÷12÷
＝16（分米）
答：这个圆锥的高是16分米
思路引导：根据圆锥体容器的体积与正方体的体积相等，用正方体的体积除以底面积、和三分之一，即可求出圆锥的高。
28.解：12.56÷2÷3.14=2(dm)????
2
cm=0.2
dm??????
3.14×2
2×0.2×3÷(3.14×1
2)=2.4(dm)
思路引导：从题意可知，本题上升水的体积就是圆锥的体积，上升水的形状是一个底面周长12.56分米、高2厘米的圆柱体，运用圆柱的体积=底面积X高，可以求出上升水的体积，然后运用圆锥体积=底面积x高x
，
即可求出圆锥的高。
29.解：
×3.14×22×1.8=7.536(立方米)
7.536×1.5=11.304(吨)
解：
?
?×3.14×2
2
×1.8
=3.14×4×0.6
=7.536（立方米）
7.536×1.5=11.304（吨）
答：这堆沙重11.304吨。
思路引导：圆锥的体积=底面积×高×
，
根据体积公式计算出体积，用体积乘每立方米沙的重量即可求出总重量。
30.解：圆锥形铁块的高=3.14×（40÷2）2×1÷[×3.14×（20÷2）2]
=3.14×400×1÷[×3.14×100]
=3.14×400÷（×3.14×100）
=1256÷（×314）
=1256×3÷314
=12（厘米）
答：这个圆锥形铁块的高是12厘米。
思路引导：圆柱的体积=圆柱的底面积（π×底面半径的平方）×圆柱的高，圆锥的体积=×圆锥底面的面积（π×底面的半径的平方）×圆锥的高，圆柱（圆锥）底面半径=圆柱（圆锥）底面直径÷2，本题中圆柱形水槽水上升的体积=圆柱的底面积×水上升的高度，圆锥形铁块的高=圆柱形水槽水上升的体积÷（×圆锥底面的面积），代入数值计算即可得出答案。
知识互联网
知识导航
夯实基础
能力提升
能力达标百分训练（答案解析）
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)