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三十四 简单随机抽样
(15分钟 30分)
1.在“世界读书日”前夕,为了了解某地5
000名居民某天的阅读时间,从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析,在这个问题中,5
000名居民的阅读时间的全体是
( )
A.总体
B.个体
C.样本量
D.从总体中抽取的一个样本
【解析】选A.根据题意,结合总体、样本、个体、样本量的定义可知,5
000名居民的阅读时间的全体是总体.
2.为了检验某种产品的质量,决定从10
000件产品中抽取100件进行检查,选用 法抽样更合适.?
【解析】由于个体量与样本量都较大,选用抽签法制签、抽取都比较困难,应选用随机数法.
答案:随机数法
3.为了了解某市100
000户居民的日用电量,甲用简单随机抽样从该市抽取100户调查,得到日用电量的平均数为5.2千瓦时,乙用同样的方法抽查了300户,得到日用电量的平均数为5.5千瓦时,据此推断该市居民日用电量的平均数约为 千瓦时.?
【解析】由于乙抽取的样本量大于甲的,我们更愿意用他的调查结果估计该市的平均数.
答案:5.5
4.省环保局收到各县市报送的环保案例28件,为了了解全省环保工作的情况,要从这28件案例中抽取7件作为样本研究.试确定抽取方法并写出操作步骤.
【解析】总体容量小,样本量也小,可用抽签法.步骤如下:(1)将28件环保案例进行编号,号码是01,02,03,…,28.
(2)将以上28个号码分别写在28张相同的小纸条上,制成形状、大小均相同的号签.
(3)把号签放入一个不透明的容器中,充分搅拌均匀.
(4)从容器中无放回地逐个抽取7个号签,并记录上面的号码.
(5)找出和所得号码对应的7件案例,组成样本.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共20分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
1.下列抽样方法不是简单随机抽样的是
( )
A.从50个零件中逐个抽取5个做质量检验
B.从50个零件中有放回地抽取5个做质量检验
C.从实数集中随机抽取10个分析奇偶性
D.运动员从8个跑道中随机选取一个跑道
【解析】选C.A是,因为逐个抽取是不放回简单随机抽样.B是有放回简单随机抽样.C不是,因为实数集是无限集.D是无放回简单随机抽样.
2.从一群玩游戏的小孩中随机抽出k人,一人分一个苹果,让他们返回继续玩游戏.过了一会儿,再从中任取m人,发现其中有n个小孩曾分过苹果,估计参加游戏的小孩的人数为
( )
A.
B.k+m-n
C.
D.不能估计
【解析】选C.设参加游戏的小孩有x人,
则=,x=.
3.某校高一12个班男生百米体测的平均成绩为13.6
s,已知1,3,4,7,8班男生的平均成绩为13.5
s,2,10,11班男生的平均成绩为14
s,5,6,12班男生的平均成绩为13.3
s,则9班男生的平均成绩为
( )
A.13.5
s
B.13.6
s
C.13.7
s
D.13.8
s
【解析】选D.设9班男生百米体测的平均成绩为x
s,由题意知,
=13.6,
解得x=13.8.
4.(多选题)在以下调查中,适合抽样调查不适合普查的是
( )
A.调查某个班一次数学测验的及格率
B.调查某厂8月份生产的盒装牛奶的合格率
C.调查一批炮弹的杀伤半径
D.调查某校学生结核病的发病率
【解析】选BC.抽查牛奶质量不能每盒检测、抽查炮弹的杀伤半径不能把每枚炮弹都投放,所以适合抽样调查,不能普查.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.采用抽签法从含有3个个体的总体{1,3,8}中抽取一个容量为2的样本,则所有可能的样本是 .?
【解析】从含有3个个体的总体中任取2个即可组成样本,所以所有可能的样本为{1,3},{1,8},{3,8}.
答案:{1,3},{1,8},{3,8}
6.某学员在一次射击测试中射靶10次,命中环数如下:7,8,7,9,5,4,9,10,7,4.
则平均命中环数为 ;估计该学员射击一次命中环数为 .?
【解析】=7.用样本估计总体,估计环数最可能为7.
答案:7 7
三、解答题
7.(10分)一个学生在一次竞赛中要回答的8道题是这样产生的:从15道物理题中随机抽3道;从20道化学题中随机抽3道;从12道生物题中随机抽2道.选用合适的方法确定这个学生所要回答的三门学科的题的序号(物理题的编号为1～15,化学题的编号为16～35,生物题的编号为36～47).
【解析】方法一:抽签法
第一步,将试题的编号1～47分别写在纸条上,将纸条揉成团,制成号签,并将物理、化学、生物题的号签分别放在不透明的袋子中,搅匀.
第二步,从装有物理题的号签的袋子中逐个抽取3个号签,从装有化学题的号签的袋子中逐个抽取3个号签,从装有生物题的号签的袋子中逐个抽取2个号签,并记录所得号签上的编号,这便是这个学生所要回答的问题的序号.
方法二:随机数法
第一步,将物理题的序号对应改成01,02,…,15,其余两科题的序号不变.
第二步,准备10个大小、质地一样的小球,小球上分别写上数字0,1,2,…,9,把它们放入一个不透明的袋子中.第三步,从袋子中有放回摸取2次,每次摸取前充分搅拌,并把第1,2次摸到球的数字分别作为十位、个位,这样就生成了一个两位随机数.凡不在01～47中的数跳过去不读,前面已经读过的也跳过去不读,从01～15中选3个号码,从16～35中选3个号码,从36～47中选2个号码,记录下来.
第四步,与这些编号对应的即为所要回答的三门学科的题的序号.
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三十五 分层随机抽样
(15分钟 30分)
1.我国古代数学专著《九章算术》中有一衰分问题:今有北乡八千一百人,西乡七千四百八十八人,南乡六千九百一十二人,凡三乡,发役三百人,则北乡遣
( )
A.104人
B.108人
C.112人
D.120人
【解析】选B.由题意可知,这是一个分层随机抽样的问题,其中北乡抽取的人数为300×=300×=108.
【补偿训练】
某公司有员工500人,其中不到35岁的有125人,35～49岁的有280人,50岁以上的有95人,为了调查员工的身体健康状况,从中抽取100名员工,则应在这三个年龄段分别抽取人数为
( )
A.33,34,33
B.25,56,19
C.20,40,30
D.30,50,20
【解析】选B.因为125∶280∶95=25∶56∶19,所以抽取人数分别为25,56,19.
2.对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本,当选取简单随机抽样和分层随机抽样两种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的可能性的大小分别为p1,p2,则
( )
A.p1
B.p2C.p1=p2
D.大小关系不能确定
【解析】选C.由于两种抽样过程中,每个个体被抽到的可能性都是相等的,因此p1=p2.
3.已知某单位有职工120人,男职工有90人,现采用分层随机抽样(按性别分层)抽取一个样本,若已知样本中有18名男职工,则样本量为
( )
A.20
B.24
C.30
D.40
【解析】选B.设样本量为n,则=,n=24.
【补偿训练】
某中学有高中生3
500人,初中生1
500人,为了解学生的学习情况,用分层随机抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本,已知从高中生中抽取70人,则n为
( )
A.100
B.150
C.200
D.250
【解析】选A.方法一:
由题意可得=,解得n=100.
方法二:由题意,得抽样比为=,
总体容量为3
500+1
500=5
000,
故n=5
000×=100.
4.一支田径队有男运动员48人,女运动员36人.若用分层随机抽样(按性别分层)的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本,则抽取男运动员的人数为 .?
【解析】样本的抽取比例为=,
所以应抽取男运动员48×=12(人).
答案:12
5.某单位200名职工的年龄分布情况如图所示,现要从中抽取40名职工作样本,若用分层随机抽样的方法,则40岁以下年龄段应抽取 人.?
【解析】40岁以下年龄段的职工数为200×0.5=100,则应抽取的人数为×100=20.
答案:20
6.一批产品中,有一级品100个,二级品60个,三级品40个,用分层随机抽样的方法,从这批产品中抽取容量为20的样本,写出抽样过程.
【解析】因为总体容量与样本量之比为200∶20=10∶1,所以需从一级品中抽取×100=10(个),从二级品中抽取×60=6(个),从三级品中抽取×40=4(个).这样就得到一个容量为20的样本.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.(2019·全国卷Ⅲ)《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝,并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况,随机调查了100位学生,其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位,阅读过《红楼梦》的学生共有80位,阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位,则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为
( )
A.0.5
B.0.6
C.0.7
D.0.8
【解析】选C.由题意知阅读过《红楼梦》而没有阅读过《西游记》的学生人数为80-60=20,所以阅读过《西游记》的学生人数为90-20=70,故所求的估计值为=0.7.
2.某校老年、中年和青年教师的人数见表,采用分层随机抽样的方法调查教师的身体状况,在抽取的样本中,青年教师有320人,则该样本中的老年教师人数为
( )
类别
人数
老年教师
900
中年教师
1
800
青年教师
1
600
合计
4
300
A.90
B.100
C.180
D.300
【解析】选C.由题意得,抽样比为=,所以该样本中的老年教师人数为900×=180.
3.某商场有四类食品,其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种,现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测.若采用分层随机抽样的方法抽取样本,则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是
( )
A.4
B.5
C.6
D.7
【解析】选C.四类食品的种数比为4∶1∶3∶2,则抽取的植物油类的种数为20×=2,抽取的果蔬类的种数为20×=4,二者之和为6种.
4.现有某工厂生产的甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品分别有150件、120件、180件、150件.为了调查产品的情况,需从这600件产品中抽取一个容量为100的样本,若采用分层随机抽样,设甲产品中应抽取产品件数为x,设此次抽样中,某件产品A被抽到的可能性为y,则x,y的值分别为
( )
A.25,
B.20,
C.25,
D.25,
【解析】选D.根据分层随机抽样的定义和方法可得=,解得x=25,由于分层随机抽样的每个个体被抽到的可能性相等,则y==.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.下列调查的样本合理的是
( )
A.在校内发出一千张印有全校各班级的选票,要求被调查学生在其中一个班级旁画“√”,以了解最受欢迎的教师是谁
B.为选出参加厂代会的工人代表,把一万多名工人按老、中、青分为三组,按比例从各组中抽取人数
C.到老年公寓进行调查,了解全市老年人的健康状况
D.为了了解全班同学每天的睡眠时间,在每个小组中各随机抽取3名学生进行调查
【解析】选BD.A中样本不具有代表性、有效性,在班级前画“√”与了解最受欢迎的教师没有关系;C中样本缺乏代表性;而BD是合理的样本.
6.为调查某连锁店各分店的经营状况,某统计机构用分层随机抽样的方法,从甲、乙、丙三个城市中抽取若干家分店组成样本进行深入研究,有关数据见表(单位:个),则
( )
城市
总数量
抽取数量
日平均利润/千元
甲
26
2
6.2
乙
13
x
6.5
丙
39
y
6.3
A.乙城市抽取数量为1
B.丙城市抽取数量为2
C.样本量为6
D.三个城市各分店的日平均利润约为6.4千元
【解析】选AC.由题意,==,
所以x=1,y=3.
设所求的样本容量为n,由题意得=,解得n=6.抽取的6个分店的日平均利润的平均数为=6.3,据此估计三个城市各分店的日平均利润约为6.3千元.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.某校为了解学生的身体素质情况,采用按年级分层随机抽样的方法,从高一、高二、高三学生中抽取一个300人的样本进行调查,已知高一、高二、高三学生人数之比为k∶5∶4,抽取的样本中高一学生为120人,则k的值为 ,高一学生共有 人.?
【解析】由题意可得,=,
解得k=6.
经检验,k=6是原分式方程的解.
高一学生有120÷=300(人).
答案:6 300
8.大、中、小三个盒子中分别装有同一种产品120个、60个、20个,现在需从这三个盒子中抽取一个样本容量为25的样本,较为恰当的抽样方法为 .?
【解析】因为三个盒子中装的是同一种产品,且按比例抽取每盒中抽取的不是整数,所以将三盒中产品放在一起搅匀,按简单随机抽样法抽样较为适合.
答案:简单随机抽样
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.某单位有2
000名职工,老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营销、生产各岗位中的人数情况如表所示:
管理
技术开发
营销
生产
合计
老年
40
40
40
80
200
中年
80
120
160
240
600
青年
40
160
280
720
1
200
合计
160
320
480
1
040
2
000
(1)若要抽取40人调查身体状况,则应怎样抽样?
(2)若要开一个有25人参与的讨论单位发展与薪金调整方案的座谈会,则应怎样抽选出席人?
【解析】(1)用分层随机抽样法,并按老年职工4人,中年职工12人,青年职工24人抽取.
(2)用分层随机抽样法,并按管理岗位2人,技术开发岗位4人,营销岗位6人,生产岗位13人抽取.
10.为了对某课题进行讨论研究,用分层随机抽样的方法从三所高校A,B,C的相关人员中,抽取若干人组成研究小组,有关数据见表(单位:人).
高校
相关人数
抽取人数
A
x
1
B
36
y
C
54
3
(1)求x,y;
(2)若从高校B的相关人员中选2人作专题发言,应采用什么抽样法,请写出合理的抽样过程.
【解析】(1)分层随机抽样是按各层相关人数和抽取人数的比例进行的,所以有=,解得x=18,=,解得y=2.故x=18,y=2.
(2)总体和样本量较小,所以应采用抽签法,过程如下:
第一步,将36人随机编号,号码为1,2,3,…,36;
第二步,将号码分别写在相同的纸片上,揉成团,制成号签;
第三步,将号签放入一个不透明的容器中,充分搅匀,依次不放回地抽取2个号码,并记录上面的编号;
第四步,把与号码相对应的人抽出,即可得到所要的样本.
1.设样本数据x1,x2,…,x10的均值为1,若yi=xi+a(a为非零常数,i=1,2,…,10),则y1,y2,…,y10的均值为
( )
A.1+a
B.10+a
C.1+10a
D.不确定
【解析】选A.由均值的定义及性质知=+a=1+a.
2.某校做了一次关于“感恩父母”的问卷调查,从8～10岁,11～12岁,13～14岁,15～16岁四个年龄段回收的问卷依次为:120份,180份,240份,x份.因调查需要,从回收的问卷中按年龄段分层,随机抽取容量为300的样本,其中在11～12岁学生问卷中抽取60份,求在15～16岁学生中抽取的问卷份数.
【解析】11～12岁回收180份,其中在11～12岁学生问卷中抽取60份,则抽样比为.因为从回收的问卷中按年龄段分层,随机抽取容量为300的样本,所以从8～10岁,11～12岁,13～14岁,15～16岁四个年龄段回收的问卷总数为=900,则15～16岁回收问卷份数为900-120-180-240=360.所以在15～16岁学生中抽取的问卷份数为360×=120.
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三十六 总体取值规律的估计 总体百分位数的估计
(15分钟 30分)
1.某商场在国庆黄金周的促销活动中,对10月1日9时至14时的销售额进行统计,其频率分布直方图如图所示.已知9时至10时的销售额为3万元,则9时至14时的销售总额为
( )
A.10万元
B.12万元
C.15万元
D.30万元
【解析】选D.9时至10时的销售额的频率为0.1,因此9时至14时的销售总额为=30(万元).
2.据报道,去年某咨询公司对1
500个家庭进行了关于奶粉市场的调查,如图是关于每月购买奶粉袋数的有关数据,则每月购买1袋奶粉的比率同每月购买2袋奶粉的比率合计为
( )
A.79.9%
B.70.9%
C.38.8%
D.32.1%
【解析】选B.根据折线图,每月购买1袋奶粉和每月购买2袋奶粉的比率分别为38.8%和32.1%,故所求为38.8%+32.1%=70.9%.
3.某地农村2004年到2019年间人均居住面积的统计图如图所示,则增长最多的5年为
( )
A.2004年～2009年
B.2009年～2014年
C.2014年～2019年
D.无法从图中看出
【解析】选C.2004年～2009年的增长量为3.1,2009年～2014年的增长量为3.2,2014年～2019年的增长量为3.8.
4.北京市2019年5月份某一周的日最高气温(单位:℃)分别为25,28,30,29,31,32,28,则这周的日最高气温的第75百分位数为
( )
A.28℃
B.29℃
C.31℃
D.32℃
【解析】选C.将数据由小到大排列为25,28,28,29,30,31,32,因为7×75%=5.25,所以这周的日最高气温的第75百分位数为31℃.
【补偿训练】
数据20,18,31,28,33,29,16,22,25,26的第60百分位数是 .?
【解析】把所给的10个数据按由小到大的顺序排列为:16,18,20,22,25,26,
28,29,31,33;因为10×60%=6,所以该组数据的第60百分位数为=27.
答案:27
5.已知样本:
7 10 14 8 7 12 11 10 8 10
13 10 8 11 8 9 12 9 13 12
那么这组样本数据落在范围8.5～11.5内的频率为 .?
【解析】样本量是20,落在8.5～11.5内的数据有2个9,4个10,2个11,共8个数据,所以要求的频率是8÷20=0.4.
答案:0.4
6.某班100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].
(1)求图中a的值.
(2)若在同一组数据中,将该组区间的中点值作为这组数据的平均分,根据频率分布直方图,估计这100名学生语文成绩的平均分.
(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如表所示,求数学成绩在[50,90)之外的人数.
分数段
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
x∶y
1∶1
2∶1
3∶4
4∶5
【解析】(1)由频率分布直方图知(0.04+0.03+0.02+2a)×10=1,因此a=0.005.
(2)估计这次成绩的平均分为55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05=73.
所以这100名学生语文成绩的平均分为73分.
(3)分别求出语文成绩在分数段[50,60),[60,70),[70,80),[80,90)的人数依次为0.05×100=5,0.4×100=40,0.3×100=30,0.2×100=20.所以数学成绩分数段在[50,60),[60,70),[70,80),[80,90)的人数依次为5,20,40,25.
所以数学成绩在[50,90)之外的人数有100-(5+20+40+25)=10(人).
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.甲、乙两组数据如下:
甲:1,2,2,2,2,3,3,3,5,5,6,6,8,8,9,10,10,12,13,13;
乙:0,0,0,0,1,1,2,3,4,5,6,6,7,7,10,14,14,14,14,15.
则甲组数据的第25百分位数与乙组数据的第42百分位数分别是
( )
A.2.5,3.5
B.3,4
C.2.5,4
D.3,3.5
【解析】选C.因为每组数据的个数都为20,而且20×25%=5,20×42%=8.4.因此,甲组数据的25%分位数为=2.5;乙组数据的42%分位数为4.
2.某工厂对一批元件进行抽样检测.经检测,抽出的元件的长度(单位:mm)全部介于93至105之间.将抽出的元件的长度以2为组距分成6组:[93,95),[95,97),[97,99),[99,101),[101,103),[103,105],得到如图所示的频率分布直方图.若长度在[97,103)内的元件为合格品,根据频率分布直方图,估计这批元件的合格率是
( )
A.80%
B.90%
C.20%
D.85.5%
【解析】选A.由频率分布直方图可知元件长度在[97,103)内的频率为1-(0.027
5+0.027
5+0.045
0)×2=0.8,故这批元件的合格率为80%.
3.某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到扇形图:
则下面结论中不正确的是
( )
A.新农村建设后,种植收入减少
B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上
C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍
D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
【解析】选A.设建设前经济收入为1,则建设后经济收入为2,建设前种植收入为0.6,建设后种植收入为2×0.37=0.74,故A不正确;建设前的其他收入为0.04,养殖收入为0.3,建设后其他收入为0.1,养殖收入为0.6,故B,C正确;建设后养殖收入与第三产业收入的总和所占比例为58%,故D正确.
4.为了解电视对生活的影响,一个社会调查机构就平均每天看电视的时间调查了某地10
000位居民,并根据所得数据画出样本的频率分布直方图(如图),为了分析该地居民平均每天看电视的时间与年龄、学历、职业等方面的关系,要从这10
000位居民中再用分层随机抽样抽出100位居民做进一步调查,则[2.5,3.0)时间段内应抽出的人数是
( )
A.25
B.30
C.50
D.75
【解析】选A.抽出的100位居民中平均每天看电视的时间在[2.5,3.0)内的频率为0.5×0.5=0.25,所以这10
000位居民中平均每天看电视的时间在[2.5,3.0)内的人数是10
000×0.25=2
500.依题意知抽样比是=,则在[2.5,3.0)时间段内应抽出的人数是2
500×=25.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.如图所示是某年第一季度五省GDP情况图,则下列陈述正确的是
( )
A.第一季度GDP总量和增速均居同一位的省只有1个
B.与去年同期相比,第一季度五个省的GDP总量均实现了增长
C.去年同期的GDP总量前三位是丁省、乙省、甲省
D.去年同期甲省的GDP总量是第三位
【解析】选BCD.A项第一季度GDP总量和增速均居同一位的省有2个,乙省和丙省的GDP总量和增速分别均居第一位和第四位,故A错误;由图知B正确;由图计算去年同期五省的GDP总量,可知前三位为丁省、乙省、甲省,故C正确;由C知去年同期甲省的GDP总量是第三位,故D正确.
6.小明同学因发热而住院,如图是根据护士为他测量的体温所绘制的体温折线图.
根据图中的信息可得
( )
A.护士每隔6小时给小明测量一次体温
B.近三天来,小明的最低体温是38
℃
C.从体温看,小明的病情在不断好转
D.如果连续36小时体温不超过37.2
℃的话,可认为基本康复,那么小明最快9月10日凌晨5时出院
【解析】选AC.根据横轴表示的意义,可知护士每隔6小时给小明测量一次体温.从折线统计图中的最高点和最低点对应的纵轴意义,可知近三天最低体温是36.8
℃.
从图中可知小明的体温已经下降,并趋于稳定,因此病情在好转.9月8日18时小明的体温是37
℃.其后的体温未超过37.2
℃,自9月8日18时起计算,连续36小时后对应的时间为9月10日凌晨6时.因此小明最快可以在9月10日凌晨6时出院.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.在样本的频率分布直方图中,共有8个小长方形,若最后一个小长方形的面积等于其他7个小长方形的面积和的,且样本容量为200,则第8组的频数为 .?
【解析】设最后一个小长方形的面积为x,则其他7个小长方形的面积为4x,从而x+4x=1,所以x=0.2.故第8组的频数为200×0.2=40.
答案:40
8.为了解某校高三学生的身体状况,用分层随机抽样的方法抽取部分男生和女生的体重(单位:千克),将男生体重数据整理后,画出了频率分布直方图,已知图中从左到右前三个小组的频率之比为1∶2∶3,第二小组的频数为12,若全校男、女生比例为3∶2,则前三个小组的频数是 ,全校抽取学生数为 .?
【解析】根据题图可知第四组与第五组的频率和为(0.012
5+0.037
5)×5=0.25,
因为从左到右前三个小组的频率之比为1∶2∶3,第二小组的频数为12,
所以前三个小组的频数为36,从而男生有=48(人).因为全校男、女生比例为3∶2,所以全校抽取学生数为48×=80.
答案:36 80
【补偿训练】
为了解学生身高情况,某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层随机抽样调查,测得身高情况的统计图如图所示.
则该校男生的人数估计为 人;该校学生身高在170～185
cm之间的学生占总人数的百分比为 .?
【解析】样本中男生人数为40,由分层随机抽样比例为10%估计全校男生人数为400.
由统计图知,样本身高在170～185
cm之间的学生有14+13+4+3+1=35(人),样本容量为70,所以在样本中学生身高在170～185
cm之间所占比例为=50%,故可估计该校学生身高在170～185
cm之间的学生占总人数的50%.
答案:400 50%
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.为了丰富校园文化生活,某校计划在午间校园广播台播放“百家讲坛”的部分内容.为了了解学生的喜好,抽取若干名学生进行问卷调查(每人只选一项内容),整理调查结果,绘制统计图如图所示.
请根据统计图提供的信息回答以下问题:
(1)求抽取的学生数.
(2)若该校有3
000名学生,估计喜欢收听《易中天品三国》的学生人数.
(3)估计该校喜欢收听刘心武评《红楼梦》的女学生人数约占全校学生人数的百分比.
【解析】(1)从统计图上可以看出,
喜欢收听于丹析《庄子》的男生有20人,女生有10人;
喜欢收听《故宫博物院》的男生有30人,女生有15人;
喜欢收听于丹析《论语》的男生有30人,女生有38人;
喜欢收听《易中天品三国》的男生有64人,女生有42人;
喜欢收听刘心武评《红楼梦》的男生有6人,女生有45人.
所以抽取的学生数为20+10+30+15+30+38+64+42+6+45=300(人).
(2)喜欢收听《易中天品三国》的男生有64人,女生有42人,共有106人,占所抽取总人数的比例为,由于该校有3
000名学生,因此可以估计喜欢收听《易中天品三国》的学生有×3
000=1
060(人).
(3)该校喜欢收听刘心武评《红楼梦》的女学生人数约占全校学生人数的比例为×100%=15%.
【补偿训练】
如图是A,B两所学校艺术节期间收到的各类艺术作品的情况的统计图:
(1)从图中能否看出哪所学校收到的水粉画作品数量多?为什么?
(2)已知A学校收到的剪纸作品比B学校的多20件,收到的书法作品比B学校的少100件,请问这两所学校收到艺术作品的总数分别是多少件?
【解析】(1)不能.因为两所学校收到艺术作品的总数不知道.
(2)设A学校收到艺术作品的总数为x件,B学校收到艺术作品的总数为y件,
则解得即A学校收到艺术作品的总数为500件,B学校收到艺术作品的总数为600件.
10.从高三抽出50名学生参加数学竞赛,由成绩得到如图的频率分布直方图.试利用频率分布直方图求这50名学生成绩的75%分位数.
【解析】由题意可知,前四个小矩形的面积之和为0.6,前五个小矩形的面积之和为0.84>0.75,所以第75百分位数位于第五个小矩形内.由80+×10=86.25,故75%分位数约为86.25.
PAGE课时素养评价
三十七 总体集中趋势的估计 总体离散程度的估计
(15分钟 30分)
1.10名工人某天生产同一零件,生产的件数分别是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设其平均数为a,中位数为b,众数为c,则有
( )
A.a>b>c
B.b>c>a
C.c>a>b
D.c>b>a
【解析】选D.将数据从小到大排列为10,12,14,14,15,15,16,17,17,17,则平均数a=×(10+12+14×2+15×2+16+17×3)=14.7,中位数b=15,众数c=17,显然a2.某鞋店试销一种新款女鞋,销售情况如表:
码号
34
35
36
37
38
39
40
41
数量/双
2
5
9
16
9
5
3
2
如果你是鞋店经理,最关心的是哪种码号的鞋销量最大,那么下列统计量中对你来说最重要的是
( )
A.平均数
B.众数
C.中位数
D.极差
【解析】选B.鞋店经理最关心的是哪种码号的鞋销量最大,由表可知,码号为37的鞋销量最大,共销售了16双,37是这组数据的众数.
3.甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次,三人的测试成绩如表所示:
甲的成绩
环数
7
8
9
10
频数
5
5
5
5
乙的成绩
环数
7
8
9
10
频数
6
4
4
6
丙的成绩
环数
7
8
9
10
频数
4
6
6
4
s1,s2,s3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差,则有
( )
A.s3>s1>s2
B.s2>s1>s3
C.s1>s2>s3
D.s2>s3>s1
【解析】选B.因为s2=(++…+)-,
所以=(5×72+5×82+5×92+5×102)-8.52=,所以s1=.同理s2=,s3=,所以s2>s1>s3.
【补偿训练】
样本a,3,5,7的平均数是b,且a,b是方程x2-5x+4=0的两根,则这个样本的方差是
( )
A.3
B.4
C.5
D.6
【解析】选C.x2-5x+4=0的两根是1,4.
当a=1时,a,3,5,7的平均数是4;
当a=4时,a,3,5,7的平均数不是1.
所以a=1,b=4.则方差s2=×[(1-4)2+(3-4)2+(5-4)2+(7-4)2]=5.
4.五个数1,2,3,4,a的平均数是3,则a= ,这五个数的标准差是 .?
【解析】由=3得a=5;
由s2=×[(1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(4-3)2+(5-3)2]=2得,标准差s=.
答案:5
5.一组样本数据按从小到大的顺序排列为13,14,19,x,23,27,28,31,其中位数为22,则x等于 .?
【解析】根据题意知,中位数22=,则x=21.
答案:21
6.甲、乙两人在相同条件下各打靶10次,每次打靶的成绩情况如图所示:
(1)请填写下表:
平均数
中位数
命中9环及9环以上的次数
甲
7
乙
(2)从下列三个不同角度对这次测试结果进行分析:
①从平均数和中位数相结合看,谁的成绩好些?
②从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看,谁的成绩好些?
③从折线图中两人射击命中环数的走势看,谁更有潜力?
【解析】(1)由题图可知,甲打靶的成绩为:2,4,6,8,7,7,8,9,9,10;乙打靶的成绩为:9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.
甲的平均数是7,中位数是7.5,命中9环及9环以上的次数是3;
乙的平均数是7,中位数是7,命中9环及9环以上的次数是1.
(2)①甲、乙的平均数相同,甲的中位数比乙的中位数大,所以甲成绩较好.
②甲、乙的平均数相同,甲命中9环及9环以上的次数比乙多,所以甲成绩较好.
③从折线图中看,在后半部分,甲呈上升趋势,而乙呈下降趋势,故甲更有潜力.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.在一次射击训练中,一小组的成绩如表:
环数
7
8
9
人数
2
3
已知该小组的平均成绩为8.1环,那么成绩为8环的人数是
( )
A.4
B.5
C.6
D.7
【解析】选B.设成绩为8环的人数是x,由平均数的定义,得7×2+8x+9×3=8.1(2+x+3),解得x=5.
2.16位参加百米半决赛同学的成绩各不相同,按成绩取前8位进入决赛.如果小刘知道了自己的成绩后,要判断能否进入决赛,其他15位同学成绩的下列数据中,能使他得出结论的是
( )
A.平均数
B.极差
C.中位数
D.众数
【解析】选C.判断是不是能进入决赛,只要判断是不是前8名,所以只要知道其他15位同学的成绩中是不是有8位高于他,也就是把其他15位同学的成绩排列后看第8位的成绩即可,其成绩高于这个成绩就能进入决赛,低于这个成绩就不能进入决赛,这个第8位的成绩就是这15位同学成绩的中位数.
3.在教学调查中,甲、乙、丙三个班的数学测试成绩分布如图,假设三个班的平均分都是75分,s1,s2,s3分别表示甲、乙、丙三个班数学测试成绩的标准差,则有
( )
A.s3>s1>s2
B.s2>s1>s3
C.s1>s2>s3
D.s3>s2>s1
【解析】选D.所给图是成绩分布图,平均分是75分,在题图1中,集中在75分附近的数据最多,题图3中从50分到100分均匀分布,所有成绩不集中在任何一个数据附近,题图2介于两者之间.由标准差的意义可得s3>s2>s1.
【补偿训练】
样本数为9的四组数据,他们的平均数都是5,条形图如图所示,则标准差最大的一组是
( )
A.第一组 B.第二组
C.第三组
D.第四组
【解析】选D.第一组中,样本数据都为5,数据没有波动幅度,标准差为0;第二组中,样本数据为4,4,4,5,5,5,6,6,6,标准差为;第三组中,样本数据为3,3,4,4,5,6,6,7,7,标准差为;第四组中,样本数据为2,2,2,2,5,8,8,8,8,标准差为2,故标准差最大的一组是第四组.
4.甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛,四人的平均成绩和方差如表所示:
甲
乙
丙
丁
平均成绩
8.6
8.9
8.9
8.2
方差s2
3.5
5.6
2.1
3.5
从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛,最佳人选是
( )
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
【解析】选C.比较四人平均成绩与方差,得丙的平均成绩最高且方差最小,说明丙平均水平高且发挥最稳定.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次,两人成绩的条形统计图如图所示,则下列判断不正确的是
( )
A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
B.甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
C.甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
【解析】选ABD.由题图可得,甲的成绩为4,5,6,7,8,乙的成绩为5,5,5,6,9,所以甲、乙的成绩的平均数均是6,故A不正确;甲、乙成绩的中位数分别为6,5,故B不正确;甲、乙成绩的极差都是4,故D不正确;甲的成绩的方差为×(22×2+12×2)=2,乙的成绩的方差为×(12×3+32)=2.4,故C正确.
6.为了反映各行业对仓储物流业务需求变化的情况,以及重要商品库存变化的动向,中国物流与采购联合会和中储发展股份有限公司通过联合调查,制定了中国仓储指数.由2018年1月至2019年7月的调查数据得出的中国仓储指数,绘制出如下的折线图.
根据该折线图,下列结论错误的是
( )
A.2018年各月的仓储指数最大值是在3月份
B.2019年1月至7月的仓储指数的中位数为55
C.2019年1月与4月的仓储指数的平均数为52
D.2018年1月至4月的仓储指数相对于2019年1月至4月,波动性更大
【解析】选ABC.2018年各月的仓储指数最大值是在11月份,所以A错误;
由题图可知,2019年1月至7月的仓储指数的中位数约为52,所以B错误;
2019年1月与4月的仓储指数的平均数为=53,所以C错误;
由题图可知,2018年1月至4月的仓储指数比2019年1月至4月的仓储指数波动更大,故D正确.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.已知样本9,10,11,x,y的平均数是10,标准差是,则xy= .?
【解析】由平均数得9+10+11+x+y=50,所以x+y=20,又由(9-10)2+(10-10)2+(11-10)2+(x-10)2+(y-10)2=()2×5=10,得x2+y2-20(x+y)=-192,(x+y)2-2xy-20(x+y)=-192,xy=96.
答案:96
【补偿训练】
样本中共有五个个体,其值分别为a,0,1,2,3,若该样本的平均值为1,则样本方差为 .?
【解析】由题意知(a+0+1+2+3)=1,解得a=-1.
所以样本方差为s2=×[(-1-1)2+(0-1)2+(1-1)2+(2-1)2+(3-1)2]=2.
答案:2
8.已知样本数据x1,x2,…,xn的平均数=5,则样本数据2x1+1,2x2+1,…,2xn+1的平均数为 .?
【解析】由x1,x2,…,xn的平均数=5,得2x1+1,2x2+1,…,2xn+1的平均数为2+1=2×5+1=11.
答案:11
【补偿训练】
若样本数据x1,x2,…,x10的标准差为8,则数据2x1-1,2x2-1,…,2x10-1的标准差为 .?
【解析】由已知得,x1,x2,x3,…,x10的方差s2=64.则数据2x1-1,2x2-1,…,2x10-1的方差为22s2=22×64,所以其标准差为=2×8=16.
答案:16
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生,其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示.
(1)求这次测试数学成绩的众数;
(2)求这次测试数学成绩的中位数;
(3)求这次测试数学成绩的平均数.
【解析】(1)由题图知众数为=75.
(2)设中位数为x,由题图知,前三个小矩形面积之和为0.4,第四个小矩形面积为0.3,0.3+0.4>0.5,因此中位数位于第四个小矩形内,得0.1=0.03(x-70),所以x≈73.3.
(3)由题图知这次数学成绩的平均数为:
×0.005×10+×0.015×10+×0.02×10+×0.03×10+×0.025×10+×0.005×10=72.
10.从甲、乙两名学生中选拔一人参加射箭比赛,为此需要对他们的射箭水平进行测试.这两名学生在相同条件下各射箭10次,命中的环数如下:
甲
8
9
7
9
7
6
10
10
8
6
乙
10
9
8
6
8
7
9
7
8
8
(1)计算甲、乙两人射箭命中环数的平均数和标准差.
(2)比较两个人的成绩,然后决定选择哪名学生参加射箭比赛.
【解析】(1)根据题中所给数据,可得甲的平均数为=×(8+9+7+9+7+6+10+10+8+6)=8,
乙的平均数为=×(10+9+8+6+8+7+9+7+8+8)=8,
甲的标准差为s甲=
=,
乙的标准差为s乙=
=,
故甲的平均数为8,标准差为,乙的平均数为8,标准差为.
(2)因为=,且s甲>s乙,所以乙的成绩较为稳定,故选择乙参加射箭比赛.
1.为了普及环保知识,增强环保意识,某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试,得分(十分制)如图所示,假设得分的中位数为me,众数为mo,平均值为,则
( )
A.me=mo=
B.me=mo<
C.meD.mo【解析】选D.由题图可知,30名学生的得分情况依次为:2个人得3分,3个人得4分,10个人得5分,6个人得6分,3个人得7分,2个人得8分,2个人得9分,2个人得10分.中位数为第15,16个数(分别为5,6)的平均数,即me=5.5,5出现的次数最多,mo=5,=×(2×3+3×4+10×5+6×6+3×7+2×8+2×9+2×10)≈5.97.于是得mo2.某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得如图所示的柱状图:
记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元),n表示购机的同时购买的易损零件数.
(1)若n=19,求y与x的函数解析式.
(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5,求n的最小值.
(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件?
【解析】(1)当x≤19时,y=3
800;
当x>19时,y=3
800+500(x-19)=500x-5
700,
所以y与x的函数解析式为
y=
(2)由柱状图知,需更换的零件数不大于18的频率为0.46,不大于19的频率为0.7,故n的最小值为19.
(3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件,则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3
800元,20台的费用为4
300元,10台的费用为4
800元,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为×(3
800×70+4
300×20+4
800×10)=4
000(元).
若每台机器在购机同时都购买20个易损零件,则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4
000元,10台的费用为4
500元,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为×(4
000×90+4
500×10)=4
050(元).比较两个平均数可知,购买1台机器的同时应购买19个易损零件.
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