2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征
学
习
目
标
核
心
素
养
1．会求样本的众数、中位数、平均数、标准差、方差．(重点)2．理解用样本的数字特征来估计总体数字特征的方法．(重点)3．会应用相关知识解决实际统计问题．(难点)
1．通过数字特征的计算，提升数学运算素养．2．借助实际统计问题的应用，培养数学建模素养.
1．众数、中位数、平均数的概念
(1)众数：一组数据中出现次数最多的数．
(2)中位数：一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数．如果个数是偶数，则取中间两个数据的平均数．
(3)平均数：一组数据的和除以数据个数所得到的数．
2．三种数字特征的比较
名称
优点
缺点
众数
①体现了样本数据的最大集中点；②容易计算
①它只能表达样本数据中很少的一部分信息；②无法客观地反映总体的特征
中位数
①不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响；②容易计算，便于利用中间数据的信息
对极端值不敏感
平均数
代表性较好，是反映数据集中趋势的量．一般情况下，可以反映出更多的关于样本数据全体的信息
任何一个数据的改变都会引起平均数的改变．数据越“离群”，对平均数的影响越大
3.标准差、方差的概念与计算公式
(1)标准差：
标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示，
s＝.
(2)方差：
标准差的平方s2叫做方差．
s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]．
其中，xn是样本数据，n是样本容量，是样本平均数．
思考：在统计中，计算方差的目的是什么？
[提示] 方差与标准差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，其值越大，数据离散程度越大，当其值为0时，说明样本各数据相等，没有离散性．
1．为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( )
A．x1，x2，…，xn的平均数
B．x1，x2，…，xn的标准差
C．x1，x2，…，xn的最大值
D．x1，x2，…，xn的中位数
B [标准差能反映一组数据的稳定程度．]
2．数据101,98,102,100,99的标准差为( )
A.
B．0
C．1
D．2
A [＝(101＋98＋102＋100＋99)＝100.
∴s＝]＝.
3．贵州省的五个旅游景区门票票价如表所示：
景区名称
黄果树
龙宫
百里杜鹃
青岩古镇
梵净山
票价(元)
150
150
90
80
290
关于这五个旅游景区门票票价，下列说法错误的是( )
A．众数为150
B．平均数为152
C．中位数为90
D．极差为210
C [5个数据从小到大排列为：80,90,150,150,290，
所以众数为150，平均数为＝152，中位数为150，极差为290－80＝210.所以C选项说法错误．]
4．某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班．其中甲班有40人，乙班有50人．现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是________分．
85 [由题意知，该校数学建模兴趣班的平均成绩是＝85(分)．]
众数、中位数、平均数
【例1】 某公司的33名职工的月工资(以元为单位)如下表：
职务
董事长
副董事长
董事
总经理
经理
管理员
职员
人数
1
1
2
1
5
3
20
工资
5
500
5
000
3
500
3
000
2
500
2
000
1
500
(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；
(2)假设副董事长的工资从5
000元提升到20
000元，董事长的工资从5
500元提升到30
000元，那么新的平均数、中位数、众数又是多少？(精确到元)
(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法．
[解] (1)平均数是：＝1
500＋
≈1
500＋591＝2
091(元)，中位数是1
500元，众数是1
500元．
(2)新的平均数是＝1
500＋
≈1
500＋1
788＝3
288(元)，新的中位数是1
500元，新的众数是1
500元．
(3)在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平．
对众数、中位数、平均数的几点说明
?1?如果样本平均数大于样本中位数，说明数据中存在较大的极端值.在实际应用中，样本中位数和样本平均数可以使我们了解样本数据中的极端数据信息，帮助我们作出决策.
?2?众数、中位数、平均数三者比较，平均数更能体现每个数据的特征，它是各个数据的重心.
1．某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练，两群市民的年龄如下(单位：岁)：
甲群：13,13,14,15,15,15,15,16,17,17；
乙群：54,3,4,4,5,6,6,6,6,56.
(1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征？
(2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征？
[解] (1)甲群市民年龄的平均数为
＝15(岁)，中位数为15岁，众数为15岁．
平均数、中位数和众数相等，因此它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征．
(2)乙群市民年龄的平均数为＝15(岁)，中位数为6岁，众数为6岁．
由于乙群市民大多数是儿童，所以中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄特征，而平均数的可靠性较差．
方差与标准差
【例2】 近日，某省射击运动中心进行了比赛活动，下面是甲、乙两名运动员的5次射击成绩．
运动员
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
甲
87
91
90
89
93
乙
89
90
91
88
92
(1)分别计算这两名运动员成绩的方差；
(2)根据计算说明哪名运动员的成绩更稳定．
思路点拨：(1)直接利用求与s2的公式求解．
(2)先比较的大小，再分析s2的大小并下结论．
[解] (1)由表中数据计算可得甲＝90，乙＝90，且
s＝×[(87－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(89－90)2＋(93－90)2＝4，
s＝×[(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2]＝2.
(2)由(1)知，甲＝乙，比较它们的方差，因为s＞s，故乙运动员的成绩更为稳定．]
用样本的标准差、方差估计总体的方法
?1?用样本估计总体时，样本的平均数、标准差只是总体的平均数、标准差的近似.实际应用中，当所得数据的平均数不相等时，需先分析平均水平，再计算标准差?方差?分析稳定情况.
?2?标准差、方差的取值范围是[0，＋∞?.
?3?因为标准差与原始数据的单位相同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的离散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差.
2．甲、乙、丙、丁四名射手在选拔赛中所得的平均环数及其方差s2如下表所示，则选送决赛的最佳人选应是( )
甲
乙
丙
丁
7
8
8
7
s2
6.3
6.3
7
8.7
A.甲
B．乙
C．丙
D．丁
B [∵乙＝丙>甲＝丁，且s＝s频率分布直方图与数字特征的综合应用
[探究问题]
1．观察频率分布直方图，能获得样本数据的原始信息吗？
[提示] 把样本数据做成频率分布直方图后就失去了原始数据．
2．给出样本数据的频率分布直方图，可以求出数据的众数，中位数和平均数吗？
[提示] 可以近似求出．
【例3】 统计局就某地居民的月收入(元)情况调查了10
000人，并根据所得数据画出了样本频率分布直方图(如图)，每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示月收入在[500,1
000)内．
(1)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10
000人中用分层抽样的方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[2
000,2
500)内的应抽取多少人？
(2)根据频率分布直方图估计样本数据的中位数；
(3)根据频率分布直方图估计样本数据的平均数．
思路点拨：结合频率分布直方图求解．
[解] (1)因为(0.000
2＋0.000
4＋0.000
3＋0.000
1)×500＝0.5，所以a＝＝0.000
5，月收入在[2
000，2
500)内的频率为0.25，所以100人中月收入在[2
000，2
500)内的人数为0.25×100＝25.
(2)因为0.000
2×500＝0.1，
0.000
4×500＝0.2.
0.000
5×500＝0.25.
0.1＋0.2＋0.25＝0.55>0.5，
所以样本数据的中位数是
1
500＋＝1
900(元)．
(3)样本平均数为(750×0.000
2＋1
250×0.000
4＋1
750×0.000
5＋2
250×0.000
5＋2
750×0.000
3＋3
250×0.000
1)×500＝1
900(元)．
1．(变条件)某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示．
(1)求这次测试数学成绩的中位数．
(2)求这次测试数学成绩的平均分．
[解] (1)由图知，设中位数为x，由于前三个矩形面积之和为0.4，第四个矩形面积为0.3,0.3＋0.4>0.5，因此中位数位于第四个矩形内，得0.1＝0.03(x－70)，所以x≈73.3.
(2)由图知这次数学成绩的平均分为：
×0.005×10＋×0.015×10＋×0.02×10＋×0.03×10＋×0.025×10＋×0.005×10＝72.
2．(变结论)本例条件不变．
(1)若再从这10
000人中用分层抽样的方法抽出若干人，分析居民收入与幸福指数的关系，已知月收入在[2
000，2
500)内的抽取了40人．则月收入在[3
000，3
500]内的该抽多少人？
(2)根据频率分布直方图估计样本数据的众数．
[解] (1)因为(0.000
2＋0.000
4＋0.000
3＋0.000
1)×500＝0.5.
所以a＝＝0.000
5.
故月收入在[2
000,2
500)内的频率为0.000
5×500＝0.25.
∴新抽样本容量为＝160(人)．
∴月收入在[3
000,3
500]内的该抽：160×(0.000
1×500)＝8(人)．
(2)由图知众数为2
000元．
用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数
(1)众数：取最高小长方形底边中点的横坐标作为众数．
(2)中位数：在频率分布直方图中，把频率分布直方图划分为左右两个面积相等的部分的分界线与x轴交点的横坐标称为中位数．
(3)平均数：平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．
1．一组数据中的众数可能不止一个，中位数是唯一的，求中位数时，必须先排序．
2．利用频率分布直方图求数字特征
(1)众数是最高的矩形的底边的中点．
(2)中位数左右两边直方图的面积应相等．
(3)平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．
3．标准差的平方s2称为方差，有时用方差代替标准差测量样本数据的离散程度．方差与标准差的测量效果是一致的，在实际应用中一般多采用标准差．
1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在一组样本数据中，众数一定是唯一的．
( )
(2)中位数是样本数据中最中间的那个数．
( )
(3)方差的值越小，数据的离散程度越小．
( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
2．下列说法中，不正确的是( )
A．数据2,4,6,8的中位数是4,6
B．数据1,2,2,3,4,4的众数是2,4
C．一组数据的平均数、众数、中位数有可能是同一个数据
D．8个数据的平均数为5，另3个数据的平均数为7，则这11个数据的平均数是
A [数据2、4、6、8的中位数为＝5，A错，B、C、D都是正确的．]
3．一组样本数据a,3,5,7的平均数是b，且a，b是方程x2－5x＋4＝0的两根，则这个样本的方差是( )
A．3
B．4
C．5
D．6
C [x2－5x＋4＝0的两根为1,4，当a＝1时，a,3,5,7的平均数是4；当a＝4时，a,3,5,7的平均数不是1，所以a＝1，b＝4，s2＝5.]
4．某校高二年级在一次数学选拔赛中，由于甲、乙两人的竞赛成绩相同，从而决定根据平时在相同条件下进行的六次测试确定出最佳人选，这六次测试的成绩数据如下：
甲
127
138
130
137
135
131
乙
133
129
138
134
128
136
求两人比赛成绩的平均数以及方差，并且分析成绩的稳定性，从中选出一位参加数学竞赛．
[解] 设甲、乙二人成绩的平均数分别为甲、乙，方差分别为s、s.
则甲＝130＋(－3＋8＋0＋7＋5＋1)＝133，
乙＝130＋(3－1＋8＋4－2＋6)＝133，
s＝[(－6)2＋52＋(－3)2＋42＋22＋(－2)2]＝，
s＝[02＋(－4)2＋52＋12＋(－5)2＋32]＝.
因此，甲、乙的平均数相同，由于乙的方差较小，所以乙的成绩比甲的成绩稳定，应选乙参加竞赛较合适．
PAGE2.2 用样本估计总体
2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布
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习
目
标
核
心
素
养
1．会用频率分布表，画频率分布直方图表示样本数据．(难点)2．能通过频率分布表和频率分布直方图对数据做出总体统计．(重点)3．理解茎叶图的概念，会画茎叶图．(重点)
1．通过频率分布直方图和茎叶图的学习，培养数据分析素养．2．借助图表中的数据运算，提升数学运算素养.
1．频率分布直方图的画法
2．频率分布折线图和总体密度曲线
(1)频率分布折线图：
连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到了频率分布折线图．
(2)总体密度曲线：
随着样本容量的增加，作图时所分的组数也在增加，组距减小，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称之为总体密度曲线，它反映了总体在各个范围内取值的百分比．
3．茎叶图
(1)茎叶图的制作方法(以两位数据为例)：
将所有两位数的十位数字作为茎，个位数字作为叶，茎相同者共用一个茎，茎按从小到大的顺序从上向下列出．
(2)茎叶图的优缺点
在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好．它不但可以保留所有信息，而且可以随时记录，这对数据的记录和表示都能带来方便．但是当样本数据较多时，茎叶图就显得不太方便，因为每一个数据都要在图中占据一个空间，如果数据很多，枝叶就会很长．
思考：通过抽样获取的原始数据有何缺点？
[提示] 因为通过抽样获得的原始数据多而且杂乱，无法直接从中理解它们的含义，并提取信息，也不便于我们用它来传递信息．
1．下列关于茎叶图的叙述正确的是( )
A．将数组的数按位数进行比较，将数大小基本不变或变化不大的位作为一个主杆(茎)，将变化大的位的数作为分枝(叶)，列在主杆的后面
B．茎叶图只可以分析单组数据，不能对两组数据进行比较
C．茎叶图更不能表示三位数以上的数据
D．画图时茎要按照从小到大的顺序从下向上列出，共茎的叶可随意同行列出
A [由茎叶图的概念可得．]
2．绘制频率分布直方图时，各个小长方形的面积等于相应各组的( )
A．组距 B．平均值 C．频数 D．频率
D [按照频率的定义，各个小长方形的面积等于相应各组的频率，故选D.]
3．200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，时速在[50,60)内的汽车有( )
A．30辆
B．40辆
C．60辆
D．80辆
C [由直方图知，时速在[50,60)内的频率为0.03×10＝0.3，故此段内汽车有200×0.3＝60辆．]
4．如图是一个班的语文成绩的茎叶图(单位：分)，则优秀率(90分以上)是________，最低分是________.
4% 51 [由茎叶图知，样本容量为25,90分以上有1人，故优秀率为×100%＝4%，最低分为51分．]
频率分布直方图的绘制
[探究问题]
1．要做频率分布表，需要对原始数据做哪些工作？
[提示] 分组、频数累计、计算频数和频率．
2．画频率分布直方图时，如何决定组数与组距？
[提示] 若为整数，则＝组数．
若不为整数，则＋1＝组数．
注意：[x]表示不大于x的最大整数．
3．同一组数据，如果组距不同，得到的频率分布直方图也会不同吗？
[提示] 不同．对于同一组数据分析时，要选好组距和组数，不同的组距与组数对结果有一定的影响．
【例1】 某中学从高一年级随机抽取50名学生进行智力测验，其得分如下(单位：分)：
48 64 52 86 71 48 64 41 86 79
71 68 82 84 68 64 62 68 81 57
90 52 74 73 56 78 47 66 55 64
56 88 69 40 73 97 68 56 67 59
70 52 79 44 55 69 62 58 32 58
根据上面的数据，回答下列问题：
(1)这次测验成绩的最高分和最低分分别是多少？
(2)将区间[30,100]平均分成7个小区间，试列出这50名学生智力测验成绩的频率分布表，进而画出频率分布直方图；
(3)分析频率分布直方图，你能得出什么结论？
思路点拨：按画频率分布直方图的步骤进行绘制．
[解] (1)这次测验成绩的最低分是32分，最高分是97分．
(2)根据题意，列出样本的频率分布表如下：
分组
频数
频率
[30,40)
1
0.02
[40,50)
6
0.12
[50,60)
12
0.24
[60,70)
14
0.28
[70,80)
9
0.18
[80,90)
6
0.12
[90,100]
2
0.04
合计
50
1.00
频率分布直方图如图所示．
(3)从频率分布直方图可以看出，这50名学生的智力测验成绩大体上呈两头小、中间大，左右基本对称，说明这50名学生中智力特别好或特别差的占极少数，而智力一般的占多数，这是一种最常见的分布．
1．(变条件)美国历届总统中，就任时年纪最小的是罗斯福，他于1901年就任，当时年仅42岁；就任时年纪最大的是里根，他于1981年就任，当时69岁．下面按时间顺序(从1789年的华盛顿到2009年的奥巴马，共44任)给出了历届美国总统就任时的年龄：
57,61,57,57,58,57,61,54,68,51,49,64,50,48,65,52,56,46,54,49,51,47,55,55,54,42,51,56,55,51,54,51,60,62,43,55,56,61,52,69,64,46,54,48
将数据进行适当的分组，并画出相应的频率分布直方图．
[解] 以4为组距，列表如下：
频率分布直方图如下：
2．(变结论)本例条件不变，若把所给数据去掉一个最高分和一个最低分后分成5组，试画出这48名学生智力测验成绩的频率分布直方图．
[解] 列出频率分布表如下：
频率分布直方图如下：
绘制频率分布直方图应注意的问题
?1?组数与样本容量有关，一般地，样本容量越大，所分组数越多.当样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组.
?2?在确定分组区间的端点，即分点时，应对分点进行适当调整，使分点比数据多一位小数，并确保每个数据均能落在一个区间内，而不是处于区间的端点.
?3?一般地，频率分布直方图中两坐标轴上的单位长度是不一致的，纵轴是频率/组距，而不是频率.
频率分布直方图的应用
【例2】 为增强市民节能环保意识，我市面向全市征召义务宣传志愿者，现从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，他们的年龄情况如下表所示：
分组(单位：岁)
频数
频率
[20,25)
5
0.05
[25,30)
①
0.20
[30,35)
35
②
[35,40)
30
0.30
[40,45]
10
0.10
合计
100
1.00
(1)频率分布表中的①②位置应填什么数据？
(2)补全如图所示的频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[30,35)岁的人数．
[解] (1)设年龄在[25,30)岁的频数为x，年龄在[30,35)岁的频率为y.
法一：根据题意可得＝0.20，＝y，
解得x＝20，y＝0.35，故①处应填20，②处应填0.35.
法二：由题意得5＋x＋35＋30＋10＝100，
0.05＋0.20＋y＋0.30＋0.10＝1，
解得x＝20，y＝0.35，故①处填20，②处填0.35.
(2)由频率分布表知年龄在[25,30)岁的频率是0.20，组距是5.
所以＝＝0.04.
补全频率分布直方图如图所示．
根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[30,35)岁的人数为500×0.35＝175.
频率分布直方图的性质
?1?因为小矩形的面积＝组距×＝频率，所以各小矩形的面积表示相应各组的频率.这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小.
?2?在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1.
?3?＝样本容量.
1．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示．
(1)求直方图中x的值；
(2)在这些用户中，求用电量落在区间[100,250)内的户数．
[解] (1)由频率分布直方图知[200,250)小组的频率为1－(0.002
4＋0.003
6＋0.006
0＋0.002
4＋0.001
2)×50＝0.22，于是x＝＝0.004
4.
(2)∵数据落在[100,250)内的频率为(0.003
6＋0.006
0＋0.004
4)×50＝0.7，
∴所求户数为0.7×100＝70.
茎叶图的绘制及应用
【例3】 某中学高二(2)班甲、乙两名学生自进入高中以来，每次数学考试成绩情况如下：
甲：95,81,75,91,86,89,71,65,76,88,94,110,107.
乙：83,86,93,99,88,103,98,114,98,79,78,106,101.
画出两人数学成绩的茎叶图，并根据茎叶图对两人的成绩进行比较．
思路点拨：题中可以用十位数字为茎，个位数字为叶作茎叶图．然后由茎叶图的特点分析两人的成绩．
[解] 甲、乙两人数学成绩的茎叶图如图所示：
从这个茎叶图上可以看出，乙同学的得分情况是大致对称的，中位数是98；甲同学的得分情况，也大致对称，中位数是88.乙同学的成绩比较稳定，总体情况比甲同学好．
绘制茎叶图的注意点
?1?绘制茎叶图时需注意“叶”的位置的数字位数只有一位，而“茎”的位置的数字位数一般不需要统一.
?2?茎叶图可用于确定数据的中位数，判断数据大致集中在哪个茎，是否关于该茎对称，是否分布均匀等.
2．疫情期间，学校“停课不停学”，组织学生在线学习，甲、乙两位同学进行了5次线上数学测试，成绩情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均分分别为甲、乙，则下列判断正确的是( )
A.甲<乙，甲比乙成绩稳定
B.甲<乙，乙比甲成绩稳定
C.甲>乙，甲比乙成绩稳定
D.甲>乙，乙比甲成绩稳定
B [甲＝＝85，
乙＝＝86，所以甲＜乙，
结合茎叶图可得甲组数据比较分散，乙组数据更加集中，所以乙更稳定．]
1．总体分布指的是总体取值的频率分布规律，由于总体分布不易知道，因此我们往往用样本的频率分布去估计总体的分布．
2．总体的分布分两种情况：当总体中的个体取值很少时，用茎叶图估计总体的分布；当总体中的个体取值较多时，将样本数据恰当分组，用各组的频率分布描述总体的分布，方法是用频率分布表或频率分布直方图．
1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)用样本的频率分布可以估计总体分布．
( )
(2)频率分布直方图的纵轴表示频率．
( )
(3)只有两位的数据能用茎叶图表示．
( )
[答案] (1)√ (2)× (3)×
2．观察新生儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生儿体重在[2
700,3
000)内的频率为( )
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
C [由图可得，新生儿体重在[2
700,3
000)内的频率为0.001×300＝0.3.]
3．如图所示的茎叶图表示的是一台自动售货机的销售情况，则茎叶图中9表示的销售额为( )
A．9
B．49
C．29
D．1
349
C [观察茎叶图，分清楚茎和叶即可．分开茎、叶的竖线左侧仅有一列，表示茎，右侧有多列，表示叶，所以9表示的销售额为29.]
4．某班50名同学参加数学测验，成绩的分组及各组的频数如下：
[40,50)，2；[50,60)，3；[60,70)，10；[70,80)，15；[80,90)，12；[90,100]，8.
(1)列出样本的频率分布表；
(2)画出频率分布直方图．
[解] (1)频率分布表如下：
分组
频数
频率
[40,50)
2
0.04
[50,60)
3
0.06
[60,70)
10
0.2
[70,80)
15
0.3
[80,90)
12
0.24
[90,100]
8
0.16
(2)频率分布直方图如下：
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