课时素养评价
三十八 有限样本空间与随机事件
(15分钟 30分)
1.下列试验中,随机事件有
( )
(1)某射手射击一次,射中10环;
(2)同时掷两颗骰子,都出现6点;
(3)某人购买福利彩票未中奖;
(4)若x为实数,则x2+1≥1.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【解析】选C.(4)是必然事件.(1)(2)(3)是随机事件.
2.一个家庭中先后有两个小孩,则他(她)们的性别情况可能为
( )
A.男女、男男、女女
B.男女、女男
C.男男、男女、女男、女女
D.男男、女女
【解析】选C.用列举法可知,性别情况有男男、男女、女男、女女,共4种可能.
3.同时投掷两枚大小相同的骰子,用(x,y)表示结果,记A为“所得点数之和小于5”,则事件A包含的基本事件的个数是
( )
A.3
B.4
C.5
D.6
【解析】选D.有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)共6个基本事件.
4.下列试验中是随机事件的有 .?
①某收费站在一天内通过的车辆数;
②一个平行四边形的对边平行且相等;
③某运动员在下届奥运会上获得冠军;
④某同学在回家的路上捡到100元钱;
⑤没有水和阳光的条件下,小麦的种子发芽.
【解析】①③④都是随机事件,②是必然事件,⑤是不可能事件.
答案:①③④
5.随意安排甲、乙、丙三人在3天节假日中值班,每天1人值班,试写出值班顺序的样本空间.
【解析】样本空间Ω={(甲,乙,丙),(甲,丙,乙),(乙,丙,甲),(乙,甲,丙),(丙,甲,乙),(丙,乙,甲)}.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共20分.多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
1.下列事件中是随机事件的是
( )
A.在数轴上向区间(0,1)内投点,点落在区间(0,1)内
B.在数轴上向区间(0,1)内投点,点落在区间(0,2)内
C.在数轴上向区间(0,2)内投点,点落在区间(0,1)内
D.在数轴上向区间(0,2)内投点,点落在区间(-1,0)内
【解析】选C.当x∈(0,1)时,必有x∈(0,1),x∈(0,2),所以A和B都是必然事件;
当x∈(0,2)时,有x∈(0,1)或x?(0,1),所以C是随机事件;当x∈(0,2)时,必有x?(-1,0),
所以D是不可能事件.
2.已知集合A={-9,-7,-5,-3,-1,0,2,4,6,8},从集合A中任取不相同的两个数作为点P的坐标,则事件“点P落在x轴上”包含的样本点共有
( )
A.7个
B.8个
C.9个
D.10个
【解析】选C.“点P落在x轴上”包含的样本点的特征是纵坐标为0,横坐标不为0,因A中有9个非零数,故事件“点P落在x轴上”包含的样本点共有9个.
3.从1,
2,
3,4这4个数中,任取2个数求和,那么“这2个数的和大于4”包含的样本点个数为
( )
A.2
B.3
C.4
D.5
【解析】选C.从1,
2,
3,4这4个数中,任取2个数求和,则试验的样本空间为Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)}.其中“这2个数的和大于4”包含的样本点有:(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共4个.
【补偿训练】
有一列北上的火车,已知停靠的车站由南至北分别为S1,S2,…,S10站.铁路局需为该列车准备 种北上的车票.
( )?
A.9
B.10
C.45
D.55
【解析】选C.铁路局需要准备从S1站发车的车票共计9种,从S2站发车的车票共计8种,…,从S9站发车的车票有1种,合计共9+8+…+2+1=45(种).
【误区警示】本题审题时容易误认为车票是从S1站发车的9种,选择错误答案A.
4.(多选题)下列事件是随机事件的为
( )
A.如果a>b,那么a-b>0
B.任取一实数a(a>0且a≠1),函数y=logax是增函数
C.某人射击一次,命中靶心
D.从盛有一红、二白共三个球的袋子中,摸出一球观察结果是黄球
【解析】选BC.A是必然事件;B中a>1时,y=logax是增函数,0
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.下列给出五个事件:
①某地2月3日下雪;
②函数y=ax(a>0,且a≠1)在定义域上是增函数;
③实数的绝对值不小于0;
④在标准大气压下,水在1℃结冰;
⑤若a,b∈R,则ab=ba.
其中必然事件是 ;不可能事件是 ;随机事件是 .?
【解析】由必然事件、不可能事件、随机事件的定义即可得到答案.
答案:③⑤ ④ ①②
6.从1,2,3,4,5中随机取三个不同的数,则这一试验的样本空间的总数为 ,取出的三个数的和为奇数这一事件包含的样本点的个数为 .?
【解析】从1,2,3,4,5中随机取三个不同的数有(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)共10种情况,其中(1,2,4),(1,3,5),(2,3,4),(2,4,5)中三个数字之和为奇数.
答案:10 4
【补偿训练】
做掷红、蓝两枚骰子的试验,用(x,y)表示结果,其中x表示红色骰子出现的点数,y表示蓝色骰子出现的点数,则这个试验不同的结果数有 种.?
【解析】将这个试验的所有结果一一列举出来为(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6).共有36种.
答案:36
三、解答题
7.(10分)将一枚质地均匀且四个面上分别标有1,2,3,4的正四面体先后抛掷两次,其底面落于桌面上,记第一次朝下面的数字为x,第二次朝下面的数字为y,用(x,y)表示一个样本点.
(1)请写出所有的样本点.
(2)满足条件“为整数”这一事件的样本点包含哪几个?
【解析】(1)先后抛掷两次正四面体的样本点:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16个样本点.
(2)用A表示满足条件“为整数”的事件,则A包含的样本点有:(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,3),(4,1),(4,2),(4,4),共8个样本点.
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三十九 事件的关系和运算
(15分钟 30分)
1.一个射手进行一次射击,事件A:命中环数大于8;事件B:命中环数大于5,则
( )
A.A与B是互斥事件
B.A与B是对立事件
C.A?B
D.A?B
【解析】选C.事件A:命中环数大于8即命中9或10环;事件B:命中环数大于5即命中6或7或8或9或10环,故A?B.
2.抽查10件产品,设“至少抽到2件次品”为事件A,则A的对立事件是
( )
A.至多抽到2件次品
B.至多抽到2件正品
C.至少抽到2件正品
D.至多抽到1件次品
【解析】选D.因为“至少抽到2件次品”就是说抽查10件产品中次品的数目至少有2件,所以A的对立事件是抽查10件产品中次品的数目最多有1件.
【补偿训练】
从装有十个红球和十个白球的罐子里任取两个球,下列情况中是互斥而不对立的两个事件是( )
A.至少有一个红球;至少有一个白球
B.恰有一个红球;都是白球
C.至少有一个红球;都是白球
D.至多有一个红球;都是红球
【解析】选B.对于A,“至少有一个红球”可能为一个红球、一个白球,“至少有一个白球”可能为一个白球、一个红球,故两事件可能同时发生,所以不是互斥事件;对于B,“恰有一个红球”,则另一个必是白球,与“都是白球”是互斥事件,而任取2个球还有都是红球的情形,故两事件不是对立事件;对于C,“至少有一个红球”为都是红球或一红一白,与“都是白球”显然是对立事件;对于D,“至多有一个红球”为都是白球或一红一白,与“都是红球”是对立事件.
3.从1,2,…,9中任取两数,其中:
①恰有一个偶数和恰有一个奇数;②至少有一个奇数和两个数都是奇数;③至少有一个奇数和两个数都是偶数;④至少有一个奇数和至少有一个偶数.
在上述各对事件中,是对立事件的是
( )
A.①
B.②④
C.③
D.①③
【解析】选C.从1,2,…,9中任取两数,包括一奇一偶、两奇、两偶,共三种互斥事件,所以只有③中的两个事件才是对立事件.
4.现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书,从中任取1本,记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A、B、C、D、E,则事件取出的是理科书可记为 .?
【解析】由题意可知事件“取到理科书”的可记为B∪D∪E.
答案:B∪D∪E
5.在投掷骰子试验中,根据向上的点数可以定义许多事件,如:A={出现1点},B={出现3点或4点},C={出现的点数是奇数},D={出现的点数是偶数}.
求以上4个事件两两运算的结果.
【解析】在投掷骰子的试验中,根据向上出现的点数有6种基本事件,
记作Ai={出现的点数为i}(其中i=1,2,…,6).则A=A1,B=A3∪A4,C=A1∪A3∪A5,D=A2∪A4∪A6.
A∩B=,A∩C=A,A∩D=.
A∪B=A1∪A3∪A4={出现的点数为1或3或4},
A∪C=C={出现的点数为1或3或5},
A∪D=A1∪A2∪A4∪A6={出现的点数为1或2或4或6}.B∩C=A3={出现的点数为3},
B∩D=A4={出现的点数为4}.
B∪C=A1∪A3∪A4∪A5={出现的点数为1或3或4或5}.B∪D=A2∪A3∪A4∪A6={出现的点数为2或3或4或6}.
C∩D=,C∪D=A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6={出现的点数为1,2,3,4,5,6}.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.从一批产品(既有正品也有次品)中取出三件产品,设A={三件产品全不是次品},B={三件产品全是次品},C={三件产品有次品,但不全是次品},则下列结论中错误的是
( )
A.A与C互斥
B.B与C互斥
C.任何两个都互斥
D.任何两个都不互斥
【解析】选D.由题意知事件A,B,C两两不可能同时发生,因此两两互斥.
2.打靶3次,事件Ai表示“击中i发”,其中i=0,1,2,3.那么A=A1∪A2∪A3表示
( )
A.全部击中
B.至少击中1发
C.至少击中2发
D.以上均不正确
【解析】选B.A1∪A2∪A3所表示的含义是A1,A2,A3这三个事件中至少有一个发生,即可能击中1发、2发或3发.
3.同时抛掷两枚均匀的骰子,事件“都不是5点且不是6点”的对立事件为
( )
A.一个是5点,另一个是6点
B.一个是5点,另一个是4点
C.至少有一个是5点或6点
D.至多有一个是5点或6点
【解题指南】考虑事件“都不是5点且不是6点”所包含的各种情况,然后再考虑其对立事件.
【解析】选C.设两枚骰子分别为甲、乙,则其点数的可能值包括以下四种可能:甲是5点且乙是6点,甲是5点且乙不是6点,甲不是5点且乙是6点,甲不是5点且乙不是6点,事件“都不是5点且不是6点”为第四种情况,故其对立事件是前三种情况.
【误区警示】解答本题容易忽视根据两个骰子是否为5点或6点对所有可能出现的结果进行分析,导致错误.
【补偿训练】
抛掷一枚骰子,记事件A为“落地时向上的点数是奇数”,事件B为“落地时向上的点数是偶数”,事件C为“落地时向上的点数是3的倍数”,事件D为“落地时向上的点数是6或4”,则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是
( )
A.A与B
B.B与C
C.A与D
D.C与D
【解析】选C.A与B互斥且对立;B与C有可能同时发生,即出现6,从而不互斥;A与D不会同时发生,从而A与D互斥,又因为还可能出现2,故A与D不对立;C与D有可能同时发生,从而不互斥.
4.对空中飞行的飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,设A={两次都击中飞机},B={两次都没击中飞机},C={恰有一炮弹击中飞机},D={至少有一炮弹击中飞机},下列关系不正确的是
( )
A.A?D
B.B∩D=
C.A∪C=D
D.A∪B=B∪D
【解析】选D.“恰有一炮弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中,“至少有一炮弹击中飞机”包含两种情况:一种是恰有一炮弹击中,一种是两炮弹都击中,所以A∪B≠B∪D.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.一批产品共有100件,其中5件是次品,95件是合格品.从这批产品中任意抽取5件,现给出以下四个事件:
事件A:“恰有一件次品”;
事件B:“至少有两件次品”;
事件C:“至少有一件次品”;
事件D:“至多有一件次品”.
则选项中结论正确的是
( )
A.A∪B=C
B.D∪B是必然事件
C.A∪B=B
D.A∪D=C
【解析】选AB.A∪B表示的事件为至少有一件次品,即事件C,所以A正确,C不正确;
D∪B表示的事件为至少有两件次品或至多有一件次品,包括了所有情况,所以B正确;
A∪D表示的事件为至多有一件次品,即事件D,所以D不正确.
6.从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球,则与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是
( )
A.两球都不是白球
B.两球恰有一个白球
C.两球至少有一个白球
D.两球都是黑球
【解析】选ABD.根据题意,结合互斥事件、对立事件的定义可得,选项A,事件“两球都为白球”和事件“两球都不是白球”不可能同时发生,故它们是互斥事件.但这两个事件不是对立事件,因为它们的和事件不是必然事件.选项B,事件“两球都为白球”和事件“两球恰有一个白球”是互斥而非对立事件.选项C,事件“两球都为白球”和事件“两球至少有一个白球”可能同时发生,故它们不是互斥事件;选项D,事件“两球都为白球”和事件“两球都是黑球”是互斥而非对立事件.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.下列各对事件:
①运动员甲射击一次,“射中9环”与“射中8环”;
②甲、乙两运动员各射击一次,“甲射中10环”与“乙射中9环”;
③甲、乙两运动员各射击一次,“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”;
④甲、乙两运动员各射击一次,“至少有一人射中目标”与“甲射中目标但乙没有射中目标”.
其中是互斥事件的有 ,是包含关系的有 .?
【解析】①甲射击一次“射中9环”与“射中8环”不能同时发生,是互斥事件;②甲、乙两运动员各射击一次,“甲射中10环”与“乙射中9环”不是同一试验的结果,不研究包含或互斥关系;③甲、乙两运动员各射击一次,“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”不能同时发生,是互斥事件;④甲、乙两运动员各射击一次,“至少有一人射中目标”,即“甲射中目标但乙没有射中目标”或“乙射中目标但甲没有射中目标”或“甲、乙都射中目标”,具有包含关系.
答案:①③ ④
8.已知100件产品中有5件次品,从这100件产品中任意取出3件,设E表示事件“3件产品全不是次品”,F表示事件“3件产品全是次品”,G表示事件“3件产品中至少有1件次品”,则下列四个结论正确的是 .(填序号)?
①F与G互斥
②E与G互斥但不对立
③E,F,G任意两个事件均互斥
④E与G对立
【解析】由题意得事件E与事件F不可能同时发生,是互斥事件;
事件E与事件G不可能同时发生,是互斥事件;
当事件F发生时,事件G一定发生,所以事件F与事件G不是互斥事件.故①,③错.事件E与事件G中必有一个发生,所以事件E与事件G对立,所以②错误,④正确.
答案:④
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.在掷骰子的试验中,可以定义许多事件.例如,事件C1={出现1点},事件C2={出现2点},事件C3={出现3点},事件C4={出现4点},事件C5={出现5点},事件C6={出现6点},事件D1={出现的点数不大于1},事件D2={出现的点数大于3},事件D3={出现的点数小于5},事件E={出现的点数小于7},事件F={出现的点数为偶数},事件G={出现的点数为奇数},请根据上述定义的事件,回答下列问题.
(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件.
(2)利用和事件的定义,判断上述哪些事件是和事件.
【解析】(1)因为事件C1,C2,C3,C4发生,则事件D3必发生,所以C1?D3,C2?D3,C3?D3,C4?D3.
同理可得,事件E包含事件C1,C2,C3,C4,C5,C6;事件D2包含事件C4,C5,C6;事件F包含事件C2,C4,C6;事件G包含事件C1,C3,C5.
且易知事件C1与事件D1相等,即C1=D1.
(2)因为事件D2={出现的点数大于3}={出现4点或出现5点或出现6点},所以D2=C4∪C5∪C6(或D2=C4+C5+C6).
同理可得,D3=C1+C2+C3+C4,E=C1+C2+C3+C4+C5+C6,F=C2+C4+C6,G=C1+C3+C5,E=F+G,
E=D2+D3.
10.某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学参加演讲比赛,判断下列每对事件是不是互斥事件,如果是,再判别它们是不是对立事件.
(1)恰有1名男生与恰有2名男生;
(2)至少有1名男生与全是男生;
(3)至少有1名男生与全是女生;
(4)至少有1名男生与至少有1名女生.
【解题指南】判别两个事件是否互斥,就要考察它们是否能同时发生;判别两个互斥事件是否对立,就要考察它们是否必有一个发生.
【解析】(1)因为“恰有1名男生”与“恰有2名男生”不可能同时发生,所以它们是互斥事件;当恰有2名女生时它们都不发生,所以它们不是对立事件.
(2)因为恰有2名男生时“至少有1名男生”与“全是男生”同时发生,所以它们不是互斥事件.
(3)因为“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生,所以它们互斥;由于它们必有一个发生,所以它们对立.
(4)由于选出的是1名男生1名女生时“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生,所以它们不是互斥事件.
1.如果事件A,B互斥,那么
( )
A.A∪B是必然事件
B.∪是必然事件
C.与一定互斥
D.与一定不互斥
【解析】选B.用集合表示法中的“Venn图”解决比较直观,如图所示,∪=I是必然事件.
2.从学号为1,2,3,4,5,6的六名同学中选出一名同学担任班长,其中1,3,5号同学为男生,2,4,6号同学为女生,记:C1=“选出1号同学”,C2=“选出2号同学”,C3=“选出3号同学”,C4=“选出4号同学”,C5=“选出5号同学”,C6=“选出6号同学”,D1=“选出的同学学号不大于1”,D2=“选出的同学学号大于4”,D3=“选出的同学学号小于6”,E=“选出的同学学号小于7”,F=“选出的同学学号大于6”,G=“选出的同学学号为偶数”,H=“选出的同学学号为奇数”.据此回答下列问题:
(1)上述事件中哪些是必然事件?哪些是随机事件?哪些是不可能事件?
(2)如果事件C1发生,则一定有哪些事件发生?
(3)两个事件的交事件也可能为不可能事件,在上述事件中有这样的例子吗?
【解析】(1)必然事件有:E;随机事件有:C1,C2,C3,C4,C5,C6,D1
,D2,D3,G,H;不可能事件有:F.
(2)如果事件C1发生,则事件D1,D3,E,H一定发生.
(3)有,如:C1和C2;C3和C4等.
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四十 古
典
概
型
(15分钟 30分)
1.袋中有2个红球,2个白球,2个黑球,从里面任意摸2个小球,下列不是样本点的是
( )
A.正好2个红球
B.正好2个黑球
C.正好2个白球
D.至少一个红球
【解析】选D.至少一个红球包含:一红一白或一红一黑或2个红球,所以至少一个红球不是样本点.
2.下列概率模型中,是古典概型的个数为
( )
(1)从区间内任取一个数,求取到1的概率;
(2)从1～10中任意取一个整数,求取到1的概率;
(3)在一个正方形ABCD内画一点P,求P刚好与点A重合的概率;
(4)向上抛掷一枚不均匀的硬币,求出现反面朝上的概率.
A.1
B.2
C.3
D.4
【解题指南】判断一个概率模型是否是古典概型,关键是看它是否满足两个条件:①有限性;②等可能性.
【解析】选A.第1个概率模型不是古典概型,因为从区间内任意取出一个数,有无数个对象可取,所以不满足有限性.
第2个概率模型是古典概型,因为试验结果只有10个,而且每个数被抽到的可能性相等,即满足有限性和等可能性;
第3个概率模型不是古典概型,不满足有限性;
第4个概率模型也不是古典概型,因为硬币不均匀,因此两面出现的可能性不相等.
3.(2019·全国卷Ⅱ)生物实验室有5只兔子,其中只有3只测量过某项指标,若从这5只兔子中随机取出3只,则恰有2只测量过该指标的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.从5只兔子中随机取出3只,总的基本事件有10种;又因为只有3只测量过某项指标,故恰有2只测量过该指标的种数为6,则恰有2只测量过该指标的概率为,即.
4.从字母a,b,c,d,e中任取两个不同的字母,则取到字母a的概率为 .?
【解析】总的取法有:ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de共10种,其中含有a的有ab,ac,ad,ae共4种,故所求概率为=.
答案:
5.(2020·江苏高考)将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,则点数和为5的概率是 .?
【解析】总事件数为6×6=36,满足条件的事件有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)共4种,则点数和为5的概率为=.
答案:
6.连续掷3枚硬币,观察这3枚硬币落在地面上时是正面朝上还是反面朝上.
(1)写出这个试验的所有样本点.
(2)求这个试验的样本点的总数.
(3)求“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件发生的概率.
【解析】(1)这个试验包含的样本点有:(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正),(正,反,反),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反).
(2)这个试验包含的样本点的总数是8.
(3)设A=“恰有两枚硬币正面朝上”,则A事件包含以下3个样本点:(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正).所以P(A)=.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.两位男同学和两位女同学随机排成一列,则样本点的个数是
( )
A.4
B.12
C.16
D.24
【解析】选D.将两位男同学分别记为A1,A2,两位女同学分别记为B1,B2,则四位同学排成一列,情况有A1A2B1B2,A1A2B2B1,A2A1B1B2,A2A1B2B1,A1B1A2B2,A1B2A2B1,A2B1A1B2,A2B2A1B1,B1A1A2B2,B1A2A1B2,B2A1A2B1,B2A2A1B1,A1B1B2A2,A1B2B1A2,A2B1B2A1,A2B2B1A1,B1B2A1A2,B1B2A2A1,B2B1A1A2,B2B1A2A1,B1A1B2A2,B1A2B2A1,B2A1B1A2,B2A2B1A1,共有24种.
2.从正方形四个顶点及其中心这5个点中,任取2个点,则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.如图可知从5个点中选取2个点的全部情况有(O,A),(O,B),(O,C),(O,D),(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D),共10种.
选取的2个点的距离不小于该正方形边长的情况有(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D),共6种.故所求概率为=.
【补偿训练】
如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数,从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则这3个数构成一组勾股数的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,共有如下10个不同的结果:(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),
(2,4,5),(3,4,5),其中勾股数只有(3,4,5),所以概率为.
3.古代“五行”学说认为:“物质分金、木、水、火、土五种属性,金克木、木克土、土克水、水克火、火克金.”从五种不同属性的物质中随机抽取两种,则抽取的两种物质不相克的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.从五种不同属性的物质中随机抽取两种,有(金,木)、(金,水)、(金,火)、(金,土)、(木,水)、(木,火)、(木,土)、(水,火)、(水,土)、(火,土)共10种等可能发生的结果,其中金克木,木克土,土克水,水克火,火克金,即相克的有5种,则不相克的也是5种,所以抽取的两种物质不相克的概率为.
4.甲在微信群中发布6元“拼手气”红包一个,被乙、丙、丁三人抢完.若三人均领到整数元,且每人至少领到1元,则乙获得“手气最佳”(即乙领取的钱数不少于其他任何人)的概率是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.用(x,y,z)表示乙、丙、丁抢到的红包分别为x元、y元、z元.
乙、丙、丁三人抢完6元钱的所有不同的可能结果有10种,分别为(1,1,4),(1,4,1),(4,1,1),(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1),(2,2,2).乙获得“手气最佳”的所有不同的可能结果有4种,分别为(4,1,1),(3,1,2),(3,2,1),(2,2,2).根据古典概型的概率计算公式,得乙获得“手气最佳”的概率P==.
【补偿训练】
从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个位数为0的概率是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.分类讨论法求解.
个位数与十位数之和为奇数,则个位数与十位数中必一个奇数一个偶数,所以可以分两类.
(1)当个位为奇数时,有5×4=20个符合条件的两位数.
(2)当个位为偶数时,有5×5=25个符合条件的两位数.
因此共有20+25=45个符合条件的两位数,其中个位数为0的两位数有5个,所以所求概率为P==.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.下列试验是古典概型的是
( )
A.从6名同学中选出4人参加数学竞赛,每人被选中的可能性大小
B.同时掷两颗骰子,点数和为6的概率
C.近三天中有一天降雨的概率
D.10人站成一排,其中甲、乙相邻的概率
【解析】选ABD.A,B,D是古典概型,因为符合古典概型的定义和特点.C不是古典概型,因为不符合等可能性,降雨受多方面因素影响.
6.袋中有大小相同的黄、红、白球各一个,每次任取一个,有放回地取3次,则概率不是的为
( )
A.颜色全相同
B.颜色不全相同
C.颜色全不同
D.无红球
【解析】选BCD.有放回地取球3次,共27种可能结果,其中颜色全相同的结果有3种,其概率为=;颜色不全相同的结果有24种,其概率为=;颜色全不同的结果有6种,其概率为=;无红球的情况有8种,其概率为.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.在3张奖券中有一、二等奖各1张,另1张无奖.甲、乙两人各抽取1张,则两人都中奖的概率是 .?
【解析】设中一、二等奖及不中奖分别记为1,2,0,那么甲、乙抽奖结果有(1,2),(1,0),(2,1),(2,0),(0,1),(0,2),共6种.其中甲、乙都中奖有(1,2),(2,1),共2种,所以P==.
答案:
【补偿训练】
设m,n分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数,则在先后两次出现的点数中有5的条件下,方程x2+mx+n=0有实根的概率为 .?
【解析】先后两次出现的点数中有5的情况有:(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,5),(6,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6),共11种,其中使方程x2+mx+n=0有实根的情况有:(5,5),(6,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6),共7种.故所求事件的概率P=.
答案:
8.小李在做一份调查问卷,共有5道题,其中有两种题型,一种是选择题,共3道,另一种是填空题,共2道.若小李从中任选2道题解答,每一次选1题(不放回),则所选的题不是同一种题型的概率为 ,若小李从中任选2道题解答,每一次选1题(有放回),则所选的题不是同一种题型的概率为 .?
【解析】将3道选择题依次编号为1,2,3;2道填空题依次编号为4,5.
从5道题中任选2道题解答,每一次选1题(不放回),则所有样本点为(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),共20种,而且这些样本点发生的可能性是相等的.
设事件A为“所选的题不是同一种题型”,则事件A包含的样本点有(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),共12种,所以P(A)==0.6.
从5道题中任选2道题解答,每一次选1题(有放回),则所有样本点为(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),共25种,而且这些样本点发生的可能性是相等的.
设事件B为“所选的题不是同一种题型”,
因为所选题不是同一种题型的样本点共12种,
所以P(B)==0.48.
答案:0.6 0.48
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.先后掷两枚大小相同的骰子.
(1)求点数之和出现7点的概率.
(2)求出现两个4点的概率.
(3)求点数之和能被3整除的概率.
【解析】如图所示,从图中容易看出基本事件与所描点一一对应,共36个.
(1)记“点数之和出现7点”为事件A,从图中可以看出,事件A包含的基本事件共6个:(6,1),(5,2),(4,3),(3,4),(2,5),(1,6),
故P(A)==.
(2)记“出现两个4点”为事件B,从图中可以看出,事件B包含的基本事件只有1个,即(4,4),故P(B)=.
(3)记“点数之和能被3整除”为事件C,则事件C包含的基本事件共12个:(1,2),(2,1),(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3),(3,6),(6,3),(4,5),(5,4),(6,6).
故P(C)==.
10.(2019·天津高考)2019年,我国施行个人所得税专项附加扣除办法,涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72,108,120人,现采用分层随机抽样的方法,从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.
(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人?
(2)抽取的25人中,享受至少两项专项附加扣除的员工有6人,分别记为A,B,C,D,E,F.享受情况如表,其中“○”表示享受,“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.
员工
A
B
C
D
E
F
子女教育
○
○
×
○
×
○
继续教育
×
×
○
×
○
○
大病医疗
×
×
×
○
×
×
住房贷款利息
○
○
×
×
○
○
住房租金
×
×
○
×
×
×
赡养老人
○
○
×
×
×
○
①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;
②设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”,求事件M发生的概率.
【解析】(1)由已知,老、中、青员工人数之比为6∶9∶10,由于采取分层随机抽样的方法从中抽取25位员工,因此应从老、中、青员工中分别抽取6人,9人,10人.
(2)①从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{C,D},{C,E},{C,F},{D,E},{D,F},{E,F},共15种;
②由表格知,符合题意的所有可能结果为{A,B},{A,D},{A,E},{A,F},{B,D},{B,E},{B,F},{C,E},{C,F},{D,F},{E,F},共11种,所以事件M发生的概率P(M)=.
1.一个三位数,它的个、十、百位上的数字依次为x,y,z,当且仅当y>x,y>z时,称这样的数为“凸数”(如243),现从集合{5,6,7,8}中取出三个不同的数组成一个三位数,则这个三位数是“凸数”的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.从集合{5,6,7,8}中取出3个不同的数组成一个三位数共有24个结果:567,576,657,675,756,765,568,586,658,685,856,865,578,587,758,
785,857,875,678,687,768,786,867,876,其中是“凸数”的是:576,675,586,
685,587,785,687,786共8个结果,所以这个三位数是“凸数”的概率为=.
2.某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x,y.奖励规则如下:
①若xy≤3,则奖励玩具一个;
②若xy≥8,则奖励水杯一个;
③其余情况奖励饮料一瓶.
假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀,小亮准备参加此项活动.
(1)求小亮获得玩具的概率.
(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.
【解析】(1)用数对(x,y)表示儿童参加活动先后记录的数,则基本事件空间Ω与点集S={(x,y)|x∈N,y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应.
因为S中元素的个数是4×4=16,所以基本事件总数n=16.记“xy≤3”为事件A,则事件A包含的基本事件共5个,即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1),
所以P(A)=,即小亮获得玩具的概率为.
(2)记“xy≥8”为事件B,“3则事件B包含的基本事件共6个,
即(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4).
所以P(B)==.
事件C包含的基本事件共5个,
即(1,4),(2,2),(2,3),(3,2),(4,1).
所以P(C)=.因为>,
所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.
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四十一 概率的基本性质
(15分钟 30分)
1.根据某医疗研究所的调查,某地区居民血型的分布为:O型50%,A型15%,B型30%,AB型5%.现有一血液为A型病人需要输血,若在该地区任选一人,那么能为病人输血的概率为
( )
A.15%
B.20%
C.45%
D.65%
【解析】选D.因为某地区居民血型的分布为:O型50%,A型15%,B型30%,AB型5%,现在能为A型病人输血的有O型和A型,故为病人输血的概率为50%+15%=65%.
2.一盒子中有10个相同的球,分别标有号码1,2,3,…,10,从中任取一球,则此球的号码为偶数的概率是 .?
【解析】取2号、4号、6号、8号、10号球是互斥事件,且概率均为,故有++++=.
答案:
3.从一批乒乓球产品中任选一个,如果其质量小于2.45
g的概率是0.22,质量不小于2.50
g的概率是0.20,那么质量在2.45
g～2.50
g范围内的概率是 .?
【解析】质量在2.45
g～2.50
g范围内的概率是1-0.22-0.20=0.58.
答案:0.58
【补偿训练】
已知某台纺纱机在1小时内发生0次、1次、2次断头的概率分别是0.8,0.12,0.05,则这台纺纱机在1小时内断头不超过两次的概率和断头超过两次的概率分别为 , .?
【解析】断头不超过两次的概率P1=0.8+0.12+0.05=0.97.于是,断头超过两次的概率P2=1-P1=1-0.97=0.03.
答案:0.97 0.03
4.若A,B为互斥事件,P(A)=0.4,P(A∪B)=0.7,则P(B)= .?
【解析】因为A,B为互斥事件,所以P(A∪B)=P(A)+P(B),所以P(B)=P(A∪B)-P(A)=0.7-0.4=0.3.
答案:0.3
5.某家庭电话在家中有人时,打进的电话响第1声时被接的概率为0.1,响第2声时被接的概率为0.3,响第3声时被接的概率为0.4,响第4声时被接的概率为0.1,那么电话在响前4声内被接的概率是多少?
【解题指南】直接利用互斥事件的概率加法公式求得结果.
【解析】记“响第1声时被接”为事件A,“响第2声时被接”为事件B,“响第3声时被接”为事件C,“响第4声时被接”为事件D,“响前4声内被接”为事件E,则易知A,B,C,D互斥,且E=A+B+C+D,所以由互斥事件的概率加法公式,得P(E)=P(A+B+C+D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=0.1+0.3+0.4+0.1=0.9.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.对一批产品的长度(单位:mm)进行抽样检测,如图为检测结果的频率分布直方图.根据标准,产品长度在区间[20,25)上的为一等品,在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品,在区间[10,15)和[30,35]上的为三等品.用频率估计概率,现从该批产品中随机抽取一件,则其为二等品的概率为
( )
A.0.09
B.0.20
C.0.25
D.0.45
【解析】选D.设[25,30)上的频率为x,由所有矩形面积之和为1,即x+(0.02+0.04+0.03+0.06)×5=1,得[25,30)上的频率为0.25.所以产品为二等品的概率为0.04×5+0.25=0.45.
【补偿训练】
某商场举行有奖促销活动,抽奖规则如下:从装有形状、大小完全相同的2个红球、3个蓝球的箱子中,任意取出两球,若取出的两球颜色相同则中奖,否则不中奖.则中奖的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.从装有形状、大小完全相同的2个红球、3个蓝球的箱子中,任意取出两球共10种取法,取出的两球颜色都是红球有1种取法,概率为,都是蓝球有3种取法,概率为,且它们互斥,所以中奖的概率为+==.
2.抛掷一枚质地均匀的骰子,事件A表示“向上的点数是奇数”,事件B表示“向上的点数不超过3”,则P(A∪B)=
( )
A.
B.
C.
D.1
【解析】选B.方法一:A包含向上的点数是1,3,5的情况,B包含向上的点数是1,2,3的情况,所以A∪B包含了向上的点数是1,2,3,5的情况.
故P(A∪B)==.
方法二:P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=+-=1-=.
3.在所有的两位数(10～99)中,任取一个数,则这个数能被2或3整除的概率是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.共90个数字,被2或3整除的数有45+30-15=60,故概率为=.
4.从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球,则所取的3个球中至少有1个白球的概率是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.记3个红球分别为a1,a2,a3,2个白球分别为b1,b2,从3个红球、2个白球中任取3个,则所包含的基本事件有(a1,a2,a3),(a1,a2,b1),(a1,a2,b2),(a1,a3,b1),(a1,a3,b2),(a2,a3,b1),(a2,a3,b2),(a1,b1,b2),(a2,b1,b2),(a3,b1,b2),共10个.由于每个基本事件发生的机会均等,因此这些基本事件的发生是等可能的.用A表示“所取的3个球中至少有1个白球”,则其对立事件表示“所取的3个球中没有白球”,则事件包含的基本事件有1个:(a1,a2,a3),所以P()=.故P(A)=1-P()=1-=.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.高一(2)班数学兴趣小组有男生和女生各3名,现从中任选2名学生去参加数学竞赛,则
( )
A.恰有一名参赛学生是男生的概率为
B.至少有一名参赛学生是男生的概率为
C.至多有一名参赛学生是男生的概率为
D.两名参赛学生都是男生的概率为
【解析】选AC.从数学兴趣小组的6名学生中任选2名学生去参加数学竞赛,共有15种等可能的结果.恰有一名参赛学生是男生,即从3名男生中任选1人,从3名女生中任选1人,有3×3=9(种)结果,所以恰有一名参赛学生是男生的概率为=,A对;“至少有一名参赛学生是男生”的对立事件为“两名参赛学生都是女生”,从3名女生中任选2人有3种结果,所以至少有一名参赛学生是男生的概率为1-=,B错;“两名参赛学生都是男生”,从3名男生中任选2人有3种结果,其概率为=,D错;“至多有一名参赛学生是男生”的对立事件为“两名参赛学生都是男生”,所以至多有一名参赛学生是男生的概率为1-=,C对.
6.某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组,3个小组分别有39,32,33个成员,一些成员参加了不止一个小组,具体情况如图所示.现随机选取一个成员,则
( )
A.他只属于音乐小组的概率为
B.他只属于英语小组的概率为
C.他属于至少2个小组的概率为
D.他属于不超过2个小组的概率为
【解析】选CD.由题图知参加兴趣小组的共有6+7+8+8+10+10+11=60人,只属于数学、英语、音乐小组的人数分别为10,6,8人,故只属于音乐小组的概率为=,只属于英语小组的概率为=,“至少2个小组”包含“2个小组”和“3个小组”两种情况,故他属于至少2个小组的概率为=,“不超过2个小组”包含“1个小组”和“2个小组”,其对立事件是“3个小组”.故他属于不超过2个小组的概率是P=1-=.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.掷一枚骰子的试验,事件A表示“小于5的偶数点出现”,事件B表示“小于5的点数出现”,则事件A+B发生的概率为 ,A+发生的概率为 .?
【解析】事件A发生的概率为P(A)==,事件B发生的概率为P(B)==,所以事件发生的概率为P()=1-P(B)=1-=,易知事件A?事件B,事件A与事件互斥,故P(A+B)=P(B)=,
P(A+)=P(A)+P()=+=.
答案:
8.为维护世界经济秩序,我国在亚洲经济论坛期间积极倡导反对地方贸易保护主义,并承诺包括汽车在内的进口商品将最多在5年内把关税全部降低到世贸组织所要求的水平,其中21%的进口商品恰好5年关税达到要求,18%的进口商品恰好4年关税达到要求,其余进口商品将在3年或3年内达到要求,则包括汽车在内的进口商品不超过4年的时间关税达到要求的概率为 .?
【解析】设“包括汽车在内的进口商品恰好4年关税达到要求”为事件A,“不到4年达到要求”为事件B,则“包括汽车在内的进口商品在不超过4年的时间关税达到要求”是事件A∪B,而A,B互斥,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.18+(1-0.21-0.18)=0.79.
答案:0.79
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.甲、乙两人下棋,和棋的概率为,乙获胜的概率为,求:(1)甲获胜的概率;(2)甲不输的概率.
【解析】(1)“甲获胜”和“和棋或乙获胜”是对立事件,所以“甲获胜”的概率P=1--=.
(2)方法一:设事件A为“甲不输”,可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件,所以P(A)=+=.
方法二:设事件A为“甲不输”,可看成是“乙获胜”的对立事件,所以P(A)=1-=.
10.一个盒子里有三张卡片,分别标记有数字1,2,3,这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次,每次抽取1张,将抽取的卡片上的数字依次记为a,b,c.
(1)求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率.
(2)求“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率.
【解析】(1)由题意知,(a,b,c)所有的可能结果为(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1,2),(3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3),共27种.
设“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”为事件A,则事件A包括(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3),共3种.
所以P(A)==.
即“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率为.
(2)设“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”为事件B,则事件B的对立事件包括(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),共3种.
所以P(B)=1-P()=1-=.
即“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率为.
袋中有12个小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球,从中任取一球,得到红球的概率是,得到黑球或黄球的概率是,得到黄球或绿球的概率是,试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少?
【解析】从袋中任取一球,记事件“摸到红球”“摸到黑球”“摸到黄球”“摸到绿球”分别为A、B、C、D,则有P(B∪C)=P(B)+P(C)=;
P(C∪D)=P(C)+P(D)=;
P(B∪C∪D)=P(B)+P(C)+P(D)=1-P(A)=1-=.
解得P(B)=,P(C)=,P(D)=.
所以得到黑球、黄球、绿球的概率各是,,.
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四十二 事件的相互独立性
(15分钟 30分)
1.若P(AB)=,P()=,P(B)=,则事件A与B的关系是
( )
A.事件A与B互斥
B.事件A与B对立
C.事件A与B相互独立
D.事件A与B既互斥又独立
【解析】选C.因为P()=,所以P(A)=,又P(B)=,P(AB)=,所以有P(AB)=P(A)P(B),所以事件A与B相互独立但不一定互斥.
2.如图,在两个圆盘中,指针落在圆盘每个数所在区域的机会均等,那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.题图中左边圆盘指针落在奇数区域的概率为=,题图中右边圆盘指针落在奇数区域的概率也为,所以两个指针同时落在奇数区域的概率为×=.
【补偿训练】
甲、乙两班各有36名同学,甲班有9名三好学生,乙班有6名三好学生,两班各派1名同学参加演讲活动,派出的恰好都是三好学生的概率是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.两班各自派出代表是相互独立事件,设事件A,B分别为甲班、乙班派出的是三好学生,则事件AB为两班派出的都是三好学生,则P(AB)=P(A)P(B)
=×=.
3.已知A,B是相互独立事件,若P(A)=0.2,P(AB+B+A)=0.44,则P(B)等于
( )
A.0.3
B.0.4
C.0.5
D.0.6
【解析】选A.因为A,B是相互独立事件,
所以,B和A,均相互独立.
因为P(A)=0.2,P(AB+B+A)=0.44,
所以P(A)P(B)+P()P(B)+P(A)P()=0.44,
所以0.2P(B)+0.8P(B)+0.2[1-P(B)]=0.44,
解得P(B)=0.3.
【补偿训练】
已知A,B是两个相互独立事件,P(A),P(B)分别表示它们发生的概率,则1-P(A)P(B)是下列哪个事件的概率
( )
A.事件A,B同时发生
B.事件A,B至少有一个发生
C.事件A,B至多有一个发生
D.事件A,B都不发生
【解析】选C.P(A)P(B)是指A,B同时发生的概率,1-P(A)P(B)是A,B不同时发生的概率,即至多有一个发生的概率.
4.已知P(A)=0.3,P(B)=0.5,当事件A,B相互独立时,P(A∪B)= .?
【解析】因为A,B相互独立,所以P(AB)=P(A)·P(B),所以P(A∪B)
=P(A)+P(B)-P(A)·P(B)=0.3+0.5-0.3×0.5=0.65.
答案:0.65
5.甲袋中有8个白球、4个红球,乙袋中有6个白球、6个红球,从每袋中任取一球,则取到相同颜色的球的概率是 .?
【解析】由题意知P=×+×=.
答案:
【补偿训练】
荷花池中,有只青蛙在成“品”字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时,均从一叶跳到另一叶),而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍,如图所示.假设现在青蛙在A叶上,则跳三次之后停在A叶上的概率是 .?
【解析】青蛙跳三次要回到A叶只有两条途径.第一条:按A→B→C→A,P1=××=;第二条:按A→C→B→A,P2=××=,所以跳三次之后停在A叶上的概率为P=P1+P2=+=.
答案:
6.一个家庭中有若干个小孩,假定生男孩和生女孩是等可能的,令A={一个家庭中既有男孩又有女孩},B={一个家庭中最多有一个女孩}.对下述两种情形,讨论A与B的独立性:
(1)家庭中有两个小孩.
(2)家庭中有三个小孩.
【解析】(1)有两个小孩的家庭,男孩、女孩的可能情形为Ω={(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)},它有4个基本事件,由等可能性知概率都为.
这时A={(男,女),(女,男)},
B={(男,男),(男,女),(女,男)},
AB={(男,女),(女,男)},
于是P(A)=,P(B)=,P(AB)=.由此可知,P(AB)≠P(A)P(B),所以事件A,B不相互独立.
(2)有三个小孩的家庭,小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω={(男,男,男),(男,男,女),(男,女,男),(男,女,女),(女,男,男),(女,男,女),(女,女,男),(女,女,女)}.
由等可能性知这8个基本事件的概率均为,这时A中含有6个基本事件,B中含有4个基本事件,AB中含有3个基本事件.
于是P(A)==,P(B)==,
P(AB)=,
显然有P(AB)==P(A)P(B)成立.
从而事件A与B是相互独立的.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.设两个独立事件A和B都不发生的概率为,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同,则事件A发生的概率P(A)是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.由P(A)=P(B),得P(A)P()=P(B)P(),即P(A)=P(B),
又P()=,则P()=P()=.
所以P(A)=.
2.从甲袋中摸出一个红球的概率是,从乙袋中摸出一个红球的概率是,从两袋各摸出一个球,则等于( )
A.2个球不都是红球的概率
B.2个球都是红球的概率
C.至少有1个红球的概率
D.2个球中恰有1个红球的概率
【解析】选C.分别记从甲、乙袋中摸出一个红球为事件A,B,则P(A)=,P(B)=,由于A,B相互独立,所以1-P()P()=1-×=.根据互斥事件可知C正确.
3.甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军,乙队需要再赢两局才能得到冠军,若两队胜每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.设Ai(i=1,2)表示继续比赛时,甲在第i局获胜,B事件表示甲队获得冠军.
方法一:B=A1+A2,故P(B)=P(A1)+P()P(A2)=+×=.
方法二:P(B)=1-P()=1-P()P()=1-×=.
4.一个电路如图所示,A,B,C,D,E,F为6个开关,其闭合的概率都是,且是相互独立的,则灯亮的概率是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.设A与B中至少有一个不闭合的事件为T,E与F中至少有一个不闭合的事件为R,则P(T)=P(R)=1-×=,
所以灯亮的概率P=1-P(T)P(R)P(C)P(D)=.
【补偿训练】
某种开关在电路中闭合的概率为p,现将4只这种开关并联在某电路中(如图所示),若该电路为通路的概率为,则p=
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.因为该电路为通路的概率为,所以该电路为不通路的概率为1-,只有当并联的4只开关同时不闭合时该电路不通路,所以1-=(1-p)4,解得p=或p=(舍去).
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.分别抛掷两枚质地均匀的硬币,设事件A是“第一枚为正面”,事件B是“第二枚为正面”,事件C是“两枚结果相同”,则下列事件具有相互独立性的是
( )
A.A与B
B.A与C
C.B与C
D.都不具有独立性
【解题指南】根据事件相互独立的定义判断,只要P(AB)=P(A)P(B),
P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C)成立即可.
【解析】选ABC.易知P(A)=0.5,P(B)=0.5,P(C)=0.5,P(AB)=0.25,P(AC)=0.25,
P(BC)=0.25.可以验证P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C).所以根据事件相互独立的定义,事件A与B相互独立,事件B与C相互独立,事件A与C相互独立.
6.某商场推出二次开奖活动,凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券.奖券上有一个兑奖号码,可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动.如果两次兑奖活动的中奖概率都是0.05,则两次抽奖中
( )
A.都抽到某一指定号码的概率为0.05
B.都没有抽到某一指定号码的概率为0.95
C.恰有一次抽到某一指定号码的概率为0.095
D.至少有一次抽到某一指定号码的概率为0.097
5
【解析】选CD.记“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A,“第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B,则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件AB.由于两次抽奖结果互不影响,因此A与B相互独立.于是由独立性可得,两次抽奖都抽到某一指定号码的概率P(AB)=P(A)P(B)=0.05×0.05=0.002
5.同理“两次抽奖都没有抽到某一指定号码”的概率P()=P()P()=0.95×0.95=0.902
5;
“两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用(A)∪(B)表示.由于事件A与B互斥,根据概率加法公式和相互独立事件的定义,所求的概率为P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=0.05×(1-0.05)+(1-0.05)×0.05=0.095;“两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可用(AB)∪(A)∪(B)表示.由于事件AB,A和B两两互斥,据概率加法公式和相互独立事件的定义,所求的概率为P(AB)+P(A)+P(B)=0.002
5+0.095=0.097
5.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.事件A,B,C相互独立,如果P(AB)=,P(C)=,P(AB)=,则P(B)= ,
P(B)= .?
【解析】由题意可得
解得P(A)=,P(B)=,P(C)=,
所以P(B)=P()P(B)=×=.
答案:
8.水平相当的四人打麻将,彼此之间互不影响,也不受上局胜败的影响,甲连和4局的概率为 ,乙4局均不和的概率为 .?
【解析】由题意,每局每人和牌的概率为,且相互独立,故甲连和4局的概率为=;每局每人不和牌的概率都是,且相互独立,故乙4局均不和的概率为=.
答案:
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.据大地保险公司统计,某地车主购买车损险的概率为0.5,购买第三者人身安全险的概率为0.6,购买两种保险相互独立,各车主间相互独立.
(1)求一位车主同时购买车损险与第三者人身安全险保险的概率.
(2)求一位车主购买第三者人身安全险但不购买车损险的概率.
【解析】记A表示事件“购买车损险”,B表示事件“购买第三者人身安全险”,则由题意,得A与B,A与,与B,与都是相互独立事件,
且P(A)=0.5,P(B)=0.6.
(1)记C表示事件“同时购买两种保险”,
则C=AB,所以P(C)=P(AB)=P(A)P(B)=0.5×0.6=0.3.
(2)记D表示事件“购买第三者人身安全险但不购买车损险”,则D=B,所以P(D)=P(B)=P()P(B)=(1-0.5)×0.6=0.3.
10.A,B是治疗同一种疾病的两种药,用若干试验组进行对比试验,每个试验组由4只小白鼠组成,其中2只服用A,另2只服用B,然后观察疗效,若在一个试验组中,服用A有效的白鼠的只数比服用B有效的多,就称该试验组为甲类组.设每只小白鼠服用A有效的概率为,服用B有效的概率为.
(1)求一个试验组为甲类组的概率.
(2)观察3个试验组,求这3个试验组中至少有一个甲类组的概率.
【解析】(1)设Ai表示事件“一个试验组中,服用A有效的小白鼠有i只”,i=0,1,2.Bi表示事件“一个试验组中,服用B有效的小白鼠有i只”,i=0,1,2.据题意有:P(A0)=×=,
P(A1)=2××=,
P(A2)=×=,
P(B0)=×=,P(B1)=2××=.
所求概率为P=P(B0A1)+P(B0A2)+
P(B1A2)=×+×+×=.
(2)所求概率P′=1-=.
1.同学甲参加某科普知识竞赛,需回答三个问题,竞赛规则规定:答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分,答错或不答均得零分.假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.6,0.5,且各题答对与否相互之间没有影响,则同学甲得分不低于300分的概率是 .?
【解析】设“同学甲答对第i个题”为事件Ai(i=1,2,3),则P(A1)=0.8,P(A2)=0.6,P(A3)=0.5,且A1,A2,A3相互独立,同学甲得分不低于300分对应于事件(A1A2A3)∪(A1A3)∪(A2A3)发生,故所求概率为P=P[(A1A2A3)∪(A1A3)∪(A2A3)]=P(A1A2A3)+P(A1A3)+P(A2A3)
=P(A1)P(A2)P(A3)+P(A1)P()P(A3)+
P()P(A2)P(A3)=0.8×0.6×0.5+0.8×0.4×0.5+0.2×0.6×0.5=0.46.
答案:0.46
2.四人打麻将,老张最后手中牌除了一张6筒和一张一万外,其他都已成牌,他下一张牌会摸到是4筒或5筒.如果听坎5筒和牌的概率是20%,听4,7筒和牌的概率是40%.请计算老张这手牌和牌的概率.(手牌中已有6筒,如果再摸到4筒,此时听牌叫听坎5筒.手牌中有6筒,如果再摸到5筒,此时听牌叫听4,7筒.“筒”即“饼”,“坎”即顺子牌中间的一张.)
【解析】有两种情况:
(1)手中的牌有50%的概率摸到4筒,则打出一万,听坎5筒,有20%的概率和牌.摸到4筒与听坎5筒和牌相互独立,故和牌概率为:0.5×0.2=0.1.
(2)手中牌有50%的概率摸到5筒,则打出一万,听4,7筒,有40%的概率和牌.摸到5筒与听4,7筒和牌相互独立,故和牌概率为:0.5×0.4=0.2.以上两种情况互斥,故老张这手牌和牌的概率为0.1+0.2=0.3.
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四十三 频率的稳定性
(15分钟 30分)
1.历史上有些学者做了成千上万次掷硬币试验,结果如表:
试验者
抛掷次数(n)
正面朝上次数(m)
频率
德·摩根
2
048
1
061
0.518
1
蒲丰
4
040
2
048
0.506
9
费勒
10
000
4
979
0.497
9
皮尔逊
12
000
6
019
0.501
6
皮尔逊
24
000
12
012
0.500
5
由表可知掷硬币试验中正面朝上的概率为
( )
A.0.51
B.0.49
C.0.50
D.0.52
【解析】选C.试验者得到了不同的结果,它们都在0.50上下波动,实际上,掷硬币试验中,正面朝上的概率是不变的,始终都是0.50.
2.“某彩票的中奖概率为”,意味着
( )
A.买100张彩票就一定能中奖
B.买100张彩票能中一次奖
C.买100张彩票一次奖也不中
D.购买1张彩票中奖的可能性为
【解析】选D.某彩票的中奖率为,意味着中奖的可能性为,可能中奖,也可能不中奖.
3.有一个容量为66的样本,数据的分组及各组的频数如下:
[11.5,15.5)2;[15.5,19.5)4;[19.5,23.5)9;
[23.5,27.5)18;[27.5,31.5)11;[31.5,35.5)12;
[35.5,39.5)7;[39.5,43.5]3.
根据样本的频率分布,估计数据落在[31.5,43.5]内的概率约是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.由已知,样本容量为66,而落在[31.5,43.5]内的样本数为12+7+3=22,故所求概率约为=.
【补偿训练】
某校高一(1)班共有46个学生,其中男生13人,从中任意抽取1人,是女生的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.共46人,男生有13人,则女生有33人,抽到女生的概率为.
4.如果掷一枚质地均匀的硬币,连续5次正面向上,有人认为下次出现反面向上的概率大于,这种理解是 的.(填“正确”或“错误”)?
【解析】这种理解是错误的.掷一枚质地均匀的硬币,作为一次试验,其结果是随机的,但通过大量的试验,其结果呈现出一定的规律,即“正面向上”“反面向上”的可能性都是,连续5次正面向上这种结果是可能的,但对下一次试验来说,仍然是随机的,其出现正面向上和反面向上的可能性还是,而不会大于.
答案:错误
【补偿训练】
设有外形完全相同的两个箱子,甲箱有99个白球和1个黑球,乙箱有1个白球和99个黑球,若随机地抽取一箱,再从此箱中任意抽取一球,结果取得白球,则这个球最有可能是从 箱中抽出的(填“甲”或“乙”).?
【解析】甲箱中有99个白球和1个黑球,故随机地取出一球,得到白球的可能性是;乙箱中有1个白球和99个黑球,从中任取一球,得到白球的可能性是.由此看出,这一白球从甲箱中抽出的概率比从乙箱中抽出的概率大得多.既然在一次随机抽样中抽到白球,可以认为是从概率大的箱子中抽出的,所以我们作出统计推断,该白球是从甲箱中抽出的.
答案:甲
5.现共有两个相同的卡通玩具,展展、宁宁、凯凯三个小朋友都想要.他们采取了这样的办法分配玩具,拿一个飞镖射向如图所示的圆盘,若射中数字为1,2,3的区域,则玩具给展展和宁宁,若射中数字为4,5,6的区域,则玩具给宁宁和凯凯,若射中数字为7,8的区域,则玩具给展展和凯凯.试问这个游戏规则公平吗?
【解析】不公平.由题知,若射中1,2,3,7,8这5个数字,展展可得到玩具,所以展展得到玩具的概率是;同理宁宁得到玩具的概率是=;凯凯得到玩具的概率是.三个小朋友得到玩具的概率不相同,所以这个游戏规则不公平.
(10分钟 20分)
一、选择题(每小题5分,共10分.多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
1.甲、乙两人做游戏,下列游戏中不公平的是
( )
A.掷一枚骰子,向上的点数为奇数则甲胜,向上的点数为偶数则乙胜
B.同时掷两枚相同的骰子,向上的点数之和大于7则甲胜,否则乙胜
C.从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色则甲胜,是黑色则乙胜
D.甲,乙两人各写一个数字,若是同奇或同偶则甲胜,否则乙胜
【解析】选B.对于A、C、D,甲胜,乙胜的概率都是,游戏是公平的;对于B,点数之和大于7和点数之和小于7的概率相等,但点数等于7时乙胜,所以甲胜的概率小,游戏不公平.
2.(多选题)以下说法错误的是
( )
A.昨天没有下雨,则说明“昨天气象局的天气预报降水概率为95%”是错误的
B.“彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票一定有1张会中奖
C.做10次抛硬币的试验,结果7次正面朝上,因此正面朝上的概率为
D.某厂产品的次品率为2%,但该厂的50件产品中可能有2件次品
【解析】选ABC.A中降水概率为95%,仍有不降水的可能,故A错误;B中“彩票中奖的概率是1%”表示在设计彩票时,有1%的机会中奖,但不一定买100张彩票一定有1张会中奖,故B错误;C中正面朝上的频率为,概率仍为,故C错误;
D中次品率为2%,但50件产品中可能没有次品,也可能有1件或2件或3件…次品,故D正确.
【补偿训练】
某中学从参加高一年级上学期期末考试的学生中抽出60名学生,将其成绩(均为整数)分成六段[40,50),[50,60),…,[90,100]后画出如图部分频率分布直方图.观察图形的信息,则
( )
A.成绩在区间[90,100]上的人数为5人
B.抽查学生的平均成绩是71分
C.这次考试的及格率(60分及以上为及格)约为75%
D.若从成绩是70分以上(包括70分)的学生中选一人,则选到第一名学生的概率(第一名学生只一人)为
【解析】选BC.依题意,成绩在区间[90,100]上的人数为60×0.005×10=3(人);平均成绩为45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71(分);60分及以上的分数所在的第三、四、五、六组的频率和为(0.015+0.03+0.025+0.005)×10=0.75,所以,这次考试的及格率约为75%;成绩在[70,100]的人数是36.所以从成绩是70分以上(包括70分)的学生中选一人,选到第一名学生的概率P=.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.在调查运动员是否服用过兴奋剂的时候,给出两个问题作答,无关紧要的问题是:“你的身份证号码的尾数是奇数吗?”敏感的问题是:“你服用过兴奋剂吗?”然后要求被调查的运动员掷一枚硬币,如果出现正面,就回答第一个问题,否则回答第二个问题.由于回答哪一个问题只有被测试者自己知道,所以应答者一般乐意如实地回答问题.若我们把这种方法用于300个被调查的运动员,得到80个“是”的回答,则这群运动员中服用过兴奋剂的百分率大约为 .?
【解析】因为掷硬币出现正面向上的概率为,我们期望大约有150名运动员回答第一个问题.又身份证号码的尾数是奇数或偶数是等可能的,在回答第一个问题的150名运动员中大约有一半人,即75名运动员回答了“是”,另外5个回答“是”的运动员服用过兴奋剂.因此我们估计这群运动员中大约有3.33%的人服用过兴奋剂.
答案:3.33%
4.某中学为了了解初中部学生的某项行为规范的养成情况,在校门口按系统抽样的方法:每2分钟随机抽取一名学生,登记佩戴胸卡的学生的名字.结果,150名学生中有60名佩戴胸卡.第二次检查,调查了初中部的所有学生,有500名学生佩戴胸卡.据此估计该中学初中部一共有 名学生.?
【解析】设初中部有n名学生,
依题意得=,解得n=1
250.
所以该中学初中部共有学生大约1
250名.
答案:1
250
【补偿训练】
商场在一周内共卖出某种品牌的皮鞋300双,商场经理为考察其中各种尺码皮鞋的销售情况,以这周内某天售出的40双皮鞋的尺码为一个样本,分为5组,已知第3组的频率为0.25,第1,2,4组的频数分别为6,7,9,若第5组表示的是尺码为40～42的皮鞋,则售出的这300双皮鞋中尺码为40～42的皮鞋约为 双.?
【解析】因为第1,2,4组的频数分别为6,7,9,所以第1,2,4组的频率分别为=0.15,=0.175,=0.225.因为第3组的频率为0.25,所以第5组的频率是1-0.25-0.15-0.175-0.225=0.2,所以售出的这300双皮鞋中尺码为40～42的皮鞋约为0.2×300=60(双).
答案:60
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四十四 随
机
模
拟
(15分钟 30分)
1.下列不能产生随机数的是
( )
A.抛掷骰子试验
B.抛硬币
C.计算器
D.正方体的六个面上分别写有1,2,2,3,4,5,抛掷该正方体
【解析】选D.D项中,出现2的概率为,出现1,3,4,5的概率均是,则D项不能产生随机数.
2.在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球,这些小球除标注的数字外完全相同,现从中随机取出两个小球,则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.随机取出两个小球有:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10种情况,和为3只有1种情况(1,2),和为6可以是(1,5),(2,4),共2种情况,所以P=.
3.通过模拟试验,产生了20组随机数:
6830 3013 7055 7430 7740 4422 7884
2604 3346 0952 6807 9706 5774 5725
6576 5929 9768 6071 9138 6754
如果恰有三个数在1,2,3,4,5,6中,则表示恰有三次击中目标,则四次射击中恰有三次击中目标的概率约为
( )
A.25%
B.30%
C.35%
D.40%
【解析】选A.表示三次击中目标分别是3013,2604,5725,6576,6754,共5组数,而随机数总共20组,所以所求的概率近似为=25%.
4.在用随机(整数)模拟“有4个男生和5个女生,从中选4个,求选出2个男生2个女生的概率”时,可让计算机产生1～9的随机整数,并用1～4代表男生,用5～9代表女生.因为是选出4个,所以每4个随机数作为一组.若得到的一组随机数为“4
678”,则它代表的含义是 .?
【解析】用1～4代表男生,用5～9代表女生,4
678表示一男三女.
答案:选出的4个人中,只有1个男生
5.在一个盒中装有10支圆珠笔,其中7支一级品,3支二级品,任取一支,用模拟方法求取到一级品的概率.
【解析】设事件A:“取到一级品”.
(1)用计算机的随机函数RANDBETWEEN(1,10)或计算器产生1到10之间的整数随机数,分别用1,2,3,4,5,6,7表示取到一级品,用8,9,10表示取到二级品.
(2)统计试验总次数N及其中出现1至7之间数的次数N1.
(3)计算频率fn(A)=,即为事件A的概率的近似值.
(15分钟 30分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.从分别写有A,B,C,D,E的5张卡片中任取2张,这2张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
【解题指南】运用随机模拟试验或古典概型求解.
【解析】选B.用计算器产生1到5之间的随机整数,用1～5分别代表A～E
5个字母.利用随机模拟试验产生N组随机数,每2个数一组,从中数出两个数按从小到大的顺序相邻的随机数个数N1,可得≈.
【一题多解】本题还可用以下方法求解:从A,B,C,D,E的5张卡片中任取2张,基本事件有AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE共10种结果,其中2张卡片上字母恰好按字母顺序相邻的有AB,BC,CD,DE共4种结果,
所以P==.
2.假定某运动员每次投掷飞镖正中靶心的概率为40%,现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率:先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4表示命中靶心,5,6,7,8,9,0表示未命中靶心;再以每两个随机数为一组,代表两次的结果,经随机模拟产生了20组随机数:
93 28 12 45 85 69 68 34 31 25
73 93 02 75 56 48 87 30 11 35
据此估计,该运动员两次投掷飞镖恰有一次正中靶心的概率为
( )
A.0.50
B.0.45
C.0.40
D.0.35
【解析】选A.两次投掷飞镖恰有一次正中靶心表示随机数中有且只有一个数为1,2,3,4中的一个.它们分别是93,28,45,25,73,93,02,48,30,35共10个,因此所求的概率为=0.50.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.抛掷两枚均匀的正方体骰子,用随机模拟方法估计朝上面的点数的和是6的倍数的概率时,用1,2,3,4,5,6分别表示朝上面的点数是1,2,3,4,5,6.用计算器或计算机分别产生1到6的两组整数随机数各60个,每组第i个数组成一组,共组成60组数,其中有一组是16,这组数表示的结果是否满足朝上面的点数的和是6的倍数: (填“是”或“否”),满足朝上面的点数的和是6的倍数的概率为 .?
【解析】16表示第1枚骰子向上的点数是1,第二枚骰子向上的点数是6,则朝上面的点数的和是1+6=7,不表示和是6的倍数.该试验共有36种不同结果,事件“点数的和是6的倍数”包含(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,6)共6种情况,故概率为.
答案:否
4.甲、乙两支篮球队进行一局比赛,甲获胜的概率为0.6,若采用三局两胜制举行一次比赛,现采用随机模拟的方法估计乙获胜的概率.先利用计算器或计算机生成0到9之间取整数值的随机数,用0,1,2,3,4,5表示甲获胜;6,7,8,9表示乙获胜,这样能体现甲获胜的概率为0.6.因为采用三局两胜制,所以每3个随机数作为一组.假设产生30组随机数.
034 743 738 636 964 736 614 698 637 162
332 616 804 560 111 410 959 774 246 762
428 114 572 042 533 237 322 707 360 751
据此估计乙获胜的概率约为 .?
【解析】由题知相当于做了30次试验.如果每组数中6,7,8,9中恰有2个或3个数出现,就表示乙获胜,它们分别是738,636,964,736,698,637,616,959,774,762,707,共11个.所以采用三局两胜制,乙获胜的概率约为.
答案:
三、解答题
5.(10分)种植某种树苗,成活率为0.9,请采用随机模拟的方法估计该树苗种植5棵恰好4棵成活的概率.写出模拟试验的过程,并求出概率.
【解析】先由计算机随机函数RANDBETWEEN(0,9)产生0到9之间取整数值的随机数,指定1至9的数字代表成活,0代表不成活,再以每5个随机数为一组代表5次种植的结果.
经随机模拟产生如下30组随机数:
69801 66097 77124 22961 74235 31516
29747 24945 57558 65258 74130 23224
37445 44344 33315 27120 21782 58555
61017 45241 44134 92201 70362 83005
94976 56173 34783 16624 30344 01117
这就相当于做了30次试验,在这些数组中,如果恰有一个0,则表示恰有4棵成活,共有9组这样的数,于是我们得到种植5棵这样的树苗恰有4棵成活的概率近似为=0.3.
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