单元素养评价(二)(第七章)
(120分钟 150分)
一、单选题(每小题5分,共40分)
1.设a,b∈R,i是虚数单位,则“ab=0”是“复数a+为纯虚数”的
( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.由ab=0,得a=0,b≠0或a≠0,b=0或a=0,b=0,则a+=a-bi不一定为纯虚数;若a+=a-bi为纯虚数,则有a=0且b≠0,这时有ab=0,故选B.
2.若(x-i)i=y+2i,x,y∈R,则复数x+yi=
( )
A.-2+i
B.1-2i
C.2+i
D.1+2i
【解析】选C.(x-i)i=y+2i,即xi+1=y+2i,故y=1,x=2,所以复数x+yi=2+i.
3.复数z=i(i+1)在复平面内的对应点位于
( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】选B.z=-1+i,对应点为(-1,1),在第二象限.
4.(2020·全国Ⅰ卷)若z=1+2i+i3,则|z|=
( )
A.0
B.1
C.
D.2
【解题指南】先根据i2=-1将z化简,再根据向量的模的计算公式即可求出.
【解析】选C.因为z=1+2i+i3=1+2i-i=1+i,
所以|z|==.
5.如图,在复平面内,点A表示复数z,则图中表示z的共轭复数的点是
( )
A.A
B.B
C.C
D.D
【解析】选B.设z=a+bi(a,b∈R),且a<0,b>0,则z的共轭复数为a-bi,其中a<0,-b<0,故应为B点.
6.复平面上三点A,B,C分别对应复数1,2i,5+2i,则由A,B,C所构成的三角形是
( )
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.锐角三角形
D.钝角三角形
【解析】选A.1,2i,5+2i对应的向量坐标为(1,0),(0,2),(5,2),设O为坐标原点,
即=(1,0),=(0,2),=(5,2),
=-=(-1,2).
=-=(5,0),=-=(4,2),
则||2=||2+||2,所以∠BAC=90°,
即由A,B,C所构成的三角形是直角三角形.
7.若复数z满足2z+=3-2i,其中i为虚数单位,则z=
( )
A.1+2i
B.-1+2i
C.-1-2i
D.1-2i
【解析】选D.设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi.
故2z+=2(a+bi)+a-bi=3a+bi=3-2i,
所以解得所以z=1-2i.
8.设复数z=cos
x+isin
x,则函数f(x)=的部分图象可能是
( )
【解析】选A.f(x)=
==|cos
x+isin
x+cos
x-isin
x|=2,因为f(x)=2|cos
x|为偶函数,故排除C、D,又f(x)=2|cos
x|的最小正周期为π,故排除B,所以f(x)的部分图象可能为A.
二、多选题(每小题5分,共20分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
9.下列命题中,真命题为
( )
A.若复数z满足∈R,则z∈R
B.若复数z满足z2∈R,则z∈R
C.若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=
D.若复数z∈R,则∈R
【解析】选AD.对于命题A,设复数z=x+yi(x,y∈R),且x,y不同时为零,
则====-i,
若∈R,则y=0,所以z=x∈R,该命题正确;对于命题B,当z=-i时,z2=-1∈R,但z?R,该命题错误;
对于命题C,取z1=1+i,z2=2-2i,则z1z2=(1+i)(2-2i)=2-2i2=4,但z1≠,该命题错误;对于命题D,当z∈R时,可设z=x(x∈R),则=x∈R,该命题正确.
10.已知i为虚数单位,复数z1=a+2i,z2=2-i,且|z1|=|z2|,则实数a的值为
( )
A.1
B.-1
C.
D.-
【解析】选AB.因为复数z1=a+2i,z2=2-i,
且|z1|=|z2|,所以a2+4=4+1,解得a=±1.
11.设z1,z2是复数,则下列命题中,正确的是
( )
A.若=0,则z1=
B.若z1=,则=z2
C.若=,则z1·=·z2
D.若=,则=
【解析】选BC.设z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R.
若|z1-z2|=0,则z1-z2=(a-c)+(b-d)i=0,所以a=c,b=d,所以z1=z2,所以=,无法保证z1=,所以A错误;
若z1=,则a=c,b=-d,所以=z2,故B正确;若|z1|=|z2|,则a2+b2=c2+d2,所以z1·=·z2,故C正确;=(a2-b2)+2abi,=
(c2-d2)+2cdi,在a2+b2=c2+d2的条件下,不能保证a2-b2=c2-d2,2ab=2cd,故D错误.
12.(2020·枣庄高一检测)已知集合M={m|m=in,n∈N
},其中i为虚数单位,则下列元素属于集合M的是
( )
A.(1-i)(1+i)
B.
C.
D.(1-i)2
【解析】选BC.根据题意,
M={m|m=in,n∈N
}中,
n=4k(k∈N
)时,in=1;
n=4k+1(k∈N
)时,in=i;
n=4k+2(k∈N
)时,in=-1;
n=4k+3(k∈N
)时,in=-i,
所以M={-1,1,i,-i}.
选项A中,(1-i)(1+i)=2?M;
选项B中,==-i∈M;
选项C中,==i∈M;
选项D中,(1-i)2=-2i?M.
三、填空题(每小题5分,共20分)
13.当a∈R时,有(1-i)(a+i)∈R,则a= .?
【解析】因为(1-i)(a+i)=(a+1)+(1-a)i∈R,所以1-a=0,即a=1.
答案:1
14.若=2-i(其中i是虚数单位),则实数a= .?
【解析】因为=2-i,所以1+ai=(1-i)(2-i)=1-3i,所以a=-3.
答案:-3
15.在复平面上正方形的顶点对应的复数中有三个是1+2i,-2+i,-1-2i,那么第四个顶点对应的复数是 .?
【解析】设正方形四个顶点A,B,C,D对应的复数分别为1+2i,-2+i,-1-2i,a+bi,O为复平面的原点,则=(1,2),=(-2,1),
=(-1,-2),=(a,b),
=-=(-3,-1).
又四边形ABCD为正方形,所以=,
即(-3,-1)=-=(-1-a,-2-b),
所以所以所以=(2,-1).即第四个顶点对应的复数是2-i.
答案:2-i
16.复数z1=1-2i,|z2|=3,则|z2-z1|的最大值是 .?
【解析】设z2=x+yi(x,y∈R),且x2+y2=9,故令x=3cos
θ,y=3sin
θ,z2-z1=(x-1)+(y+2)i,
所以|z2-z1|=,
==
=,
其中sin
φ=,cos
φ=,
所以最大值为==3+.
答案:3+
四、解答题(共70分)
17.(10分)已知z=1+i,若=1-i,求实数a,b的值.
【解析】因为z2+az+b=(1+i)2+a(1+i)+b=a+b+(2+a)i,z2-z+1=(1+i)2-(1+i)+1=i,
所以=(2+a)-(a+b)i=1-i,
由复数相等,得解得
18.(12分)设复数z=(a2+a-2)+(a2-7a+6)i,其中a∈R,当a取何值时,(1)z∈R;(2)z是纯虚数;(3)z是零.
【解析】(1)因为z∈R,所以a2-7a+6=0,
所以a=1或a=6.
(2)因为z是纯虚数,所以
所以a=-2.
(3)因为z=0,所以所以a=1.
19.(12分)已知复数z满足|z|=1+3i-z,
求的值.
【解析】设z=a+bi(a,b∈R).
因为|z|=1+3i-z,
所以-1-3i+a+bi=0,
即
解得所以z=-4+3i,
所以===3+4i.
20.(12分)已知复数z1=m+(m2-2m)i,z2=1+(-m2+3m-1)i,其中m∈R.
(1)若复数z1为实数,求m的值;
(2)求|z1+z2|的最小值.
【解析】(1)由复数z1为实数,则m2-2m=0,解得m=2或m=0.
(2)因为z1+z2=(m+1)+(m-1)i,
所以|z1+z2|=
=,
故当m=0时,|z1+z2|的最小值为.
21.(12分)计算:
(1);
(2).
【解析】(1)
====+i.
(2)=
===
==1-i.
22.(12分)已知复数z1=sin
2x+λi,z2=m+(m-cos
2x)i(λ,m,x∈R),且z1=z2.
(1)若λ=0且0(2)设λ=f(x);
①求f(x)的最小正周期和单调递减区间;
②已知当x=α时,λ=,求cos的值.
【解析】由z1=sin
2x+λi,
z2=m+(m-cos
2x)i(λ,m,x∈R),且z1=z2.
得
(1)若λ=0且02x=cos
2x,
即tan
2x=,所以x=或;
(2)①λ=f(x)=2sin,则T=π,
由+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z得kπ+≤x≤+kπ,k∈Z.
所以f(x)的单调递减区间为,k∈Z;
②由题意,=2sin,所以sin
=-,即cos=-.
所以cos=2cos2-1
=2×-1=-.
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(120分钟 150分)
一、单选题(每小题5分,共40分)
1.设a,b∈R,i是虚数单位,则“ab=0”是“复数a+为纯虚数”的
( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.若(x-i)i=y+2i,x,y∈R,则复数x+yi=
( )
A.-2+i
B.1-2i
C.2+i
D.1+2i
3.复数z=i(i+1)在复平面内的对应点位于
( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
4.(2020·全国Ⅰ卷)若z=1+2i+i3,则|z|=
( )
A.0
B.1
C.
D.2
5.如图,在复平面内,点A表示复数z,则图中表示z的共轭复数的点是
( )
A.A
B.B
C.C
D.D
6.复平面上三点A,B,C分别对应复数1,2i,5+2i,则由A,B,C所构成的三角形是
( )
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.锐角三角形
D.钝角三角形
7.若复数z满足2z+=3-2i,其中i为虚数单位,则z=
( )
A.1+2i
B.-1+2i
C.-1-2i
D.1-2i
8.设复数z=cos
x+isin
x,则函数f(x)=的部分图象可能是
( )
二、多选题(每小题5分,共20分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
9.下列命题中,真命题为
( )
A.若复数z满足∈R,则z∈R
B.若复数z满足z2∈R,则z∈R
C.若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=
D.若复数z∈R,则∈R
10.已知i为虚数单位,复数z1=a+2i,z2=2-i,且|z1|=|z2|,则实数a的值为
( )
A.1
B.-1
C.
D.-
11.设z1,z2是复数,则下列命题中,正确的是
( )
A.若=0,则z1=
B.若z1=,则=z2
C.若=,则z1·=·z2
D.若=,则=
12.(2020·枣庄高一检测)已知集合M={m|m=in,n∈N
},其中i为虚数单位,则下列元素属于集合M的是
( )
A.(1-i)(1+i)
B.
C.
D.(1-i)2
三、填空题(每小题5分,共20分)
13.当a∈R时,有(1-i)(a+i)∈R,则a= .?
14.若=2-i(其中i是虚数单位),则实数a= .?
15.在复平面上正方形的顶点对应的复数中有三个是1+2i,-2+i,-1-2i,那么第四个顶点对应的复数是 .?
16.复数z1=1-2i,|z2|=3,则|z2-z1|的最大值是 .?
四、解答题(共70分)
17.(10分)已知z=1+i,若=1-i,求实数a,b的值.
18.(12分)设复数z=(a2+a-2)+(a2-7a+6)i,其中a∈R,当a取何值时,(1)z∈R;(2)z是纯虚数;(3)z是零.
19.(12分)已知复数z满足|z|=1+3i-z,
求的值.
20.(12分)已知复数z1=m+(m2-2m)i,z2=1+(-m2+3m-1)i,其中m∈R.
(1)若复数z1为实数,求m的值;
(2)求|z1+z2|的最小值.
21.(12分)计算:
(1);
(2).
22.(12分)已知复数z1=sin
2x+λi,z2=m+(m-cos
2x)i(λ,m,x∈R),且z1=z2.
(1)若λ=0且0(2)设λ=f(x);
①求f(x)的最小正周期和单调递减区间;
②已知当x=α时,λ=,求cos的值.
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