2020-2021学年高中人教A版数学必修3学案 2.1.3 分层抽样 Word版含解析
文档属性
| 名称 | 2020-2021学年高中人教A版数学必修3学案 2.1.3 分层抽样 Word版含解析 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 330.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-04-15 08:51:56 | ||
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文档简介
2.1.3 分层抽样
学 习 目 标 核 心 素 养
1.记住分层抽样的特点和步骤(重点) 2．会用分层抽样从总体中抽取样本．(重点、难点)
3．给定实际抽样问题会选择合适的抽样方法进行抽样．(易错易混点) 1．通过分层抽样的学习，培养数学运算素养．
2．借助多种抽样方法的选择，提升逻辑推理素养.
1．分层抽样
一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样的方法是一种分层抽样．
当总体是由差异明显的几部分组成时，往往选用分层抽样的方法．
2．分层抽样的实施步骤
第一步，按某种特征将总体分成若干部分(层)．
第二步，计算抽样比．抽样比＝.
第三步，各层抽取的个体数＝各层总的个体数×抽样比．
第四步，依各层抽取的个体数，按简单随机抽样从各层抽取样本．
第五步，综合每层抽样，组成样本．
思考：什么情况下适用分层抽样？
[提示] 当总体中个体之间差异较大时可使用分层抽样．
1．为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，且男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )
A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样
C．按学段分层抽样 D．系统抽样
C [依据题意，了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，且男女生视力情况差异不大，故要了解该地区学生的视力情况，应按学段分层抽样．]
2．为了保证分层抽样时每个个体被等可能地抽取，必须要求( )
A．每层等可能抽取
B．每层抽取的个体数相等
C．按每层所含个体在总体中所占的比例抽样
D．只要抽取的样本容量一定，每层抽取的个体数没有限制
C [分层抽样为等比例抽样．]
3．某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出16人参加军训表演，则一班和二班分别被抽取的人数是( )
A．8,8 B．10,6
C．9,7 D．12,4
C [抽样比＝，则一班被抽取人数为54×＝9人，二班被抽取人数为42×＝7人．]
4．在抽样过程中，每次抽取的个体不再放回总体的为不放回抽样，那么分层抽样、系统抽样、简单随机抽样三种抽样中，为不放回抽样的有________个．
三 [三种抽样方法均为不放回抽样．]
分层抽样的概念
【例1】 下列问题中，最适合用分层抽样方法抽样的是( )
A．某电影院有32排座位，每排有40个座位，座位号是1～40.有一次报告会坐满了听众，报告会结束以后为听取意见，要留下32名听众进行座谈
B．从10台冰箱中抽出3台进行质量检查
C．某乡农田有山地8 000亩，丘陵12 000亩，平地24 000亩，洼地4 000亩，现抽取农田480亩估计全乡农田平均产量
D．从50个零件中抽取5个做质量检验
C [A的总体容量较大，宜采用系统抽样方法；B的总体容量较小，用简单随机抽样法比较方便；C总体容量较大，且各类田地的产量差别很大，宜采用分层抽样方法；D与B类似．]
分层抽样的特点
(1)适用于总体由差异明显的几部分组成的情况.
(2)样本能更充分地反映总体的情况.
(3)等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都相等.
1．某校有在校高中生共1 600人，其中高一学生520人，高二学生500人，高三学生580人．如果想通过抽查其中的80人来调查学生的消费情况，考虑到学生的年级高低消费情况有明显差别，而同一年级内消费情况差异较小，问：应采用怎样的抽样方法？高三学生中应抽查多少人？
[解] 因为不同年级的学生消费情况有明显差别，所以应采用分层抽样．
因为520∶500∶580＝26∶25∶29.
所以将80分成26∶25∶29的三部分．
设三部分各抽取的个体数分别为26x,25x,29x，
由26x＋25x＋29x＝80得x＝1，
所以高三学生中应抽查29人．
分层抽样的设计及应用
[探究问题]
1．怎样确定分层抽样中各层入样的个体数？
[提示] 在实际操作时，应先计算出抽样比＝，获得各层入样数的百分比，再按抽样比确定每层需要抽取的个体数：抽样比×该层个体数目＝×该层个体数目．
2．计算各层所抽个体的个数时，如果算出的个数值不是整数怎么办？
[提示] 可四舍五入取整，也可先将该层等可能地剔除多余个体．
3．分层抽样公平吗？
[提示] 分层抽样中，每个个体被抽到的可能性是相同的，与层数、分层无关．
如果总体的个数为N，样本容量为n，Ni为第i层的个体数，则第i层抽取的个体数ni＝n·，每个个体被抽到的可能性是＝·n·＝.
【例2】 某政府机关有在编人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人．上级机关为了了解政府机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取，请具体实施操作．
思路点拨：→→
→→→
[解] ∵机构改革关系到每个人的不同利益，故采用分层抽样方法较妥．
∵＝5，
∴＝2，＝14，＝4.
∴从副处级以上干部中抽取2人，从一般干部中抽取14人，从工人中抽取4人．
因副处级以上干部与工人数都较少，他们分别按1～10编号和1～20编号，然后采用抽签法分别抽取2人和4人；对一般干部70人进行00,01，…，69编号，然后用随机数表法抽取14人．这样便得到了一个容量为20的样本．
1．(变条件)某大型工厂有管理人员1 200人，销售人员2 000人，车间工人6 000人，若要了解改革意见，从全厂人员中抽取一个容量为46的样本，试确定用何种方法抽取，请具体实施操作．
[解] 改革关系到每个人的利益，采用分层抽样较好．抽样比：＝.
∵1 200×＝6(人)，2 000×＝10(人)，6 000×＝30(人)．
∴从管理人员中抽取6人，从销售人员中抽取10人，从车间工人中抽取30人．
因为各层中个体数目均较多，可以采用系统抽样的方法获得样本．
2．(变结论)在本例中的抽样方法公平合理吗？请说明理由．
[解] 从100人中抽取20人，总体中每一个个体的入样可能性都是＝，即抽样比，按此比例在各层中抽取个体；副处级以上干部抽取10×＝2人，一般干部抽70×＝14人，工人抽20×＝4人，以保证每一层中每个个体的入样可能性相同，均为，故这种抽样是公平合理的．
分层抽样的步骤
抽样方法的选择
【例3】 ①教育局督学组到校检查工作，临时需在每班各抽调两人参加座谈；②某班数学期中考试有14人在120分以上，35人在90～119分，7人不及格，现从中抽出8人研讨进一步改进教与学；③某班春节聚会，要产生两位“幸运者”．就这三件事，合适的抽样方法分别为( )
A．分层抽样，分层抽样，简单随机抽样
B．系统抽样，系统抽样，简单随机抽样
C．分层抽样，简单随机抽样，简单随机抽样
D．系统抽样，分层抽样，简单随机抽样
思路点拨：根据各抽样方法的特征、适用范围判断．
D [①每班各抽两人需用系统抽样．②由于学生分成了差异比较大的几层，应用分层抽样．③由于总体与样本容量较小，应用简单随机抽样．故选D.]
抽样方法的选取
(1)若总体由差异明显的几个层次组成，则选用分层抽样；
(2)若总体没有差异明显的层次，则考虑采用简单随机抽样或系统抽样.,当总体容量较小时宜用抽签法；当总体容量较大，样本容量较小时宜用随机数表法；当总体容量较大，样本容量也较大时宜用系统抽样；
2．为了解某地区的“微信健步走”活动情况，拟从该地区的人群中抽取部分人员进行调查．事先已了解到该地区老、中、青三个年龄段人员的“微信健步走”活动情况有较大差异，而男女“微信健步走”活动情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )
A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样
C．按年龄分层抽样 D．系统抽样
C [因为不同年龄段人员的“微信健步走”活动情况有较大差异．而男女对此活动差异不大，所以按年龄段分层抽样最合理．]
1．对于分层抽样中的比值问题，常利用以下关系式
(1)＝；
(2)总体中各层容量之比＝对应层抽取的样本数之比．
2．选择抽样方法的规律
(1)当总体容量较小，样本容量也较小时，制签简单，号签容易搅匀，可采用抽签法．
(2)当总体容量较大，样本容量较小时，可采用随机数法．
(3)当总体容量较大，样本容量也较大时，可采用系统抽样法．
(4)当总体是由差异明显的几部分组成时，可采用分层抽样法．
1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当总体由差异明显的几部分组成时，往往采用分层抽样．
( )
(2)由于分层抽样是在各层中按比例抽取，故每个个体被抽到的可能性不一样． ( )
(3)分层抽样中不含系统抽样和简单随机抽样． ( )
[答案] (1)√ (2)× (3)×
2．自2019年12月以来，湖北武汉爆发新冠肺炎后，全国人民急需大量口罩．我市某口罩厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种口罩，数量分别为2 400件，1 600件，1 200件．为了解它们的口罩质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从乙车间的产品中抽取了40件，则n＝( )
A．90 B．100 C．120 D．130
D [甲、乙、丙三个车间生产的产品件数分别是2 400，1 600，1 200，∴甲、乙、丙三个车间生产的产品数量的比依次为6∶4∶3，故乙车间生产产品所占的比例，∴样本中乙车间生产产品有40件，占总产品的，∴样本容量n＝40÷＝130.]
3．某城区有农民、工人、知识分子家庭共计2 000家，其中农民家庭1 800户，工人家庭100户．现要从中抽取容量为40的样本，调查家庭收入情况，则在整个抽样过程中，可以用到的抽样方法有( )
①简单随机抽样；②系统抽样；③分层抽样
A．②③ B．①③
C．③ D．①②③
D [由三种抽样方法的特点知，应先采用分层抽样对农民家庭需用系统抽样得到样本，对工人家庭需用简单随机抽样．]
4．一个地区共有5个乡镇，人口3万人，其人口比例为3∶2∶5∶2∶3，从3万人中抽取一个300人的样本，分析某种疾病的发病率，已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问应采取什么样的方法？并写出具体过程．
[解] 因为疾病与地理位置和水土均有关系，所以不同乡镇的发病情况差异明显，因而采用分层抽样的方法．
具体过程如下：
(1)将3万人分为5层，其中一个乡镇为一层．
(2)按照样本容量的比例求得各乡镇应抽取的人数分别为60人、40人、100人、40人、60人．
(3)按照各层抽取的人数随机抽取各乡镇应抽取的样本．
(4)将300人合到一起，即得到一个样本．
学 习 目 标 核 心 素 养
1.记住分层抽样的特点和步骤(重点) 2．会用分层抽样从总体中抽取样本．(重点、难点)
3．给定实际抽样问题会选择合适的抽样方法进行抽样．(易错易混点) 1．通过分层抽样的学习，培养数学运算素养．
2．借助多种抽样方法的选择，提升逻辑推理素养.
1．分层抽样
一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样的方法是一种分层抽样．
当总体是由差异明显的几部分组成时，往往选用分层抽样的方法．
2．分层抽样的实施步骤
第一步，按某种特征将总体分成若干部分(层)．
第二步，计算抽样比．抽样比＝.
第三步，各层抽取的个体数＝各层总的个体数×抽样比．
第四步，依各层抽取的个体数，按简单随机抽样从各层抽取样本．
第五步，综合每层抽样，组成样本．
思考：什么情况下适用分层抽样？
[提示] 当总体中个体之间差异较大时可使用分层抽样．
1．为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，且男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )
A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样
C．按学段分层抽样 D．系统抽样
C [依据题意，了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，且男女生视力情况差异不大，故要了解该地区学生的视力情况，应按学段分层抽样．]
2．为了保证分层抽样时每个个体被等可能地抽取，必须要求( )
A．每层等可能抽取
B．每层抽取的个体数相等
C．按每层所含个体在总体中所占的比例抽样
D．只要抽取的样本容量一定，每层抽取的个体数没有限制
C [分层抽样为等比例抽样．]
3．某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出16人参加军训表演，则一班和二班分别被抽取的人数是( )
A．8,8 B．10,6
C．9,7 D．12,4
C [抽样比＝，则一班被抽取人数为54×＝9人，二班被抽取人数为42×＝7人．]
4．在抽样过程中，每次抽取的个体不再放回总体的为不放回抽样，那么分层抽样、系统抽样、简单随机抽样三种抽样中，为不放回抽样的有________个．
三 [三种抽样方法均为不放回抽样．]
分层抽样的概念
【例1】 下列问题中，最适合用分层抽样方法抽样的是( )
A．某电影院有32排座位，每排有40个座位，座位号是1～40.有一次报告会坐满了听众，报告会结束以后为听取意见，要留下32名听众进行座谈
B．从10台冰箱中抽出3台进行质量检查
C．某乡农田有山地8 000亩，丘陵12 000亩，平地24 000亩，洼地4 000亩，现抽取农田480亩估计全乡农田平均产量
D．从50个零件中抽取5个做质量检验
C [A的总体容量较大，宜采用系统抽样方法；B的总体容量较小，用简单随机抽样法比较方便；C总体容量较大，且各类田地的产量差别很大，宜采用分层抽样方法；D与B类似．]
分层抽样的特点
(1)适用于总体由差异明显的几部分组成的情况.
(2)样本能更充分地反映总体的情况.
(3)等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都相等.
1．某校有在校高中生共1 600人，其中高一学生520人，高二学生500人，高三学生580人．如果想通过抽查其中的80人来调查学生的消费情况，考虑到学生的年级高低消费情况有明显差别，而同一年级内消费情况差异较小，问：应采用怎样的抽样方法？高三学生中应抽查多少人？
[解] 因为不同年级的学生消费情况有明显差别，所以应采用分层抽样．
因为520∶500∶580＝26∶25∶29.
所以将80分成26∶25∶29的三部分．
设三部分各抽取的个体数分别为26x,25x,29x，
由26x＋25x＋29x＝80得x＝1，
所以高三学生中应抽查29人．
分层抽样的设计及应用
[探究问题]
1．怎样确定分层抽样中各层入样的个体数？
[提示] 在实际操作时，应先计算出抽样比＝，获得各层入样数的百分比，再按抽样比确定每层需要抽取的个体数：抽样比×该层个体数目＝×该层个体数目．
2．计算各层所抽个体的个数时，如果算出的个数值不是整数怎么办？
[提示] 可四舍五入取整，也可先将该层等可能地剔除多余个体．
3．分层抽样公平吗？
[提示] 分层抽样中，每个个体被抽到的可能性是相同的，与层数、分层无关．
如果总体的个数为N，样本容量为n，Ni为第i层的个体数，则第i层抽取的个体数ni＝n·，每个个体被抽到的可能性是＝·n·＝.
【例2】 某政府机关有在编人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人．上级机关为了了解政府机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取，请具体实施操作．
思路点拨：→→
→→→
[解] ∵机构改革关系到每个人的不同利益，故采用分层抽样方法较妥．
∵＝5，
∴＝2，＝14，＝4.
∴从副处级以上干部中抽取2人，从一般干部中抽取14人，从工人中抽取4人．
因副处级以上干部与工人数都较少，他们分别按1～10编号和1～20编号，然后采用抽签法分别抽取2人和4人；对一般干部70人进行00,01，…，69编号，然后用随机数表法抽取14人．这样便得到了一个容量为20的样本．
1．(变条件)某大型工厂有管理人员1 200人，销售人员2 000人，车间工人6 000人，若要了解改革意见，从全厂人员中抽取一个容量为46的样本，试确定用何种方法抽取，请具体实施操作．
[解] 改革关系到每个人的利益，采用分层抽样较好．抽样比：＝.
∵1 200×＝6(人)，2 000×＝10(人)，6 000×＝30(人)．
∴从管理人员中抽取6人，从销售人员中抽取10人，从车间工人中抽取30人．
因为各层中个体数目均较多，可以采用系统抽样的方法获得样本．
2．(变结论)在本例中的抽样方法公平合理吗？请说明理由．
[解] 从100人中抽取20人，总体中每一个个体的入样可能性都是＝，即抽样比，按此比例在各层中抽取个体；副处级以上干部抽取10×＝2人，一般干部抽70×＝14人，工人抽20×＝4人，以保证每一层中每个个体的入样可能性相同，均为，故这种抽样是公平合理的．
分层抽样的步骤
抽样方法的选择
【例3】 ①教育局督学组到校检查工作，临时需在每班各抽调两人参加座谈；②某班数学期中考试有14人在120分以上，35人在90～119分，7人不及格，现从中抽出8人研讨进一步改进教与学；③某班春节聚会，要产生两位“幸运者”．就这三件事，合适的抽样方法分别为( )
A．分层抽样，分层抽样，简单随机抽样
B．系统抽样，系统抽样，简单随机抽样
C．分层抽样，简单随机抽样，简单随机抽样
D．系统抽样，分层抽样，简单随机抽样
思路点拨：根据各抽样方法的特征、适用范围判断．
D [①每班各抽两人需用系统抽样．②由于学生分成了差异比较大的几层，应用分层抽样．③由于总体与样本容量较小，应用简单随机抽样．故选D.]
抽样方法的选取
(1)若总体由差异明显的几个层次组成，则选用分层抽样；
(2)若总体没有差异明显的层次，则考虑采用简单随机抽样或系统抽样.,当总体容量较小时宜用抽签法；当总体容量较大，样本容量较小时宜用随机数表法；当总体容量较大，样本容量也较大时宜用系统抽样；
2．为了解某地区的“微信健步走”活动情况，拟从该地区的人群中抽取部分人员进行调查．事先已了解到该地区老、中、青三个年龄段人员的“微信健步走”活动情况有较大差异，而男女“微信健步走”活动情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )
A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样
C．按年龄分层抽样 D．系统抽样
C [因为不同年龄段人员的“微信健步走”活动情况有较大差异．而男女对此活动差异不大，所以按年龄段分层抽样最合理．]
1．对于分层抽样中的比值问题，常利用以下关系式
(1)＝；
(2)总体中各层容量之比＝对应层抽取的样本数之比．
2．选择抽样方法的规律
(1)当总体容量较小，样本容量也较小时，制签简单，号签容易搅匀，可采用抽签法．
(2)当总体容量较大，样本容量较小时，可采用随机数法．
(3)当总体容量较大，样本容量也较大时，可采用系统抽样法．
(4)当总体是由差异明显的几部分组成时，可采用分层抽样法．
1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当总体由差异明显的几部分组成时，往往采用分层抽样．
( )
(2)由于分层抽样是在各层中按比例抽取，故每个个体被抽到的可能性不一样． ( )
(3)分层抽样中不含系统抽样和简单随机抽样． ( )
[答案] (1)√ (2)× (3)×
2．自2019年12月以来，湖北武汉爆发新冠肺炎后，全国人民急需大量口罩．我市某口罩厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种口罩，数量分别为2 400件，1 600件，1 200件．为了解它们的口罩质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从乙车间的产品中抽取了40件，则n＝( )
A．90 B．100 C．120 D．130
D [甲、乙、丙三个车间生产的产品件数分别是2 400，1 600，1 200，∴甲、乙、丙三个车间生产的产品数量的比依次为6∶4∶3，故乙车间生产产品所占的比例，∴样本中乙车间生产产品有40件，占总产品的，∴样本容量n＝40÷＝130.]
3．某城区有农民、工人、知识分子家庭共计2 000家，其中农民家庭1 800户，工人家庭100户．现要从中抽取容量为40的样本，调查家庭收入情况，则在整个抽样过程中，可以用到的抽样方法有( )
①简单随机抽样；②系统抽样；③分层抽样
A．②③ B．①③
C．③ D．①②③
D [由三种抽样方法的特点知，应先采用分层抽样对农民家庭需用系统抽样得到样本，对工人家庭需用简单随机抽样．]
4．一个地区共有5个乡镇，人口3万人，其人口比例为3∶2∶5∶2∶3，从3万人中抽取一个300人的样本，分析某种疾病的发病率，已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问应采取什么样的方法？并写出具体过程．
[解] 因为疾病与地理位置和水土均有关系，所以不同乡镇的发病情况差异明显，因而采用分层抽样的方法．
具体过程如下：
(1)将3万人分为5层，其中一个乡镇为一层．
(2)按照样本容量的比例求得各乡镇应抽取的人数分别为60人、40人、100人、40人、60人．
(3)按照各层抽取的人数随机抽取各乡镇应抽取的样本．
(4)将300人合到一起，即得到一个样本．